Глава 5
ОБРАТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ
5.1. Изменение объема параллелепипеда
Вначале рассмотрим последовательность операций решения задач обратных вычислений с помощью индивидуальных коэффициентов, а затем - без указания приоритетности целей.
Допустим, прямоугольный параллелепипед срезан сверху параболоидом вращения с параметром р (рис. 5.1). Вершина параболоида совпадает с центром верхнего основания, ось вертикальна.рямая задача: определить объем У образовавшегося тела, если стороны его основания равны а и Ь, а высота равна А. Уравнение параболоида:
г-п---------------------------------------- .
2р
Объем образовавшегося тела:
аЬ
2 2 2 2 у = А\\(к- )с1ус1х. 0 0 2Р
5.1.1. Решение задачи с помощью индивидуальных коэффициентов прироста
Необходимо увеличить объем К образовавшегося тела за счет увеличения высоты А тела и увеличения объема параллелепипеда (увеличения параметра р). Пропорции прироста регулируются коэффициентами относительной важности: для высоты А коэффициентом а - (Л(а)), а для параметра р - коэффициентом Р - (р(Р)). Целевая установка при этом выглядит следующим образом:
2 2
2р+Ф)
Введем, как и ранее, индивидуальные коэффициенты приростов:
А + ДА^А, р + Ар = к2р.
Если через А У{кх) и А У(к2) обозначить приросты объемов, которые будут получены за счет использования коэффициентов кх и к2, то можно записать:
АУ(к1) = У(к1)-У, АУ(к2) = У(к2)-У,
где ДК^), ДК(&2) - приросты объемов срезанного параллелепипеда, получаемого за счет применения коэффициентов кхик2 соответственно;
У{к^), V(к2) - новые объемы срезанного параллелепипеда, получаемого за счет использования коэффициентов к{ик2 соответственно;
V - начальный объем срезанного параллелепипеда.
В общем виде задачу обратных вычислений можно записать:
\\/{х,у)сіхсіу = У,
о
А У{кх) а(Рі)
[АУ(к2) Р( Р2У
где р. - параметр функции/(х, у); У - искомый объем;
а _Ь 2 2 |
а, Р - коэффициенты приоритетности аргументов рх и рт
Для рассматриваемой функции задача при условии применения индивидуальных коэффициентов прироста аргументов примет вид
2 2 X +у
)с1ус1х = У,
2 рк2 АУ(к1)_а(Л)
А У(к2) р (р)
где у - новый (заданный) объем срезанного параллелепипеда;
а (А), р (р) - коэффициенты относительной важности аргументов Ли р.
Найдем из первого уравнения какой-либо из искомых коэффициентов, например ку Заметим, что вследствие симметрии можно искать учетверенный интеграл на области ОАМВ:
аЪ 2 2
Ї2 22 22 22 2
ъ
ь 2сіх = о |
х2У |
1рк2 |
2 рк2 6 рк |
2 2
Ъх2 |
Ьх3 |
Ь}х |
-)Л = 4(—1 |
\1рк2 48рк |
4т.
2 4рк2 48рк ' 24 рк2
л/ЬкМа Ьа3
1 = 4(—----
Ьа 9Ьрк- |
) = |
о 4 96рк2
аЬ(аг +Ъг) _ , ит-к^у
Введем обозначения: ~ь> аЬИ = Т, ' л. и за-
24 р
пишем
Т
Прежде чем воспользоваться вторым уравнением, определим, чему равны числитель и знаменатель. Для этого предварительно определим, чему равны объемы, получаемые за счет применения коэффициентов кх и к2, обозначенные как К(Аг,) и У{к2). Первый из них равен:
аЬ 2 2 |
•2.. .,3 ь 2р 6 р^ |
г/// ч лПпи л}пи *2У л\ <ьк\к Ь*2
о о
Ьъх |
\2р 48 р |
ЪкМ Ьхъ
= 4(-
0 1 24 р 1
Отсюда прирост, зависящий от кр равен:
АК(*,) = 7*1 -Ь-Т + Ь = Ткх -Г. Аналогично рассчитаем объем, получаемый за счет примене
ния к2:
£ 6 2 2
)=411 (Л - =4 р (Ду.
1рк2 6рк2
л,ЬИх Ъхъ
*гу |
о*2 |
х +у 1ркг Ъъх |
2 4/?А:2 48/?А:2 |
Ъаь |
аЬ |
2 =аЫг- о |
24 рк2 к2 |
24 рк2 24рк2 |
2 12/7^2 48рк2
Соответствующий прирост
Теперь можно воспользоваться вторым уравнением из системы уравнений для отыскания коэффициента к2:
а_ АК(£)) _ Ткх -Т Р~Д У(к2)
к2
так как ^ _ j^i_ получим к2 =
Пример (рис. 5.1): а = 1; Ь - 2; к = 4;р = 1; а = 0,7; Р = 0,3, £ = 0,42; Т =8.
Исходный объем равен Т- Ь- 8 - 0,42 = 7,58.
Допустим, желаемый объем равен 8,58, т.е. V = 8,58.
0,42
+8,58
Т°ГДа 0,29^4-2,6 =4'?; ^^V-^08"
Проверка. аЫгкх = -— = 8-1,08-^^ = 8,55*8,58.
к^ к2 4,7
Практический интерес представляют все целевые установки, рассмотренные в гл. 2. В первую очередь:
+ г.-/ \ Xі+У1 + »+ / ч *2+.у2
2 = /* (а)------------------ 2 =к (а)-------- —;
2р+ф) 2/7" (Р)'
_ ч _ 7_/ ч х2+у2
I =к (а)----------------- т-"—; 2 =к (а)-- —.
5.1.2. Решение задач без указания приоритетов целей
Допустим, коэффициенты относительной важности целей указать невозможно или же они несущественны. Тогда можно отыскать такой коэффициент к, который, будучи умноженный на р и А, даст искомый прирост объема.
Из предыдущего варианта решения задачи известна функция, с помощью которой можно подсчитать объем. Она имеет вид
Tkx-— = V, к2
так как к{= к2 = к\ поэтому получим:
Tk2-Vk-L = 0;
f У + Ж+ATL
к----------------------------------- 1-------- .
2 Т
Пример: я = 1; 6 = 2; А = 4; = 1; F = 8,58; V + AF = 8,58; F=7,58.
r ab(a2+b2) 1-2(1 + 4) 10 Тогда: Г=аМ=8; £ = -^=-^ = - = 0,42;
_ 8,58+^73,6+4-8-0,42 _,
_ _ — 1,1Z.
к
2-8
Проверка. Тк--=ЪЛ, 12-—=8,95-0,375=8,575*8,58. /г 1,12
5.2.Обратные вычисления на дифференциальных уравнениях первого порядка
Вначале рассмотрим прямую задачу.
Для моста строится каменный бык высотой 12 м с круговыми горизонтальными сечениями. Бык рассчитан на нагрузку р = 90 т
т
(помимо собственного веса). Плотность материала у = 2,5-^-.
м
т
Допустимое давление составляет к = 300 -у. Найти площади вер-
м
хнего и нижнего оснований (рис. 5.2).
Решение прямой задачи. Площадь s0, м2, верхнего
т
основания при допустимом давлении к- 300—может выдержать
м
нагрузку ksQ, а по условию ksQ= р. Следовательно,
0 к 300
|
Рис. 5.2
Обозначив через л; расстояние сечения д от верхнего основания, можно выделить бесконечно малый горизонтальный слой. Площадь его нижнего основания превышает площадь его верхнего основания на с1з. Поэтому у нижнего основания предельная нагрузка больше на величину удя?л:. Получается дифференциальное уравнение: кс1з = уяс!х:
Разделив переменные и интегрируя при начальных условиях
гА, у^ , Л У
х = О, ^ = можно получить ] — = — J ах, откуда имеем 1п — =—х.
Чтобы найти площадь нижнего основания, необходимо под-
т
ставить л: = 12 при = 0,3; у = 2,5; к = 300—. Переходя к десятич-
и м
я 2 5
ным логарифмам, получим ^ —~ = где М - модуль пере
|
хода от натуральных логарифмов к десятичным, М = 0,43429, откуда ^ = 0,33.
Задача обратных вычислений. Известны площади нижнего и верхнего оснований каменного быка. Обозначим через х высоту моста. Необходимо определить новые ^ и если высота моста изменилась на величину Ах. Остальные данные прежние. Запишем, чему равна высота моста:
к ^ У
к, ^Г(а) |
Допустим, целевая установка, представленная графически на рис. 5.2, имеет вид
х+ = —* 1п
У ^(Р)
Введем индивидуальные коэффициенты приростов аргумен
тов:
+ А?0 = •
а Р' k\s\ k2s0 |
У = |
Это позволяет составить обычную систему уравнений:
k2s0 Ау0
jc+Ах = а\п
Решая данную систему уравнений, получим
к{=-
P^J — OLSQ
к2 =
кЛ k2s2
Пример: х = 12; Ах = 3; а = 120; .у0 = 0,3; s{ = 0,33; а = 0,7;
- к s
Р = 0,3. Пусть х + Ах = X, тогда е а = Отсюда
k2s0
= 1,059; |
— = — = 0,125, >> = е0'125 = 1,1327; 0,7-1,0278-0,3-0,7-0,3+0,3-0,33 0,30,33 |
£ - ' ' ' ' 2 (0,3 1,1327-0,7)0,3
|
= 1,0278; |
0,3 0,33-0,7 0,3 |
В данном случае в результате решения дифференциального уравнения получена логарифмическая функция, которая и обеспечила решение задачи обычным образом.
Практический интерес представляет большинство целевых установок, рассмотренных в гл. 2. Это в первую очередь:
|
5.3Изменение площадей плоских фигур
5.3.1.Площадь фигуры, ограниченная линиями
Вычислить площадь фигуры (рис. 5.3), ограниченной линиями:
у = х;у = 5-х; х = 1; х = 2.
Запишем уравнения этих линий в общем виде: у1 = с-х; у2 = рх. Допустим, что необходимо уменьшить площадь фигуры за счет увеличения параметра р на величину Ар и уменьшения параметра с на величину Ас, т.е.
у, =(с-Ас)-х = ~-х;
|
|
У |
У2~РХ |
8 © |
л |
> х с © 0х р |
у =с-х |
1* 2\„. - >
А8(к2)
Рис. 5.3
Если через &5(кх) и &5(кх) обозначить приросты площади фигуры, получаемые за счет уменьшения параметра с и увеличения параметра р, то соответственно можно записать:
где 5(кх) - площадь, получаемая за счет применения коэффициента к{\ - то же Б - исходная площадь фигуры. Зная предпочтения в уменьшении площади, приходим к следующей задаче обратных вычислений:
|
где £ - желаемая площадь фигуры.
Поиск кх и убудем вести последовательно. Прежде всего выразим один коэффициент через другой:
|
Ъ2-а2 с -
Введем обозначения: ------- = 2,—ф-а)-2-к2р2 = Б и полу-
2 кх
чим
к2Л------------------------------------------- .
2 р*
Теперь определим, чему равны числитель и знаменатель второго уравнения рассматриваемой системы:
ь ь ь ъ \(с-х------------------ х)с1х с\ с1х- \dx-2\xdx
^юЛ ь I кЛ I
АБ(к2) \ ь( ь(
I (к2рх- рх)с{х рк2 I хс1х - р\ хс!х
а а а
с,. . 2 (Ь2-а2) _ кх 2
Ъ2-а2 Ь2-а2
Ркг~2---------------------- Р
Ь2 -а2
Если, как и ранее, считать, что------- = 2, получим
с(Ь-а)-—(Ь-а)~ 22 а кх
Р ркг2-р2
сф-а)
0.2 + а£ + ар2 + Р сф -а)- 2р2
Пример:с = 5;/7 = 1; а = 1; 6 = 2; а = 0,7; Р = 0,3; Z = 1,5.
2
Прямая задача: 5 = | (5-х= 2.
Задача обратных вычислений: необходимо уменьшить площадь до 5 = 1,5. Тогда получим
к. =------------------------ —------------------------ = 1,33; к? =0,51.
1 0,7-1,5 + 0,7-1,5 + 0,711,5+0,3-5-1-2-0,3-1,5 2
г 5 с
Проверка. I (------ х-0,5\х)с1х =— ф-а)-2-к2р2 = 1,49«1,5.
1 1,33 к^
5.3.2. Решение задач без указания приоритетности целей
Общий вид уравнения
ь
|(------------------------------ х-к2х)сЬс = 8.
а
При к[ -к2-к имеем
гс - с -
[(--х-крх) = 8\ -(Ъ-а)-2-кр2=8\
}а к к
+ + +408 2 Р2 ' '
Проверка. ^(Л-в)-г-^2=щ-1,5-1,08-1,5 = 1,51«1,5.
5.3.3.Площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вначале рассмотрим частный случай решения задачи обратных вычислений, где фигурирует лишь одно неизвестное. Метод обратных точечных вычислений здесь не нужен.
Прямая задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямиу = 4-х2ну = 0. Площадь фигуры, которую следует определить, изображена на рис. 5.4, где сплошная линия - указанная кривая.
2 X 2 32 |
|
І (4-х2)сіх = і 4сіх- і х2Лс=4х |
ркі Р |
с с |
с/с2 |
Рис. 5.5 |
= 10,07. |
-2 3-2 3 |
-2 -2 -2 |
У
|
-2 0 2 |
Рис. 5.4 |
2 2 2
Задача обратных вычислений. Площадь фигуры необходимо увеличит до 20 ед., т.е. 5 =5 + А5 = 20. Тогда
2 2 2 2 2 ^ £ + Д£= | (4 + Ау)йЬс-1 х2<&: = | 4<& +1 АуЛ-1 х2ёх = —+4&у. -2 -2 -2 -2 -2 3
Отсюда: Ду = 2,3.
-2 |
с р |
ух = сх\ у2 = /?х2; р> 1;х = |
И пусть целевая установка имеет вид: ух=с-(а)х\ у2 = р ф)х2. |
2 2 Проверка. | 6,3с1х- | х2<& = 19,9«20.
-2
Если в задаче неизвестных больше одного, то необходим аппарат обратных вычислений.
Пусть площадь фигуры задана следующими уравнениями (рис. 5.5):
Это значит, что необходимо увеличить площадь фигуры за счет изменения параметров функций следующим образом:
Если р > 1, то точку пресечения линий можно получить следу-
с т) ск ющим образом: — = — и х = —
к\ к2 Рк 1
Обозначим площадь исходной фигуры через К, а желаемую
ск2 |
сіх- |
площадь - через У+АУ = У. Тогда можно сделать следующий расчет:
ск2
ркх кх рк{ У + АУ = 7 =
(х + у)(Ыу = | Лс І (х+у)<іх= | (ху + ?-)
р£
ск2 Рк і |
2 2 |
2 „4 |
3 2 3 ,СХ С X |
рх |
сх С х рх р X |
2 к[ ск2 |
О К\ |
2 ^2 сък\ с1 - - + --- |
4,4 |
Р2х\ |
с к> |
2 кУ Ъкх 1к2-Ъ Лк2
с5 к5
с к2_= -
о 3кх рък\ 6кх 6кхр3к? 4к2 р4к}* \0к1 р5к?
Приходим к следующей системе уравнений:
с5/с2 =У
Ъкх ' /?3£3 + б*і ' рък\ 4к2 ' рАк* 10к\ ' рък\ ~ ! с
<--------- с
к| а
Решив уравнение пятой степени относительно к{ и подставив его во второе уравнение системы, получим искомые коэффициенты прироста. Здесь так же, как и в предыдущих разделах, для решения задач можно использовать типовые целевые установки.
5.4.Обратные вычисления на логарифмических, показательных и степенных функциях
5.4.1.Логарифмические функции
Рассмотрим логарифмическую функцию, у которой изменяется само логарифмическое выражение.
1. Целевая установка: Р+ Я)а+(Ц?+ С)р.
Задачу будем решать с помощью индивидуальных коэффициентов прироста каждого из аргументов:
1ёЯ+А1ёЯ = А,1ёЯ,
1ёС+А1ёС = Аг21ёС.
Задача принимает вид:
Р+ЬР=к1\%П+кг\%С,
к2\
С-\ёС р Решив данную систему относительно А:, и к2, получим:
,= Чп '
(Р+АР)-к{ \%П
к2 =
18 С
Пример (рис. 5.6). &П = /£100 = 2; &С = &1000 = 3; Р = 5; АР = 3; а = 0,6; |3 = 0,4;
кх =1,9; к2 =1,4; 1ёЯ + А1
Я = А, 1
Я = 1,9-2 = 3,8; \%С + Ь\%С = к2 ^С = 1,4-3 = 4,2.
Проверка. Р+АР = 3,8+4,2 = 8.
Целевые установки вида: Р* =1д+ С, Р* ПС,
Р~ = 11 +С и т.д. реализуются аналогично.
Проанализируем логарифмическую функцию, у которой изменяется подлогарифическое выражение.
|
Р = 3(4) |
ід 10 |
Ід 100 |
Рис. 5.7 |
Р = 5(8)
Ідл = 2 Рис. 5.6 |
Ід С = З |
2. Целевая установка: Р* = \%П+(а)+^ С+ (|5).
Если, как и в предьщущем варианте, использовать индивидуальные коэффициенты, то можно записать:
1
(Я+АЯ) = lg kx Я, lg(C + AC) = lgÂ:2C.
Тогда задача обратных вычислений принимает вид:
>+AP = lgA:^+lg^2C, 10ig k2c_c р-
Решая систему уравнений, получим:
= а(Р+АР), \%кгС = {Р+АР)-\%кхП. Система имеет решение при условии, что (3 > а.
Пример (рис. 5.7). Я = 10; С = 100; Р = 3; АР = 1; а = 0,4; Р = 0,6; lgкхП= 0,4 • 4 = 1,6; lgkf = 4 - 1,6 = 2,4; lg(Я + АП) = 1,6; lg(C + АС) = 2,4; 1016= П + ДЯ; ДЯ = 29,8; 102-4 = С + АС; ДС = = 141,19.
Проверка. Р+Д/> = 1д(10+29,8)+^(100+141,19)=3,9818«4. Здесь также можно использовать большинство целевых установок, рассмотренных ранее, а именно:
Р* Р+ + ^ С+; Р~ = \%П~ + \%С~ и т.д.
5.4.2.Показательная функция
3. Целевая установка: р+ =(Я)ЛГ+<а) +(СУ+(Р). Введем индивидуальные коэффициенты приростов:
Пх + П*х = Пк'х, су+с&у=СкгУ. Составим систему уравнений:
Р+АР=Пк,х+Ск*у, < Пк'х-пх _ а СкгУ —Су ~р'
Решая ее, получим:
Пк,х =(Р+АР)-СкіУ, СкіУ =аСу + $(Р+АР)~рЯ*.
Пример (рис. 5.8). Я = 33= 27;С = 24= 16; Р = 43; АР = 7; а = 0,6; Р = 0,4; Ск*у = 18,8; Я*'* = 31,2; Я* + = 31,2; Я*1 = 4,2;
Дх = ^^ = 1,29; С + = 18,8; САу =2,8; Ау=^-^ = 1,49. 1пЗ 1п2
Проверка. Р+АР = З3 + З1,29 + 24 + 21'49 = 49,93 «50.
5.4.3.Степенная функция
4. Целевая установка: Р+=(П+(а))" +(С)+(Р))Й.
Как обычно, введем индивидуальные коэффициенты:
(Я+АЯ)а=£,Яа; (С+АС)6 =к2Сь.
Определим коэффициенты прироста стандартным образом:
_ а(Р+АР)+рЯ° -аСь Па '
(Р + АР) - кх П" ~ & '
Пример (рис. 5.9). Я" = 52 = 25; С6 = З4 = 81; Р = 106; ДР= 14; а = 0,6; (3 = 0,4; =1,336; к2 =1,069; (Я+АЯ)2 =1,336-52 =33,4; (С+АС)4 =1,069-34 =86,589; Я+АЯ=ТЗЗ~4; ДЯ=5,575-5 = 0,779; С+АС=^/86,589; АС=3,05-3=0,05.
Проверка. Р+АР=(5+0,779)2 +(3+0,05)4 =120,004-120.
5. Целевая установка: Р+ =(Я+(а))" +(С)~(Р)У\
Как и ранее, введем индивидуальные коэффициенты:
(П+АГГ)" = кхПа, Сь
(С-АС)а~.
к2
Составив стандартную систему уравнений и решив ее, получим: -а(Р+АР)+рЯ" +аСь _
2 (Р+АР)-кхПа '
Пример. Па -1} - 8; Сь = З4 = 81; Р = 89; АР= 11; а = 0,6; Р = 0,4; кх = 5,125; к2 = 1,373; (Я + ДЯ)3 = 5,125 • 8 = 41;
81
(С-ДС)4=—— = 58,99; Р+АР=41+58,99=99,99«100; 1,373
Я + ДЯ = ^41 = 3,448; С-АС = ^58,99 =2,77; ДЯ = 3,448-2 =1,448; ДС=3-2,77 = 0,33.
Проверка: Р+АР=(2+1,448)3 + (3 - 0, ЗЗ)4 = 99,86 «100.