Глава 6 Корреляционные связи и выведение эффективной

границы

Мы узнали несколько способов поиска оптимального количества при торговле фьючерсами, акциями и опционами (по отдельности или совместно с другими инструментами), когда существует либо случайная, либо причинная связь между

ценами инструментов. Можно определить оптимальный набор, когда коэффици­ент линейной корреляции двух любых элементов портфеля равен 1,-1 или 0. Однако связи между двумя элементами портфеля, рассматриваем ли мы корреляцию цен (в немеханической торговой системе) или изменений баланса (в механической системе), редко дают такие удобные значения коэффициентов линейной корреляции. В этой главе описан способ определения эффективной границы портфелей рыночных систем, когда коэффициенты линейной корреляции любых двух компонентов рассматриваемого портфеля принимают произвольные значения между -1 и 1 включительно. Далее описан метод, применяемый профессионалами для расчета оптимальных портфелей акций. В следующей главе мы адаптируем его для использования любых инструментов. Данная глава основана на важном предположении, которое заключается в том, что распределения, генерирующие последовательность сделок (распределения прибылей), имеют конечную дисперсию. Предложенные методы эффективны только тогда, когда используемые входные данные имеют конечную дисперсию1.

Определение проблемы

На некоторое время оставим саму идею оптимального f (мы вернемся к нему поз­же). Легче всего понять параметрическое выведение эффективной границы, если рассмотреть портфель акций. Будем исходить из того, что эти акции находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за счет кредита, полу­ченного от брокерской фирмы (не на маржинальном счете). С учетом этого ограничения мы выведем эффективную границу портфелей, т.е. из предложенных акций создадим комбинацию, которая будет иметь наименьший уровень ожидаемого риска для данного уровня ожидаемого выигрыша. Эти уровни задаются степенью неприятия риска инвестором. Теория Марковица (или Совре­менная теория портфеля) часто называется теорией Е— V (Expected return (ожида­емая прибыль) —Variance of return (дисперсия прибыли)). Отметьте, что входные параметры основаны на данных по прибыли, таким образом, входные данные для выведения эффективной границы — это прибыли, которые мы ожидаем по данной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям оп­ределяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной стоимости акций (или минус уменьшение) за этот же пери­од, выраженные в процентах. Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из которых — в акции, а одна — в сберегательный счет с процентной ставкой 8 1/2% в год. Отметьте, что в этом примере продолжительность периода инвестирования (когда мы измеряем прибыли и их дисперсии) — 1 год:

Инвестиция Ожидаемая прибыль

Ожидаемая дисперсия прибыли

 


Toxico

9,5%

10%

Incubeast Corp.

13%

25%

LA Garb

21%

40%

Для получения дополнительной информации прочитайте Fama, Eugene E, «Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market», Management Science 11, pp. 404 — 419, 1965. Фама продемонстрировал параметрические методы поиска эффективной границы для стабильно распределенных ценных бумаг (распределения которых обладают одинаковым характеристическим показателем А), когда прибыли компонентов зависят от одного индекса основного рынка. Существует и другая работа, посвященная выведению эффективной границы в условиях бесконечной дисперсии прибылей компонентов портфеля. Эти методы не рассматриваются в данной книге, но для заинтересованных читателей есть ссылки на соответствующие статьи. О распределении Парето вы сможете узнать из приложения В. Несколько слов о бесконечной дисперсии сказано в разделе «Распределение Стьюдента» в приложении В.

Сберегательный счет 8,5%     0%

Если прибавить к значению ожидаемой прибыли единицу, мы получим HPR. Так­же мы можем извлечь квадратный корень из значения ожидаемой дисперсии при­были и получить ожидаемое стандартное отклонение прибыли. Используемый временной горизонт не имеет значения при условии, что он одинаковый для всех рассматриваемых компонентов. Если речь идет о прибыли, неважно, что мы используем: год, квартал, 5 лет или день, — пока ожидаемые прибыли и стандартные отклонения для всех рассматриваемых компонентов име­ют одни и те же временные рамки.

Инвестиция    Ожидаемая прибыль (HPR)      Ожидаемое стандартное отклонение

прибыли

Toxico            1,095    0,316227766

Incubeast Corp.

1,13

LA Garb

1,21

Сберегательный счет

1,085

0,5

0,632455532

0

Ожидаемая прибыль — это то же самое, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей ~ то же самое, что и потенциальный риск. Отметьте, что данная модель двумерная. Мы можем сказать, что модель представлена правым верхним квадрантом декартовой системы координат (см. рисунок 6-1), где по вертикали (ось Y) откладывается ожидаемая прибыль, а по горизонтали (ось X) откладывается ожидаемая дисперсия, или стандартное отклонение прибылей.

1,4

1,3 -

1,2 -

1,1 ■

1

*Л  -0,1         0          0,1        0,2        0,3        0,4        0,5        0,6        0,7

Рисунок 6-1  Правый верхний квадрант декартовой системы координат

Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как потенциальный риск (ве­роятность) катастрофического убытка, который теория Е — V не рассматривает отдельно от дисперсии прибылей. Мы не будем изучать эту концепцию в данной

главе, а будем обсуждать теорию Е — V в классическом варианте. Марковиц также утверждал, что портфель, полученный из теории Е — V, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функци­ей ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли. Марковиц указал, что инвестор может использовать и более высокие моменты распределения, а не только первые два (на которых основана теория Е — V), например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.

Потенциальный риск — очень емкое понятие, он является функцией гораздо большего числа переменных и включает более высокие моменты распределений. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен. Риск намного шире, и его реальная природа плохо поддается коли­чественной оценке.

Первое, что должен сделать инвестор, желающий использовать теорию Е — V, это придать количественный смысл своим предположениям относительно ожидаемых прибылей и дисперсий прибылей рассматриваемых ценных бумаг на определенном временном горизонте (периоде удержания). Эти параметры можно получить эмпирически. Инвестор может рассмотреть прошлую историю ценных бумаг и рассчитать прибыли и их дисперсии за определенные периоды. Как уже было отмечено, термин «прибыли» означает не только дивиденды по ценной бумаге, но и любые повышения стоимости ценной бумаги (в процентах). Дисперсия является статистической дисперсией процентных прибылей. Для определения ожидаемой прибыли в период удержания можно использовать линейную регрессию по прошлым прибылям. Дисперсия как входной параметр определяется путем расчета дисперсии каждой прошлой точки данных на основе ее спрогнозированного значения (а не на основе линии регрессии, рассчитанной для прогнозирования следующей ожидаемой прибыли). Вместо того чтобы определять эти значения эмпирическим способом, инвестор может оценить значения будущих прибылей и дисперсий1. Возможно, наилучшим способом нахождения параметров является комбинация обоих подходов. Инвестору следует использовать эмпирический подход (т.е. использовать исторические данные), затем, если это необходимо, можно учесть прогноз относительно будущих значений ожидаемых прибылей и дисперсий. Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты линейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комбинации обоих подходов. При определении коэффициентов корреляции важно использовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если вы используете годо­вые данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведете расчеты на годовой основе), следует использовать годовые данные и при определении коэффициентов корреляции. Если вы используете дневные данные для определения ожидаемых прибьыей и дисперсии прибылей (т.е. ведете расчеты на дневной основе), тогда вам следует использовать дневные данные для опре­деления коэффициентов корреляции. Вернемся к нашим четырем инвестициям — Toxico, Incubeast Corp., LA Garb и сберегательному счету. Присвоим им символы Т, 1, L и S соответственно. Ниже приведена таблица их коэффициентов линейной корреляции:

I         L          S

1 Расчет дисперсии может оказаться довольно сложным. Более легким способом является расчет среднего абсолютного отклонения, которое следует умножить на 1,25 для получения стандартного отклонения. Если возвести это значение в квадрат, мы получим оценку дисперсии.

 

Прежде чем решать систему уравнений, необходимо задать уровень ожидаемой прибыли Е. Решением будет комбинация весов, которая даст искомое Е при наименьшей дисперсии. После того как вы определитесь с выбором Е, у вас будут все входные переменные, необходимые для построения матрицы коэффициентов. Переменная Е в правой части первого уравнения — это значение прибыли. для которой вы хотите определить комбинацию ценных бумаг в портфеле. Первое уравнение говорит о том, что сумма всех ожидаемых прибылей, умноженных на соответствующие веса, должна равняться заданному Е. Второе уравнение отражает тот факт, что сумма весов должна быть равна 1. Была показана матрица для случая с тремя ценными бумагами, но вы можете использовать обобщенную форму для N ценных бумаг.

Возьмем ожидаемые прибыли и ковариации из уже известной таблицы ковариаций и подставим коэффициенты в обобщенную форму. Таким образом из коэффициентов обобщенной формы можно создать матрицу. В случае четырех компонентов (N = 4) мы получим 6 рядов (N + 2):

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц-строк.

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое является суммой опреде­ленного количества элементов. Многочлен с одним элементом называется одно­членом, с двумя элементами — двучленом, с тремя — трехчленом и т.д. Выраже­ние 4*А^3 + А^2 +А+2 является многочленом, имеющим четыре члена. Члены отделены знаком (+).

Многочлены имеют различные степени. Степень многочлена определяется зна­чением наибольшей степени любого из элементов. Степенью элемента является сумма показателей переменных, содержащихся в элементе. Показанное выше вы­ражение является многочленом третьей степени, так как элемент 4 * А^ 3 имеет третью степень, и это наивысшая степень среди всех элементов многочлена. Если бы элемент был равен 4*A^З*B^62*C, мы бы получили многочлен шестой степени, так как сумма показателей переменных (3+2+1) равна 6. Многочлен первой степени называется также линейным уравнением и графически задается прямой линией. Многочлен второй степени называется квадратным уравнением и на графике представляет собой параболу. Многочлены третьей, четвертой и пятой степени называются соответственно кубическим уравнением, уравнением четвертой степени, уравнением пятой степени и т.д. Графики много­членов третьей степени и выше довольно сложны. Многочлены могут иметь любое число элементов и любую степень, мы будем работать только с линейными уравнениями, т.е. многочленами первой степени. Решить систему линейных уравнений можно с помощью процедуры Гаусса-Жордана, или, что то же самое, метода гауссовского исключения. Чтобы использовать этот метод, мы должны сначала создать расширенную матрицу, объединив матрицу коэффициентов и столбец свободных членов. Затем следует произвести элементарные преобразования для получения единичной матрицы. С помощью элементарных преобразований мы получаем более простую, но эквивалентную первоначальной, матрицу. Элементарные преобразования производятся посредством построчных операций (мы опишем их ниже). Единичная матрица является квадратной матрицей коэффициентов, где все элементы равны нулю, кроме диагональной линии элементов, которая начинается в верхнем левом углу. Для матрицы коэффициентов «шесть на шесть» единичная матрица будет выглядеть следующим образом:

1 0  0  0  0  о

Матрица, где число строк равно числу столбцов, называется квадратной матри­цей. Благодаря обобщенной форме задачи минимизации V для данного Е, мы все­гда будем иметь дело с квадратными матрицами коэффициентов. Единичная матрица, полученная с помощью построчных операций, эквивалентна первоначальной матрице коэффициентов. Ответы для нашей системы уравнений можно получить из крайнего правого вектора-столбца. Единица в первой строке единичной матрицы соответствует переменной X,, поэтому значение на пересечении крайнего правого столбца и первой строки будет ответом для X1 Таким же образом на пересечении крайнего правого столбца и второй строки со­держится ответ для Х2 так как единица во второй строке соответствует Х2 Ис-

пользуя построчные операции, мы можем совершать элементарные преобразова­ния в первоначальной матрице, пока не получим единичную матрицу. Из единич­ной матрицы можно получить ответы для весов X1... Хn—компонентов портфеля. Найденные веса дадут портфель с минимальной дисперсией V для данного уровня ожидаемой прибыли Е1.

Можно проводить три типа построчных операций:

Поменять местами любые две строки.

Умножить любую строку на ненулевую постоянную.

3.       Любую строку умножить на ненулевую постоянную и прибавить к любой
другой строке.

С помощью этих трех операций мы попытаемся преобразовать исходную матрицу коэффициентов в единичную матрицу

В расширенной матрице проведем элементарное преобразование номер 1, ис­пользуя правило номер 2 построчных операций. Мы возьмем значение на пересечении первой строки и первого столбца (оно равно 0,095) и преобразуем его в единицу. Для этого умножим первую строку на 1/0,095. В результате, значение на пересечении первой строки и первого столбца станет равно единице. Остальные значения в первой сроке изменятся соответствующим образом.

Проведем элементарное преобразование номер 2. Для этого задействуем прави­ло номер 3 построчных операций (для всех строк, кроме первой). Предварительно для всех строк проведем элементарное преобразование номер 1, преобразовав чис­ло, стоящее в первом столбце каждой строки, в единицу. Затем все числа матрицы, кроме чисел первой строки, умножим на -1. После этого можно перейти к непос­редственному применению правила номер 3. Для этого прибавим первую строку к каждой строке матрицы: первое число первой строки прибавим к первому числу второй строки, второе число первой строки ко второму числу второй строки и так далее. После этого преобразования мы получим нули в первом столбце (во всех строках, кроме первой).

Теперь первый столбец уже является столбцом единичной матрицы. С помо­щью элементарного преобразования номер 3, используя правило номер 2 пост­рочных операций, преобразуем значения на пересечении второй строки и второго столбца в единицу. Посредством элементарного преобразования 4, используя правило номер 3 построчных операций, преобразуем в нули значения второго столбца (для всех строк, кроме второй).

Таким образом, с помощью правила номер 2 и правила номер 3 построчных операций мы преобразуем значения по диагонали в единицы и получим единич­ную матрицу. Столбец с правой стороны будет содержать решение.

Интерпретация результатов

После того как найдена единичная матрица, следует интерпретировать полученные результаты. В данном случае при наличии входных данных об ожидаемых прибылях и дисперсии прибылей по всем рассматриваемым компонентам, при наличии коэффициентов линейной корреляции каждой пары компонентов и ожидаемой отдаче 14% наше решение является оптимальным. Слово «оптималь­ный» означает, что полученное решение дает самую низкую дисперсию при ожи­даемой прибыли 14%. Мы можем определить это значение дисперсии, но сначала интерпретируем результаты.

Первые четыре значения, от X1 до Х4 дают нам веса, т.е. доли инвестируемых средств, для получения оптимального портфеля с 14%-ой ожидаемой прибылью. Нам следует инвестировать 12,391% в Toxico, 12,787% в Incubeast, 38,407% в LA Garb и 36,424% в сберегательный счет. Если мы хотим инвестировать 50 000 дол­ларов, то получим:

Акция            Процент          (* 50000 =) сумма инвестиций

 

Тохюо

0,12391

$6195,50

Incubeast

0,12787

$6393,50

LA Garb

0,38407

$19 203,50

Сберегательный счет

0,36424

$18212,00

Таким образом, в Incubeast мы бы инвестировали 6393,50 доллара. Теперь допус­тим, что Incubeast котируется по цене 20 долларов за акцию, т.е. следует купить 319,675 акции (6393,5 / 20). На самом деле мы не можем купить дробное число акций, поэтому купим либо 319, либо 320 акций. Следует также отметить, что не­большой лот из 19 или 20 акций, остающийся после покупки первых 300 акций, будет стоить дороже. Нестандартные, малые лоты обычно стоят несколько дороже, поэтому мы переплатим за 19 или 20 акций, а это коснется ожидаемой прибыли по нашей позиции в Incubeast и в свою очередь затронет оптимальную комбинацию портфеля. В некоторых случаях следует ограничиться только стандартным лотом (в нашем случае — это 300 акций). Как видите, необходимо учитывать некоторый коэффициент ухудшения. Мы можем определить оптимальный портфель с точ­ностью до дробной части акции, но реальная торговля все равно внесет свои коррективы. Естественно, чем больше ваш счет, тем ближе будет реальный портфель к теоретическому. Допустим, вместо 50 000 долларов вы оперируете пятью миллионами долларов. Вы хотите инвестировать 12,787% в Incubeast (если речь идет только об этих четырех инвестиционных альтернативах) и поэтому будете инвестировать 5 000 000*0,12787 =$639 350. При цене 20 долларов за акцию вы бы купили 639350/20=31967,5 акций. Учитывая круглый лот, вы купите 31900 акций, отклоняясь от оптимального значения примерно на 0,2%. Когда для инвестирования у вас есть только 50 000 долларов, вы купите 300 акций вместо оптимального количества 319,675 и таким образом отклонитесь от оптимального значения примерно на 6,5%.

Множители Лагранжа имеют достаточно интересную интерпретацию. Переменная L{ = -8V/ &Е, т. е. L(, является скоростью изменения дисперсии при изменении ожидаемых прибылей. В нашем примере, где Ц = - 2,6394, мы мо­жем сказать, что V изменяется со скоростью -Ц, или со скоростью 2,6394 едини­цы на каждую единицу Е (при Е = 0,14).

Для интерпретации переменной L2 мы заменим формулу 8Х.= 1 на 8Х.= М, где М — сумма инвестиций (в долларах). Таким образом, L2 = 5V/ /6М. Другими словами, L2 представляет собой скорость изменения риска при уве­личении или уменьшении инвестиций.

Теперь вернемся к дисперсии всего портфеля, мы можем использовать уравне­ния (6.06) для определения дисперсии. Можно задействовать любой вариант уравнения с (6.06а) по (б.Обг), мы воспользуемся вариантом а:

На этот раз в четвертой ячейке столбца ответов мы получили отрицательный ре­зультат. Это означает, что нам следует инвестировать отрицательную сумму в размере 9,81% капитала в сберегательный счет. Чтобы решить проблему отрица­тельного Xi (т.е. когда значение на пересечении строки i и крайнего правого столбца меньшее или равно нулю), мы должны удалить из первоначальной рас­ширенной матрицы строку i + 2 и столбец i и решить задачу для новой расши­ренной матрицы. Если значения последних двух строк крайнего правого столбца меньше или равны нулю, нам не о чем беспокоиться, поскольку они соответствуют множителям Лагранжа и могут принимать отрицательные значения. Так как отрицательное значение переменной соответствует отрицательному весу четвертого компонента, мы удалим из первоначальной расширенной матрицы четвертый столбец и шестую строку. Затем используем построчные операции для проведения элементарных преобразований, чтобы получить единичную матрицу:

Первоначальная расширенная матрица        

Рисунок 7-1   Увеличение прибылей с помощью безрисковых активов

Точка В соответствует касательному портфелю. Это единственный портфель, ле­жащий на эффективной границе, которого коснется линия, проведенная из точки с координатой: безрисковая ставка прибыли на вертикальной оси и ноль на гори­зонтальной оси. Любая точка на отрезке АВ соответствует портфелю из точки В в комбинации с безрисковыми активами. В точке В все средства вложены только в портфель, а в точке А только в безрисковые активы. Любая точка между А и В со­ответствует определенной комбинации, когда часть активов находится в портфеле, а часть в безрисковых активах. Отметьте, что портфель на отрезке АВ более выгоден, чем любой портфель на эффективной границе при том же уровне риска, так как, находясь на отрезке АВ, он имеет более высокую прибыль при том же уровне риска. Таким образом, инвестору, который хочет получить менее риско­ванный портфель, чем портфель В, следует инвестировать средства в портфель В и в безрисковые активы, а не смещаться по эффективной границе в точку с меньшим риском. Линия, выходящая из точки А безрискового уровня на вертикальной оси и нуля на горизонтальной оси и касающаяся в одной точке эффективной границы, называется линией рынка капитала (CML). Справа от точки В линия CML пред­ставляет портфели, где инвестор занимает средства для инвестирования в порт­фель В. Отметьте, что инвестору, который хочет получить большую прибыль, чем дает портфель В, следует поступить именно таким образом, поскольку портфели на линии CML справа от точки В дают более высокую прибыль, чем портфели на эффективной границе при том же уровне риска. Как правило, В — очень хорошо диверсифицированный портфель. Большинство портфелей, расположенных справа сверху и слева снизу на эффективной границе, имеют очень мало компонентов, портфели в середине эффективной границы, где проходит касательная, достаточно хорошо диверсифицированы. Традиционно считается, что все разумные инвесторы хотят получить максимальную прибыль при данном риске и принять наименьший риск при заданной прибыли. Таким образом, все инвесторы хотят быть где-то на линии CML. Другими словами, все инвесторы хотят держать один и тот же портфель, но с различной долей заемных средств. Данное различие между инвестиционным решением и инвестированием с использованием заемных средств известно как теорема разделения. Мы будем исходить из того, что вертикальная шкала (Е в теории Е — V) выражает арифметическое среднее HPR (AHPR) для портфелей, а горизонтальная шкала (V) отражает стандартное отклонение HPR. Для  заданной  безрисковой  ставки  мы  можем  определить,  где  находится

касательный портфель на нашей эффективной границе, так как его координаты (AHPR, V) максимизируют следующую функцию:

(7.0 la)  Касательный портфель = MAX{(AHPR - (1 + RFR)) / SD},

где МАХ{} = максимальное значение;

AHPR =арифметическое среднее HPR, т. е. координата Е данного портфеля на

эффективной границе;

SD = стандартное отклонение HPR, т. е. координата V данного портфеля на

эффективной границе;

RFR== безрисковая ставка (risk-free rate).

В уравнении (7.0la) формула внутри скобок ({}) представляет собой отношение Шарпа. Отношение Шарпа для портфеля — это отношение ожидаемых избыточ­ных значений прибыли к стандартному отклонению. Портфель с наибольшим отношением Шарпа является портфелем, где линия CML касается эффективной границы при данном значении RFR.

Следующая таблица показывает, как использовать уравнение (7.01а). В первых двух столбцах указаны координаты различных портфелей на эффективной грани­це. Координаты даны в формате (AHPR, SD), что соответствует осям Y и Х рисун­ка 7-1. В третьем столбце представлены данные, полученные из уравнения (7.01а), при безрисковой ставке 1,5% (AHPR= 1,015). Мы исходим из того, что HPR имеют квартальные значения, таким образом, квартальная безрисковая ставка 1,5% примерно равна годовой безрисковой ставке 6%. Например, для третьего набора координат (1,002; 0,00013) получим:

(AHPR - (1 + RFR)) / SD = (1,002 - (1 + 0,015)) / 0,00013

= (1,002- 1,015)/0,00013 = -0,013/0,00013 = -100

Проведем данный расчет для каждой точки на эффективной границе. Макси­мальное значение уравнения (7.01а) 0,502265 соответствует координатам (1,03; 0,02986), они задают точку, которая соответствует точке В на рисунке 7-1, где ли­ния CML касается эффективной границы. Точка касания соответствует опреде­ленному портфелю на эффективной границе. Отношение Шарпа определяет на­клон CML, причем самым крутым наклоном обладает касательная к эффективной границе.

 

 

Эффективная граница

 

Линия

CML

AHPR

SD

Уравнение (7.01а)

Процент

AHPR

 

 

RFR = 0,015

 

 

1,00000

0,00000

0

0,00%

1,0150

1,00100

0,00003

-421,902

0,11%

1,0150

1,00200

0,00013

-100,000

0,44%

1,0151

1,00300

0,00030

-40,1812

1,00%

1,0152

1,00400

0,00053

-20,7184

1,78%

1,0153

 

Продолжение

AHPR

Эффективная граница SD Уравнение (7.01а)

Линия CML Процент AHPR

1,00500

0,00083

1,00600

0,00119

1,00700

0,00163

1,00800

0,00212

1,00900

0,00269

1,01000

0,00332

1,01100

0,00402

1,01200

0,00478

1,01300

0,00561

1,01400

0,00650

1,01500

0,00747

1,01600

0,00849

1,01700

0,00959

1,01800

0,01075

1,01900

0,01198

1,02000

0,01327

1,02100

0,01463

1,02200

0,01606

1,02300

0,01755

1,02400

0,01911

1,02500

0,02074

1,02600

0,02243

1,02700

0,02419

1,02800

0,02602

1,02900

0,02791

1,03000

0,02986

1,03100

0,03189

Продолжение

-12,0543

2,78%

1,0154

-7,53397

4,00%

1,0156

-4,92014

5,45%

1,0158

-3,29611

7,11%

1,0161

-2,23228

9,00%

1,0164

-1,50679

11,11%

1,0167

-0,99622

13,45%

1,0170

-0,62783

16,00%

1,0174

-0,35663

18,78%

1,0178

-0,15375

21,78%

1,0183

0

25,00%

1,0188

0,117718

28,45%

1,0193

0,208552

32,12%

1,0198

0,279036

36,01%

1,0204

0,333916

40,12%

1,0210

0,376698

44,45%

1,0217

0,410012

49,01%

1,0224

0,435850

53,79%

1,0231

0,455741

58,79%

1,0238

0,470873

64,01%

1,0246

0,482174

69,46%

1,0254

0,490377

75,12%

1,0263

0,496064

81,01%

1,0272

0,499702

87,12%

1,0281

0,501667

93,46%

1,0290

0,502265 (пик)

100,02%

1,0300

0,501742

106,79%

1,0310

 

AHPR

Эффективная граница SD    Уравнение (7.01а)

Линия CML Процент AHPR

 

1,03200

0,03398

1,03300

0,03614

1,03400

0,03836

1,03500

0,04065

1,03600

0,04301

1,03700

0,04543

1,03800

0,04792

0,500303 0,498114 0,495313 0,492014 0,488313 0,484287 0,480004

113,80% 121,02% 128,46% 136,13% 144,02% 152,13% 160,47%

1,0321 1,0332 1,0343 1,0354 1,0366 1,0378 1,0391

 

1,03900

0,05047

1,04000

0,05309

1,04100

0,05578

1,04200

0,05853

1,04300

0,06136

1,04400

0,06424

1,04500

0,06720

1,04600

0,07022

1,04700

0,07330

1,04800

0,07645

1,04900

0,07967

1,05000

0,08296

0,475517         169,03%            1,0404

0,470873         177,81%            1,0417

0,466111         186,81%            1,0430

0,461264         196,03%            1,0444

0,456357         205,48%            1,0458

0,451416         215,14%            1,0473

0,446458         225,04%            1,0488

0,441499         235,15%            1,0503

0,436554         245,48%            1,0518

0,431634         256,04%            1,0534

0,426747         266,82%            1,0550

0,421902         277,82%            1,0567

Следующий столбец «Процент» отражает процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, если вы находитесь на линии CML при определенном значении стандартного отклонения. Другими словами, последняя строка в таблице (при стандартном отклонении 0,08296) соответствует наличию 277,82% ваших активов в касательном портфеле (основная сумма инвестиций и заем еще 1,7782 доллара на каждый инвестированный доллар для дальнейшего инвестирования). Процентное значение можно рассчитать, если знать стандартное отклонение касательного портфеля:

(7.02)  P=SX/ST,

где SX = координата стандартного отклонения определенной точки на линии CML;

ST = координата стандартного отклонения касательного портфеля;

Р= процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, чтобы быть на линии CML для данного значения SX.

Таким образом, если значение стандартного отклонения точки на линии CML (0,08296) из последней строки таблицы разделить на значение стандартного от­клонения касательного портфеля (0,02986), мы получим 2,7782, что соответствует 277,82%.

В последнем столбце таблицы показано AHPR линии CML при данной коорди­нате стандартного отклонения. Оно рассчитывается следующим образом:

(7.03)  ACML = (AT * Р) + ((1 + RFR) * (1 - Р)),

где ACML = AHPR линии CML при данной координате риска, или соот­ветствующем проценте, рассчитанном из (7.02);

AT =значение AHPR касательной точки, полученное из (7.01а); Р= процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);

RFR= безрисковая ставка.

Стандартное отклонение определенной точки на линии CML для данного AHPR рассчитывается следующим образом:

(7.04)  SD=P*ST,

где   SD  =  стандартное  отклонение  в  данной  точке  на  линии  CML  при определенном проценте Р, соответствующем данному AHPR;

Р = процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02); ST = значение стандартного отклонения касательного портфеля.

Геометрическая эффективная граница

Особенность рисунка 7-1 состоит в том, что он отображает арифметическое сред­нее HPR. Если прибыли реинвестируются, то для координаты эффективной гра­ницы по оси Y правильнее рассматривать геометрическое среднее HPR. Такой подход многое меняет. Формула для преобразования точки на эффективной гра­нице из арифметического HPR в геометрическое такова:

(7.05)    GHPR = (AHPRA2-V)A(l/2), где GHPR = геометрическое среднее HPR;

AHPR = арифметическое среднее HPR;

V= координата дисперсии (она равна координате     стандартного отклонения в

квадрате).

AHPR

GHPR

Рисунок 7-2  Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования

На рисунке 7-2 показана эффективная граница, соответствующая арифметическим средним HPR, и граница, соответствующая геометрическим средним HPR. Посмотрите, что происходит с эффективной границей при реинвестировании. Построив линию GHPR, можно определить, какой портфель является геометрически оптимальным (наивысшая точка на линии GHPR). Вы можете найти этот портфель, преобразовав AHPR и V каждого портфеля на эффективной границе AHPR в GHPR с помощью уравнения (7.05) и выбрав максимальное значение GHPR. Однако, зная AHPR и V портфелей, лежащих на эффективной границе AHPR, можно еще проще определить геометрический оптимальный портфель, он должен удовлетворять следующему уравнению:

(7.06a) AHPR- 1-V=0,

где АН PR = арифметическое среднее HPR, т.е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;

V= дисперсия HPR, т.е. координата V данного портфеля на эффективной границе. Она равна стандартному отклонению в квадрате.

Уравнение (7.06a) также можно представить следующим образом: (7.06б)  AHPR - 1 = V

(7.06в)  AHPR-V=1 (7.06г)  AHPR=V+1

Необходимо сделать небольшое замечание по геометрическому оптимальному портфелю. Дисперсия в портфеле в общем случае имеет положительную корреляцию с наихудшим проигрышем. Более высокая дисперсия обычно со­ответствует портфелю с более высоким возможным проигрышем. Так как гео­метрический оптимальный портфель является портфелем, для которого Е и V равны (при E=AHPR- 1), мы можем допустить, что геометрический оптимальный портфель будет иметь высокие проигрыши. Фактически, чем больше GHPR геометрического оптимального портфеля (т.е. чем больше зарабатывает портфель), тем больше может быть его текущий проигрыш (откат по балансу счета), так как GHPR положительно коррелирован с AHPR. Здесь мы видим некий парадокс. С одной стороны нам следует использовать геометрический оптимальный портфель, с другой — чем выше среднее геометрическое портфеля, тем большими будут откаты по балансу счета в процентном выражении. Мы знаем также, что при диверсификации следует выбирать портфель с наивысшим средним геометрическим, а не с минимальным проигрышем, но эти величины стремятся в противоположных направлениях! Геометрический оптимальный портфель — это портфель, который расположен в точке, где линия, прочерченная из (0, 0) с наклоном 1, пересекает эффективную границу AHPR.

Рисунок 7-2 показывает эффективные границы на основе одной сделки. Мы можем преобразовать геометрическое среднее HPR в TWR с помощью уравнения:

(7.07)    GTWR = GHPR^ N,

где     GTWR = значение вертикальной оси, соответствующее данному GHPR

после N сделок;

N - число сделок, которые мы хотим использовать.

ATWR

Рисунок 7-3  Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования

ATWR

GTWR

Рисунок 7-4  Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования

Пусть нашей целью будет AHPR при значении V, которое соответствует геометрическому оптимальному портфелю. В знаменателе (2.09а) мы используем среднее геометрическое геометрического оптимального портфеля. Теперь мы можем определить, сколько сделок необходимо для того, чтобы привести наш геометрический оптимальный портфель к одной сделке арифметического портфеля:

N=ln(l,031)/ln(l,01542) =0,035294/0,0153023 = 1,995075

Таким образом, можно ожидать, что через 1,995075, или приблизительно через 2 сделки, оптимальное GHPR достигнет соответствующего (при том же V) AHPR для одной сделки. Здесь возникает проблема, которая заключается в том, что ATWR должно отражать тот факт, что прошли две сделки. Другими словами, когда GTWR приближается к ATWR, ATWR двигается вверх, хотя и с постоянной скоростью (в отличие от GTWR, которое ускоряется). Можно решить эту проблему с помощью уравнений (7.07) и (7.08) для расчета геометрического и арифметического TWR:

(7.09)    GHPR Л N = > 1 + N * (AHPR - 1)

Так как мы знаем, что, когда N = 1, G всегда меньше А, можно перефразировать вопрос: «При скольких N G будет равно А?» Математически это будет выглядеть таким образом:

(7.10а)    GHPR Л N = 1 + N * (AHPR - 1), что можно представить следующим образом:

(7.106)    1 + N* (AHPR- I)- GHPR Л N = 0, или

(7.10в)    1+N* AHPR-N-GHPR AN = 0, или

(7. Юг)    N = (GHPR Л N - 1) / (AHPR - 1)

N в уравнениях с (7.10а) по (7. 10г) представляет собой количество сделок, которое необходимо для того, чтобы геометрическое HPR стало равно арифметическому. Все три уравнения эквивалентны. Решение можно получить методом итераций. Зная для нашего геометрического оптимального портфеля GHPR= 1,01542 и соответствующее AHPR= 1,031 и решая любое уравнение с (7.10а) по (7. 10г), мы находим, что N = 83,49894. Таким образом, после того, как пройдет 83,49894 сделки, геометрическое TWR догонит арифметическое. Полученный результат справедлив для тех TWR, которые соответствуют координате дисперсии геометрического оптимального портфеля.Так же, как и AHPR, GHPR имеет свою линию CML. Рисунок 7-5 показывает как AHPR, так и GHPR с линиями CML, рассчитанными на основе безрисковой ставки.

AHPR

GHPR

SD

Рисунок 7-5 AHPR, GHPR и их линии CML

Зная CML для AHPR, можно рассчитать CML для GHPR следующим образом:

CMLG = (CMLA л 2 - VT * Р) л (1/2),

CMLG = координата Е  (по вертикали) линии CML для GHPR при данной координате V, соответствующей Р;

CMLA=  координата  Е  (по  вертикали)  линии  CML  для  AHPR  при  данной координате V, соответствующей Р;

Р = процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02); VT = координата дисперсии касательного портфеля.

Следует иметь в виду, что для данной безрисковой ставки касательный портфель и геометрический оптимальный портфель в общем случае не одинаковы. Портфели будут идентичными при выполнении следующего равенства: (7.12)    RFR=GHPROPT-1,

где    RFR = безрисковая ставка;

GHPROPT  =  среднее  геометрическое  HPR  геометрического  оптимального портфеля, т.е. координата Е портфеля на эффективной границе.

Только когда разность GHPR геометрического оптимального портфеля и единицы равна безрисковой ставке, геометрический оптимальный портфель и касательный портфель будут одинаковыми. Если RFR > GHPROPT - 1, тогда геометрический оптимальный портфель будет слева (т.е. иметь меньшую дисперсию, чем касательный портфель). Если RFR < GHPROPT - 1, тогда касательный портфель будет слева (т.е. иметь меньшую дисперсию, чем геометрический оптимальный портфель). Во всех случаях касательный портфель, конечно же, никогда не будет иметь более высокое GHPR, чем геометрический оптимальный портфель. Отметьте также, что точки касания CML к GHPR и CML к AHPR имеют одну координату SD. Мы можем использовать уравнение (7.01а) для поиска касатель­ного портфеля GHPR, заменив в (7.01а) AHPR на GHPR. В результате получится следующее уравнение:

(7.016)    Касательный  портфель = MAX{(GHPR - (1 + RFR)) / SD},

где  МАХ{ }= максимальное значение;

GHPR = геометрическое среднее HPR, т.е. координата Е  данного  портфеля  на

эффективной границе;

SD = стандартное отклонение HPR, т.е. координата SD данного портфеля на

эффективной границе;

RFR = безрисковая ставка.

Неограниченные портфели

В этом разделе мы увидим, что можно поднять прибыли выше линии GCML, если снять ограничение на сумму весов. Давайте вернемся к геометрическим оп­тимальным портфелям. Если мы попробуем составить геометрический опти­мальный портфель из наших четырех рыночных систем — Toxico, Incubeast, LA Garb и сберегательного счета, то с помощью уравнений с (7.0ба) по (7.06г) найдем, что он является таковым при Е, равном 0,1688965, и V, равном 0,1688965. Среднее геометрическое такого портфеля будет равно 1,094268, а состав портфеля будет иметь вид:

Toxico            18,89891%

Incubeast        19,50386%

LA Garb        58,58387%

Сберегательный счет    0,03014%

При решении уравнений с (7.06а) по (7.06г) необходимо использовать метод ите­раций, т.е. выбирать тестируемое значение для Е и решать матрицу для этого Е. Если полученное значение дисперсии больше значения Е, это означает, что тес­тируемое значение Е слишком высокое и в следующей попытке следует его пони­зить. Вы можете определить дисперсию портфеля, используя одно из уравнений с (6.06а) по (6.06г). Повторяйте процесс, пока не будет выполняться любое из ра­венств с (7.06а) по (7.06г). Таким образом вы получите геометрический оптималь­ный портфель (отметьте, что все рассмотренные портфели на эффективной гра­нице AHPR или на эффективной границе GHPR определяются с учетом того, что сумма весов равна 100%, или 1,00). Вспомните уравнение (6.10), используемое в первоначальной расширенной матрице для поиска оптимальных весов портфеля, уравнение отражает тот факт, что сумма весов равна 1:

(6.10)
где        N = количество ценных бумаг, составляющих портфель;

X. = процентный вес ценной бумаги L Уравнение также можно представить следующим образом:

Мы можем найти неограниченный оптимальный портфель, если левую часть этого уравнения приравнять к числу больше 1. Для этого добавим еще одну рыночную систему, называемую беспроцентным вкладом (non-interest-bearing cash (NIC)), в первоначальную расширенную матрицу Данная рыночная система будет иметь дневное среднее арифметическое HPR= 1,0, а стандартное отклонение, дисперсию и ковариацию дневных HPR равными 0. Коэффициенты корреляции NIC с любой другой рыночной системой всегда равны 0.

Теперь установим ограничение суммы весов на некоторое произвольное число, большее единицы. Хорошим первоначальным значением будет количество используемых рыночных систем (без NIC), умноженное на три. Так как мы имеем 4 рыночные системы (не учитывая NIC), то ограничим сумму весов 4*3=12.

Отметьте, что мы просто устанавливаем ограничение на произвольное значе­ние, большее единицы. Разность между этим выбранным значением и суммой полученных весов будет весом системы NIC.

На самом деле, мы не собираемся инвестировать в NIC. Это просто дополни­тельная переменная, с помощью которой мы создадим матрицу для получения неограниченных весов рыночных систем. Теперь возьмем параметры наших че­тырех рыночных систем из главы 6 и добавим NIC:

 

Инвестиция

Ожидаемая

Ожидаемое стандартное

 

прибыль в виде HPR

отклонение прибыли

Toxico

1,095

0,316227766

Incubeast Corp.

1,13

0,5

LA Garb

1,21

0,632455532

Сберегательный счет

1,085

0

Беспроцентный вклад

1,00

0

 

Ковариации рыночных систем, включая NIC, будут следующими:

Т        I           L          S          N

0,1

-0,0237

0,01

0

0

-0,0237

0,25

0,079

0

0

0,01

0,079

0,4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Т I L

S

N

Добавив NIC, мы получим 5 рыночных систем, и обобщенная форма первона­чальной расширенной матрицы будет выглядеть следующим образом:

xl*vl+x2*u2+x3*u3 +x4*u4+x5*u5=e

X,+ X2+X3   +X4+X5=S

Х,*СОУП    +X2*COV12 + X3*COV13 + X4*COV14 + X5*COV1  5 + 0,5* •L,*U1 + 0,5*L2=0  '

xl * cov2,  + x2 * cov2 2 + x3 * cov2 з + x4 * cov2 4 + x5 * cov2 5 + 0,5 *

*L1*U2 + 0,5*L2 = 0

x,*cov3,  +x2*cov3 2 + x3*cov3 3 + x4*cov3 4 + x5*cov3 5 + 0,5*

*L1*U3 + 0,5*L2 = 0 '

x, * cov4,  + x2 * cov4 2 + x3 * cov4 3 + x4 * cov4 4 + x5 * cov4 5 + 0,5 *

*L,*U4 + 0,5*L2 = 0 '

неограниченных весов рыночных систем. Теперь возьмем параметры наших че­тырех рыночных систем из главы 6 и добавим NIC:

Инвестиция    Ожидаемая прибыль в виде   Ожидаемое стандартное

HPR   отклонение прибыли

Toxico            1,095    0,316227766

Incubeast Corp.

1,13

LA Garb

1,21

Сберегательный счет

1,085

Беспроцентный вклад

1,00

0,5

0,632455532

0

0

Ковариации рыночных систем, включая NIC, будут следующими:

Т        I           L          S          N

 

Т

0,1

-0,0237

0,01

0

0

1

-0,0237

0,25

0,079

0

0

L

0,01

0,079

0,4

0

0

S

0

0

0

0

0

N

0

0

0

0

0

Добавив NIC, мы получим 5 рыночных систем, и обобщенная форма первона­чальной расширенной матрицы будет выглядеть следующим образом:

X, * U,+ X, * U2+ Х3 * U3  +X4*U4+X5*U5=E Х,+ Х2+Х3   +X4+X5=S

X, * COV,,    + X, * COV, 2 + Х3 * COV, з + Х4 * COV,4 + Х5 * COV,  5 + 0,5 * *L, *U, + 0,5*L2=0

X, * COV2 ,   + X, * COV2 2 + X3 * COV2 з + X4 * COV2 4 + X5 * COV2 5 + 0,5 * *L,*U2 + 0,5*L2 = 0 '

X, * COV3 ,   + Xj * COV3 2 + X3 * COV3 з + X4 * COV3 4 + X5 * COV3 5 + 0,5 * *L,*U3 + 0,5*L2 = 0 '

X, * COV4 ,   +X2 * COV4 2 + X3 * COV4 3 + X4 * COV4 4 + X5 * COV4 5 + 0,5 *

* L, * U4 + 0,5 * L2 = 0 '

X, * COV5 ,   +X2* COV5 2 + X3 * COV5 3 + X4 * COV5 4 + X5 * COV5 5 + 0,5 * *L,*lL + 0,5*L,    =0,

где     Е = ожидаемая прибыль портфеля;

S = ограничение суммы весов;

COVA Б = ковариация между ценными бумагами А и Б; X. = процентный вес ценной бумаги i; Uj = ожидаемая прибыль ценной бумаги i; Lj = первый множитель Лагранжа; L2 = второй множитель Лагранжа. После включения NIC первоначальная расширенная матрица приобретет вид:

 

х,

 

Хз

х4

х5

ц

L2

Ответ

0,095

0,12

0,21

0,085

0

 

 

Е

1

1

1

1

0

 

 

12

0,1

-0,0237

0,01

0

0

0,095

1

0

-0,0237

0,25

0,079

0

0

0,13

1

0

0,01

0,079

0,4

0

0

0,21

1

0

0

0

0

0

0

0,085

1

0

0

0

0

0

0

0

j

0

Отметьте, что значение на пересечении столбца ответов и второй строки, т.е. огра­ничение суммы весов, равно количеству рыночных систем (не включая NIC), ум­ноженному на 3. С помощью элементарных преобразований, описанных в главе 6, получим единичную матрицу. Теперь вы можете определить эффективную границу AHPR и эффективную границу GHPR для портфеля с неограниченными весами. Эффективная граница AHPR для портфеля с неограниченными весами соответствует использованию рычага (заемного капитала) без реинвестирования. Эффективная граница GHPR соответствует использованию рычага и реин­вестированию прибылей. Наша цель — найти оптимальный неограниченный геометрический портфель, который в результате даст наибольший геометрический рост. Можно использовать уравнения с (7.Оба) по (7.06г) для нахождения на эффективной границе геометрического оптимального портфеля. В нашем случае, независимо от того, какое значение мы пытаемся найти для Е (значение на пересечение столбца ответов и первой строки), мы получаем один и тот же пор­тфель, состоящий только из сберегательного счета, поднятого рычагом для дос­тижения желаемого значения Е. В этом случае мы получаем самое низкое V (т. е. 0) для любого Е.

Удалим из матрицы сберегательный счет и повторим процедуру. На этот раз мы рассмотрим только четыре рыночные системы (Toxico, Incubeast, LA Garb и NIC) и ограничим сумму весов числом 9. Мы должны поступить таким образом, потому что, как только в матрице появляется компонент с нулевой дисперсией и AHPR большим 1, мы получаем оптимальный портфель, состоящий из одного компонента, а для соответствия требуемому Е будет меняться только рычаг этого компонента.

Решив матрицу, мы увидим, что уравнения с (7.06а) по (7.06г) удовлетворяются
при Е, равном 0,2457. Так как это геометрический оптимальный портфель, V также
равно 0,2457. Получившееся среднее геометрическое равно 1,142833. Портфель
будет выглядеть следующим образом:
Toxico  102,5982%

Incubeast        49,00558%

LA Garb        40,24979%

NIC   708,14643%

Возникает резонный вопрос: «Каким образом сумма весов компонентов может быть больше 100%?» Мы ответим на этот вопрос, но несколько позже. Если NIC не является одним из компонентов геометрического оптимального портфеля, то следует поднять ограничение суммы весов S до уровня, когда NIC станет одним из компонентов геометрического оптимального портфеля. Вспомните, что если в портфеле есть только два компонента, причем коэффициент корреляции между ними равен -1 и оба компонента имеют положительное математическое ожидание, тогда от вас потребуется финансирование бесконечного числа контрактов, поскольку такой портфель никогда не будет проигрывать. Следует также отметить, что чем ниже коэффициенты корреляции между компонентами в портфеле, тем выше процент, требуемый для инвестирования в эти компоненты. Разность между инвестированными процентными долями и ограничением суммы весов S должна быть заполнена NIC. Если NIC отсутствует среди компонентов геометрического оптимального портфеля, значит портфель работает при ограниченном S и поэтому не может считаться неограниченным геометрическим оптимальным портфелем. Так как вы не будете в действительности инвестировать в NIC, то не имеет значения, каков его вес, пока он является частью геометрического оптимального портфеля.

Оптимальное f и оптимальные портфели

Из главы 6 мы узнали, что для каждого компонента портфеля необходимо опре­делить ожидаемую прибыль (в процентах) и ожидаемую дисперсию прибылей. В общем случае, ожидаемые прибыли (и дисперсии) рассчитываются на основе текущей цены акции. Затем для каждого компонента определяется его опти­мальный процент (вес). Далее, для расчета суммы инвестиций в тот или иной компонент, баланс на счете умножается на вес компонента, и затем для опреде­ления количества акций для покупки эта сумма в долларах делится на текущую цену одной акции.

Так в общих чертах можно описать современную стратегию создания портфеля. Но это не совсем оптимальный вариант, и в этом состоит одна из основных идей книги. Вместо определения ожидаемой прибыли и дисперсии прибыли на основе текущей цены компонента, ожидаемая прибыль и дисперсия прибылей для каждого компонента должны определяться на основе долларового оптимального f. Другими словами, в качестве входных данных вы должны использовать арифметическое среднее HPR и дисперсию HPR. Используемые HPR должны быть привязаны не к количеству сделок, а к фиксированным интервалам времени (дни, недели, месяцы, кварталы или годы), как в главе 1 для уравнения (1.15).

(1.15)    Дневное HPR = (A/B) +1,

где А = сумма в долларах, выигранная  или проигранная в этот день; В = оптимальное f в долларах.

Не обязательно использовать дневные данные, можно использовать любой вре­менной период, при условии, что он одинаковый для всех компонентов портфеля (тот же временной период должен использоваться для определения коэффициен­тов корреляции между HPR различных компонентов). Скажем, рыночная система с оптимальным f= 2000 долларов за день заработала 100 долларов. Тогда для такой рыночной системы дневное HPR = 1,05.

Если вы рассчитываете оптимальное f на основе приведенных данных, то для получения дневных HPR следует использовать уравнение (2.12);

(2.12)    Дневное HPR = D$/f$ + l,

где D$ = изменение цены 1 единицы в долларах по сравнению с прошлым днем, т.е. (закрытие сегодня - закрытие вчера) * доллары за пункт;

f$ = текущее оптимальное f в долларах, рассчитанное из уравнения (2.11). Здесь текущей ценой является закрытие последнего дня.

После того как вы определите оптимальное f в долларах для 1 единицы компонен­та, надо взять дневные изменения баланса на основе 1 единицы и преобразовать их в HPR с помощью уравнения (1.15). Если вы используете приведенные данные, воспользуйтесь уравнением (2.12). Когда вы комбинируете рыночные системы в портфеле, все они должны иметь одинаковый формат, т.е. если данные приведены к текущим ценам, то оптимальные f и побочные продукты также должны быть приведенными.

Вернемся к арифметическому среднему HPR. Вычитая единицу из арифмети­ческого среднего, мы получим ожидаемую прибыль компонента. Дисперсия дневных (недельных, месячных и т.д.) HPR даст исходную дисперсию для матри­цы. Наконец, для каждой пары рассматриваемых рыночных систем рассчитаем коэффициенты корреляции между дневными HPR.

Теперь можно сделать важное заключение. Портфели, параметры которых (ожидаемые прибыли, дисперсия ожидаемых прибылей и коэффициенты корреляции ожидаемых прибылей) выбраны на основе текущей цены компонента, не будут истинно оптимальными портфелями. Для определения истинно оптимального портфеля следует использовать входные параметры, основанные на торговле 1 единицей при оптимальном/для каждого компонента. Вы не можете быть ближе к пику кривой оптимального f, чем само оптимальное f. Рассчитывая параметры из текущей рыночной цены компонента, вы выбираете параметры произвольно, следовательно, они не обязательно оптимальны.

Вернемся к вопросу о том, каким образом возможно инвестировать больше
100% в определенный компонент. Одно из основных утверждений этой книги со­
стоит в том, что вес и количество не одно и то же. Вес, который вы получаете при
нахождении геометрического оптимального портфеля, должен быть отражен в
оптимальных f компонентов портфеля. Для этого следует разделить оптимальное f
каждого компонента на его соответствующий вес. Допустим, у нас есть следую­
щие оптимальные f (в долларах):
Toxico  $2500

Incubeast    $4750 LA Garb    $5000

(Отметьте, что если вы приводите данные к текущей цене и, следовательно, полу­чаете приведенное оптимальное f и побочные продукты, тогда ваше оптимальное f в долларах будет меняться каждый день в зависимости от цены закрытия преды­дущего дня на основании уравнения [2.11].) Теперь разделим f на соответствующие веса:

Toxico $2500 /1,025982 = $2436,69 Incubeast $4750 / 0,4900558 = $9692,77 LA Garb $5000 / 0,4024979 = $12 422,43

Таким образом, используя новые «отрегулированные» значенияf, мы получаем гео­метрический оптимальный портфель. Допустим, Toxico представляет определен-

ную рыночную систему. Торгуя 1 контрактом в этой рыночной системе на каждые 2436,69 долларов на счете (и поступая таким же образом с новыми отрегулирован­ными значениями f других рыночных систем), мы будем торговать геометричес­ким оптимальным неограниченным портфелем. Если Toxico является акцией и мы считаем 100 акций «I контрактом», то следует торговать 100 акциями Toxico на каждые 2436,99 доллара на балансе счета. Пока мы не будем учитывать залоговые средства. В следующей главе мы рассмотрим проблему требований к залоговым средствам.

«Минутку, — можете возразить вы. — Если мы изменим оптимальный порт­фель посредством оптимального f, будет ли он оптимальным. Если новые значения относятся к другому портфелю, то ему соответствует другая координата прибыли, и он может не оказаться на эффективной границе».

Заметьте, мы не изменяем значения f. Мы просто сокращаем расчеты, и это выглядит так, как будто значения f изменяются. Мы создаем оптимальные порт­фели, основываясь на ожидаемых прибылях и дисперсии прибылей при торговле одной единицей каждого компонента, а также на коэффициентах корреляции. Таким образом, мы получаем оптимальные веса (оптимальный процент счета для торговли каждым компонентом). Поэтому, если рыночная система имеет оптимальное f = 2000 долларов и ее вес в оптимальном портфеле равен 0,5, мы должны использовать для этой рыночной системы 50% счета при полном оптимальном f= 2000 долларов. Это то же самое, что торговать 100% нашего счета при оптимальном f, деленном на оптимальный вес, т.е. ($2000 /0,5) = $4000. Другими словами, торговать оптимальным f= 2000 долларов на 50% счета, по сути, то же самое, что и торговать измененным f= 4000 долларов на 100% счета.

AHPR и SD, которые вы вводите в матрицу, определяются из значений опти­мального f в долларах. Если речь идет об акциях, то можно рассчитать значения AHPR, SD и оптимального f на основе одной акции или, например, 100 акций, вы сами определяете размер одной единицы.

В ситуации, когда нет рычага (например, портфель акций без заемных средств), вес и количество одно и то же. Однако в ситуации с рычагом (например, портфель фьючерсных рыночных систем), вес и количество отличаются. Идея, которая была впервые изложена в книге «Формулы управления портфелем», состоит в том, что мы пытаемся найти оптимальное количество, и оно является функцией оптимальных весов. Когда мы рассчитываем коэффициенты корреляции HPR двух рыночных систем с положительными арифметическими математическими ожиданиями, то чаще всего получаем положительные значения. Это происходит потому, что кривые баланса рыночных систем (совокупная текущая сумма дневных изменений баланса) стремятся вверх и вправо. Проблема решается следующим образом: для каждой кривой баланса надо определить линию регрессии методом наименьших квадратов (до приведения к текущим ценам, если оно применяется) и рассчитать разность кривой баланса и ее линии регрессии в каждой точке. Затем следует преобразовать уже лишенную тренда кривую баланса в простые дневные изменения баланса. После этого вы можете привести данные к текущим ценам (когда это необходимо). Далее, рассчитайте корреляцию по этим уже обработанным данным. Предложенный метод работает в том случае, если вы используете корреляцию дневных изменений баланса, а не цен. Если вы будете использовать цены, то можете получить искаженную картину, хотя очень часто цены и дневные изменения баланса взаимосвязаны (например, в системе пересечения долгосрочной скользящей средней). Метод удаления тренда следует всегда применять аккуратно. Разумеется, дневное AHPR и стандартное отклонение HPR должны всегда рассчитываться по данным, из которых не удален тренд. Последняя проблема, которая возникает, когда вы удаляете тренд из данных, ка­сается систем, в которых сделки совершаются достаточно редко. Представьте себе две торговые системы, каждая из которых инициирует одну сделку в неделю,

причем в разные дни. Коэффициент корреляции между ними может быть только незначительно положительным. Однако когда мы лишаем данные тренда, то получаем очень высокую положительную корреляцию, поскольку их линии регрессии немного повышаются каждый день, хотя большую часть времени изменение баланса равно нулю. Поэтому разность будет отрицательной. Преобладание дней с незначительной отрицательной разностью между кривой баланса и линией регрессии в обеих рыночных системах в результате дает неоправданно высокую положительную корреляцию.

Порог геометрической торговли для портфелей

Теперь обратимся к проблеме нахождения порога геометрической торговли для данной комбинации оптимального портфеля. Проблема легко решается, если разделить порог геометрической торговли для каждого компонента на его вес в оптимальном портфеле так же, как мы делили оптимальные f компонентов на их соответствующие веса для получения нового значения, справедливого для компо­нентов оптимального портфеля. Допустим, порог геометрической торговли для Toxico составляет 5100 долларов. Разделив данное значение на его вес в оптималь­ном портфеле, т.е. на 1,025982, мы получим новый измененный порог геометри­ческой торговли: Порог =$5100/1,025982= $4970,85

Так как вес для Toxico больше 1, то его оптимальное f и порог геометрической торговли уменьшатся, поскольку мы делим их значения на этот вес. Если нельзя торговать дробной единицей Toxico, мы перейдем на 2 единицы, когда баланс повысится до 4970,85 доллара. Вспомните, что наше новое измененное значение f в оптимальном портфеле для Toxico равно 2436,69 доллара ($2500 /1,025982). Так как данная сумма, умноженная на два, равна 4873,38 доллара, нам следует перейти на торговлю двумя контрактами в этой точке. Однако порог геометрической торговли, который больше чем в два раза превышает величину f в долларах, говорит о том, что не стоит переходить на торговлю 2 единицами до тех пор, пока баланс не достигнет порога геометрической торговли, равного 4970,85 доллара. Если вы приводите данные к текущим ценам и получаете приведенное опти­мальное f и его побочные продукты, включая порог геометрической торговли, тогда оптимальное f в долларах и порог геометрической торговли будут меняться ежедневно в зависимости от цены закрытия предыдущего дня на основании урав­нения (2.11).

Подведение итогов

Отметим важный факт: структура неограниченного портфеля (для которого сумма весов больше 1, a NIC является частью портфеля) неизменна для любого уровня Е; единственным отличием является величина заемных средств (величина рычага). Для портфелей, лежащих на эффективной границе, когда сумма весов ограничена, это не так. Другими словами, для любой точки на неограниченных эффективных границах (AHPR или GHPR) отношения весов различных рыночных систем всегда одинаковы.

Например, можно рассчитать отношения весов между различными рыночными системами  в  геометрическом  оптимальном  портфеле.  Отношение  Toxico  к Incubeast составляет:  102,5982% / 49,00558% = 2,0936. Таким же образом мы можем определить отношения всех компонентов в портфеле друг к другу: Toxico / Incubeast = 2,0936 Toxico / LA Garb = 2,5490 Incubeast / LA Garb = 1,2175

Теперь вернемся к неограниченному портфелю и найдем веса для различных зна­чений Е. Далее следуют веса компонентов неограниченных портфелей, которые имеют самые низкие дисперсии для данных значений Е. Заметьте, что отношения весов компонентов одинаковы:

E=0,1 Е=0,3

Toxico

0,4175733

Incubeast

0,1994545

LA Garb

0,1638171

1,252726

0,5983566

0,49145

Таким образом, мы можем утверждать, что эффективные границы портфелей с неограниченной суммой весов содержат одинаковые портфели с разным уровнем заемных средств (с разным плечом). Портфель, в котором меняется величина плеча для получения заданного уровня прибыли Е, когда снято ограничение суммы весов, будет иметь второй множитель Лагранжа, равный нулю, при сумме весов, равной 1. Теперь мы можем достаточно просто определить, каким будет наш неограниченный геометрический оптимальный портфель. Сначала найдем портфель, который имеет нулевое значение для второго множителя Лагранжа, когда сумма весов ограничена 1,00. Одним из способов поиска такого портфеля является процесс итераций. Получившийся в результате портфель поднимается (или опускается) рычагом в зависимости от выбранного Е для неограниченного портфеля. Значение Е, удовлетворяющее любому уравнению с (7.06а) по (7.06г), и будет тем значением, которое соответствует неограниченному геометрическому оптимальному портфелю. Для выбора геометрического оптимального портфеля на эффективной границе AHPR для портфелей с неограниченными весами, можно использовать первый множитель Лагранжа, который определяет положение портфеля на эффективной границе. Вспомните (см. главу 6), что одним из побочных продуктов при определении состава портфеля методом элементарных построчных преобразований является первый множитель Лагранжа. Он выражает мгновенную скорость изменения дисперсии по отношению к ожидаемой прибыли (с обратным знаком). Первый множитель Лагранжа, равный - 2, означает, что в этой точке дисперсия изменяется по отношению к ожидаемой прибыли со скоростью 2. В результате, мы получим портфель, который геометрически оптимален. (7.06д) L1 = - 2,

где L1 = первый множитель Лагранжа данного портфеля на эффективной границе AHPR для портфелей с неограниченной суммой весов1.

Теперь объединим эти концепции вместе. Портфель, который с помощью рычага перемещается вдоль эффективных границ (арифметических или геометрических) портфелей с неограниченной суммой весов, является касательным портфелем к линии CML, выходящей из RFR == 0, когда сумма весов ограничена 1,00 и NIC не используется. Итак, мы можем найти неограниченный геометрический оптимальный портфель путем поиска касательного портфеля для RFR = 0, когда сумма весов ограничена 1,00, а затем поднять рычагом полученный портфель до точки, где он становится геометрическим оптимальным. Но как определить,

Таким образом, мы можем утверждать, что геометрический оптимальный портфель — это портфель, в котором второй множитель Лагранжа равен 0, когда сумма весов ограничена единицей, а в том случае, когда сумма весов не ограничена, первый множитель Лагранжа равен - 2. Такой портфель, при снятии ограничений на сумму весов, также будет иметь второй множитель Лагранжа, равный 0.

насколько повысить данный ограниченный портфель, чтобы сделать его эквивалентным неограниченному геометрическому оптимальному портфелю? Вспомните, что касательный портфель находится на эффективной границе (арифметической или геометрической) портфелей с ограниченной суммой весов в точке с наивысшим отношением Шарпа (уравнение (7.01)). Мы просто повысим рычагом этот портфель и умножим веса каждого из его компонентов на переменную, называемую q, которую можно получить следующим образом:

(7.13)  q=(E-RFR)/V,

где  Е = ожидаемая прибыль (арифметическая) касательного портфеля; RFR = безрисковая ставка, по которой вы можете занять или дать взаймы;

V= дисперсия касательного портфеля.

Уравнение (7.13) является достаточно хорошим приближением реального опти­мального q.

Следующий пример может проиллюстрировать роль оптимального q. Вспом­ните, что наш неограниченный геометрический оптимальный портфель выглядит так:

 

Компонент

Вес

Toxico

1,025955

Incubeast

0,4900436

LA Garb

0,4024874

Портфель имеет AHPR= 1,245694 и дисперсию 0,2456941. В оставшейся части нашего обсуждения мы будем исходить из того, что RFR = 0 (в данном случае отношение Шарпа этого портфеля, (AHPR-(1 + RFR)) / SD, равно 0,49568). Теперь, если мы введем те же прибыли, дисперсии и коэффициенты корреляции компонентов в матрицу и рассчитаем, какой портфель находится в точке касания при RFR = 0, когда сумма весов ограничена 1,00 и при отсутствии NIC, то получим следующий портфель:

Компонент    Вес

Toxico            0,5344908

Incubeast        0,2552975

LA Garb        0,2102117

Этот портфель имеет AHPR = 1,128, дисперсию 0,066683 и отношение Шарпа 0,49568. Отметьте, что отношение Шарпа касательного портфеля, для которого сумма весов ограничена 1,00, при отсутствии NIC, в точности равно отношению Шарпа для нашего неограниченного геометрического оптимального портфеля. Вычитая единицу из полученных AHPR, мы получаем арифметическую среднюю прибыль портфеля. Далее заметим: чтобы для ограниченного касательного портфеля получить прибыль, равную прибыли неограниченного геометрического оптимального портфеля, мы должны умножить веса первого на 1,9195.

0,245694/0,128=1,9195

Теперь, если мы умножим каждый из весов ограниченного касательного портфеля, то получим портфель, идентичный неограниченному геометрическому опти­мальному портфелю:

Компонент    Вес    *           1,9195    =    Вес

Toxico

0,5344908

Incubeast

0,2552975

LA Garb

0,2102117

1,025955

0,4900436

0,4035013

Множитель 1,9195 получен в результате деления прибыли неограниченного гео­метрического оптимального портфеля на прибьыь ограниченного касательного портфеля. Как правило, нам надо найти неограниченный геометрический опти­мальный портфель, зная только ограниченный касательный портфель. Именно здесь и используется оптимальное q. Если мы допускаем, что RFR = 0, то можно определить оптимальное q по нашему ограниченному касательному портфелю следующим образом:

(7.13)  q=(E-RFR)/V=(0,128-0)/0,066683 = 1,919529715

Несколько замечаний по поводу RFR. Когда речь идет о фьючерсных контрактах, следует приравнять RFR к нулю, так как в действительности мы не занимаем и не ссужаем средства для увеличения или уменьшения активов портфеля. С акциями ситуация иная, и RFR следует принимать во внимание.

Вы часто будете использовать AHPR и дисперсию для портфелей на основе дневных HPR компонентов. В таких случаях необходимо применять не годовую, а дневную ставку RFR. Это довольно простая задача. Сначала необходимо убедится, что годовая ставка является эффективной годовой процентной ставкой. Процентные ставки обычно указываются в годовых процентах, но часто они представляют собой номинальную годовую процентную ставку. Если процентная ставка складывается из полугодовых, квартальных, месячных ставок и т.д., то ставка, заработанная за год, будет больше, чем просто годовая ставка (номи­нальная). Когда процент суммируется, эффективная годовая процентная ставка может быть определена из номинальной процентной ставки. Полученную эф­фективную годовую процентную ставку мы и будем использовать в расчетах. Для преобразования номинальной ставки в эффективную ставку следует использовать формулу:

(7.14)  E = (1 + R/M)AM-1,

где  Е = эффективная годовая процентная ставка; R = номинальная годовая процентная ставка; М == число периодов сложения за год.

Предположим, номинальная годовая процентная ставка составляет 9%, и доход по ней пересчитывается каждый месяц по формуле сложного процента. Соответ­ствующая эффективная процентная ставка будет равна:

(7.14) Е = (1+0,09/12)^ 12-1 = (1 + 0,0075)^12-1 ==1,0075^12- 1 = 1,093806898 = 0,093806898

Таким образом, наша эффективная годовая процентная ставка будет немногим больше 9,38%. Теперь, чтобы рассчитать HPR на основе рабочих дней, мы должны найти среднее число рабочих дней 365,2425 /7*5= 260,8875. Разделив 0,093806898 на 260,8875, мы получим дневное RFR = 0,0003595683887.

Если мы на самом деле будем привлекать средства, чтобы получить из ограни­ченного касательного портфеля неограниченный геометрический оптимальный портфель, необходимо ввести значение RFR в отношение Шарпа, уравнение (7.01), и оптимальное q, уравнение (7.13).

Подведем итог. Допустим, RFR для вашего портфеля не равно 0, и необходимо найти геометрический оптимальный портфель, не рассчитывая ограниченный касательный портфель для этого RFR. Можете ли вы перейти прямо к матрице, установить сумму весов на какое-либо произвольно высокое значение, добавить NIC и найти неограниченный геометрический оптимальный портфель, когда RFR больше О? Да, если вычесть RFR из ожидаемых прибылей каждого компонента, но не из NIC (т.е. ожидаемая прибыль для NIC остается нулевой, что соответствует среднему арифметическому HPR= 1,00). Теперь, решив матрицу, мы получим неограниченный геометрический оптимальный портфель, когда RFR больше 0.

Так как эффективная граница для портфелей с неограниченной суммой весов дает один и тот же портфель с различной величиной рычага, линия CML не может пересекаться или касаться эффективной границы портфелей с неограниченной суммой весов, если же сумма весов ограничена (т.е. равна 1) — это возможно.

Мы рассмотрели несколько способов определения геометрического оптимального портфеля. Например, мы можем рассчитать его эмпирически, что было продемонстрировано в книге «Формулы управления портфелем» и повторено в первой главе этой книги. В данной главе мы узнали, как с помощью параметрического метода рассчитать портфель при любом значении безрисковой ставки.

Теперь, когда мы знаем, как определить геометрический оптимальный порт­фель, рассмотрим его использование в реальной жизни. Геометрический оптимальный портфель даст нам максимально возможный геометрический рост. В следующей главе мы рассмотрим способы использования этого портфеля при заданных рисковых ограничениях.

1 2 3 4 5 6 7 8 9  Наверх ↑