5.4. Економічна інтерпретація двоїстості

У попередньому розділі були отримані два результати, які безпосередньо характеризують взаємозв’язок прямої та двоїстої задач:

1. В оптимальному розв’язку значення цільових функцій прямої та двоїстої задач співпадають.

2. На будь-якій ітерації процесу розв’язання прямої задачі коефіцієнт z-рівняння при змінній xj дорівнює різниці між лівою і правою частинами відповідного обмеження двоїстої задачі.

Ці відношення дозволяють дати економічну інтерпретацію двоїстості. Для цього розглянемо пряму задачу як задачу розподілу обмежених ресурсів з цільовою функцією, що підлягає максимізації. Нехай кожен коефіцієнт  cj цільової функції прямої задачі являє собою прибуток на одиницю продукції j-го виду виробничої діяльності. Витрати ресурсу  і, запаси якого обмежені величиною bі, на одиницю продукції j-го виду виробничої діяльності дорівнює aij одиницям цього ресурсу.

Дамо економічну інтерпретацію обом результатам, які були сформульовані на початку даного розділу.

 

5.4.1. Економічна інтерпретаія змінних двоїстої задачі 

 Запишемо умову рівності цільових функцій у вигляді:

Zopt=wopt=  .

Проаналізуємо цю формулу з точки зору розмірностей величин, які вона містить. Оскільки z являє собою розмір прибутку, що вимірюється в грошових одиницях; а bi - кількість i-го ресурсу в прийнятих одиницях виміру, то величина yi повинна виражатись у грошових одиницях на одиницю i-го ресурсу.

Таким чином, кожна змінна двоїстої задачі являє собою цінність i-го ресурсу.  Тому іноді двоїсті змінні називають тіньовими цінами.

 

5.4.2. Економічна інтерпретаія обмежень двоїстої задачі

На будь-якій ітерації сиплекс-методу z-коефіцієнт при змінній xj дорівнює різниці між лівою й правою частинами j-го обмеження двоїстої задачі:

(Z-коефіцієнт при xj )=  (4.1)

Проаналізуємо цей вираз щодо величин, які він містить.  Оскільки Cj являє собою прибуток на одиницю j-го виду виробничої діяльності, то ця величина має вимірюватись у грошових одиницях (г.о./од. Продукції). Із умови узгодженості розмірностей витікає, що величина  також повинна мати розмірність г.о./од. При цьому  має відповідати деяким питомим витратам (або “вартості”). Величина aij – це кількість і-го ресурсу, що використовується для випуску одиниці продукції j-го виду виробничої діяльності, тому змінна yi має являти собою “внутрішню” (тіньову) ціну одиниці і-го ресурсу, і член  можна розглядати як сумарну оцінку всіх ресурсів, які використовуються при виробництві одиниці продукції j-го виду виробничої діяльності. Така інтерпретація призводить до такоаго запису рівняння (4.1) у відповідних одиницях виміру:

[г.о. (прибуток або витрати)/од.]= [г.о. (витрати)/од.]-[г.о. (прибуток /од.]

Умова оптимальності (в задачі максимізації), що використовується в симплекс-методі, полягає в тому, що вид виробничої діяльності, відсутній у поточному розв’язку (і якому відповідає небазисна змінна xj =0) має вводитись у наступний розв’язок з додатнім рівнем використання (xj >0) тільки в тому випадку, коли z-коефіцієнт при данній змінній є від’ємним. У протилежному випадку збільшення використання даного виду виробничої діяльності не призведе до покращання значення цільової функції. Дамо економічну інтерпретацію цій умові, використавши результати аналізу розмірностей. Невикористаний вид виробничої діяльності j має бути представлений у розв’язку тільки в тому випадку, коли:

 <0, тобто коли:

 .

Таким чином, доти, поки прибуток перевищує сумарну оцінку ресурсів, рівень використання даного виду виробничої діяльності слід збільшувати.

Зазначимо, що, вводячи до розв’язку деякий вихідний вид виробничої діяльності, ми збільшуємо рівень його використання до того значення, при якому z-коефіцієнт при данній змінній стає рівним нулю. Це еквівалентно повній реалізації всіх потенціальних можливостей, пов’язаних із одержанням прибутку від даного виду виробничої діяльності. Будь-яке подальше збільшення рівня його використання веде до того, що оцінка ресурсів перевищить прибуток.

Тепер стає зрозумілим, чому в задачах максимізації деякий вид виробничої діяльності, що не використовується в поточному розв’язку і має додатній коефіцієнт z-рівняння, і в подальшому не повинен використовуватись. Це обумовлено тим фактом, що оцінка ресурсів, які використовуються при виробництві одиниці відповідної продукції, перевищує питомий прибуток від її реалізації.