2.4. Задача о замене оборудования
Условие задачи. Руководство предприятия планирует свою деятельность на один год (четыре квартала). Установленное на предприятии оборудование в начале каждого квартала может быть продано по остаточной стоимости и заменено новым, приобретаемым по рыночной стоимости. Прогнозируемая рыночная стоимость оборудования М усл. ден. ед. в зависимости от номера квартала (от 1 до 4) меняется следующим представленным в таблице образом:
Квартал |
М |
1 |
12 |
2 |
12 |
3 |
И |
4 |
10 |
К характеристикам оборудования относятся:
Р ~ производительность (усл. ед. продукции в квартал); 0 — затраты на эксплуатацию (усл. ден. ед. в квартал); 5 — остаточная стоимость (усл. ден. ед.).
Характеристики оборудования зависят от его наработки (под наработкой оборудования будем понимать число полных кварталов его эксплуатации). Данные зависимости представлены в следующей таблице:
Наработка |
Р |
Я |
5 |
0 |
350 |
15 |
— |
1 |
350 |
16 |
8 |
2 |
330 |
18 |
6 |
3 |
300 |
21 |
3 |
4 |
— |
— |
1 |
Будем считать, что установленное на предприятии оборудование является быстроизнашивающимся и при наработке 4 квартала не подлежит дальнейшей эксплуатации (например, по требованиям техники безопасности или по причине низкой эффективности его работы). Данное обстоятельство отмечено прочерком «—» в графах таблицы для Р и ф. Прочерк «—» в графе таблицы для 5 означает, что продажа нового оборудования с равной 0 наработкой по остаточной стоимости является нецелесообразной операцией. В начале года наработка установленного на предприятии оборудования равнялась 2 кварталам. Стоимость С одной усл. ед. продукции предприятия, выпускаемой на данном оборудовании, будем считать постоянной и равной 0,1 усл. ден. ед.
Требуется определить оптимальную стратегию обновления оборудования на один год с целью достижения максимального суммарного экономического эффекта за весь год. Иными словами, необходимо так выбрать моменты замены оборудования, чтобы суммарный за год доход от реализации продукции (для простоты будем считать, что вся производимая продукция реализуется) за вычетом затрат на эксплуатацию оборудования и его обновление достигали максимально возможной величины.
Решение. В данной задаче управляемой системой является рассматриваемое предприятие, многошаговым процессом — процесс планирования обновления оборудования. Проведем математическую формализацию поставленной задачи.
1. Число шагов N в данной задаче следует принять равным числу кварталов в году, т. е. N = 4; при этом номер шага процесса будет равен номеру квартала.
2. В качестве фазовой переменной х, определяющей состояние предприятия, следует принять наработку установленного на предприятии оборудования, исчисленную на конец квартала (поскольку именно через наработку определяются все характеристики оборудования). Точнее, через х% обозначим наработку оборудования в конце квартала с номером г. При этом через х$ логично обозначить наработку оборудования в конце 4-го квартала предшествующего года иди, что то же самое, в начале 1-го квартала планируемого года до момента возможной замены оборудования. По условию задачи хо = 2. В соответствии с условием задачи должно выполняться ограничение х, ^ 4, причем в случае хг = 4 оборудование не подлежит дальнейшей эксплуатации и обязательно должно быть заменено в начале следующего квартала. В частности, если замену изначально установленного на предприятии оборудования максимально отложить, то в этом случае будет
х\ = 3, Х2 = 4,
т. е. в конце 2-го квартала наработка станет равной 4-м кварталам, и в начале следующего 3-го квартала оборудование будет подлежать обязательной замене.
3. В качестве управляющей переменной и следует принять переменную, характеризую решение руководства предприятия о замене или сохранении оборудования в каждом из 4 кварталов. Следовательно, такая переменная должна принимать только два различных значения. Ей можно приписать как числовые значения (например, 1 в случае замены и 0 в случае сохранения оборудования), так и нечисловые, например, логические («Истина» и «Ложь» или «True» и «False») или даже мнемонические (например, «3» для замены и «С» для сохранения оборудования). Для определенности будем пользоваться предложенными мнемоническими обозначениями. Таким образом, область значений переменной и представляет собой множество {3, С}.
|
4. Составим функцию процесса Xi = , иг), характеризующую закон изменения состояния предприятия. Если будет принято решение о замене оборудования в квартале с номером г, т. е. и, = 3, то в начале данного квартала будет установлено новое оборудование с нулевой наработкой, а по прошествии квартала наработка станет равной 1. Если же будет принято решение о сохранении оборудования, щ — С, то по прошествии квартала наработка просто увеличится на 1, т. е. станет равной Xi-1 + 1. Полученные соотношения можно записать в следующем виде:
1, Щ = 3; Хі_ і + 1, щ = С.5. Составим функцию гг, характеризующую частный экономический эффект на шаге с номером г процесса. Пусть принято решение о замене оборудования, щ = 3. В этом случае в момент продажи старого оборудования его наработка составит хг-\, а остаточная стоимость в соответствии с условием задачи будет равна 5(х,-}). Новое оборудованиеприобретается на рынке по цене М(г), и при этом весь текущий квартал будет эксплуатироваться новое оборудование с нулевой наработкой. Доход от его эксплуатации будет равен произведению цены С одной ед. продукции и производительности Р(0), т.е. С Р(0), а затраты на эксплуатацию составят (^(0). Таким образом, в случае замены оборудования частный экономический эффект за текущий квартал будет равен
- М(г) + С ■ Р{0) - <2(0).
Если же принято решение о сохранении оборудования, щ = С, то в течение данного квартала будет эксплуатироваться старое оборудование с наработкой хг_]. Доход от его эксплуатации будет равен произведению цены С одной ед. продукции и производительности Р(Жг-х), затраты составят а весь частный экономический
эффект за текущий квартал составит величину
С ■ Р(х^) - С1(хг^). Полученные соотношения можно записать в следующем виде:
Г - М(г) + С ■ Р(0) - <5(0), щ = 3;
г^ = <
С ■ Р{Хг- 1)-<3(Жг_!), Щ = С.
На этом математическая формализация поставленной задачи завершена. Подчеркнем, что основные допущения метода ДП выполняются: отсутствие последействия следует из явных формул для вычисления xi и г„ а аддитивность результирующей целевой функции обусловлена самим условием задачи. Тем самым можно непосредственно приступить к расчетам в соответствии с методом ДП. (Все таблицы приведены сразу окончательно заполненными.)
Предварительный этап. На данном этапе, как обычно, заполняются только первая строка вспомогательной таблицы и четыре левых столбца основной таблицы.
г = 1.
Вспомогательная таблица соответствует начальному значению Хо = 2 и имеет вид
х0 |
2 |
В0{х о) |
67 |
Заполнение основной таблицы проводится следующим образом. Для значения жо = 2 допустимы оба варианта управления: замены щ = 3 и сохранения щ — С. Для случая замены в соответствии' с построен-
ными общими формулами при г = 1 получаем:
гх = 5(2) - М{ 1) + С • Р(0) - <Э(0) = 6 - 12 + 0,1 • 350 - 15 = 14. В случае сохранения оборудования
Х\ = ж0 + 1 = 2 + 1 = 3, г2 = С • Р(ж0) - д(ж0) = 0,1 • Р(2) - д(2) = 0,1 • 330 - 18 = 15.
Эти результаты представлены в левой части основной таблицы:
х0 |
щ |
Х\ |
2і |
ВіОп) |
гі+Ві |
Во(хо) |
2 |
/3 |
1 |
14 |
53 |
67 |
67 |
|
С |
3 |
15 |
47 |
62 |
|
Переходим к следующему шагу. 1 = 2.
Заполняем первую строку вспомогательной таблицы, занося в нее все полученные на предшествующем этапе значения переменной
Хі |
1 |
3 |
Вгіхг) |
53 |
47 |
Левую часть основной таблицы заполняем рассмотренным выше образом:
хі |
«2 |
|
22 |
В2{х2) |
г2 + В2 |
Ві(ая) |
1 |
3 |
1 |
16 |
36 |
52 |
53 |
|
/с |
2 |
19 |
34 |
53 |
|
3 |
/3 |
1 |
11 |
36 |
47 |
47 |
|
с |
4 |
9 |
29 |
38 |
|
г = 3.
Заносим в первую строку вспомогательной таблицы все полученные на предшествующем этапе значения переменной ж2:
х2 |
1 |
2 |
4 |
В2(х2) |
36 |
34 |
29 |
Левую часть основной таблицы заполняем обычным образом:
|
Отметим, что для Х2 = 4 управление из = С не является допустимым.
г = 4.
Вспомогательная таблица на данном шаге имеет вид
£з |
1 |
2 |
3 |
В3(х3) |
19 |
16 |
13 |
Основная таблица выглядит так:
|
На этом предварительный этап решения задачи завершен.
Этап условной оптимизации. На данном этапе обычным образом заполняются правые части основных и вторые строки вспомогательных таблиц при г = 4, 3,2,1. Соответствующим образом расставляются знаки «/», указывающие строки, на которых достигаются промежуточные максимумы. Расчеты начинаются с условия = 0. Получаемые результаты уже представлены в приведенных выше таблицах.
Этап безусловной оптимизации. На данном этапе определяется максимальное значение целевой функции
и строится оптимальное управление (и\, и2, Ц, Полагая
хо = хо = 2,
по основным таблицам строим следующий ряд значений:
і |
= 1: |
х0 |
= 2, |
и\ |
= 3, |
хї = |
1. |
і |
= 2: |
|
= 1, |
и*2 |
= с, |
х2 = |
2. |
і |
= 3: |
х2 |
= 2, |
«3 |
= 3, |
4 = |
1. |
і |
= 4: |
4 |
= 1, |
и\ |
= с, |
X4 - |
2. |
На этом построение оптимального решения задачи завершено. Оно определено однозначно и имеет вид (3;С;3;С).
Ответ: для достижения максимального экономического эффекта, равного 67 усл. ден. ед., имеющееся на предприятии оборудование следует заменить в начале 1-го и 3-го кварталов планируемого года.
Замечание 1. Отметим, что оптимальное управление в первом квартале заключается в замене оборудования и дает экономический эффект 14 усл. ден. ед. за квартал; в то же время сохранение оборудования дает больший экономический эффект —15 усл. ден. ед. за квартал. Это замечание наглядно демонстрирует противоречивость долгосрочных и сиюминутных интересов и подчеркивает, что метод ДП оптимизирует процесс с учетом будущего эффекта.
Замечание 2. Проведем сопоставление полученного оптимального решения с двумя в определенном смысле противоположными допустимыми решениями, первое из которых реализует стратегию максимально частого ежеквартального обновления оборудования, а второе — стратегию максимального откладывания обновления. В первом случае получаются следующие значения:
і |
Щ |
Х{ |
|
1 |
3 |
1 |
14 |
2 |
3 |
1 |
16 |
3 |
3 |
1 |
17 |
4 |
3 |
1 |
18 |
При этом
Я = 14 + 16 + 17 + 18 = 65. Во втором случае получаются значения:
г |
щ |
Х{ |
|
1 |
С |
3 |
15 |
2 |
С |
4 |
9 |
3 |
3 |
1 |
10 |
4 |
с |
2 |
19 |
При этом
£ = 15 + 9 + 10 + 19 = 53.
Таким образом, рассмотренные простейшие стратегии могут обеспечить лишь около 97% и 79% соответственно от максимального экономического эффекта 2* = 67. Первая стратегия дает весьма высокий результат, однако излишне частое обновление оборудования связано с известными организационными неудобствами и издержками. Вторая же стратегия имеет слишком низкую эффективность, что еще раз подтверждает высокую важность и актуальность оптимизационных задач.
Замечание 3. Отметим, что отказ от проведения предварительного этапа приведет к необходимости выполнения излишней вычислительной работы — расчетам функций Беллмана для нереализуемых значений Х\ = 2,4, х2 — 3 и жз = 4.
25 26 27 Наверх ↑