Тема 4. Майбутня вартість капіталу та основи фінансової математики

 

Ефективність фінансових та банківських угод у значній мірі зале-жить від правильного розуміння та використання відсоткових ставок. Перш за все необхідно з’ясувати особливості термінологічного апарату, що лежить в основі фінансової математики.

Відсотки – це доход, який отримує власник грошового капіталу при наданні цього капіталу у борг (позичка, кредит, інвестиція виробничого чи фінансового характеру). Величина доходу залежить від: величини капіталу, що надається у позику; терміну, на який капітал надається у борг; розміру і виду відсоткових ставок.

Існує дві концепції і, відповідно, два способи нарахування відсотків: рекурсивний, антисипативний.

Декурсивний – це спосіб, коли відсотки нараховують у кінці кожно-го інтервалу нарахування. Декурсивна відсоткова ставка дорівнює позичковій – це відношення суми доходу, нарахованого за певний інтервал до суми, що була на початок даного інтервалу, вираженої у відсотках. Антисипативний спосіб – це спосіб, коли відсотки нараховують на початку кожного інтервалу нарахування. Сума відсоткових грошей визначається при допомозі нарощеної суми (борг + відсотки). Антисипативна відсоткова ставка – це виражене у відсотках відношення суми доходу, що вплачується за певний інтервал до величини нарощеної суми, отриманої після (проходження) закінчення даного інтервалу.

У світовій практиці декурсивний спосіб нарахування відсотків більш поширений. Антисипативний метод нарахування відсотків використовуєть-ся, як правило, в умовах (у періоди) високої інфляції. При обох способахнарахування відсотків відсоткові ставки можуть бути або простими, або склад-ними. Прості відсоткові ставки розраховуються як відношення доходу до однієї і тієї самої бази (початкового капіталу) протягом усього періоду нара-хування. Складані відсоткові ставки розраховуються як відношення доходу до різних величин (сума боргу + нараховані відсотки) за попередні інтервали нарахування. У тому випадку, коли термін кредиту вказано у роках – для розрахунку застосовується формула:

 

                 (1.1)

 

де S – нарощена сума (сума боргу), Р – початкова вартість грошей, позички, капіталу (сума, що видається), і – відносна величина річної ставки, n – період нарахування, (роки).

Якщо ж термін кредиту вказано у днях – рекомендується застосову-вати формулу

             (1.2)

 

де  – тривалість періоду нарахування, дні, t – тривалість року, дні.

Визначення нарощеної суми із застосуванням теперішньої вартості грошей називається компаудінгом – це процес переходу від поточної вар-тості капіталу до його майбутньої вартості.

На практиці часто виникає зворотна задача: визначити початкову суму позички Р, яка повинна принести у майбутньому якусь задану вели-чину S. Визначення поточної вартості Р через S називається дисконтуванням. Для простих відсотків використовується формула:

 

              (1.3)

 

При антисипативному способі нарахування відсоткова сума доходу розраховується з нарощеної за певний інтервал суми. Відсотки нарахо-вуються на початку інтервалу нарахування, а позичальник отримує суму за мінусом відсоткових грошей. Така операція називається дисконтуванням за обліковою ставкою. Дисконт – доход, тобто різниця між розміром кредиту та сумою, що підлягає видачі.

Припустимо, що d – відносна величина облікової ставки, D – загаль-на сума відсоткових грошей, S – розмір кредиту (сума, що підлягає повернен-ню), Р – сума, що отримує позичальник, тоді спосіб для нарахування простих облікових відсотків буде описуватись формулою:

 

     (1.4)

 

На практиці облікові ставки використовують при обліку векселів. При цьому для визначення:

– терміну обігу векселя застосовують формулу

 

               (1.5)

 

– облікової ставки – формулу

 

            (1.6)

 

– номінальної вартості векселя – формулу

 

              (1.7)

 

На практиці можливий такий випадок, при якому у кінці кожного інвестиційного періоду до основної суми грошей додаються нараховані від-сотки і отримана таким чином сума грошей є вихідною для нарахування відсотків у наступному періоді. Таке нарахування відсотків називається складним. При нарахуванні такого типу відсотків декурсивним способом доцільно використати формулу:

 

              (1.8)

 

а для антисипативного способу формулу:

 

               (1.9)

 

де ic – складна ставка позичкового відсотка;

   dc – складна ставка облікового відсотка. 

На практиці може виникати така ситуація, при якій перед інвестором з’являється можливість здійснення інвестиції із використанням одночасно і рекурсивного, і антисипативного методів нарахування відсоткового доходу. За такої ситуації різними є лише відсоткові ставки, а усі інші параметри (теперішня та майбутні вартості, термін) є однаковими. У такому разі, для того, щоб оцінити ефективність проведення інвестиційної операції необхідно скористатися формулами еквівалентності, які забезпечують однакову вели-чину очікуваного відсоткового доходу, причому для простих облікових від-сотків варто застосувати формулу

 

                (1.10)

 

а для простих позичкових – формулу

               (1.11)

Номінальна відсоткова ставка, яка під впливом попиту і пропозиції може змінюватися включає такі компоненти:

 

          (1.12)

 

де k – номінальна відсоткова ставка, k* – реальна або бездомішкова відсоткова ставка, ID – інфляційна надбавка, DRP – надбавка за ризик не-сплати, LР – надбавка за ліквідність або ринковість, МRР – надбавка за ри-зик, пов’язаний з терміном боргового зобов’язання.

Бездомішкова відсоткова ставка дорівнює ставці, що встановлю-ється за безризиковими зобов’язаннями, за умов відсутності інфляції. Вона називається також реальною або вільною від ризику. Фактично бездомішкова відсоткова ставка рівна відсоткам за короткостроковими казначейськими век-селями або короткостроковими борговими зобов’язаннями уряду, за умов відсутності інфляції.

Інфляційна надбавка. Оскільки інфляція є головним чинником, що впливає на відсоткові ставки, тому що під їїдією змінюється купівельна спромож-ність грошових одиниць і зменшується коефіцієнт реальної прибутковості ін-вестицій, виникає необхідність корекції грошових сум шляхом їх індексування.

Надбавка за ризик несплати – надбавка за ризик невиконання бор-гових зобов’язань позичальником, що виявляється у несплаті основного бор-гу або відсотків. Державні цінні папери вважають гарантованими від несплати.

Надбавка за ліквідність, або ранговість. Під ліквідністю, або рин-ковістю цінних паперів розуміють можливість їхньої конвертації у гроші. Тут діють два важливих чинники: по-перше, ціна, за якою зобов’язання можуть бути реалізовані; по-друге, тривалість часу, що необхідний для реалізації цін-них паперів. Про ліквідність фінансових активів судять з можливості продати великий обсяг цінних паперів за короткий відрізок часу без значних знижок у ціні. Чим вищою є ринковість цінних паперів, тим більше можливостей здійс-нити великі операцію з ними за визначеною ціною. Чим нижча ринковість боргових зобов’язань, тим вищою має бути їх ціна, щоб залучити до купівлі інвесторів. Дуже важко визначити розмір надбавки за ліквідність. Існує дифе-ренціація номінальних відсоткових ставок за ліквідними та неліквідний цін-ними паперами, що становить 1 або навіть 2 %.

Надбавка за ризик, пов’язаний з терміном боргового зобов’язання. Чим довший термін боргових зобов’язань, тим більше ризик коливання рин-кової вартості цінних паперів. Головне завдання цієї надбавки – зробити так, щоб власники грошової капіталу вкладали свої кошти у довгострокові, а не у короткострокові зобов’язання (розмірнадбавки звичайно важко визначити).