Глава 4

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Экспертные системы, как яркое и когда-то быстро прогресси­ровавшее направление в одной из областей искусственного ин­теллекта, в последнее время перестали привлекать внимание как теоретиков, так и практиков. Теоретики охладели потому, что, за исключением некоторых ответвлений, данное направление исчерпало себя и перешло в ранг технологии, превратившись в одно из средств информационного обслуживания. Практики же в определенной своей части разочарованы тем, что функциони­рующие экспертные системы, односложно отвечая на вопрос: «Что делать?», не в состоянии подсказать пользователю: «Как делать?». На вопросы вида: «Будет ли наблюдаться деловая ак­тивность?» или «Покупать ли акции на землю?» системы, как пра­вило, выдают ответ в форме «ДА» или «НЕТ», с числовой оцен­кой его достоверности (в форме коэффициента определенности). При этом они не способны ответить на вопрос: «Что необходимо предпринять для того, чтобы деловая активность возросла?» или «Что необходимо предпринять, чтобы цены на акции поднялись (опустились) на заданную величину?».

Лицо, формирующее решение (ЛФР), хочет указывать прием­лемый для него уровень достоверности получаемого ответа и знать обстоятельства, при которых этот уровень возможен. На­пример, после получения положительного или отрицательного ответа на один из указанных вопросов с коэффициентом опреде­ленности, равным 0,24, у ЛФР возникает желание узнать, что сле­дует предпринять для того, чтобы рост деловой активности по­высился, причем коэффициент определенности такого роста был не менее 0,7. То же самое можно потребовать от системы и отно­сительно акций.

Получить подобные результаты можно, если снабдить экспер­тную систему средствами обратных вычислений. Прежде чем пе­рейти к их детальному изложению, необходимо остановиться на теоретическом базисе, положенном в основу обработки нечеткой информации.

Одно из главных достижений в области экспертных систем, которое рассматривалось как серьезный шаг в развитии инжене­рии знаний, заключалось в возможности использования «мягких» вычислений для обработки неточной и неполной информации. Термин «мягкие» вычисления введен Л. Заде [9]. Главным прин­ципом «мягких» вычислений является терпимость к неточности информации для достижения приемлемых результатов. Часто это единственно возможный путь к достижению целей принятия ре­шения. В отличие от «жестких» вычислений, базирующихся на детерминированных или точных моделях и использующих клас­сическую математическую логику и точные методы, «мягкие» вычисления более близки к реальной информации, поступающей из окружающей среды. И эта информация редко бывает точной, большей частью она приблизительна, отрывочна, противоречива.

К настоящему времени «мягкие» вычисления развились в ком­плексную дисциплину, которая включает:

•      нечеткую логику и теорию нечетких множеств;

•      системы приближенных рассуждений;

•      системы управления приближенными данными (нейросети и генетические алгоритмы);

•     теорию хаоса;

•      фрактальный анализ.

Далее будут рассматриваться лишь два из перечисленных на­правлений «мягких» вычислений, а именно: системы приближен­ных рассуждений и нечеткие множества. В таких системах может использоваться один из двух механизмов оперирования с неточ­ными высказываниями (суждениями):

•       «присоединение» - процесс вывода результатов рассужде­ний выполняется аналогично точным выводам, но параллельно этим выводам происходит специальный пересчет, позволяющий выявить уровень приблизительности полученных результатов;

•      вывод осуществляется на специально разработанном языке представления неточностей.

Рамки применимости классической математической логики и теории вероятностей к моделированию реальных процессов определяются четкостью, измеримостью и достоверностью исход­ной информации. К сожалению, большинство перечисленных свойств не характерны для используемых человеком знаний. Как правило, это приближенные рассуждения, сочетающие в себе многочисленные динамически изменяющиеся шкалы. Это озна­чает, что если теоретико-вероятностные модели в соответствии с указанными ограничениями должны ориентироваться на единую шкалу измерения объектов, процессов, состояний, то реальные модели, отражаемые с помощью приближенных рассуждений (знаний), базируются на многих шкалах. Такие шкалы, подобно тому, как это делает человек, должны выбираться динамично, отражая природу измеряемого процесса в соответствии с целями моделирования и с реальной ситуацией. Отсюда вполне естествен­ным выглядит применение классической математической логики и теории вероятностей лишь в качестве теоретической основы, используемой для построения методов, более адекватно отража­ющих реальные процессы.

Рассмотрим, каким образом можно воспользоваться механиз­мом «присоединения», базируясь на фундаментальных конструк­циях математической логики и основополагающих идеях теории вероятностей. Для этого следует выделить такие понятия как импликация (ЕСЛИ - ТО), конъюнкция, дизъюнкция, условная и безусловная вероятность.

4.1. Дерево вывода

Достаточно сложно создать цепочку рассуждений с несколь­кими вероятностными условиями, связанными логическими опе­рациями И, ИЛИ, НЕ. Поэтому, создавая многие экспертные си­стемы, разработчики отказываются от условных вероятностей и вместо них используют приближенные вычисления. Понятие ве­роятности заменяется на коэффициент определенности.

Существует достаточно методов, ориентированных на учет неопределенности процессов, событий, объектов и т.д. Далее пой­дет речь об одном из них, способном отражать неопределенность с помощью нечетких множеств и деревьев вывода. Последние, как известно, синтезируют множество правил, записанных в форме ЕСЛИ-ТО. Каждое правило характеризуется рядом параметров, обозначаемых специальным образом.

Пусть известно правило:

если а, то Ь.

Оно характеризуется следующими параметрами:

а - условие (посылка);

Ь - заключение (результаты вывода);

а(а) - коэффициент определенности условия; с/(пр) - коэффициент определенности правила (импликации); Мф) - коэффициент определенности заключения. Все правила могут быть обратимы (о) или необратимы (н). Коэффициенты определенности могут изменяться в диапазоне от -1 до 1. Единица присваивается в том случае, если условие, пра­вило или вывод заслуживают полного доверия, и минус единица, если они не заслуживают никакого доверия. Более подробно об этом можно прочитать в [4].

Так как число формул, с помощью которых обрабатываются правила вывода, невелико, прежде чем приступить к рассмотре­нию обратных вычислений, приведем их с краткими пояснения­ми и примерами.

Существует несколько типов правил, на основе которых вы­числяются коэффициенты достоверности заключения: т и п 1 - правило содержит одно условие; т и п 2 - правило содержит несколько условий, связанных со­юзом И;

т и п 3 - правило содержит несколько условий, связанных со­юзом ИЛИ;

т и п 4 - одно заключение поддерживается несколькими пра­вилами.

На рис. 4.1 типы правил представлены графически.

о

сЦа)

^а2 ^а3         ^а1 ^а2 ^а3             ^а1 ^а2 ^а3

Ы(а^) сЦа2) сЦа^ Ы(а^) сЦа^ сЦа^ сЦа^) сЦа^ сЦа^ Если а, Если (а₁ и а₂ и а₃), Если (а₁ или а₂ или а₃), Если (а.,), то Ь то Ь             то Ь               то Ь           Если (а₂), то Ь

Тип 1      Тип 2                     Тип 3             Если (а₃), то Ь

Тип 4

Содержание приведенных правил может быть, например, та­ким:

тип 1 - если ВВП возрастет, то реальная заработная плата возрастет;

т и п 2 - если сократится отток капитала и фискальная поли­тика будет умеренной, то будет наблюдаться инвестиционный рост;

т и п 3 - если экспорт превысит импорт или снизится темп ин­фляции, то ВВП возрастет;

тип 4 - а) если себестоимость продукции уменьшится, то кон­курентоспособность возрастет;

б) если качество продукции повысится, то конкурентоспособ­ность возрастет.

Для каждого типа правил разработаны формулы, согласно которым происходит вычисление коэфициента определенности заключения.

Для типа 1 - если а, то Ь.

&(Ь) = • м(пр).

Пример: сг{а) = 0,6; а(пр) = 0,8; аф) = 0,6 • 0,8 = 0,48.

Для типа 2 - если (а_х и а₂ и... и я ), то

^сг&) = ^с'тю (^а) • ^с*(^пР\ ^ГДе ^тт <» = ^т1п (^С*(^а\ ), (я₂ ),..., С1 (а_т )).

Пример: М(а_х) = 0,2; М(а₂) = 0,8; с/(я₃) = 0,5; с1(пр) = 0,6; с/_т.(а) = 0,2; с1ф) = 0,2 • 0,6 = 0,12.

Для типа 3 - если (я, или а₂ или.. .или то Ь.

с1ф) = с1_тях(а)-с1(пр\ где с^_тах(а) = тах (с1(а_х\сг(а₂\...,сг(а_т)).

Пример: а(а_х) = 0,1; = 0,6; а(а₃) = 0,4; сг(пр) = 0,4;

^{= =} °>⁶ ' °>^{4 =} °>²⁴'

Для типа 4:

вариант 1 - знаки коэффициентов определенности положи­тельные,

сгф) = сг{Ъ_х) + сг{Ь}-сг{Ъ_х)сг{Ъ}₉

г       = а(а_х)с1{пр\),

М(Ь₂) = с1(а^)с1{пр2).

Пример (рис. 4.2): ct(a) = 0,3; ct(a₂) = 0,6; ct(np 1) = 0,8; ct{np2) = = 0,9; ct(b ) = 0,3 • 0,8 = 0,24; ct(b₂) = 0,6 • 0,9 = 0,54; ct(b) = 0,24 + + 0,54 - 0,24 • 0,54 = 0,65;

вариант 2 - знаки коэффициентов определенности различные,

cm-___________________________________ ,

1 - min {abs (ct{b_x)), abs (ct(b₂))) где ct(b_x), ct(bj - те же, что и в варианте 1.

Пример (рис. 4.3): ct{a_x) = 0,9; ct(a₂) = -0,3; ct(np\) = 0,9; ct{np2) = 0,7; ct{b_x) = 0,9 • 0,9 = 0,81; ct(b₂) = (-0,3) • 0,7 = -0,21;

0,81-4-0,21) 1-0,21

вариант 3 - оба знака отрицательные,

ct(b) = ct(b_x) + ct(b₂) + ct(b_x)ct(b₂), где ct(bj), ct(bj - те же, что и в варианте 1.

Пример (рис. 4.4): ct(a_{) = -0,4; ct(a₂) = -0,3; ct{np\) = 0,6; ct(np2) = 0,5; ct{b_x) = -0,4 • 0,6 = -0,24; ct(b₂) = -0,3 • 0,5 = -0,15; _ct(b) = -0,24 + (-0,15) + (-0,24) • (-0,15) = -0,35.

Если заключение поддерживается тремя правилами с поло­жительными коэффициентами, то формула расчета будет следую­щей:

ct(b) = ct(b_x) + ct(b₂) + ct(b₃) - ct(b_x)ct(b₂) - ct(b_x)ct(b₃) - ct(b₂)ct(b₃) +

+ ct{b_x)ct{b^ct(b₃).

 

Иногда в правиле условие отрицается, например,

если (не я), то Ь. В этом случае можно поступить следующим образом: М(не_а) = -с/(я).

4.2. Комплексный пример прямых расчетов на дереве вывода

Представим дерево вывода, пока без содержательного напол­нения условий, правил и заключений. На рис. 4.5 с помощью цифр, указанных рядом с вершиной дерева, указаны коэффициенты оп­ределенности либо условия, либо правила, либо заключения. Правило, имеющее несколько условий, связанных союзом И, представляется с помощью сплошной дуги, а союзом ИЛИ - пун­ктирной. Перечеркнутая дуга свидетельствует об отрицании ус­ловия. Кроме того, в скобках указано либо «о», либо «н», что означает обратимость или необратимость правила.

 

Так как выполняются прямые расчеты, вычисления ведут сни­зу вверх. Расчет начнем с заключения /П, выводимого на основа­нии правила, в котором условия С1 и С2 связаны союзом ИЛИ. Для расчета среди условий следует выбрать максимальное значе­ние коэффициента определенности и умножить его на коэффици­ент определенности правила. Тогда коэффициент определеннос­ти заключения К\ равен:

сг(К\) = шах (с*(С1), а{С2)) • а{пр) = 0,4 • 0,7 = 0,28.

Коэффициент определенности для К5 равен:

а(К5) = сг(К\) • а(пр) = О,28 • 0,5 = 0,14.

Заключение КЗ выводится на основании двух правил, одно из которых обратимо, а второе нет. Правило является обратимым, если оно сохраняет смысл при отрицании условия или заключе­ния. Так как оба правила необратимы, необходимо проверить знак у коэффициентов определенности условий. Если этот знак отрицательный, то правило отбрасывается. Но если при отрица­тельном знаке коэффициент определенности имеет еще и знак отрицания, то знак при коэффициенте меняется на противопо­ложный. Таким образом, при рассмотрении любого правила сле­дует проанализировать:

•     тип правила (обратимо, необратимо);

•      знак коэффициента определенности условия (положитель­ный, отрицательный);

•      наличие отрицания у условия.

Формально это можно представить в виде индикаторной функции:

Я = (т,з,о),

где т - тип правила;

з - знак коэффициента определенности условия;

о - знак определенности(или неопределенности).

Индикаторная функция X в полной мере используется лишь при наличии необратимого правила, отрицательного знака и на­личия знака отрицания в условии. Варианты значений индика­торной функции представлены в табл. 4.1.

 

Рассматривая правило для вывода КЗ с помощью функции X, приходим к следующему выводу: правило, использующее С4, сле­дует отбросить, так как оно необратимо: знак у коэффициента определенности отрицательный, а само условие не отрицается. Другое правило также необратимо и содержит отрицательный знак у коэффициента определенности условия, но оно имеет знак отрицания, что меняет знак у условия на противоположный. Та­ким образом, для КЗ получим

с1(КЗ) = 0,5 • 0,8 = 0,4.

Заключение Кб выводится на основании одного правила, ус­ловия которого связаны союзом И. Поэтому получим

с/(А*6) = 0,3 • 0,6 = 0,18.

Заключение К7 выводится на основании двух правил. Поэто­му вначале следует вычислить коэффициенты определенности, получаемые каждым из них в отдельности, а затем общий коэф­фициент для К1:

сГ(К1_{) = 0,18-0,8 = 0,14; с/(/С7₂) = 0,14 • 0,9 = 0,12; с!(К7) = 0,14 + 0,12 - 0,14 • 0,12 = 0,24.

Очень часто терминальные (нижние) вершины дерева вывода зависят от значений показателей, находящихся в базе данных. Связываются эти вершины с соответствующими показателями из базы данных с помощью реляционных выражений (больше, мень­ше, равно и т.д.). Элементы реляционных выражений, как пра­вило, рассчитываются с помощью формул, иногда достаточно сложных.

В известных работах [3,4] реляционные выражения использу­ются лишь в качестве индикаторов, которые работают следую­щим образом: если реляционное выражение истинно, то знак ко­эффициента определенности условия не меняется, в ином случае знак меняется на обратный. Иными словами, система работает в режиме булевой алгебры, что достаточно грубо отражает связь между реальными событиями. На рис. 4.6 иллюстрируется инди­катор А,, принимающий значение либо 1, либо -1 в зависимости от истинности или ложности реляционного выражения.

Согласно такому подходу на рис. 4.6 коэффициент опреде­ленности равен 0,5, так как Р> к. Наполним данный пример эко­номическим смыслом. Пусть заключение Ь касается покупки дома.

Используется следующее правило: если цена дома Р меньше арендной платы К, то дом покупать Ь. Коэффициент достоверно­сти этого заключения равен:

Мф) = • мфр) X,

 

Реляционное выражение Р > к влияет на знак индикатора А,, который может принимать два значения: 1 или -1. Можно полу­чить два решения:

с1(Ь_х) = 0,5 • 0,2 ■ 1 = 0,5 • 0,2 • 1 = 0,1; а(Ь₂) = 0,5 • 0,2 • 1 = 0,5 • 0,2 • (-1) = -0,1.

Между заключениями и с/(6₂) существует множество зна­чений, которые способны указать более точное отношение поку­пателя к сложившейся ситуации с ценой дома и его арендой. У покупателя отношение к результатам оценки зависит от того, насколько превышает или не превышает цена арендную плату (например, арендная плата превышает цену дома в несколько раз или на несколько процентов).

Индикатор X не улавливает также и подозрения покупателя, которые могут возникнуть при неумеренно низкой (высокой) цене дома или арендной платы. Иными словами, индикатор X не отра­жает доверие к условию, которое можно выразить с помощью нечетких множеств.

Нечеткое множество можно задать как аналитически, так и графически [6]. Для задания его аналитически воспользуемся функцией принадлежности:

_М^Ц1), М^ц₂). МО

и

где       - значение функции в точке и.\

и. - значение показателя и..

г                                            I

Для задания отношения лица, формирующего решение, к пре­вышению цены дома над арендной платой представим аналити­чески нечеткое множество следующим образом:

_ч 0,05 0,1 0,4 0,8 0,9 1 1 А (превышение) =     ; —; —; —; —; —; —.

0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 2 2,1

Графически функция принадлежности представится так, как это показано на рис. 4.7.

Коэффициент определенности на основе функции принадлеж­ности можно вычислить следующим образом:

\\iAx), если реляционное выражение истинно, с1(Ь) = <

[г-ц^л:), в противном случае.

 

Константа г позволяет правильно учесть достоверность усло­вия в отрицательном диапазоне. Как правило, она находится в диапазоне от 1 до 10.

Пусть в некоторый момент времени значения показателей в

Р

базе данных равны: Р = 7; К = 5. Соотношение ⁼ ^ указывает

К

на значение функции принадлежности, равное 0,4. Если данное соотношение увеличится, т.е. Р будет значительно больше К, то доверие к условию правила возрастает.

Совсем другая ситуация возникает, если семантика соотно-

Р

шения -- требует колоколообразной функции принадлежности, К

представленной на рис. 4.8.

 

При таком понимании отношения «больше» при — = 1,8 до­К

Р

верие к условию правила снижается, а при — = 1,93 равно 0,3.

4.3. Обратные вычисления на дереве вывода

Теперь, когда приведены все необходимые формулы, отража­ющие прямые расчеты на дереве вывода, можно перейти к рас­смотрению задач обратных вычислений, которые позволяют от­ветить на вопрос: «Что следует предпринять, чтобы коэффици­ент достоверности какого-либо вывода повысился (понизился) на А единиц?» Если в процессе прямых вычислений информация из базы данных передается в дерево вывода, то при обратных вы­числениях происходит передача информации из дерева вывода в базу данных. Далее производят вычисления на основе детерми­нированных зависимостей подобно тому, как это было показано в гл. 2. Схемы передачи информации при прямых и обратных свя­зях показана на рис. 4.9 и 4.10.

Сформулируем задачу обратных вычислений на дереве выво­да следующим образом:

известны

а)  дерево вывода главного заключения (гипотезы);

б)  коэффициент определенности гипотезы, увеличенный (уменьшенный) до требуемой величины &(Ь)±&М(ЬУ,

в)  реляционные выражения, функции принадлежности, фор­мулы расчетов и база данных;

необходимо определить коэффициенты терминальных вершин, обеспечивающие требуемый уровень достоверности главного за­ключения.

Принципиальным отличием обратных вычислений от прямых является то, что при прямых вычислениях коэффициент 0,24 (см. рис. 4.9) получают исходя из значений показателей, находящих­ся в базе данных: а = 10, Ъ = 20, с = 15, при обратных значения а = 10 + 2, Ъ- 20-4, с = 15 + 1 получают исходя из задаваемого пользователем желаемого коэффициента 0,7 (см. рис. 4.10).

В рамках рассматриваемого подхода повышение достоверно­сти правил не представляется возможным. Объясняется это тем, что всякое правило является аналогом функции, зависящей от аргументов. Правило, как и функция, устанавливает связь между исходными данными (условиями, посылками) и заключением. Если же правило не устраивает ЛФР (низкий уровень достовер­ности), то так же, как и в случае наличия какой-либо функции, например детерминированной, его следует заменить. Модифи­кация правила требует модификации дерева вывода.

Рассматриваемые далее целевые установки не столь разнооб­разны, как в детерминированных зависимостях, так как типов правил вывода всего четыре. Далее будем пользоваться той же типизацией правил, что и в разд. 4.1.

Обратные вычисления для правил типа 1

1. Целевая установка:     = а⁺(а)-а(пр).

Задача запишется следующим образом:

сг(Ъ) + А&(Ь) = (с*(а) + А с*(а)) • с1(пр).

Так как есть лишь одна неизвестная величина, прирост ко­эффициента определенности условия равен:

/ ч л / ч аф)+Аа(Ъ) сг{а) + А сг(а) = , _ч , сг(пр)

что графически можно представить так, как это показано на рис. 4.11.

сф)

О

сЦа)

Рис. 4.11

Пример (рис. 4.11). Если К1, то К5, м{К\) = 0,4; а{пр) = 0,8,

где /П - означает, что возрастет индекс товарности; К5 - возрастет внешнеторговый оборот.

с1(К5) = 0,4 • 0,8 = 0,32.

Задача обратных вычислений: пусть необходимо повысить

а(К5) до 0,9. Получим: с((К\) + Ас1(К\) = — = 1,125, что больше 1.

0,8

Очевидно, такой прирост невозможен, поэтому уменьшим его до

0,5. Тогда получим: с/(/П) + Дс/(/П) = — = 0,62.

0,8

Проверка. с1(К5) + Дс/(#5) = 0,62 • 0,8 = 0,449 » 0,5.

2. Целевая установка: а(Ь) =сг (а) а(пр).

Задача запишется следующим образом:

а(Ь) - Дсг(Ь) = - &а{а)) • а(пр\

сг{пр)

Пример. Если А, то В, а{А) = 0,7; сфу?) = 0,8;

с((В) = 0,7 • 0,8 = 0,56.

Задача обратных вычислений: требуется снизить коэффици­ент достоверности Ас/(5) на 0,3.

Получим с((А) - Ас((А) = ^ = 0,33.

0,8

Проверка. а(В) - Аа(В) = 0,33 • 0,8 = 0,264 « 0,3.

Обратные вычисления для правил типа 2 3. Целевая установка: = с**_іп(я) сфф),

^{где с}Сіп(^а) ^{= тіп} (^і)»              ії(а_т)).

Задача запишется следующим образом:

/ Ч А                             / Ч      +

с',™ (я) + Ас/ • (а) = — —----------------- .

Коэффициенты определенности оставшихся условий изме-

(а) + Асґ . (а)

ГП1П ⁴ '                                                                            Ш1П ⁴ '

няются пропорционально коэффициенту, равному

^СІшЛ^а)

Пример (рис. 4.12). Если (КЗ и #4), то Кб, с*(ЯЗ) = 0,4; = = 0,3; с/(>у?) = 0,6,

где АЗ - означает, что стабилизируются процентные ставки; /Г4 - означает, что возрастет ВВП; Кб - означает, что возрастает стабильность в обществе.

 

Прямая задача: м(К6) = тт((с/(7СЗ), а(Щ) • сг(пр) = 0,3 • 0,6 = = 0,18.

Задача обратных вычислений: требуется увеличить коэффи­циент достоверности с((К6) до 0,3. Получим:

с1(К4)+Ас1( К 4) = М ₌ о, 5.

Проверка. с((К6) + Ам(К6) = 0,5 • 0,6 = 0,3.

Второе условие (КЗ) также увеличивается пропорционально

с1(К4) + Ас1(К4) 5 __л коэффициенту, равному _сг(К4) ~0~3

с1(КЗ) + Ас1(КЗ) = 1,66 • 0,4 = 0,66. Ответ: а(КЗ) = 0,66; а(К4) = 0,5.

4.     Целевая установка: сг(Ь)~ =с^_п(а) а(пр)₉

^гД^е с^_{п(а) = тт(с1(а_{), с1(а₂\..., с((а_т)). Обратная задача запишется следующим образом:

• (а) =------------------------------------ ^с*(^пР)--

' ^ттУ ' с1(Ъ)-Ас1(Ъ)

Коэффициенты оставшихся условий изменяются пропорцио­нально коэффициенту, равному _с,       _(ау

Ш1П V '                                                                        Ш1П V '

Обратные вычисления для правил типа 3

Целевая установка: а(Ь)⁺ = с^_п(а)-сЦпр)₉

^гД^е сС_ах(а) = тгх(с((а_{), с((а₂),..., с((а_т)). Задача запишется следующим образом:

/ ч а / ч сг(Ъ) + Асг(Ъ) с/_тах (а) + Ас/_тах (а) = \ ^У .

Коэффициенты оставшихся условий изменяются пропорцио-

шах

(а)

нально коэффициенту, равному         , ч

'шах \^а)

Пример (рис. 4.13). Если (К5 или Кб), то К1, м(К5) = 0,2; с1(К6) = 0,3; сг(пр) = 0,8.

Прямая задача: а{КП) = шах ((с!(К5), сг(Щ) • М{пр)) = 0,3 • 0,8 = = 0,24.

Задача обратных вычислений: увеличить коэффициент до­стоверности а(К1) до 0,5. Получим: сг(/С6)+Дсг(/С6) = — = 0,63.

0,8

Проверка. а(К1) 4- Ас* (Я7) = 0,63 • 08 = 0,5.

Второе условие (К5) также увеличивается пропорционально коэффициенту, равному

сг(К6)+Аа{К6) _ 0,63 _ с^/Гб) " 0,3 ~ ' '

с1(К5) 4- Дс/(Я"5) = 2,1 • 0,2 = 0,42.

Ответ: сг(К5) = 0,42; с/(Я6) = 0,63.

6. Целевая установка: =с/"_и(а)--а(пр)₉

га^е ^тах(«) = ^тах        сг(а₂\^ сг(а_т)\

Задача запишется следующим образом:

/ Л Л ( \ сгф)-Шф) ^тах (*) - А С/_тах (а) =            •

Коэффициенты оставшихся условий изменяются пропорцио-

^тах(^д)

нально коэффициенту, равному

Пример. Если (А 1 или А 2), то В, с1(А 1) = 0,2; с((А 2) = 0,4; а(А 3) = 0,6; с/(цр) = 0,5; Ла(В) = 0,2.

Прямая задача: а(В) = тах ((с/(/11), с/(А 2), с/(ЛЗ)) ■ с1(пр)) = = 0,6 • 0,5 = 0,3.

Задача обратных вычислений: пусть необходимо снизить ко­эффициент достоверности сЦВ) на 0,2.

Получим: с/(ЛЗ)-Дс/(ЛЗ)=^=0,2.

Проверка. + = 0,2• 0,5 = 0,1.

Оставшиеся условия также увеличиваются пропорционально коэффициенту, равному

с;_тах(ЛЗ) с^(АЗ)-с(_тах(АЗ) 0,3

Ответ: а(А\) = — = 0,06; с*(А2) = — = 0,13; с*(ЛЗ) = 0,2.

Обратные вычисления для правил типа 4

Чтобы вывести формулы для обратных вычислений коэффи­циента достоверности заключения, которое поддерживается не­сколькими првилами, необходимо от дерева вывода перейти к дереву целей. Для этого вершины дерева целей следует предста­вить составляющими дерева вывода. Допустим, заключение к поддерживается двумя правилами:

если а, то к;

если Ь, то к.

Тогда в соответствии с формулой расчета коэффициента дос­товерности заключения, поддерживаемого двумя правилами, получим:

&(к) = сЩ)+сгф₂) - сгф_х) • сгф₂), где сгф₁)-сгфуа(пр₁).

С учетом этого получим: м(к)=сг{а) • сг(пр_х)+сгф) • сг(пр₂) - сгф) • сг(пр_х) • &ф) • &(пр₂).

Переход от дерева вывода к дереву целей представлен на рис. 4.14.

Коэффициенты а(пр_х) и М(пр₂) являются константами, т.к. из­менить доверие к используемым правилам нельзя.

В соответствии с рис. 4.14 для постановки задачи применяют­ся КОВ (аир). Если же приоритетность целей установить невоз­можно или она не важна, то можно применить иную модифика-

7. Целевая установка:

= (а, а) • сг(пр_х)+сУ оЬ, р) • а(пр_г) -

(а, а). а(пр_х). (А, Р). с* (лр₂),

где (а, а), с/⁺(6,Р) - коэффициенты достоверности условий а и Ь, зави­сящие от коэффициентов приоритетности аир.

Если воспользоваться абсолютными Приростами аргументов, то задача обратных вычислений в данной постановке задачи при­нимает следующий вид:

а(к)+Аа(к) =

= (а(а)+Дс/(д)) • )++Аа(Ь)) • а{пр_г) - < -(сг(а) +   • сг(пр_х) • (сгф) + Аа{Ь)) • а(пр₂),

А&(а) _ а

где Дс^(я), А&(Ь) - приросты коэффициентов достоверности условий апЬ.

Для решения данной задачи воспользуемся абсолютными при­ростами аргументов, т.е. решим задачу без предварительного расчета коэффициентов прироста. Тогда получим:

 

Обозначим

\

п

= А;

ії(пр_х) = Пр Тогда

А ± А А² - 4-П,П₂ П_аП^П,П₂ - ЩП₂ + АП, + П* + Ш_к

Р ^{1 2} АП_а=^АП*.

Пример (рис. 4.15). а(а) - 0,5; а(пр^) = 0,4; ії(к) = 0,6; с^пр^ = = 0,3; а = 0,6; (3 = 0,4.

Прямая задача: = 0,5 • 0,4 = 0,2; сі(а₂) = 0,6 • 0,3 = 0,18; с(ф) = 0,2 + 0,18 - 0,2 • 0,18 = 0,34.

Задача обратных вычислений: повысить сїф) до 0,4.

0,36

Дс/(а) = 1,5 • 0,08 = 0,12. Таким образом, получен следующий результат: сг(а) + ДсГ(а) = 0,5+ 0,12 = 0,62; сЛ(к) + Асі(к) = 0,6 + 0,08 = 0,608.

 

Проверка. с((Ь) + Ас((Ь) = (0,62 • 0,4) 4- (0,608 • 0,3) - -(0,62 • 0,4)(0,608 • 0,3) = 0,402 « 0,4.

8.         Целевая установка:

сГ(Л)⁺ = а⁺(а₉а)-сЦпр₁)+сГ(Ь₉$уа(пр₂)- -с*⁺ (а, а) • &(пр_х) • сГ (Ь, Р) • а(пр₂).

Обозначения прежние.

Задача обратных вычислений принимает следующий вид: с((к) + Ас((к) =

= (с^а) 4- Ас* (я)) • с*(л/^ ) 4- (сгф) - Ас^Ъ)) • а(пр₂) -

<                   -(с^а) 4- А&(а)) • ) • - Ас^Ь)) • сг(пр₂), Асг{а) _ а

Решается она так же, как и предыдущая.

9.         Целевая установка:

а(к)⁺ = сГ (а, а) • (л/^)+(Л, Р) • ) - -сГ (а, а) • а(пр_х) • (Ь, Р) • сГ(/1р₂ )•

Задача обратных вычислений запишется следующим образом: 'сг(к)+Ш{к) =

= (с^а) - Ас*(я)) • ) 4- (сф) 4- Ас^Ь)) • с* (л/?₂) -

<                   -(с^а) - Ас* (я)) • ) • (а(Ь) 4- Ас*(£)) • сг{пр₂ ), Ас^(я) а

Задача решается аналогично предыдущему.

10. Целевая установка:

с* (/г)⁺ = сГ (а, а) • а(пр_х) + сГ Р) • а(пр₂) - -сГ(а,а) • а(пр_х)• сГ (Ь, р) • а(пр₂).

Задача обратных вычислений принимает следующий вид:

= (с/(я) - Дс/(я)) • сг(пр_х) + - Асгф)) • с/(л/?₂ ) - < -(с* (я) - Дс/(я)) • М(пр_х) • (&ф) - А&ф)) • с/(л/?₂ ), Дс/(я) _ а Ааф)~ р'

Задача решается аналогично предыдущему.

Если перед лицом, формирующим решение, стоит задача сни­жения коэффициента достоверности заключения, то все целевые установки, представленные ранее, те же, за исключением того, что знак прироста функции меняется на противоположный. Прин­ципиально не меняются также постановки в случае, если знаки коэффициентов достоверности условий различные или отрица­тельные.

В практике формирования решений довольно часто приме­няются заключения, поддерживаемые тремя правилами. В этом случае в задаче обратных вычислений следует учитывать три ар­гумента. Допустим, известно три праьила:

Если а , то Ь,                   = с1(пр_{) = Х_г

Если а₂, то Ь, сг(а^) = Г|_р афр^^х\_г Если а_у то Ь, с/(я₃) = а_р с1(пр^) = а₂.

Прямая задача решается по следующей формуле:

сгф) = сгф_х)+сгф₂)+) - аф_х )сгф₂) - -аф_х )сгф_ъ) - аф₂ )аф_ъ)+мф_х )аф₂ )аф₃),

сЩ) = а(а_х) • ) = Х_ГХ₂, а(Ь₂) = а(а₂) &(пр₂) = Лі • ті2> ) = сі(а₃) • а(пр_ъ) = с₁ • а₂,

'2>

2'

с/(6) = А,, -А,₂ + т|| -г|₂ + а, а₂-А,, -Х₂ ті! -г|₂ + А,, •Х₂ а, а₂ - -Лі Л₂ ^а2 + 'Лі -Л2 ^а1 *^а2-

Графически это представлено на рис. 4.16.

Рис. 4.16

Если целевая установка имеет вид: сҐф) = Х;(а)-Х₂ + л^(Р)'Л₂ +^(у).а₂ -ХЦаУХ₂ Ч(Р)'Л₂ -

-XI • (а)Х₂ • а^ (у) • а₂ - (Р) • Л₂ Ч (?) • °₂ + К (<*) ^ Л^ (Р) ■ Л₂ ' ^ (у) ' °2> то задача обратных вычислений запишется следующим образом:

&(Ь)+Аа(Ь) =

= (А., + ДА,, )Х₂ + (Лі + ДЛі )Л₂ + (^аі + ^Ааі )^а₂ "

-Х₂ (X, -і- ДА,, )л2 • (Лі + ^АЛі) - Х₂ (А,, + ДА,, )а₂ (а, + Да,) -

-л₂ (Лі + АЛї )а₂ (а, + Да,)+ (X, + ДА,, )А,₂ СЛі + Ал і )Л₂ + Аа, )а₂,

ДА,, а Дл,+Да, Р + у'

АЛі Р ДА,,+Да, а + у

Так как здесь три аргумента, задача может быть решена дву­мя путями: либо с помощью процедуры свертки/развертки, либо с помощью системы с тремя уравнениями.

Если условие зависит от реляционного выражения, т.е. от функции принадлежности, определяемой нечетким множеством, то задача решается достаточно просто. Обратимся к рис. 4.7 и допустим, что в результате обратных вычислений на дереве вы­вода коэффициент достоверности условия а увеличился и стал равен 0,6. Так как это условие зависит от показателей Р и К, на­ходящихся в базе данных, необходимо определить их новые зна­чения, которые обеспечат новый коэффициент достоверности а.

Коэффициент достоверности является нечетким числом,

р

характеризуемым функцией принадлежности ц_А (—), поэтому при

К

условии, что функция принадлежности обратима, можно решать

р

обратную задачу, превратив прямую функцию у = \ь_А (—) в обрат-

К

Р_____                                                        Р

ную: — -у . Это позволит получить новое соотношение — ипри- к        к

росты А Р и А К в соответствии с целевыми установками лица, фор­мирующего решение.

На рис. 4.7 представлено наиболее распространенное отно-

Р

шение «больше» (например, Р > К). Новое соотношение —, ко­К

торое соответствует новому значению коэффициента определен­ности, вычисляется следующим образом:

К

где \л~_А - обратная функция.

Допустим, коэффициент достоверности возрос с 0,4 до 0,6 (рис. 4.7). Обратившись к графическому представлению понятия «больше», отыскиваем на оси ординат точку 0,6, а затем соответ­ствующую ей точку на оси абсцисс. Она равна 1,4. Это значит, р

что соотношение — возросло с 1,3 до 1,4, и есть возможность

поставить задачу обратных вычислений для поиска приростов АР и АК.

Величина ct(a)±Act(a) может быть любой в диапазоне от -1

Р

до 1, поэтому отыскание нового соотношения — с помощью об-

к

ратной функции \i~_A(ct(a)±Act(a)) удобнее на основе функции \i_A,

заданной аналитически. Полезными здесь могут быть функции, представленные на рис. 4.17 - 4.20.

 

 

1,при х> а Ьх, при 0 £ х < а

 

Рис. 4.19                                                     Рис. 4.20

Наличие аналитического представления функции принадлеж­ности позволяет поставить задачу обратных вычислений, кото­рая в соответствии с постановками детерминированных задач (см. гл. 2) запишется следующим образом:

₌ Р _± _ Р^±(а) ^У К' ^У Л^ф)'

Если, считать, что лицо, формирующее решение, преследует

_г.+

цели, отражаемые установкой вида У           ^то задача обрат­

ных вычислений примет вид

Р+АР

у + Ау =---------------------------------- .

К-АК

АР а АК ~ р

Здесь величина у + Ау получена с помощью одной из функ­ций принадлежности, аналитическое представление которой при­ведено на рис. 4.17 - 4.20.

Используя для решения индивидуальные коэффициенты при­роста аргументов, получим:

Р+АР = к_хР\

К-АК =—. к₂

Решая данную систему уравнений, получим

а+Йу

у + Ау у + Ау

*₂ =

к_ху

Достаточно часто возникает необходимость получения при­ростов аргументов, которые в сумме с базовой величиной коэф­фициента определенности выходят за рамки установленного ди­апазона [-1,1].

Для возвращения в требуемый диапазон можно либо умень­шить желаемый прирост коэффициента определенности главно­го заключения, либо уменьшить коэффициент определенности, который в результате обратных вычислений получился больше единицы или меньше минус единицы, приравнивая его единице или минус единице.

 

4.4. Комплексный пример обратных вычислений на дереве вывода

Обратимся к рис. 4.21, где графически представлено дерево вывода. Используем это дерево для сквозного примера обратных вычислений, основываясь на показателях базы данных, представ­ленных в табл. 4.2 и 4.3. Основываясь на этих данных, а также пользуясь информацией, приведенной на рис. 4.21, в результате прямых вычислений получен коэффициент определенности гипо­тезы К7, равный 0,2. Необходимо узнать, какие меры следует пред­принять для того, чтобы этот коэффициент повысился до 0,4.

На рис. 4.21 использованы следующие обозначения узлов де­рева:

К1 (гипотеза или главное заключение) - ожидается рост деловой актив­ности и рост объемов собранных налогов; Кб - возрастет стабильность в обществе; К5 - возрастает внешнеторговый оборот; К4 - возрастает ВВП; КЗ - стабилизируются процентные ставки; К1 - возрастает индекс товарности;

С4 - произойдет изменение структуры потребительского спроса в сто­рону увеличения экспорта;

СЗ - уровень инфляции не превысит 20%;

С2 - возрастает доля импортируемых товаров и услуг в общем объеме товаров и услуг;

С1 - возрастает доля экспортируемых товаров и услуг в общем объеме товаров и услуг.

Для оценки терминальных вершин используются следующие реляционные выражения и формулы для расчетов.

1. В качестве реляционного выражения для условия К4 слу­жит неравенство

ВВП₁ >ВВП₀,

где ВВП,, ВВП₀- валовой внутренний продукт, полученный в отчетном и базисном периодах.

Для расчета ВВП используется формула:

ВВП = Л + Я + С+Д,

где А - потребительские расходы населения;

В - валовые частные инвестиции в экономику; С - государственные закупки товаров и услуг; Д - чистый экспорт (разность между экспортом и импортом).

Введем функцию принадлежности вида

^Цпревь—^{1 ;}"о,Го,з'о,5' 1 ' 2 ' 3 '4'5' которая графически представлена на рис. 4.22.

 

 

0,1 0,3 0,5 1 2 Рис. 4.22

2. Условие СЗ связано с уровнем инфляции, который не дол­жен быть выше указанного:

1_Х<1<1₂>

где /,, /₂ - нижний и верхний уровни инфляции.

Вызывающим наибольшее доверие является диапазон 1 < / < 1,2. Уровень инфляции подсчитывается следующим образом:

где /₀,1_Х - индекс инфляции в базисном и отчетном периодах.

Для оценки уровня инфляции введем нечеткое множество (рис. 4.23):

 

Инфляция

3. Для условий С1 и С2 можно воспользоваться следующими реляционными выражениями:

для С1: с1_з > 1, для С2: й > 1,

и '

где с1_э, с1_и - приросты соответственно экспортируемых и импортируемых товаров и услуг в общем объеме потребляемых товаров и услуг.

Для их расчета используются следующие формулы:

у                                    v^й

^к0 ^к0

где V* - объемы соответственно экспортируемой и импортируемой продукции в отчетном периоде; У₀\ У₀" - объемы соответственно экспортируемой и импортируемой продукции в базином периоде.

Введем нечеткие множества:

 

0,6. 0,9. 1 ,1, 1 , 0,6. 0,7' 0,8' 0,9' Г 1,1' 1,4'

 

0,3.0,6.0,7.1/1 0,8 0,7

Импорт около единицы  05'07'09^,|^,|2^,13 14'

что графически представится так, как это показано на рис. 4.24 и 4.25.

 

 

1.1 1,4 Экспорт