Глава 5

ОБРАТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ

5.1. Изменение объема параллелепипеда

Вначале рассмотрим последовательность операций решения задач обратных вычислений с помощью индивидуальных коэф­фициентов, а затем - без указания приоритетности целей.

Допустим, прямоугольный параллелепипед срезан сверху параболоидом вращения с параметром р (рис. 5.1). Вершина па­раболоида совпадает с центром верхнего основания, ось верти­кальна.рямая задача: определить объем У образовавшегося тела, если стороны его основания равны а и Ь, а высота равна А. Урав­нение параболоида:

г-п---------------------------------------- .

2р

Объем образовавшегося тела:

аЬ

2 2 2 2 у = А\\(к- )с1ус1х. 0 0 ²Р

5.1.1. Решение задачи с помощью индивидуальных коэффициентов прироста

Необходимо увеличить объем К образовавшегося тела за счет увеличения высоты А тела и увеличения объема параллелепипеда (увеличения параметра р). Пропорции прироста регулируются коэффициентами относительной важности: для высоты А коэф­фициентом а - (Л(а)), а для параметра р - коэффициентом Р - (р(Р)). Целевая установка при этом выглядит следующим образом:

2 2

2р⁺Ф)

Введем, как и ранее, индивидуальные коэффициенты приростов:

А + ДА^А, р + Ар = к₂р.

Если через А У{к_х) и А У(к₂) обозначить приросты объемов, которые будут получены за счет использования коэффициентов к_х и к₂, то можно записать:

АУ(к₁) = У(к₁)-У, АУ(к₂) = У(к₂)-У,

где ДК^), ДК(&₂) - приросты объемов срезанного параллелепипеда, полу­чаемого за счет применения коэффициентов к_хик₂ соот­ветственно;

У{к^), V(к₂) - новые объемы срезанного параллелепипеда, получае­мого за счет использования коэффициентов к_{ик₂ соот­ветственно;

V                  - начальный объем срезанного параллелепипеда.

В общем виде задачу обратных вычислений можно записать:

\\/{х,у)сіхсіу = У,

о

А У{к_х) а(_Рі)

[АУ(к₂) Р( Р₂У

 

где р. - параметр функции/(х, у); У - искомый объем;

а, Р - коэффициенты приоритетности аргументов р_х и р_т

Для рассматриваемой функции задача при условии применения индивидуальных коэффициентов прироста аргументов примет вид

2 2 X +у

)с1ус1х = У,

2 рк₂ АУ(к₁)_а(Л)

А У(к₂) р (р)

где у        - новый (заданный) объем срезанного параллелепипеда;

а (А), р (р) - коэффициенты относительной важности аргументов Ли р.

Найдем из первого уравнения какой-либо из искомых коэф­фициентов, например к_у Заметим, что вследствие симметрии можно искать учетверенный интеграл на области ОАМВ:

 

аЪ 2 2

Ї2 22 22 22 2

ъ

2 2

 

4т.

2 4рк₂ 48рк ' 24 рк₂

 _л/ЬкМа Ьа³

¹ = 4(—----            

о 4 96рк₂

аЬ(а^г +Ъ^г) _ ,                                         ит-к^у

Введем обозначения:              ~^ь> аЬИ = Т, ' л. и за-

24 р

пишем

^Т

Прежде чем воспользоваться вторым уравнением, определим, чему равны числитель и знаменатель. Для этого предварительно определим, чему равны объемы, получаемые за счет применения коэффициентов к_х и к₂, обозначенные как К(Аг,) и У{к₂). Первый из них равен:

 

г/// ч лПпи      л}пи *²У             л\ <^ьк\^{к Ь}*²

о о

ЪкМ Ьх^ъ

= 4(-

^{0 1} 24 р             ¹

 

Отсюда прирост, зависящий от к_р равен:

АК(*,) = 7*1 -Ь-Т + Ь = Тк_х -Г. Аналогично рассчитаем объем, получаемый за счет примене­

ния к₂:

 

£ 6 2 2

)=411 (Л -        ₌₄ р _(Ду.

1рк₂ 6рк₂

л,ЬИх Ъх^ъ

2 12/7^2 48рк₂

 

Соответствующий прирост

Теперь можно воспользоваться вторым уравнением из систе­мы уравнений для отыскания коэффициента к₂:

а_ АК(£)) _ Тк_х -Т Р~Д У(к₂)

к₂

так как ^ _ j^i_ получим к₂ =

oL+рГ-рК

Пример (рис. 5.1): а = 1; Ь - 2; к = 4;р = 1; а = 0,7; Р = 0,3, £ = 0,42; Т =8.

Исходный объем равен Т- Ь- 8 - 0,42 = 7,58.

Допустим, желаемый объем равен 8,58, т.е. V = 8,58.

0,42

+8,58

^Т°^ГДа 0,29^4-2,6 ⁼⁴'^?; ^^V-^⁰⁸"

Проверка. аЫгк_х = -— = 8-1,08-^^ = 8,55*8,58.

к^                                       к₂                4,7

Практический интерес представляют все целевые установки, рассмотренные в гл. 2. В первую очередь:

+ г.-/ \ X^і+У¹ + »+ / ч *²+.у²

2 = /* (а)------------------ 2 =к (а)-------- —;

2р⁺ф)                                                    2/7" (Р)'

_ _ч                        _ ₇__{/ ч} х²+у²

I =к (а)----------------- т-"—; 2 =к (а)-- —.

2р Ф)                                                        2/7-(р)

5.1.2. Решение задач без указания приоритетов целей

Допустим, коэффициенты относительной важности целей ука­зать невозможно или же они несущественны. Тогда можно отыс­кать такой коэффициент к, который, будучи умноженный на р и А, даст искомый прирост объема.

Из предыдущего варианта решения задачи известна функция, с помощью которой можно подсчитать объем. Она имеет вид

Tk_x-— = V, к₂

так как к_{= к₂ = к\ поэтому получим:

Tk²-Vk-L = 0;

_f У + Ж+ATL

к----------------------------------- ¹-------- .

2 Т

Пример: я = 1; 6 = 2; А = 4; = 1; F = 8,58; V + AF = 8,58; F=7,58.

_r ab(a²+b²) 1-2(1 + 4) 10 Тогда: Г=аМ=8; £ = -^=-^ = - = 0,42;

_ 8,58+^73,6+4-8-0,42 _,

_ _                                              — 1,1Z.

к

2-8

Проверка. Тк--=ЪЛ, 12-—=8,95-0,375=8,575*8,58. /г        1,12

5.2.Обратные вычисления на дифференциальных уравнениях первого порядка

Вначале рассмотрим прямую задачу.

Для моста строится каменный бык высотой 12 м с круговыми горизонтальными сечениями. Бык рассчитан на нагрузку р = 90 т

т

(помимо собственного веса). Плотность материала у = 2,5-^-.

м

т

Допустимое давление составляет к = 300 -у. Найти площади вер-

м

хнего и нижнего оснований (рис. 5.2).

Решение прямой задачи. Площадь s₀, м², верхнего

т

основания при допустимом давлении к- 300—может выдержать

м

нагрузку ks_Q, а по условию ks_Q= р. Следовательно,

⁰ к 300

Рис. 5.2

Обозначив через л; расстояние сечения д от верхнего основа­ния, можно выделить бесконечно малый горизонтальный слой. Площадь его нижнего основания превышает площадь его верх­него основания на с1з. Поэтому у нижнего основания предельная нагрузка больше на величину удя?л:. Получается дифференциаль­ное уравнение: кс1з = уяс!х:

Разделив переменные и интегрируя при начальных условиях

гА, у^                                                 , Л У

х = О, ^ = можно получить ] — = — J ах, откуда имеем 1п — =—х.

Чтобы найти площадь нижнего основания, необходимо под-

т

ставить л: = 12 при = 0,3; у ⁼ 2,5; к = 300—. Переходя к десятич-

^и                                                             м

я 2 5

ным логарифмам, получим ^ —~ =       где М - модуль пере­

хода от натуральных логарифмов к десятичным, М = 0,43429, от­куда ^ = 0,33.

Задача обратных вычислений. Известны площади нижнего и верхнего оснований каменного быка. Обозначим через х высоту моста. Необходимо определить новые ^ и если высота моста изменилась на величину Ах. Остальные данные прежние. Запишем, чему равна высота моста:

к ^ У

Допустим, целевая установка, представленная графически на рис. 5.2, имеет вид

х⁺ = —* 1п

У ^(Р)

Введем индивидуальные коэффициенты приростов аргумен­

тов:

+ А?₀ = •

Это позволяет составить обычную систему уравнений:

k₂s₀ Ау₀

jc+Ах = а\п

Решая данную систему уравнений, получим

к_{=-

P^J — OLSQ

к₂ =

^кЛ k₂s₂

Пример: х = 12; Ах = 3; а = 120; .у₀ = 0,3; s_{ = 0,33; а = 0,7;

- к s

Р = 0,3. Пусть х + Ах = X, тогда е ^а = Отсюда

^k2^s0

В данном случае в результате решения дифференциального уравнения получена логарифмическая функция, которая и обес­печила решение задачи обычным образом.

Практический интерес представляет большинство целевых установок, рассмотренных в гл. 2. Это в первую очередь:

5.3Изменение площадей плоских фигур

5.3.1.Площадь фигуры, ограниченная линиями

Вычислить площадь фигуры (рис. 5.3), ограниченной линиями:

у = х;у = 5-х; х = 1; х = 2.

Запишем уравнения этих линий в общем виде: у₁ = с-х; у₂ = рх. Допустим, что необходимо уменьшить площадь фигуры за счет увеличения параметра р на величину Ар и уменьшения параметра с на величину Ас, т.е.

 

1* 2\„. - >

А8(к₂)

 

Рис. 5.3

Если через &5(к_х) и &5(к_х) обозначить приросты площади фи­гуры, получаемые за счет уменьшения параметра с и увеличения параметра р, то соответственно можно записать:

где £ - желаемая площадь фигуры.

Поиск к_х и убудем вести последовательно. Прежде всего вы­разим один коэффициент через другой:

 

Ъ²-а² с                                                            -

Введем обозначения: ------- = 2,—ф-а)-2-к₂р2 = Б и полу-

2 к_х

чим

к₂Л------------------------------------------- .

² р*

Теперь определим, чему равны числитель и знаменатель вто­рого уравнения рассматриваемой системы:

ь ь ь ъ \(с-х------------------ х)с1х с\ с1х- \dx-2\xdx

^юЛ ь I ^кЛ I

АБ(к₂) \                                    ^ь₍ ^ь₍

I (к₂рх- рх)с{х рк₂ I хс1х - р\ хс!х

а                                               а        а

с,. . 2 (Ь²-а²) _ к_х 2

Ъ²-а² Ь²-а²

Р^кг~₂---------------------- Р

Ь² -а²

Если, как и ранее, считать, что------- = 2, получим

с(Ь-а)-—(Ь-а)~ 22 а        к_х

Р                               рк_г2-р2

сф-а)

0.2 + а£ + ар2 + Р сф -а)- 2р2

Пример:с = 5;/7 = 1; а = 1; 6 = 2; а = 0,7; Р = 0,3; Z = 1,5.

2

Прямая задача: 5 = | (5-х= 2.

Задача обратных вычислений: необходимо уменьшить пло­щадь до 5 = 1,5. Тогда получим

к. =------------------------ —------------------------ = 1,33; к_? =0,51.

¹ 0,7-1,5 + 0,7-1,5 + 0,711,5+0,3-5-1-2-0,3-1,5       ²

г 5                                            с

Проверка. I (------ х-0,5\х)с1х =— ф-а)-2-к₂р2 = 1,49«1,5.

1 1,33                                     к^

5.3.2. Решение задач без указания приоритетности целей

Общий вид уравнения

ь

|(------------------------------ х-к₂х)сЬс = 8.

а

При к_[ -к₂-к имеем

гс                                      - с                             -

[(--х-крх) = 8\ -(Ъ-а)-2-кр2=8\

^}а к                                к

₊ + +4₀₈ 2 _Р2 ' '

Проверка. ^(Л-в)-г-^2=щ-1,5-1,08-1,5 = 1,51«1,5.

5.3.3.Площадь фигуры, ограниченной кривыми

Вначале рассмотрим частный случай решения задачи обрат­ных вычислений, где фигурирует лишь одно неизвестное. Метод обратных точечных вычислений здесь не нужен.

Прямая задача. Вычислить площадь фигуры, ограничен­ной линиямиу = 4-х²ну = 0. Площадь фигуры, которую следует определить, изображена на рис. 5.4, где сплошная линия - ука­занная кривая.

2 2 2

 

Задача обратных вычислений. Площадь фигуры необходимо увеличит до 20 ед., т.е. 5 =5 + А5 = 20. Тогда

2 2 2 2 2 ^ £ + Д£= | (4 + Ау)йЬс-1 х²<&: = | 4<& +1 АуЛ-1 х²ёх = —+4&у. -2         -2 -2 -2 -2 3

Отсюда: Ду = 2,3.

2 2 Проверка. | 6,3с1х- | х²<& = 19,9«20.

-2

Если в задаче неизвестных больше одного, то необходим ап­парат обратных вычислений.

Пусть площадь фигуры задана следующими уравнениями (рис. 5.5):

Это значит, что необходимо увеличить площадь фигуры за счет изменения параметров функций следующим образом:

Если р > 1, то точку пресечения линий можно получить следу-

с т) ск ющим образом: — = — и х = —

^к\ ^к2 Р^к 1

Обозначим площадь исходной фигуры через К, а желаемую

площадь - через У+АУ = У. Тогда можно сделать следующий расчет:

ск₂

рк_х к_х рк_{ У + АУ = 7 =

(х + у)(Ыу = | Лс І (х+у)<іх= | (ху + ?-)

р£

 

 

2 кУ Ък_х 1к²-Ъ Лк₂

с⁵ к⁵

с к₂_₌ -

_о 3к_х р^ък\ 6к_х 6к_хр³к? 4к₂ р⁴к_}* \0к1 р⁵к?

 

Приходим к следующей системе уравнений:

^с5/с2 ₌У

Ък_х ' /?³£^{3 +} б*і ' р^ък\ 4к₂ ' р^Ак* 10к\ ' р^ък\ ~ ^! с

<--------- с

к| а

Решив уравнение пятой степени относительно к_{ и подставив его во второе уравнение системы, получим искомые коэффици­енты прироста. Здесь так же, как и в предыдущих разделах, для решения задач можно использовать типовые целевые установки.

5.4.Обратные вычисления на логарифмических, показательных и степенных функциях

5.4.1.Логарифмические функции

Рассмотрим логарифмическую функцию, у которой изменя­ется само логарифмическое выражение.

1. Целевая установка: Р⁺ Я)а+(Ц?⁺ С)р.

Задачу будем решать с помощью индивидуальных коэффици­ентов прироста каждого из аргументов:

1_ёЯ+А1_ёЯ = А,1_ёЯ,

1_ёС+А1_ёС = Аг₂1_ёС.

Задача принимает вид:

Р+ЬР=к₁\%П+к_г\%С,

к₂\

С-\_ёС р Решив данную систему относительно А:, и к₂, получим:

^,= Чп '

(Р+АР)-к_{ \%П

к₂ =

18 С

Пример (рис. 5.6). &П = /£100 = 2; &С = &1000 = 3; Р = 5; АР = 3; а = 0,6; |3 = 0,4;

к_х =1,9; к₂ =1,4; 1_ёЯ + А1

Я = А, 1

Я = 1,9-2 = 3,8; \%С + Ь\%С = к₂ ^С = 1,4-3 = 4,2.

Проверка. Р+АР = 3,8+4,2 = 8.

Целевые установки вида: Р* =1д⁺  С, Р* ПС,

Р~ = 11 +С и т.д. реализуются аналогично.

Проанализируем логарифмическую функцию, у которой из­меняется подлогарифическое выражение.

2. Целевая установка: Р* = \%П⁺(а)+^ С⁺ (|5).

Если, как и в предьщущем варианте, использовать индивиду­альные коэффициенты, то можно записать:

1

(Я+АЯ) = lg k_x Я, lg(C + AC) = lgÂ:₂C.

Тогда задача обратных вычислений принимает вид:

>+AP = lgA:^+lg^₂C, ₁₀i_g k₂c__c р-

Решая систему уравнений, получим:

= а(Р+АР), \%к_гС = {Р+АР)-\%к_хП. Система имеет решение при условии, что (3 > а.

Пример (рис. 5.7). Я = 10; С = 100; Р = 3; АР = 1; а = 0,4; Р = 0,6; lgк_хП= 0,4 • 4 = 1,6; lgkf = 4 - 1,6 = 2,4; lg(Я + АП) = 1,6; lg(C + АС) = 2,4; 10¹⁶= П + ДЯ; ДЯ = 29,8; 10²-⁴ = С + АС; ДС = = 141,19.

Проверка. Р+Д/^> = 1д(10+29,8)+^(100+141,19)=3,9818«4. Здесь также можно использовать большинство целевых уста­новок, рассмотренных ранее, а именно:

Р*                   Р⁺          + ^ С⁺; Р~ = \%П~ + \%С~ и т.д.

5.4.2.Показательная функция

3. Целевая установка: р⁺ =(Я)^ЛГ+<а) +(СУ^+(Р). Введем индивидуальные коэффициенты приростов:

П^х + П*^х = П^к'^х, с^у+с^&у=С^кгУ. Составим систему уравнений:

Р+АР=П^к,х+С^к*^у, < П^к'^х-п^х _ а С^кгУ —С^у ~р'

Решая ее, получим:

П^к,х =(Р+АР)-С^кіУ, С^кіУ =аС^у + $(Р+АР)~рЯ*.

Пример (рис. 5.8). Я = 3³= 27;С = 2⁴= 16; Р = 43; АР = 7; а = 0,6; Р = 0,4; С^к*^у = 18,8; Я*'* = 31,2; Я* + = 31,2; Я*¹ = 4,2;

Дх = ^^ = 1,29; С + = 18,8; С^Ау =2,8; Ау=^-^ = 1,49. 1пЗ   1п2

Проверка. Р+АР = З³ + З^1,29 + 2⁴ + 2¹'⁴⁹ = 49,93 «50.

 

5.4.3.Степенная функция

4. Целевая установка: Р⁺=(П⁺(а))" +(С)⁺(Р))^Й.

Как обычно, введем индивидуальные коэффициенты:

(Я+АЯ)^а=£,Я^а; (С+АС)⁶ =к₂С^ь.

Определим коэффициенты прироста стандартным образом:

_ а(Р+АР)+рЯ° -аС^ь П^а                       '

(Р + АР) - к_х П" ~ & '

Пример (рис. 5.9). Я" = 5² = 25; С⁶ = З⁴ = 81; Р = 106; ДР= 14; а = 0,6; (3 = 0,4; =1,336; к₂ =1,069; (Я+АЯ)² =1,336-5² =33,4; (С+АС)⁴ =1,069-3⁴ =86,589; Я+АЯ=ТЗЗ~4; ДЯ=5,575-5 = 0,779; С+АС=^/86,589; АС=3,05-3=0,05.

Проверка. Р+АР=(5+0,779)² +(3+0,05)⁴ =120,004-120.

 

5. Целевая установка: Р⁺ =(Я⁺(а))" +(С)~(Р)У\

Как и ранее, введем индивидуальные коэффициенты:

(П+АГГ)" = к_хП^а, С^ь

(С-АС)^а~.

^к2

Составив стандартную систему уравнений и решив ее, получим: -а(Р+АР)+рЯ" +аС^ь _

² (Р+АР)-к_хП^а '

Пример. П^а -1} - 8; С^ь = З⁴ = 81; Р = 89; АР= 11; а = 0,6; Р = 0,4; к_х = 5,125; к₂ = 1,373; (Я + ДЯ)³ = 5,125 • 8 = 41;

81

(С-ДС)⁴=—— = 58,99; Р+АР=41+58,99=99,99«100; 1,373

Я + ДЯ = ^41 = 3,448; С-АС = ^58,99 =2,77; ДЯ = 3,448-2 =1,448; ДС=3-2,77 = 0,33.

Проверка: Р+АР=(2+1,448)³ + (3 - 0, ЗЗ)⁴ = 99,86 «100.