2.4. Задача о замене оборудования

Условие задачи. Руководство предприятия планирует свою де­ятельность на один год (четыре квартала). Установленное на пред­приятии оборудование в начале каждого квартала может быть про­дано по остаточной стоимости и заменено новым, приобретаемым по рыночной стоимости. Прогнозируемая рыночная стоимость оборудо­вания М усл. ден. ед. в зависимости от номера квартала (от 1 до 4) меняется следующим представленным в таблице образом:

 

К характеристикам оборудования относятся:

Р ~ производительность (усл. ед. продукции в квартал); 0 — затраты на эксплуатацию (усл. ден. ед. в квартал); 5 — остаточная стоимость (усл. ден. ед.).

Характеристики оборудования зависят от его наработки (под на­работкой оборудования будем понимать число полных кварталов его эксплуатации). Данные зависимости представлены в следующей таб­лице:

 

Будем считать, что установленное на предприятии оборудование является быстроизнашивающимся и при наработке 4 квартала не под­лежит дальнейшей эксплуатации (например, по требованиям техники безопасности или по причине низкой эффективности его работы). Дан­ное обстоятельство отмечено прочерком «—» в графах таблицы для Р и ф. Прочерк «—» в графе таблицы для 5 означает, что продажа нового оборудования с равной 0 наработкой по остаточной стоимости является нецелесообразной операцией. В начале года наработка установленного на предприятии оборудования равнялась 2 кварталам. Стоимость С одной усл. ед. продукции предприятия, выпускаемой на данном обо­рудовании, будем считать постоянной и равной 0,1 усл. ден. ед.

Требуется определить оптимальную стратегию обновления обору­дования на один год с целью достижения максимального суммарного экономического эффекта за весь год. Иными словами, необходимо так выбрать моменты замены оборудования, чтобы суммарный за год доход от реализации продукции (для простоты будем считать, что вся производимая продукция реализуется) за вычетом затрат на экс­плуатацию оборудования и его обновление достигали максимально возможной величины.

Решение. В данной задаче управляемой системой является рас­сматриваемое предприятие, многошаговым процессом — процесс пла­нирования обновления оборудования. Проведем математическую фор­мализацию поставленной задачи.

1.               Число шагов N в данной задаче следует принять равным числу кварталов в году, т. е. N = 4; при этом номер шага процесса будет равен номеру квартала.

2.               В качестве фазовой переменной х, определяющей состояние предприятия, следует принять наработку установленного на предпри­ятии оборудования, исчисленную на конец квартала (поскольку именно через наработку определяются все характеристики оборудования). Точ­нее, через х% обозначим наработку оборудования в конце квартала с номером г. При этом через х$ логично обозначить наработку обору­дования в конце 4-го квартала предшествующего года иди, что то же самое, в начале 1-го квартала планируемого года до момента возмож­ной замены оборудования. По условию задачи хо = 2. В соответствии с условием задачи должно выполняться ограничение х, ^ 4, причем в случае х_г = 4 оборудование не подлежит дальнейшей эксплуатации и обязательно должно быть заменено в начале следующего квартала. В частности, если замену изначально установленного на предприятии оборудования максимально отложить, то в этом случае будет

х\ = 3, Х2 = 4,

т. е. в конце 2-го квартала наработка станет равной 4-м кварталам, и в начале следующего 3-го квартала оборудование будет подлежать обязательной замене.

3.               В качестве управляющей переменной и следует принять пере­менную, характеризую решение руководства предприятия о замене или сохранении оборудования в каждом из 4 кварталов. Следовательно, такая переменная должна принимать только два различных значения. Ей можно приписать как числовые значения (например, 1 в случае замены и 0 в случае сохранения оборудования), так и нечисловые, например, логические («Истина» и «Ложь» или «True» и «False») или даже мнемонические (например, «3» для замены и «С» для сохра­нения оборудования). Для определенности будем пользоваться пред­ложенными мнемоническими обозначениями. Таким образом, область значений переменной и представляет собой множество {3, С}.

4.                                                                                           Составим функцию процесса Xi =         , и_г), характеризующую закон изменения состояния предприятия. Если будет принято решение о замене оборудования в квартале с номером г, т. е. и, = 3, то в начале данного квартала будет установлено новое оборудование с нулевой нара­боткой, а по прошествии квартала наработка станет равной 1. Если же будет принято решение о сохранении оборудования, щ — С, то по про­шествии квартала наработка просто увеличится на 1, т. е. станет равной Xi-1 + 1. Полученные соотношения можно записать в следующем виде:

1, Щ = 3; Хі_ і + 1, щ = С.5. Составим функцию г_г, характеризующую частный экономиче­ский эффект на шаге с номером г процесса. Пусть принято решение о замене оборудования, щ = 3. В этом случае в момент продажи старого оборудования его наработка составит х_г-\, а остаточная стоимость в со­ответствии с условием задачи будет равна 5(х,-}). Новое оборудованиеприобретается на рынке по цене М(г), и при этом весь текущий квар­тал будет эксплуатироваться новое оборудование с нулевой наработкой. Доход от его эксплуатации будет равен произведению цены С одной ед. продукции и производительности Р(0), т.е. С Р(0), а затраты на эксплу­атацию составят (^(0). Таким образом, в случае замены оборудования частный экономический эффект за текущий квартал будет равен

- М(г) + С ■ Р{0) - <2(0).

Если же принято решение о сохранении оборудования, щ = С, то в течение данного квартала будет эксплуатироваться старое обору­дование с наработкой х_г_]. Доход от его эксплуатации будет равен произведению цены С одной ед. продукции и производительности Р(Жг-х), затраты составят        а весь частный экономический

эффект за текущий квартал составит величину

С ■ Р(х^) - С1(х_г^). Полученные соотношения можно записать в следующем виде:

Г                        - М(г) + С ■ Р(0) - <5(0), щ = 3;

г^ = <

С ■ Р{Хг- 1)-<3(Жг_!), Щ = С.

На этом математическая формализация поставленной задачи завер­шена. Подчеркнем, что основные допущения метода ДП выполняются: отсутствие последействия следует из явных формул для вычисления x_i и г„ а аддитивность результирующей целевой функции обуслов­лена самим условием задачи. Тем самым можно непосредственно приступить к расчетам в соответствии с методом ДП. (Все таблицы приведены сразу окончательно заполненными.)

Предварительный этап. На данном этапе, как обычно, за­полняются только первая строка вспомогательной таблицы и четыре левых столбца основной таблицы.

г = 1.

Вспомогательная таблица соответствует начальному значению Хо = 2 и имеет вид

 

Заполнение основной таблицы проводится следующим образом. Для значения жо = 2 допустимы оба варианта управления: замены щ = 3 и сохранения щ — С. Для случая замены в соответствии' с построен-

ными общими формулами при г = 1 получаем:

Жх = 1,

г_х = 5(2) - М{ 1) + С • Р(0) - <Э(0) = 6 - 12 + 0,1 • 350 - 15 = 14. В случае сохранения оборудования

Х\ = ж₀ + 1 = 2 + 1 = 3, г₂ = С • Р(ж₀) - д(ж₀) = 0,1 • Р(2) - д(2) = 0,1 • 330 - 18 = 15.

Эти результаты представлены в левой части основной таблицы:

 

Переходим к следующему шагу. 1 = 2.

Заполняем первую строку вспомогательной таблицы, занося в нее все полученные на предшествующем этапе значения переменной

 

Левую часть основной таблицы заполняем рассмотренным выше образом:

 

г = 3.

Заносим в первую строку вспомогательной таблицы все полученные на предшествующем этапе значения переменной ж₂:

 

 

Отметим, что для Х2 = 4 управление из = С не является допусти­мым.

г = 4.

Вспомогательная таблица на данном шаге имеет вид

 

 

На этом предварительный этап решения задачи завершен.

Этап условной оптимизации. На данном этапе обычным обра­зом заполняются правые части основных и вторые строки вспомогатель­ных таблиц при г = 4, 3,2,1. Соответствующим образом расставляются знаки «/», указывающие строки, на которых достигаются промежу­точные максимумы. Расчеты начинаются с условия                                      = 0. Полу­чаемые результаты уже представлены в приведенных выше таблицах.

Этап безусловной оптимизации. На данном этапе определя­ется максимальное значение целевой функции

и строится оптимальное управление (и\, и₂, Ц, Полагая

^хо ^{= х}о ⁼ 2,

по основным таблицам строим следующий ряд значений:

 

На этом построение оптимального решения задачи завершено. Оно определено однозначно и имеет вид (3;С;3;С).

Ответ: для достижения максимального экономического эффекта, равного 67 усл. ден. ед., имеющееся на предприятии оборудование следует заменить в начале 1-го и 3-го кварталов планируемого года.

Замечание 1. Отметим, что оптимальное управление в первом квартале заключается в замене оборудования и дает экономический эффект 14 усл. ден. ед. за квартал; в то же время сохранение оборудо­вания дает больший экономический эффект —15 усл. ден. ед. за квар­тал. Это замечание наглядно демонстрирует противоречивость дол­госрочных и сиюминутных интересов и подчеркивает, что метод ДП оптимизирует процесс с учетом будущего эффекта.

Замечание 2. Проведем сопоставление полученного оптимального решения с двумя в определенном смысле противоположными допу­стимыми решениями, первое из которых реализует стратегию макси­мально частого ежеквартального обновления оборудования, а второе — стратегию максимального откладывания обновления. В первом случае получаются следующие значения:

 

При этом

Я = 14 + 16 + 17 + 18 = 65. Во втором случае получаются значения: