1.3. Замечания по оптимизации многошаговых процессов

Сделаем ряд предварительных замечаний относительно оптимизации многошаговых процессов.

Прежде всего подчеркнем, что оптимизация процесса по совокуп­ности шагов не сводится к независимой оптимизации по отдельным шагам. Действительно, достижение максимального эффекта на одном из шагов может потребовать слишком больших затрат ресурсов и, как следствие, привести к снижению экономического эффекта как на по­следующих шагах, так и по всему многошаговому процессу в целом.

Термин «аддитивность» латинского происхождения означает свойство, имеющее отношение к операции сложения.

Наглядным примером может служить бег на длинную дистанцию, ко­торый никоим образом не сводится к многократному повторению бега на короткую дистанцию на максимальной скорости. Целевой функцией в данном примере является время пробегания всей дистанции, допусти­мым решением — тактика, позволяющая просто «добежать» до конца дистанции, оптимальным решением — тактика, позволяющая пробежать дистанцию за минимальное время.

Более содержательный пример представляет задача планирования модернизации предприятия. Как правило, модернизация осуществля­ется в условиях ограниченности финансовых и иных ресурсов, ослож­няется требованием обеспечения бесперебойности производства и, как следствие, проводится не единовременно, разом, а поэтапно. При этом формирование оптимальной политики распределения и использования ресурсов по этапам играет определяющую роль в обеспечении общего успеха модернизации предприятия в целом.

Это интуитивно ясное замечание может быть проиллюстриро­вано математически следующим свойством: максимум (или минимум) суммы, вообще говоря, не равен сумме максимумов (или минимумов) слагаемых. Точнее, для произвольных функций a(t) и b(t) можно га­рантировать лишь выполнение неравенства

max{a(£) + b(t)} < max{a(t)}.+ таx{b(t)},

причем, вообще говоря, равенство может не иметь места. В качестве примера можно рассмотреть функции a(t) = t и b(t) = 1 — t, заданные при 0 ^ t ^ 1. При этом

a(t) + b(t) = 1, та* {a(t)} = 1, т*«{Ь(*)} = 1,

так что

max{a(t) + b(t)} = 1^2 = max{a(t)} + max{b(t)}.

Таким образом, максимум суммы двух или большего числа сла­гаемых нельзя вычислять по отдельности, а соответствующая задача максимизации является более сложной и требует более взвешенного подхода к ее решению. В то же время, если одна из функций яв­ляется постоянной, например, a(t) = А, где Л —некоторое число, то соответствующее равенство все-таки имеет место:

тах{Л + b(t)} = А + тах{Ь(г)};

иными словами, постоянное слагаемое можно выносить за знак мак­симума.Аналогичное замечание можно сделать и относительно вычисления минимума:

min{a(t) + b(t)j > min{a(t)} + min{b(i)}, тт{Л + b(t)} = A + min {b(t)}.

Здесь уместно отметить связь между задачами на максимум и ми­нимум: минимум функции F(t), заданной на некотором множестве Т, достигается в тех же точках, что и максимум функции —F(t), причем имеет место равенство

min{F(t)} = -maxf-F(t)}. t€t    tet

Следовательно, задачу оптимизации многошагового процесса с поис­ком минимума целевой функции Z можно свести к подобной задаче оптимизации с поиском максимума целевой функции — Z; оптималь­ные решения при этом не изменятся, а оптимальное значение задачи изменит знак на противоположный.

Рассмотрим подробнее целевую функцию

Z = Zl(x₀,Ul) + Z₂(x₁,u₂) + ... + Z_N(x_N-l,U_N)

всего процесса и покажем, что она является функцией начального состояния Хо и управляющих переменных «1, и₂,..., им- Действительно, в силу соотношения Х\ = fl(Xo,Ui) состояние ж2 зависит от х() и Щ. Далее, в силу соотношения х₂ = f₂{x\,u₂) состояние х₂ зависит от и₂ и косвенно через посредство Х\ зависит от хо и U\, т. е.

х₂ = f2{fl(XQ,U₁),U₂).

Рассуждая аналогично, получим наконец, что в силу соотношения xn = In(xn-i, un ) конечное состояние жлг системы зависит от IIN и косвенно через посредство Xpf-l зависит от хо и Ul, и₂,. . . , идг —1. Соответственно и целевая функция Z зависит от хо и всех управля­ющих переменных:

Z = Z(Xq, U\,U₂, .. -,U_N).

Если же в некоторых задачах начальное состояние хо является фик­сированным, то целевая функция зависит только от управляющих переменных.

Таким образом, принципиально задача оптимального управления многошаговым процессом является задачей поиска экстремума функ­ции многих переменных. Задачи такого типа являются весьма труд­ными. Рассуждая теоретически, для их решения можно попытаться применить классический метод дифференциального исчисления, опи­рающийся на использование производных от целевой функции. Для этого, как известно, необходимо:

1)               вычислить частные производные целевой функции по всем пе­ременным;

2)               составить и решить систему уравнений для поиска тех точек, в которых возможен экстремум (они называются критическими точками);

3)               проверить, в каких из найденных критических точек экстремум действительно существует, и вычислить его значение.

Однако применение данного классического метода для решения рассматриваемых задач оптимизации многошаговых процессов суще­ственно затруднено по следующим причинам. Прежде всего, в случае дискретных управлений (т. е. принимающих ряд отдельных значений, не составляющих непрерывного числового интервала) данный метод вообще неприменим. Для случая непрерывных управлений возникают следующие проблемы:

1)               функция Z является сложной, и непосредственное вычисление ее частных производных приводит к исключительно громоздким выражениям;

2)               получаемые системы уравнений для поиска критических точек являются, как правило, нелинейными, и для их решения не су­ществует универсальных методов;

3)               описанный классический метод позволяет найти точки экстре­мума только внутри области определения целевой функции и не подходит для их поиска на границах, зачастую имеющих слож­ный вид. В то же время в реальных задачах экстремумы часто достигаются именно на границах.

Итак, попытка применения классических методов дифференциаль­ного исчисления к оптимизации многошаговых процессов приводит к задачам, не менее сложным, чем исходная, что не является эффектив­ным путем решения. Следовательно, для решения поставленных задач необходимо применять иные методы, в большей степени учитывающие специфику задач. Наиболее известным и эффективным из таких мето­дов является метод ДП, к рассмотрению основ которого мы приступаем.