2.2. Задача о распределении инвестиций по максимуму нормы прибыли

Условие задачи. Сохраняя исходные данные предыдущей за­дачи, предположим, что руководство производственного объедине­ния имеет возможность инвестировать в свои предприятия не ровно 5 усл. ден. ед., а некоторую сумму от 3 до 5 усл. ден. ед. включительно. Требуется найти такое распределение инвестиций между предприяти­ями, которое обеспечило бы для производственного объединения мак­симальную норму прибыли, под которой будем понимать отношение ожидаемой прибыли к объему инвестированных средств.

Замечание 1. Конечно, поставленную задачу можно решить по образцу предыдущей, проведя отдельно расчеты для сумм в 3, 4 и 5 усл. ден. ед., но это привело бы к громоздким дублирующимся вычислениям. Гораздо более эффективным решением будет проведение одного общего расчета по следующей схеме, в которой проведен иной выбор фазовой переменной.

Решение. В данной задаче, как и в предыдущей, управляемой системой является рассматриваемое производственное объединение, многошаговым процессом — процесс выделения средств предприятиям. Экономический эффект представляет норма прибыли, и при этом за­дача решается на поиск максимума.

Проведем прежде всего математическую формализацию поставлен­ной задачи, т. е. построим ее экономико-математическую модель в со­ответствии с пп. 1-5 из разд. 1.7 гл. 1.

1.               Число шагов N в данной задаче, как и в предыдущей, следует принять равным 3: на первом шаге планируется выделение средств предприятию 771, на втором шаге — предприятию 772, на третьем шаге — предприятию 77з.

2.               Поскольку в отличие от предыдущей задачи сумма распределя­емых средств не является известной заранее, то следует рассмотреть не одно, а несколько возможных начальных состояний системы. При этом в качестве фазовой переменной х, определяющей состояние си­стемы в ходе процесса распределения инвестиций, удобно принять сум­марный объем средств, оставшихся нераспределенными после каждого шага процесса. Начальное состояние системы представляет собой весь объем инвестируемых средств и характеризуется переменной хо, кото­рая может принимать значения 3, 4, 5. Переменная представляет объем нераспределенных средств после первого шага процесса (т. е. после выделения средств предприятию Щ), ж₂ —объем нераспределен­ных средств после второго шага (после выделения средств предприя­тиям П\ и 77₂), жз объем нераспределенных средств после третьего шага процесса (после выделения средств всем предприятиям П\, 77₂ и 77з). Поскольку все инвестируемые средства распределяются между предприятиями без остатка, то должно выполняться условие х% = 0.

3.               В качестве управляющей переменной и примем, как и в преды­дущей задаче, объем средств, выделяемых предприятиям на каж­дом из шагов процесса. Именно, переменная щ представляет объем средств, выделяемых предприятию Щ на шаге с номером г процесса. Как и выше, будем считать, что средства предприятиям выделяются суммами по целому числу усл. ден. ед., т. е. все управления прини­мают только целочисленные значения. По смыслу задачи выполняется условие

Щ + и₂ + щ = хо■

4.               Функция процесса х_г = /_г(ж_г_1, и_г), определяющая закон измене­ния состояния системы, для данного выбора фазовой и управляющей переменных представляется формулой

Х\ — Х\ — 1 Ui

и имеет следующий экономический смысл: на каждом шаге объем нераспределенных средств уменьшается на величину инвестиций в со­ответствующее предприятие.

5. Составим целевую функцию, определяющую экономический эффект в данной задаче. Чтобы в наибольшей степени сохранить сходство с предыдущей задачей и подчеркнуть отличия, обозначим частные целевые функции, итоговую целевую функцию и оптимальное значение данной задачи через yt, Y я Y* соответственно. Как и выше, будем обозначать через z, — 2_г(щ) ожидаемую прибыль предприя­тия Щ при инвестировании в него средств в объеме щ; эта функция задается таблицей исходных данных из условия предыдущей задачи. Суммарная прибыль производственного объединения равна

Zi + Z₂ + Z3

и зависит как от общего объема xq инвестируемых средств, так и от распределения этих средств между предприятиями, т. е. от значений ui, U2, Щ- Норма прибыли, которая и является критерием оптималь­ности Y для рассматриваемой задачи, в соответствии с данным выше определением вычисляется по формуле

Y _ + ^z2 + ^z3 . * ) Хо

при ЭТОМ, очевидно, частные целевые функции Уг следует принять равными Zi/xо, что приведет к равенству Y = у\ + у₂ + уз-

Задание аддитивного критерия оптимальности позволяет непо­средственно приступить к решению задачи, но мы проведем сначала некоторые преобразования, имея в виду следующие обстоятельства. В выражении для функции Y присутствует деление на переменную хо, имеющую общее значение для всех шагов; возникает желание «выне­сти» эту переменную «за "скобки». Более того, деление, как правило, приводит к возникновению дробных чисел на промежуточных этапах и загромождает решение.

Попытаемся упростить вычисления за счет незначительного услож­нения логики решения задачи следующим образом. Определим функ­цию Р(хо) как максимальную суммарную прибыль предприятий при равном хо общем объеме инвестиций:

Р(х₀) = max {zi + z₂ + z₃ | щ + u₂ + Щ = ж₀},

U1,U2,U3

где максимум берется по всевозможным значениям управляющих переменных щ,и₂,из, удовлетворяющим условию щ + и₂ + Щ = XQ.

Вычисление функции Р(хо) может быть проведено методом ДП, причем частными целевыми функциями здесь являются Zi, а промежуточные деления отсутствуют. Отношение

Р(х₀)

Хо

равно максимальной норме прибыли производственного объединения при общем объеме .7;о инвестиций, а оптимальное значение задачи У* вычисляется по формуле

_                                        /Р(х о)|

У = тах< ——¹ >,

хо [ х₀ )

где максимум берется по хо= 3, 4, 5. Проведенные рассуждения можно представить следующей цепочкой равенств:

21 + 2₂ + 2₃

У* = тах

Щ + Щ + Щ — х₀ | =

Щ + П2 + Щ = Хо > } =

{ — тах { г\ + г₂ + 2з|и1 + 112 + Щ = жо) 1 = тах]      1

Х0И1,и₂,из                         ) х₀ ХО )

приводящей, естественно, к тому же результату. Таким образом, решение задачи может быть проведено по следующей схеме:

1)               вычисление функции Р(хо) для каждого допустимого значе­ния хо методом ДП;

2)               вычисление оптимального значения задачи У* и построение оптимального решения.

На этом математическая формализация поставленной задачи за­вершена. Как нетрудно проверить, основные допущения метода ДП — отсутствие последействия и аддитивность целевой функции —для нее выполняются. Тем самым можно непосредственно приступить к расче­там, включающим предварительный этап, этап условной оптимизации и этап безусловной оптимизации. Важно подчеркнуть, что вычисля­емая функция Р{хо) равна функции Беллмана Во(хо) для решаемой задачи с целевой функцией 21+22 + 23:

Р(хо) = Во(хо).

При оформлении решения данной задачи (в отличие от преды­дущей) во избежание громоздких повторений таблиц все получаемые при решении таблицы приведены сразу окончательно заполненными.

Предварительный этап. Данный этап решения задачи прово­дится в естественном порядке для г = 1, 2, 3 и не связан непосредственнос вычислением функций Беллмана В, (х_г). На данном этапе, как обычно, заполняются только первая строка вспомогательной таблицы и четыре левых столбца основной таблицы.

г = 1.

В данном случае начальное состояние системы не является опре­деленным однозначно, а соответствующая переменная принимает несколько допустимых значений: 3, 4, 5. Соответственно, вспомога­тельная таблица имеет вид:

 

Основная таблица заполняется по аналогии с предшествующей за­дачей, причем расчеты значений фазовых переменных ведутся по новой приведенной выше формуле. Некоторое отличие состоит в том, что уже первая основная таблица включает не один, а три строчных фрагмента следующего вида:

 

После заполнения левой части основной таблицы переходим к сле­дующему шагу.

г = 2.

На втором шаге в первую строку вспомогательной таблицы внесем по одному разу все значения переменной х\, рассчитанные на пред­шествующем шаге и фигурирующие в третьем столбце предыдущей основной таблицы (многие из этих значений неоднократно повторя­ются). Получаем следующую вспомогательную таблицу:

 

 

Построенная таблица разделена на 6 строчных фрагментов, соот­ветствующих различным значениям переменной х\. Переходим к сле­дующему (последнему) шагу.

г = 3.

На третьем шаге, как обычно, в первую строку вспомогательной таблицы внесем по одному разу все значения переменной х₂, рассчи­танные на предшествующем шаге и фигурирующие в третьем столбце предыдущей основной таблицы. Получаем такую вспомогательную таб­лицу:

 

Заполнение основной таблицы проводится обычным образом с уче­том той особенности, что для выполнения условия жз = 0 необходимо в соответствии с полученной выше формулой Хг = — Щ при I = 3 выбирать «з = Х2- Соответственно каждый из 6 строчных фрагментов включает только одну строку, а основная таблица имеет вид:

 

На этом предварительный этап решения задачи завершен. При­ступаем к этапу условной оптимизации.

Этап условной оптимизации. Данный этап непосредственно связан с вычислением функций В_г (х_г) и проводится в обратном порядке для г = 3,2,1. При этом заполняются остальные фрагменты таблиц: вторая строка вспомогательной таблицы и три правых столбца основной таблицы. На этом же этапе расставляются и знаки «/», указывающие те условно-оптимальные значения управления, на которых достигаются промежуточные условные максимумы. (Как было сказано выше, все получаемые таблицы приведены уже окончательно заполненными.)

г = 3.

Поскольку в силу принципа оптимальности Беллмана имеет место равенство Вз(хз) = 0, то в пятый столбец основной таблицы записываем нулевые значения. При этом в шестой столбец записываются суммы соответствующих чисел из двух предшествующих столбцов, а в по­следний столбец заносится максимум из всех чисел шестого столбца для каждого строчного фрагмента отдельно. Но поскольку в каждом строчном фрагменте последней основной таблицы имеется только одна строка, то соответствующий максимум .62(22) равен сумме 2:3 + Дз. Полученные значения функции .62(22) заносятся во вторую строку вспомогательной таблицы.

Аналогично завершается заполнение основных и вспомогательных таблиц для г — 2 и г = 1. Обратим внимание, что в основной таблице д_ЛЯ { = 1 в некоторых строчных фрагментах имеется более одного знака «/»• Это означает, что промежуточный максимум достигается на нескольких управлениях, что может привести к существованию несколь­ких различных оптимальных решений задачи. Приступаем к этапу безусловной оптимизации.

Этап безусловной оптимизации. На данном этапе находим оптимальное значение задачи У* и оптимальное управление Полученные значения функции Во(хо), как уже отмечалось выше, равны значениям функции Р(х₀) (значение Во(5) = 13, конечно, сов­падает с оптимальным значением предшествующей задачи при распре­делении 5 усл. ден. ед.). В соответствии с принятой схемой решения задачи необходимо вычислить норму прибыли как отношение

Р(хр) ₌ В₀(х₀)

Хо                                  Хо

и выбрать максимальное значение. Поскольку

3 3                              4 4                       5 5

то максимум нормы прибыли У* — 2,66... достигается при распреде­лении 3 усл. ден. ед., т. е. оптимальное начальное состояние системы отвечает значению .г*, = 3. Соответствующее оптимальное распреде­ление инвестиций находим по основным таблицам, просматривая их еще раз в естественном порядке при г = 1,2,3 и используя отмечен­ные знаками «/» строки, содержащие условно-оптимальные значения управления. Получаем такую последовательность шагов.

I = 1.

На данном шаге соответствующая основная таблица имеет три строчных фрагмента. Из них выбираем тот строчный фрагмент, кото­рый соответствует уже найденному оптимальному начальному состо­янию г/;*, = 3. Но в этом фрагменте условно-оптимальными являются два значения управления щ = 0 и и\ = 1, отмеченные знаком «/». Это означает, что задача имеет не одно, а несколько оптимальных решений, по меньшей мере два. Построим сначала первое решение, соответствующее и\ = 0. Для этого определим по той же строке таб­лицы х* = 3.

I = 2.

На данном шаге из второй основной таблицы выбираем тот строч­ный фрагмент, который содержит уже найденное на предшествующем шаге оптимальное значение х\ = 3. В этом фрагменте оптимальным является единственное управление 11*2 ⁼ отмеченное знаком «/"»; соответственно в той же строке таблицы находим х₂ = 3.

і = 3.

На данном шаге из третьей основной таблицы выбираем тот строч­ный фрагмент, который соответствует уже найденному оптимальному значению х₂ = 3. Этот фрагмент содержит только одну строку и одно значение управления, которое и будет оптимальным: = 3; в той же строке таблицы находим х₃ = 0.

На этом завершено построение первого оптимального решения за­дачи, которое имеет вид (0,0,3). Проведем построение второго опти­мального решения, соответствующего и\ = 1, проходя все основные таблицы еще раз уже без детальных пояснений.

 

Следовательно, второе оптимальное решение имеет вид (1,0,2). Других оптимальных решений задача не имеет. Этап безусловной оп­тимизации метода ДП завершен.

Тем самым решение поставленной задачи проведено полностью. Учитывая экономический смысл введенных переменных и функций, формулируем окончательный ответ к задаче.

Ответ: для получения максимума нормы прибыли по производ­ственному объединению следует инвестировать 3 усл. ден. ед., при­чем существуют два варианта оптимального распределения инве­стиций:

1)               выделить все 3 усл. ден. ед. одному предприятию Дз;

2)               выделить 1 усл. ден. ед. предприятию П\ и 2 усл. ден. ед. пред­приятию Яз.

Замечание 2. Отметим еще раз все те новые обстоятельства, ко­торые встретились нам при решении данной задачи.

1.               Начальное состояние х₀ системы не было определено однозначно заранее, а могло принимать ряд различных значений. Оптимальное начальное состояние х*_} определялось в ходе решения задачи.

2.               В отдельных строчных фрагментах основных таблиц было более одного знака «/», т.е. не одно, а сразу несколько значений управления являлись условно-оптимальными.Наличие двух условно-оптимальных значений управления для хо = 3 привело к тому, что данная задача имеет несколько опти­мальных решений (именно, два различных решения). В то же время подчеркнем, что наличие нескольких условно-оптимальных значений управления не обязательно приводит к существованию различных оптимальных решений задачи. Например, для хо = 4 существуют 3 условно-оптимальных управления щ — 0,1,2, ни одно из которых не стало безусловно оптимальным по той причине, что значение Жо = 4 оказалось вне оптимальной траектории.