ПРЕДИСЛОВИЕ
Обратные вычисления относятся к наиболее капризным и трудным задачам. Объясняется это непредсказуемостью поведения обратной функции, форма записи которой, как правило, либо неизвестна, либо представлена приближенно. Отсюда возникает проблема определения диапазонов исходных данных, при которых задача имеет решение.
Если прямые зависимости, получаемые в процессе изучения связей между событиями, отражают существующее положение вещей (воспроизводят «как есть») и обычно рассматриваются в качестве первичных, то обратные зависимости, полученные из уже имеющихся, с одной стороны, прямых зависимостей, а с другой - обратными функциями, находят, исходя из целей управления, которое отсутствует в прямых зависимостях.
Объективно обратные вычисления должны рассматриваться в качестве вторичных, так как зависят от целей воздействия на те или иные события, и их решение обусловлено прямыми задачами.
В пособии изложен один из методов решения обратных задач, названный автором обратными вычислениями. Специфика такого рода вычислений заключается в том, что они не требуют знания обратной функции. Метод ориентирован на получение отдельных значений аргументов прямой функции на основе задаваемого для нее прироста. Для того чтобы задача была корректной, она доопределяется с помощью дополнительной информации, касающейся целей решения обратной задачи. Вычисления называются точечными, так как позволяют найти некоторые точки в диапазоне возможных изменений аргументов функции.
Метод обратных вычислений имеет несколько модификаций, которые при решении одной и той же прикладной задачи дают различные результаты. Разница в результатах тем заметнее, чем больший требуется прирост функции. Какую из модификаций применять в каждом конкретном случае, зависит от специфики предметной области. Здесь необходимы дополнительные исследования, в результате выполнения которых можно было бы дать однозначный ответ на вопрос: «Какая модификация метода наиболее целесообразна в данном случае?».
В пособии рассмотрены задачи, которые поделены на три класса: детерминированные, стохастические и решаемые в условиях неопределенности. Для всех трех классов выведены типовые целевые установки, возникающие в процессе управления. Эти установки позволяют привести любую функцию, используемую для прямого расчета, к виду, который позволяет выполнить обратные вычисления.
Особенно подробно рассмотрены задачи, выраженные детерминированными зависимостями. Здесь удалось разработать достаточно простую процедуру свертки/развертки, которая позволяет сводить громоздкие исходные зависимости к функциям с двумя переменными. Такие функции обеспечивают использование стандартных операций для их обработки.
Задачи, решение которых предназначено для учета рисков, представлены следующими видами вероятностей:
безусловные вероятности наступления одного из несовместных событий;
безусловные вероятности наступления одного из совместных событий;
условные вероятности наступления всех возможных несовместных событий и т.д.
Здесь можно отметить, что формулы для прямых вероятностных расчетов уже известны. Отсюда обратные вычисления можно свести к набору стандартных процедур,
По мере повышения уровня интеллектуализации различного рода прикладных систем, в том числе и систем формирования решений, приходится все больше отказываться от детерминированных или стохастических зависимостей между событиями и переходить к средствам, способным воспроизводить условия неопределенности.
Детерминированные зависимости, как правило, чрезвычайно идеализируют связи между событиями, а применение стохастических связей ограничивается сложностью получения исходных данных.
Представление связей между событиями с помощью нечетких множеств первого и второго рода вынуждает прибегать к разработке специальных средств, позволяющих выполнять обратные вычисления. Для воздействия на реальные события в условиях неопределенности эти средства должны обеспечить:
сочетание субъективных оценок правил вывода с объективной информацией в базе данных, природа которых различна;
сочетание различных шкал, применяемых для измерения субъективной и объективной информации.
Применение обратных вычислений в условиях неопределенности, несмотря на всю свою перспективность, остается одним из самых малоразработанных направлений создания интеллектуальных систем.
Одна из глав (5-я) демонстрирует возможности некоторых модификаций метода в решении инженерных задач. Здесь для иллюстрации выбрано несколько типовых расчетов: логарифмические, степенные и показательные функции, а также вычисление площадей различных фигур, заданных определенными интегралами, решение дифференциальных уравнений в приложении к различным техническим задачам.
Настоящее издание является учебным, поэтому в нем не ставилась задача строгого доказательства тех или иных математических утверждений. Большинство из них достаточно прозрачны, а их корректность проиллюстрирована на многочисленных примерах.
Тщательное рассмотрение большинства возможных вариантов решения задач базируется на детерминированных зависимостях, что позволило остальные типы задач, а именно стохастические и задачи, решаемые в условиях неопределенности, представить не так полно, ибо появилась возможность делать соответствующие ссылки.
Большинство расчетов в экономике осуществляется на основе простейших арифметических формул, что позволяет сводить их с помощью специальной процедуры к функциям с двумя аргументами. Это упрощает проблему вычислений, так как появляется возможность обращаться к набору базовых, т.е. типовых, функций, для которых уже известны стандартные расчетные формулы.
Каждый конкретный случай формирования решений можно свести к набору типовых процедур, поэтому для удобства выполнения расчетов в конце учебного пособия приведены приложения, в которых находятся типовые целевые установки и используемые при этом стандартные формулы для обратных вычислений. В приложении 1 представлены типовые операции для обработки детерминированных зависимостей, в приложении 2 - для вероятностных зависимостей, в приложении 3 - для приближенных рассуждений, а в приложении 4 - для логарифмических, показательных и степенных функций.
Автор считает своей обязанностью поблагодарить всех, кто прямо или косвенно поддерживал данное направление на протяжении многих лет. Это прежде всего касается Заслуженного деятеля науки РФ, д.э.н., проф. А.Н. Романова, который систематически стимулировал и направлял работу в данной области, а также д.э.н., проф. В.В. Дика, приложившего значительные усилия в разработке процедуры свертки/развертки, чьи критические замечания заметно способствовали улучшению качества рукописи.
В проверке результатов и разработке программного обеспечения, поддерживающего процесс решения обратных задач на детерминированных зависимостях, принимали участие студенты и аспиранты, перечислить которых невозможно. Всем им автор приносит свою благодарность.