Глава 3

ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА

3.1.Дерево вероятностей

Существует большое число задач, где зависимости между пе­ременными носят вероятностный характер. Среди таких задач достаточно актуальными являются:

•      управление рисками - определение условий (мероприятий, состава объектов, параметров, характеристик и т.д.), гарантирую­щих снижение финансовых, инвестиционных, банковских, инфор­мационных и других рисков до желаемого уровня;

•      управление безопасностью - определение условий или ме­роприятий, выполнение которых обеспечит установленный уро­вень информационной, экономической, технической, экологиче­ской, военной, социальной и др. безопасности;

•      управление надежностью - определение условий, гаранти­рующих установленный уровень надежности системы (информа­ционной, экономической, технологической).

Решение перечисленных задач предполагает наличие у лица, принимающего решение, соответствующего аппарата, способно­го ответить на вопрос: «Что делать?». Например, лицу, форми­рующему решение, необходимо знать ответ на вопрос: «Каковы должны быть условия для того, чтобы уровень инвестиционного риска снизился с 0,6 до 0,2?». Чтобы система могла выдавать от­веты на такого рода вопросы, необходимо поставить и решить обратную по отношению к прямой задачу, которая может, на­пример, формироваться следующим образом: «От каких факто­ров зависит инвестиционный риск и как он определяется?».

Так же, как и в детерминированных задачах, одни вероятност­ные события зависят от других событий, которые, в свою оче­редь, могут носить как детерминированный, так и стохастиче­ских характер. Поэтому в общем случае следует рассматривать зависимости и того, и другого характера совместно. Проблема решения обратных задач на основе обратных вычислений, соче­тающих в себе детерминированные и вероятностные задачи, еще ждет своего решения. Пока мы остановимся лишь на методах ре­шения обратных вероятностных задач.

Вероятностные зависимости одних событий от других будем представлять с помощью графа, который, как правило, вырож­дается в дерево. Далее такое дерево будет называться деревом ве­роятностей. В узлах дерева будут находиться вероятности наступ­ления тех или иных событий, а дуги будут символизировать свя­зи между событиями. Все узлы будут делиться на две группы: расчетные и терминальные. Значения вероятностей событий, на­ходящихся в терминальных узлах, либо заданы, либо определя­ются правилами, находящимися вне обратных вычислений. Рас­четные узлы - это результат обратных вычислений. Корень дере­ва - это узел, где указывается значение вероятности, заданное лицом, формирующим решение (желаемый уровень риска, надеж­ности, безопасности и т.п.).

На рис 3.1 представлено дерево, иллюстрирующее в общем виде прямые и обратные вероятностные вычисления.

 

Направленность дуг указывает на различие используемой ис­ходной информации. Дуги, направленные вверх, указывают на прямые вероятностные вычисления. Для них в качестве исходной информации выступают вероятности терминальных узлов дере­ва. Если же дуги направлены вниз, то мы имеем дело с обратны­ми вычислениями, для которых часть исходной информации на­ходится в корне дерева.

Кроме того, линии на рис. 3.1, которые связывают события, являются либо пунктирными, либо сплошными дугами: пунктир­ная символизирует операцию сложения вероятностей, сплошная - операцию умножения.

На рис. 3.1,6 к вероятности наступления событий А или В (Р(А + В)) добавлен прирост АР(А + В), который совместно с до­полнительными данными служит исходной информацией для рас­чета приростов всех оставшихся узлов дерева. Буквами греческо­го алфавита (а, (3, у,...) обозначены коэффициенты приоритетно­сти наступления тех или иных событий, а с помощью знаков плюс или минус - направления приростов этих изменений. Например, Р(А) + АР(А) указывает на рост вероятности Р(А) на величину АР{А), а Р{В) - АР(В) отражает уменьшение вероятности Р(В) на величину АР(В).

Большинство модификаций метода обратных вычислений, рассмотренных в гл. 2, применимы и для решения вероятност­ных задач. Рассмотрим две модификации:

•      решение задач обратных вычислений без коэффициентов прироста аргументов;

•     то же без указания приоритетов целей.

Задачу обратных вероятностных вычислений в общем виде можно сформулировать следующим образом:

известны: вероятность наступления событий А, В, С, ...; формулы, по которым вычисляются вероятности наступления событий А, В, С,...;

желаемый прирост вероятности наступления события, отра­жаемого в корне дерева вероятностей;

желаемые направления приростов изменении вероятностей в узлах дерева;

приоритетность в изменении наступления событий; определить: новые значения вероятностей наступления собы­тий, отражаемых терминальными узлами дерева;

соотношение условий, обеспечивающих новые значения ве­роятностей в терминальных вершинах.

Далее рассмотрим формальные постановки обратных вероят­ностных задач и их решения с помощью обратных вычислений для следующих классов вероятностей:

•      Безусловная вероятность наступления одного из несовмест­ных событий.

•     Безусловная вероятность наступления одного из совместных событий.

•     Условная вероятность совместного наступления событий.

•      Условная вероятность совместного наступления независи­мых событий.

•     Вероятность наступления события совместно с одним из ряда несовместных событий (полная вероятность).

•       Вероятность, характеризуемая функцией или плотностью распределения.

•      Вероятность появления события в некоторой серии испыта­ний (формула Бернулли).

Рассмотрим постановки задач в двух вариантах, а также при­меры их решения. В стремлении к простоте изложения в приме­рах участвуют лишь два события (А и В).

3.2.Поиск безусловной вероятности наступления одного из несовместных событий

3.2.1. Решение задачи без коэффициентов прироста

Как известно, вероятность наступления в некотором испыта­нии какого-либо одного из событий А, В, С,... равна сумме веро­ятностей событий, если любые два из них несовместны. Расчет ведется по формуле

Р(А + В + С+ ...) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +....

Дальнейшее чтение материала предполагает предварительное ознакомление с разд. 2.3.

В общем виде задача обратных вычислений, если рассматри­ваются два события, решается с помощью следующей системы уравнений:

Р(А + В) ± АР(А + В) = Р(А) ± АР(А) + Р(В) ± АР(В),

<               АР (А) _ а АР(В) ~ р'

где Р(А + В)    -вероятность наступления одного из независимых

событий А или В\

± АР(А + В) - желаемый прирост вероятности наступления одного из независимых событий А или В\

Р(А), Р{В)       - вероятности наступления событий А и В соответ­

ственно;

± АР(А), ± АР(В) - приросты вероятностей наступления независимых событий А и В соответственно;

а, Р                    - коэффициенты приоритетности в наступлении собы­

тий А и В соответственно.

1. Целевая установка: Р(А + В)⁺ = Р(А(а))⁺ + /»(Яф)^.

Задача обратных вероятностных вычислений принимает вид:

Р(А + В) + АР(А + В) = Р(А) + АР(А) + Р(В) + АР(В)₉

<               АР (А) _ а АР(Я)~р'

Как и ранее, а + (3 = 1.

Полученные в результате решения новые вероятности наступ­ления событий А и В позволяют определить новые условия, от которых они зависят. Если через Х_х обозначить новые условия для свершения события А, а через Х₂ - для события В, то мы при­ходим к двум уравнениям:

Р(А) + АР(А) = ^Ь п

Р(В) + АР(В)= где п - общие условия наступления событий А и В.

 

Ответ будет следующим:

Х₁=п(Р(А)±АР(А));

Х₂=п(Р(В)±ЛР(В)).

Пример (рис. 3.2). Рассматривается урна, в которой нахо­дятся три красных шара, четыре белых и четыре черных. Вероят­ность того, что при одном извлечений будет вынут либо крас­ный, либо белый шар без труда можно определить по формуле безусловной вероятности. Обозначив через А событие извлече­ния красного шара, а через В - белого, получим:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = — + — = — = 0,63.

11 И 11

На рис. 3.2, а графически представлено прямое вычисление вероятностей наступления двух независимых событий А или В, а на рис. 3.2, б- обратные вероятностные вычисления с одинако­вой направленностью в изменении аргументов.

Пунктирная дуга, соединяющая дуги графа, указывает на то, что речь идет о появлении либо события А, либо события В.

 

Допустим, необходимо увеличить вероятность наступления событий А или В до 0,8. На рис. 3.2, 6 показаны в окружностях знаки плюс, означающие, что как вероятность (Р(А)+АР(А)) на­ступления события А, так и вероятность (Р(В)+АР(В)) наступле­ния события В должны увеличиваться. Достижение цели, заклю­чающейся в повышении вероятности наступления независимых событий А и В, должно в большей части происходить за счет по­вышения вероятности наступления события А. Это отражает коэффициент приоритетности а = 0,7. В меньшей мере нагрузка ложится на второе событие В. Коэффициент приоритетности его наступления равен 0,3.

Для решения сформулированной задачи обратных вычисле­ний запишем следующую систему уравнений:

Р(А + В) + АР(А + В) = Р(А) + АР(А) + Р(В) + АР(В), < АР(А) __ а АР(В) ~ р

Так как желаемое значение вероятности наступления собы­тий А или В известно из условия задачи (Р(А + В) + АР(А + В) = = 0,8), а существующая вероятность равна 0,63, то, подставив эти значения в приведенную систему уравнений, получим:

0,17 = АР(А) + АР(В), < АР(А) _ 0,7 АР(В) ^_ 0,3

Решая эту систему, имеем:

АР(А) = 0,11, АР(В) = 0,05.

Таким образом, новые значения вероятностей наступления событий Л или В равны:

Р(А) + АР(А) = 0,27 + 0,11 = 0,38;

Р(В) + АР(В) = 0,36 + 0,05 = 0,41.

Для того чтобы обеспечить новые условия для наступления событий А или В, решим следующие уравнения:

Р(А) + АР(А) = ^~;

п

Р(В) + АР(В) = ^., п

где Х_у Х₂ - число красных и белых шаров, обеспечивающих новую вероят­ность наступление событий А или В, являющихся независимыми.

Число это следующее: Х_х« 4; Х₂« 5.

Так как общее число шаров должно быть равно И, умень­шим число черных на 2. Тогда новое соотношение красных, бе­лых и черных шаров будет следующим: 4, 5, 2.

Проверка. Р(А + В) + + 5) = ■— + ■— =-^- = 0,8.

На рис. 3.2, б результаты расчетов представлены новым чис­лом шаров: число красных увеличилось до 4, белых - до 5, а чер­ных - сократилось до 2.

2. Целевая установка: Р(А + В)+ = Р(А(а))⁺ +

Такая целевая установка ориентирует на то, что достичь же­лаемого результата следует не за счет одновременного увеличе­ния вероятностей наступления событий А и В, а за счет увеличе­ния одной вероятности и уменьшения другой.

Как и ранее, вначале запишем систему уравнений в общем виде, обращая внимание на то, что в соответствии с постановкой задачи прирост вероятности наступления события В имеет отри­цательный знак:

Р{А + В) + АР(А + В) = Р(А) + АР(А) + Р(Д) - ЛР(Д), < АР(А) ₌ а АР(В)~~ р'

Пример (рис. 3.3). Обратимся к предыдущей целевой уста­новке. Пусть, как и ранее, необходимо увеличить вероятность на­ступления событий А или В до 0,8 с коэффициентами приоритет­ности для события А, равного 0,7, и для события В, равного 0,3. Однако добиться увеличения общей вероятности необходимо за счет увеличения вероятности наступления события А и уменьше­ния события В. На рис. 3.3, б представлена задача обратных ве­роятностных вычислений с различной направленностью в изме­нении аргументов.

Так как старое и новое (желаемое) значения вероятности на­ступления событий А или В известны, система уравнений приоб­ретает вид:

0,17 = ДР(Л)-ДР(Я)), - АР(А) 0,7 ДР(Я)~0,3'

Решив ее, получим:

ЛР(Л) = 0,3;

АР(В) = 0,13.

Новые значения вероятностей наступления событий А или В следующие:

Р(А) + АР(А) = 0,27 + 0,3 = 0,57;

Р(В) - АР(В) = 0,36 - 0,13 = 0,23.

Для того чтобы узнать, какое соотношение шаров может обес­печить такие вероятности, составим уравнения:

Р(А) + АР(А) = ^-;

п

п

где, как и ранее, Х_уХ_г - новое число красных и белых шаров.

Соответственно

Х₁ ~ 6; Х₂ ~ 3.

В связи с тем что общее число шаров не изменилось, число черных шаров сокращается до двух. Проверка указывает на пра­вильность вычислений:

Р(А + В) + АР(А +В) = — + — = — = 0,8.

11 11 11

На рис. 3.3, б результат вычислений представлен в виде изме­ненного числа шаров красного и белого цветов.

3. Целевая установка: Р(А + В)~ = Р(А(а))⁺ + Р(Я(Р))~.

Такая целевая установка ориентирует на определение соот­ношения шаров, обеспечивающего снижение вероятностей на­ступления событий А или В, причем вероятность события А долж­на увеличиться, а вторая, т.е. вероятность наступления события В, должна снизиться. Остальные данные те же, что и в предыду­щей задаче.

На рис. 3.4, б представлена графическая интерпретация об­ратных вероятностных вычислений, предназначенных для умень­шения вероятностей наступления событий А или В.

Запишем нужную систему уравнений, имея в виду задачу уменьшения вероятностей появления событий А или В:

Р(А + В)- АР(А + В) = Р(А) + АР(А) + Р(В) - АР(В\ « АР(А) ₌ а

Пример. Допустим, новое желаемое значение суммы веро­ятностей равно 0,5, существующее же равно 0,64; если коэффици­енты ос и Р равны 0,3 и 0,7 соответственно, то система примет вид:

0,17 = АР(В) - АР(А)₉ < АР(А) 0,7 ДР(Я)~~0,3'

Решив ее, получим:

ДР(Л) = 0,18;

АР(В) = 0,42.

Новые значения вероятностей наступления событий А или В равны:

Р(А) + АР(А) = 0,27 + 0,11 = 0,3 8;

Р(В) - АР(В) = 0,36- 0,26 = 0,1.

Новые вероятности обеспечиваются следующим соотношени­ем шаров:

Р(А) + АР(А) =А;

п

п

где, как и ранее, Х_{, Х₂ - новое число красных и белых шаров соответственно.

Число красных шаров должно быть равно Х_х « 4, а белых - » 1 (рис. 3.4, б).

Так как общее число шаров равно 11, черных шаров будет 6.

Проверка. Р(А + В)-АР(А + В) = ^ + ^ = -^ = 0,45, что на 0,05

меньше желаемого значения. Такая погрешность вполне прием­лема.

Здесь следует отметить, что на исходные данные существуют ограничения. В данной задаче для того, чтобы не получить отри­цательные вероятности, накладывается ограничение вида а < р. Кроме того, желаемый прирост для АР(В) должен быть таким, чтобы разность Р(В) - АР(В) не получилась отрицательной.

3.2.2.Решение задач без указания приоритетности целей

В данном разделе используются сведения из разд. 2.4.

4. Целевая установка: Р(А + В)⁺ = Р(А)⁺ + Р(В)+.

Задача обратных вероятностных вычислений принимает сле­дующий вид:

'Р(А + В) ± АР (А + В) = Р(А) ± АР(А) + Р(В) ± АР(В\ « АР(А) = кР(А), АР(В) = кР(В\

где к - коэффициент, позволяющий определить искомые приросты вероят­ностей.

Остальные обозначения прежние.

Пример. Воспользуемся целевой установкой 1. Отличие со­стоит в том, что информация о приоритетах направлений дости­жения цели отсутствует. Это значит, что коэффициенты а и Р либо неизвестны, либо несущественны.

Допустим, у лица, формирующего решение, в качестве цели фигурирует стремление к увеличению вероятности наступления события А или В до 0,8. Графическая интерпретация задачи та же, что и на рис. 3.2, за исключением того, что коэффициенты а и Р отсутствуют.

Так как желаемое значение Р(А + В) + АР(А + В) известно и равно 0,8 и известны также значения: Р(А) + Р(В) = 0,63; Р(А) = = 0,27 и Р(В) = 0,36, система приобретает следующий вид:

0,17 = АР(А) + АР(В), < АР(А) = /с-0,27,

АР(В) = к 0,36.

Решив ее относительно к, получим к = 0,27.

Новые значения вероятностей событий А и В равны:

Р(А) + АР(А) = 0,27 + 0,27 • 0,27 = 0,34;

Р(В) + АР(В) = 0,36 + 0,27 • 0,36 = 0,46;

Новое соотношение шаров следующее:

Р(А)+АР(А) = ,

Р(В) + АР(В) = ЛГ,«4; X, «5.

Таким образом, мы получили тот же ответ, что и в целевой установке 1. Произошло это из-за довольно сильного огрубле­ния результатов расчета, так как число шаров должно быть це­лым. При других постановках результаты, как правило, отлича­ются.

5. Целевая установка: Р(А + В)⁺ =Р(А)⁺ +Р(В)~.

При такой целевой установке обратная задача обратных вы­числений запишется следующим образом:

Р{А + В) + АР(А + В) = Р(А) + АР(А) + Р(Я) - АР(В), < АР(А) = к-Р(А), АР(В) = кР(В).

Пример. Теперь рассмотрим, каковы будут результаты, если одна из вероятностей, например наступления события А, должна увеличиться, а другая - уменьшиться. При этом сумма этих вероят­ностей, т.е. вероятность наступления события А или В, должна увеличиться и достичь величины 0,7. Вероятность наступления события А равна 0,36, а события В - 0,27.

Подставив эти данные в систему уравнений, получим:

0,07 = АР(А) - АР(В), < АР(Л) = £ 0,36, АР(#) = £0,27.

Решив систему относительно к, получим к = 0,78. Приросты равны:

Р(/4) + АР(Л) = 0,36+ 0,36-0,78 = 0,64, - АР(Я) = 0,27 - 0,27 • 0,78 = 0,06.

Теперь определим новое соотношение шаров:

Р(А)+АР(А) = ^-₉ Р(В)-АР(В) = ^->

Таким образом, красных шаров 7, белых - 1, а черных - 3 (раз­ность 11-8).

Проверка. + + + = ~ + ~ = ^ =

Здесь, как и ранее, необходим предварительный анализ ис­ходных данных, так как существует возможность получения бес­смысленных результатов. Прежде всего это касается вероятно­сти наступления события А, которая должна быть больше веро-

95

ятности наступления события В. Это требование вытекает из оп­ределения вероятности, которая не может быть меньше нуля.

Кроме того, желаемое значение АР(А) не может превышать определенного уровня, что также может привести к отрицатель­ным значениям вероятностей.

3.3. Поиск безусловной вероятности наступления одного из совместных событий

3.3.1.Решение задачи без коэффициентов прироста

Известно, что вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей событий без ве­роятности их совместного появления, т.е.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) • Р(В).

С практической точки зрения приведенная формула для вы­числения безусловной вероятности наступления совместных со­бытий для событий, число которых больше двух, неудобна. По­этому можно воспользоваться иной формулой:

Р(А + В) = \-Р(А)Р(В\ где А, В - события, противоположные событиям А и В.

Тогда формула для обратных вычислений примет вид: Р{А + В)± АР{А + В) = \-(Р(А)± АР( А ЖР(В) ± А Р(В).

Здесь следует обратить внимание на то, что приросты веро­ятностей противоположных событий поменяли знаки:

+АР(Л),+АР(Д).

Пример. Прямые расчеты приведем из [8], а затем выпол­ним обратные вычисления: производится два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого выстрела равна 0,6, для второго - 0,7. Найти вероятность того, что в мише­ни будет хотя бы одна пробоина.

Пусть А - событие, при котором будет попадание при первом выстреле, В - попадание при втором, т.е. Р{А) = 0,6; Р(В) = 0,7.

События А и В независимые, но совместные. Тогда вероят­ность попадания при первом или втором выстреле равна:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В) = 0,6+0,7 - 0,6 • 0,7 = 0,88,

или

Р(+В) = 1 - Р(А)Р(В) = 1 - 0,4 • 0,3 = 0,88.

В общем виде задача поиска безусловной вероятности наступ­ления одного из совместных событий записывается в виде:

Р(А + В)±АР(А + В) = = Р(А)±АР(А) + Р(В)± < ±АР(В)-(Р(А)±АР(А))(Р(В)±&Р(В)\ АР(А) _ а Л/>(Я)~р'

6. Целевая установка:

Р(А + В)⁺ = Р(А(а))⁺ + Р(В{0)Т - Р(А(а))⁺ Р(В(/?))⁺.

Такая целевая установка в виде задачи обратных вычислений отразится следующей системой уравнений:

Р(А + В) + АР(А + В) = = Р(А) + АР{А) + Р(В) + < +&Р(В)-(Р(А) + АР(А))(Р(В) + АР(В)), АР(А) _ а АР(В)~ р'

Обозначения прежние.

Пример (рис. 3.5). Продолжим рассмотрение предыдущего примера, но уже будем решать противоположную задачу. Допус­тим, что требуется узнать, какие должны быть вероятности Р(А) и Р(В), позволяющие увеличить вероятность Р(А + В) с 0,88 до 0,92. При этом часть прироста вероятности Р(А + В) должна про­исходить за счет увеличения вероятности Р(А) пропорционально коэффициенту а = 0,7, а увеличения вероятности Р(В) - пропор­ционально коэффициенту Р = 0,3.

Графическая интерпретация решения задачи поиска безуслов­ной вероятности наступления совместных, но независимых собы­тий представлена на рис. 3.5,6.

 

Р(В) = 0,7

 

Рис. 3.5

Подставив исходные данные в систему уравнений общего вида, получим:

0,04 = 0, ЗАР(А) - 0,4АР(В) - АР(А)АР(В), < АР(А) _ а АР(В) ~ р

Решив его относительно АР(А) и АР(В), получим:

0,4р+0, За - л/(0,4р+0, За)² - 4ар • 0,04 —

АР(В) =

АР(А) = ^АР(В), ДЛ(Л) = 0,1;АР(5) = 0,043.

Проверка. АР(А) = 0,1; АР(В) = 0,043; Р(А) + АР(А) = 0,7; Р(В) + + АР(В) = 0,743; Р(А + В) + АР(А + В) = 0,7 + 0,743 - 0,7 • 0,743 = = 0,924 = 0,92.

Пример. Вначале рассмотрим прямую задачу. Токарь об­служивает два станка, работающих независимо один от другого. Вероятность того, что первый станок в течение часа не потребует

внимания токаря, равна 0,6, а второго станка - 0,5. Какова вероят­ность того, что в течение часа хотя бы один станок не потребует внимания токаря?

Обозначим через А событие, выражающее искомую вероят­ность, а через А_х и А₂ события, заключающиеся в том, что оба станка в течение часа не потребуют внимания токаря. Все события независимы, но совместны. Их вероятности равны Р(А) = 0,6 и Р(В) = 0,5. С учетом принятых обозначений имеем:

А = А_х+А₂, Р(А) = Р(А₁₊А₂).

Для прямых вычислений воспользуемся противоположными событиями, которые формулируются следующим образом: ни одни станок не проработает без вмешательства токаря. Тогда

А = А_х • А₂, Р(А_{) = 1 - Р(А_{) = 1 - 0,6 = 0,4, Р(А₂) = 1 - Р(А₂) = 1 - 0,5 = 0,5.

Из независимости событий А₁ и А₂ следует независимость про­тивоположных им событий А_х и А₂. Согласно правилу умноже­ния вероятностей независимых событий имеем:

Р(А) = Р(А_Х ) = 0,4 0,5 = 0,2.

Отсюда вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок не потребует внимания токаря, равна:

Р(А) = 1-Р(А) = 1-0,2 = 0,8.

Теперь рассмотрим противоположную задачу. Допустим, не­обходимо узнать условия, при которых вероятность того, что хотя бы один станок не потребует внимания токаря, повысится до 0,92. При этом приоритетность наступления событий остается преж­ней: для А она равна 0,7, а для В - 0,3. Согласно рассматривае­мой целевой установке запишем систему уравнений, предвари­тельно подставив и преобразовав исходные данные:

0,12 = 0,5 АР(А) + 0,4 АР(В) - АР(А)- АР(В), < &Р(А) __ 0>7 АР(В) ~ 0,3

Отсюда искомые приросты: АР(В) = 0,088; АР(А) = 0,21; Р(В) + + АР(В) = 0,588; Р(А) + АР(А) = 0,8; Р(А + В) + АР(А + В) = 0,588 + + 0,8 - 0,588 • 0,8 = 0,918 ~ 0,92.

В результате получен следующий ответ: для того чтобы ве­роятность того, что хотя бы один станок не потребует внимания токаря, повысилась до 0,92, необходимо повысить вероятность Р(А) до 0,81, а Р(В)-до 0,588.

Здесь, в отличие от предыдущих примеров, в условии задачи не указаны мероприятия или характеристики объектов, от кото­рых зависят исходные вероятности. Поэтому обратные вычисления на этом заканчиваются, и перечень необходимых мероприятий, позволяющих повысить исходные вероятности, не приводится.

3.3.2.Решение задач без указания приоритетности целей

Напомним, что задача обратных вычислений, решаемая для по­иска безусловной вероятности наступления одного из двух совмест­ных событий, в общем виде записывается следующим образом:

'Р(А + В)± АР(А + 2?) = Р(А) ± АР(А) + Р(В) ± ± АР{В) - (Р(А) ± АР(А))(Р(В) ± АР{В)\ &Р{А) = к-Р{А\ АР{В) = кР{В).

Обозначения прежние.

7. Целевая установка:

Р(А + В)⁺ = Р(А)⁺ + P(Bf - Р(А)⁺ Р(В)⁺.

Будем считать, что повышение вероятности попаданий дол­жно достигаться за счет снижения вероятности первого попада­ния, но повышения второго. Тогда система неравенств запишет­ся следующим образом:

Р(А + В) + АР(А + В) = Р(А) + АР(А) + Р(В) + +АР(В)-(Р(А)-АР(А))(Р(В) + АР(В)Х ⁴ АР(А) = к Р(А), АР(В) = кР(В).

Пример. Воспользуемся исходными данными из предыду­щего примера. Подставив их, получим следующее уравнение:

0,3£²-0,5£ + 0,12 = 0,

откуда к = 0,29; АР(А) = 0,29 • 0,6 = 0,174; АР(В) = 0,29 • 0,5 = = 0,145; Р(А) + АР(А) = 0,774; Р(В) + АР(В) = 0,645.

Проверка. Р(А + В) + АР{А + В) = 0,92.

8. Целевая установка:

Р(А 4- ВУ = Р(А)~ + Р( В)⁺ - Р(Ау Р(В)+.

Система уравнений для решения обратной задачи примет вид:

Р{А + В)-4- АР(А + В) = Р(А) - АР(А) + Р(В) + +АР(В) - (Р(А) - АР(А))(Р(В) 4- АР(В)),

<                      АР(А) = к-Р(А), АР(В) = кР(В).

Пример. Воспользуемся исходными данными предыдуще­го примера, однако будем считать, что повышение вероятности попаданий должно достигаться за счет снижения вероятности пер­вого попадания и повышения второго. Подставив известные ве­личины в систему уравнений, получим:

0,12 = -0,5 АР(А) + 0,4 АР(В) + АР(А) • АР(В),

<                      АР(А) = к-0,6, АР(В) = к0,5.

Решив квадратное уравнение

0, Ък²-0,1А:-0,12 = 0,

получим к = 0,82; АР{А) = 0,6 • 0,82 = 0,49; АР(В) = 0,5 • 0,82 = = 0,41; Р(А) - АР(А) = 0,6 - 0,49 = 0,11; Р(В) + АР(В) = 0,5 + 0,41 = = 0,91.

Проверка. Р(А +В) + АР(А + В) = 0,11 + 0,91 - 0,11 • 0,91 = 0,92.

101

3.4.Поиск условной вероятности совместного наступления событий

Известно, что вероятность совместного наступления двух со­бытий А и В равна вероятности наступления события А, умно­женной на условную вероятность события В, вычисленную в пред­положении, что событие А уже произошло, т.е.

Р(А-В) = Р(А)-Р(В\А), где Р(А) - вероятность наступления события А;

Р{В\А) - условная вероятность наступления события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

3.4.1.Решение задачи без коэффициентов прироста

9. Целевая установка:

Р(А • Bf = Р(А)(а))^± • Р((В | А KP))¹.

На основании формулы совместного наступления двух собы­тий запишем задачу обратных вычислений следующим образом:

Р(А - В) ± АР(А • В) = (Р(А) ± АР(А))(Р(В | А) ± АР(В \ А)), АР(А) а

АР(В) р

где Р(А - В) - вероятность совместного наступления событий А и В;

Р(А), Р(В) - вероятности наступления независимых событий А и В;

АР(А • В) - желаемый прирост (положительный или отрицатель­ный) вероятности совместного наступления событий А и В;

АР(В | А) - прирост вероятности свершения события В при усло­вии, что событие А свершилось;

АР(А), АР(В) - приросты вероятностей наступления независимых собы­тий А и В соответственно;

а, Р              - коэффициенты приоритетности в наступлении событий

А к В соответственно.

 

Пример. Для иллюстрации процесса решения обратной за­дачи рассмотрим вначале следующую прямую задачу. В урне 12 шаров, из них 4 белых и 8 красных. Два белых шара и четыре красных помечены голубой полоской. Какова вероятность извле­чения красного шара с полоской.

Обозначив буквой А событие извлечения красного шара, а буквой В - то, что красный шар имеет голубую полоску, можно найти искомую вероятность

Р(АВ) = Р(А)Р(В\А) = ~^ = ± = 0,33.

Допустим, необходимо увеличить вероятность извлечения красного шара с полоской до 0,5. Причем большей частью - за счет повышения вероятности извлечения красного шара (а = 0,6) и меньшей частью - за счет того, что этот шар будет с голубой полоской (Р = 0,4). Обе вероятности должны увеличиваться. Гра­фическая интерпретация противоположной задачи обратных вычислений условной вероятности представлена на рис. 3.6.

Сплошная дуга, связывающая линии графа, указывает на то, что речь идет о появлении обоих событий (А и В).

 

Для решения задачи обратных вычислений вначале запишем систему уравнений в общем виде:

Р(А • В) + АР(А • В) = (Р(А) + АР(А))(Р(В | А) + АР(В | А)), < АР(А) _ а

Подставив известные величины, получим:

0,5 = (0,66 + АР(А))(0,5 + АР(В | А)), - АР(А) 0,6 АР{В\А) ~ 0,4

Решив данную систему получим:

АР(А) = 0,16; АР(В \А) = 0,12,

+ ЛР(Л) = 0,66 + 0,16 = 0,82, Р(^М) + ЛР(^М) = 0,5 + 0,12 = 0,62.

Проверка. • 5) + • 5) = 0,82 ■ 0,62 = 0,51 « 0,5. Теперь найдем соотношение шаров, которое должно обеспе­чить желаемый прирост вероятности:

красных: Р(А) + АР(А) = ^-, Х_х «10;

красных с полоской: Р{В | А) + АР(В | А) = , Х₂ « 2.

На рис. 3.6, б показано новое соотношение шаров после вы­полнения обратных вычислений. Число белых шаров сократилось до 2, для того чтобы общее количество шаров было неизменным, а именно 12.

3.4.2. Решение задач без указания приоритетности целей

10. Целевая установка: Р(А • ВУ = Р(А)* • Р(В \А)*.

Как и прежде, составим систему уравнений вида:

Р{А - В) ± АР(А • В) = (Р(А) ± АР(А))(Р(В | А) ± АР(В | А)), « АР(А) = кР(А), АР(В\А) = кР(В\А).

Решая эту систему, необходимо вначале выяснить, имеет ли она решение, так как зависимые события более чувствительны к исходным данным по сравнению с независимыми.

3.5. Поиск условной вероятности совместного наступления независимых событий

Известно, что вероятность совместного появления независи­мых, но совместных событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВС...) = Р(А)Р(В)Р(С)-....

3.5.1. Решение задач без коэффициентов прироста

11. Целевая установка:

Р(АВ)^±=Р(А(а))^±Р(В(Р))^±.

На основании формулы появления двух независимых, но со­вместных событий задачу сформулируем следующим образом:

• В) ± АР(А • В) = (Р(А) ± АР(А))(Р(В) ± АР{В)\ < АР(А) _ а АР(В)~Р'

Обозначения прежние.

3.5.2. Решение задач без указания приоритетов целей

12. Целевая установка: Р(А • В)* = Р(А)* • Р(В)*.

Задача, в которой приросты будут определяться с помощью единого коэффициента, принимает вид:

Р{А • В) ± АР(А • = (Р(А) ± АР(А)ХР(В) ± АР(В)), « АР(А) = к-Р(А)₉ АР(В) = кР(В).

Обозначения прежние.

3.6. Поиск вероятности наступления события совместно с одним из ряда несовместных событий (полная вероятность)

Обратные вычисления оказываются чрезвычайно полезными при принятии решений, касающихся наступления некоторого со­бытия совместно с другими событиями, обычно называемыми гипотезами. Речь идет о формуле полной вероятности

Р{А) = ^Р(Н₁)Р{А\Н₁)₉

ы

где Р(А) - вероятность наступления события А; Р(Н) - вероятность осуществления гипотезы #.; Р(А | Н_х) - условная вероятность наступления события А при осуществ­лении гипотезы #..

I

3.6.1. Решение задач без коэффициентов прироста

13. Целевая установка:

Р(А)± = /»(Я, (о))¹ • Р(А | Н₁)+Р(Н₂ (Р))¹ • Р(А | Н_г).

При наличии двух гипотез задача обратных вычислений мо­жет быть сформулирована в следующем виде:

'Р(А) ± АР(А) = (Р{Н_Х) ± АР(Н_Х) ± АД Я, ))Р(А\Н_Х) + (Р(Н₂ ± А Р(Н₂ ))Р(А | Н₂), < АР(Н_х) ₌ а(Н_х) АР(Н₂) р (Я₂)'

где а(Я_{), Р(Я₂) - коэффициенты приоритетов осуществления гипотез Я_{ и Я₂ (сумма их равняется единице).

Вполне реальны задачи управления не только безусловны­ми, но и условными вероятностями; для решения таких задач необходима информация о приоритете наступления события при осуществлении той или иной гипотезы. Тогда в систему уравне­ний необходимо добавить информацию о пропорциях в изме­нении приростов условных вероятностей. Такая задача примет вид:

'Р(А) ± АР(А) = (Р(Н ₁) ± АР(Н ₁ ))(Р(А | Я,) ± ±АР(А\ Я, ))(Р(Н ₂)) ± А Р(Н₂ ))(Р(А \Н₂)±АР(А\Н₂)\

) _ а(Я ₁) АР{Н₂) р(Я₂)' АР(А 1 Н_{) _ у (Я,) АР(^|Я₂₎) 5(Я₂)'

где АР(А | Н_х), АР(А | Я₂) - приросты условных вероятностей наступления

события А при осуществлении гипотез Я₁ и Я₂ соответственно;

у(Я|), 8(Я₂)            - коэффициенты приоритетности наступления

события Л при осуществлении гипотез Я_] и Я₂ соответственно.

Остальные обозначения прежние.

В общем случае в рассматриваемой задаче может фигуриро­вать не две гипотезы, а больше. Тогда задача должна быть запи­сана с учетом нормирования коэффициентов приоритетности, что является условием применения процедуры свертки/развертки.

Пример (рис. 3.7). В начале рассмотрим прямую задачу.

+ ® ем

Р(Н^)+АР(Н^) Р(Н2)-АР(Н2) б

 

Рис. 3.7

В цехе два типа станков производят одни и те же детали. Про­изводительность станков одинакова, но качество выпускаемой продукции различное: первый тип станков дает 0,90, а второй - 0,75 продукции отличного качества. Вся продукция содержится на складе. Число станков первого типа 7 шт., а второго - 3 шт. Определить вероятность того, что взятая наугад продукция ока­жется отличного качества.

Пусть А - событие, состоящее в том, что взятая наугад про­дукция отличного качества. Имеются также две гипотезы:

Н_{ - взятая продукция произведена станками первого типа;

Н₂ - то же станками второго типа.

Тогда

Условные вероятности события А при этих гипотезах следующие:

Р(^|Я₁) = 0,90; Р(Л|#₂) = 0,75.

Тогда по формуле полной вероятности

Р(А) = 0,7-0,9 + 0,3-0,75 = 0,825.

Теперь допустим, что существует необходимость повышения Р(А) до 0,91. Каковы при этом должны быть соотношения стан­ков, если приоритетность в изменении станков следующая: чис­ло станков первого типа должно увеличиваться пропорциональ­но коэффициенту а = 0,6, а второго - уменьшаться пропорцио­нально коэффициенту (3 = 0,4.

Графическая интерпретация обратных вычислений в случае при­менения формулы полной вероятности представлена на рис. 3.7, б.

Для решения задачи составим систему уравнений:

Р(А) + АР(А) = (Р(Н_Х) + ДР(Я, ))Р(А | Я,) + (Р(Я₂) - АР(Я₂ | Я₂)), « АДЯ₁2₌а(Я₁) АР(Н ₂) р(Я₂)'

Решая эту систему, следует тщательно проанализировать об­ласть значений исходных данных, при которых задача имеет смысл.

3.6.2. Решение задач без коэффициентов прироста

14. Целевая установка:

Р(А)* = />(#,•Р(А\Н_г)+Р(Н₂• Р(А|Н₂).

В соответствии с общей постановкой задач данного класса запишем следующую систему уравнений:

Р(А)± АР(А) = ОР(Я,) ± АР(Я₁ ))Р(Л | Я, )(Р(Я₂) ± АР(Я₂ | Я₂)), < АР(Я₁) = /г Р(Я₁),

АР(Н₂) = кР(Н₂).

Обозначения прежние.

3.7. Поиск вероятности, характеризуемой функцией или плотностью распределения

До сих пор изучались случайные события, качественно харак­теризующие результаты опыта. Теперь можно рассмотреть ре­зультат опыта, характеризуемый количественно. Как известно, случайную величину можно представить с помощью функции распределения. Если известна функция распределения, то задача обратных вычислений может быть решена с помощью следую­щей системы уравнений:

Р{{х_х ±Ах^)<Х<(х₂±Ах₂)) = Р(х₂ ±Ах₂)-Р(х_х ±Ах,), < Ах, _ а

где Т⁷           - функция распределения случайной величины х;

Р(А < X < В) - вероятность того, что случайная величина л; примет зна­чение на отрезке (А, В);

±Лх₁, ±Ах₂ - приросты (положительные или отрицательные) границ отрезка (А, В), которые обеспечивают требуемый при­рост вероятности попадания случайной величины л; в отрезок;

ос, Р             - приоритетность направлений при расширении границ

попадания случайной величины.

Пример. Допустим, известна функция распределения, имею­щая вид:

^(х) = -(х-1)²,1<х<3.

4

Вначале решим задачу следующего содержания: определить вероятность того, что случайная величина х в результате опыта примет значение на отрезке (1; 2). Исходя из свойств функции распределения, имеем:

Р(1<х<2) = ^(2)-Я1) = 0,25.

Теперь сформулируем задачу обратных вычислений: на сколь­ко следует расширить границы попадания, чтобы вероятность выросла до 0,3. При этом приоритеты расширения границ следу­ющие: для нижней границы - 0,4, для верхней - 0,6. Теперь систе­ма уравнений примет вид:

0,3 = 1((х₂+Лх₂)-1)²--((х₁+Ах₁)-1)², 4      4

" &х₂ 0,6 Дх, 0,4'

Решив систему уравнений, получим:

Ах₁ = 0,0425; Дх₂= 0,1.

Отсюда границы участка [1; 2] изменятся и будут следующи­ми: [1,0425; 2,1].

Проверка. - (2,1 -1)² -- (1,0425 -1)² « 0,3.

4                                   4

Здесь так же, как и ранее, следует внимательно проанализировать исходные данные, от которых зависит результат решения. Аналогич­но решаются задачи, в которых задана плотность распределения.

3.8. Поиск вероятности появления события в серии испытаний (формула Бернулли)

В управлении рисками достаточно часто применяется форму­ла Бернулли для определения вероятности Р(п, т) того, что в ре­зультате проведения п независимых испытаний некоторое собы­тие А наступит ровно m раз. При этом в каждом из таких испыта­ний данное событие наступает с определенной вероятностью Р(А).

Сформулируем задачу обратных вычислений следующим об­разом:

известна вероятность того, что в результате проведения п не­зависимых испытаний событие А наступит m раз (Р(п, т)). На сколько следует увеличить число независимых испытаний (Дя) и постоянную вероятность АР(А), для того чтобы вероятность на­ступления события А увеличилась на АР(п, т).

Если, как и ранее, использовать метод обратных вычислений без коэффициентов прироста, то для решения этой задачи надле­жит записать следующую систему уравнений:

Р{п₉ m) + АР(п₉ m) =               (Р+АР)^т(1 -РГ^+Ап~^т,

* АР _ а(Р)

где а(Р) - коэффициент приоритетности наступления события, характери­зуемого вероятностью Р(А);

Р(л) -коэффициент приоритетности увеличения числа независимых испытаний п.

Заканчивая изложение теоретических основ обратных веро­ятностных вычислений, еще раз обратим внимание на необходи­мость внимательного анализа исходных данных, так как легко получить бессмысленные результаты, если у лица, принимающе­го решение, слишком высокие требования.