ТЕМА 1.3. Позиційні системи числення.

Переведення чисел із однієї системи числення в іншу

· поняття позиційної системи числення

· переведення цілих чисел із однієї системи числення в іншу

· переведення дробових чисел із однієї системи числення в іншу

Основні терміни теми: система числення, позиційна система числення, основа позиційної системи числення, двійкова, вісімкова, шістнадцяткова системи числення

Поняття позиційної системи числення. Системою числення називається сукупність прийомів позначень і запису чисел. У будь-якій системі числення для представлення чисел вибирається певна кількість символів (їх називають цифрами), і всі числа записують за певними правилами за допомогою цифр даної системи числення.

Система числення називається позиційною, якщо значення кожної цифри (її вага) змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, що представляють число.

Число одиниць будь-якого розряду, об’єднаних в одиницю більш старшого розряду називають основою позиційної системи числення. Основа системи числення співпадає із кількістю цифр, що використовуються в записі чисел в цій системі числення.

Запис довільного числа у системі числення за основою  грунтується на представленні цього числа у вигляді многочлена

.

Переведення чисел із однієї системи числення в іншу. При переведенні чисел із десяткової системи числення в систему з основою  використовують наступний алгоритм:

1) якщо переводиться ціла частина числа, то вона ділиться на , після чого запам’ятовується остача від ділення. Отримана частка знову ділиться на , остача запам’ятовується. Процедура продовжується до тих пір, поки частка не стане дорівнювати нулю. Залишки від ділення на  виписуються у порядку, оберненому їх отриманню;

2) якщо переводиться дробова частина числа, то вона множиться на , після чого ціла частина запам’ятовується і відкидається. Знову отримана дробова частина множиться на  і т.д. Процедура продовжується до тих пір, поки дробова частина не стане дорівнювати нулю. Цілі частини виписуються після коми в порядку їх отримання. Результатом може бути або скінченний або періодичний дріб. Тому, коли дріб є періодичним, приходиться обривати множення на якомусь кроці і задовольнятись наближеним записом початкового числа в системі з основою .

Приклади розв’язування задач. 1. Перевести дане число із десяткової системи числення у двійкову: а) 464(10); б) 380,1875(10);  в) 115,94(10)  (отримати п’ять знаків після коми у двійковому представлені).

Розв’язання.

  а) 464  

232 

116 

  58 

  29 

  14 

7 

3 

1 

а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2); в) 115,94(10) » 1110011,11110(2) (у даному випадку було отримано шість знаків після коми, після чого результат був округлений).

Переведення чисел із двійкової у вісімкову та шістнадцяткову системи числення. Якщо необхідно перевести число із двійкової системи числення у систему числення, основою якої є степінь двійки, то достатньо об’єднати цифри двійкового числа в групи по стільки цифр, який показник степеня, і використовувати наведений нижче алгоритм. Наприклад, якщо переведення здійснюється у вісімкову систему числення, то групи будуть містити по три цифри (8 = 23). Отже у цілій частині будемо проводити групування справа наліво, а у дробовій – зліва направо. Якщо в останній групі не вистачає цифр, то дописуємо нулі; у цілій частині – зліва, а у дробовій – справа. Потім кожна група замінюється відповідною цифрою нової системи. Відповідності наведені у таблицях.

P 2 00 01 10 11 4 0 1 2 3

P 2 000 001 010 011 100 101 110 111 8 0 1 2 3 4 5 6 7

P 2 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

 

Переведемо із двійкової системи у шістнацяткову число 1111010101,11(2).

0011 1101 0101,1100(2) = 3D5,C(16).

При переведенні чисел із системи числення з основою  у десяткову систему числення необхідно перенумерувати розряди цілої частини справа наліво, починаючи з нульового, і  дробової частини зліва направо, починаючи з розряду відразу після коми (початковий номер –1). Потім обчислити суму добутків відповідних значень розрядів на основу системи числення в степені, рівній номеру розряду. Це і є представлення початкового числа в десятковій системі числення.

2. Перевести дане число в десяткову систему числення:  а) 1000001(2).

1000001(2)=1× 26+0× 25+0× 24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1× 20 = 64+1=65(10).

Зауваження. Очевидно, що якщо у деякому розряді стоїть нуль, то відповідний доданок можна опустити.

б) 1000011111,0101(2).

1000011111,0101(2)=1×29 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20 + 1×2-2 + 1×2-4 =

512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10).

в) 1216,04(8).

1216,04(8)=1×83+2×82+1×81+6×80+4× 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625(10).

г) 29A,5(16).

29A,5(16) = 2×162+9×161+10×160+5×16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125(10).