Глава 2          Характеристики торговли фиксированной долей и

полезные методы

Мы видели, что оптимальный рост счета достигается посредством оптимального f. Это верно независимо от инструмента, используемого в торговле. Работаем ли мы на рынке фьючерсов, акций или опционов, управляем ли группой трейдеров,  при  оптимальном f достигается  оптимальный рост,  а

поставленная цель — в кратчайшее время. Мы также узнали, как с эмпирической точки зрения объединить различные рыночные системы на их оптимальных уровнях f в оптимальный портфель, то есть как скомбинировать оптимальное f и теорию портфеля, используя прошлые данные для определения весов компонентов в оптимальном портфеле. Далее мы рассмотрим важные характеристики торговли фиксированной долей.

Оптимальное F для начинающих трейдеров с небольшими капиталами

Каким образом при небольшом счете, который дает возможность торговать только 1 контрактом, использовать подход оптимального f? Одно из предложений заключается в том, чтобы торговать 1 контрактом, учитывая не только оптималь­ное IB долларах (наибольший проигрыш / -f), но также проигрыш и маржу (залог). Сумма средств, отведенная под первый контракт, должна быть больше суммы оптимального IB долларах или маржи плюс максимальный исторический проигрыш (на основе 1 единицы):

А = МАХ {(Наибольший проигрыш / -f), (Маржа + ABS (Проигрыш))}, где    А =сумма в долларах, отведенная под первый контракт;

f =оптимальное f (от 0 до 1);

Маржа =первоначальная спекулятивная маржа для данного контрак та  (залоговые

средства, необходимые для открытия одного   контракта);

Проигрыш =максимальный исторический совокупный проигрыш; МАХ {} = максимальное значение выражения в скобках; ABS() = функция абсолютного значения.

При такой процедуре вы сможете пережить максимальный проигрыш и все еще иметь достаточно денег для следующей попытки. Хотя мы не можем быть уверены, что в будущем проигрыш наихудшего случая не превысит исторический проигрыш наихудшего случая, маловероятно, чтобы мы начали торговлю сразу с нового исторического проигрыша. Трейдер, использующий эту технику, каждый день должен вычитать сумму, полученную с помощью уравнения (2.01), из своего баланса. Остаток следует разделить на величину (наибольший проигрыш / -f). Полученный ответ следует округлить в меньшую сторону и прибавить единицу, таким образом, мы получим число контрактов для торговли.

Прояснить  ситуацию  поможет  пример.  Допустим,  у  нас  есть  система,  где оптимальное f= 0,4, наибольший исторический проигрыш равен -3000 долларов, максимальный совокупный проигрыш был -6000 долларов, а залог равен 2500 долларов. Используя уравнение (2.01), мы получим: А = МАХ {(-$3000 / 0,4), ($2500 + ABS(-$6000))}

= MAX {($7500), ($2500 + $6000)} = МАХ {$7500, $8500} == $8500

Таким образом, нам следует отвести 8500 долларов под первый контракт. Теперь допустим, что на нашем счете 22 500 долларов. Поэтому мы вычтем сумму под первый контракт из баланса: $22 500 - $8500 = $14 000 Затем разделим эту сумму на оптимальное f в долларах: $14 000/$7500 =1,867 Округлим полученный результат в меньшую сторону до ближайшего целого числа: INT (1,867)=1 Затем добавим 1 к полученному результату (1 контракт уже обеспечен 8500 долларами,

которые мы вычли из баланса): 1+1=2 Таким образом, мы будем торговать 2 контрактами. Если бы мы торговали на уровне оптимального f ($7500 на 1 контракт), то торговали бы 3 контрактами (22 500 / 7500). Как видите, этот метод можно использовать независимо от того, насколько велик баланс счета (однако чем больше баланс, тем ближе будут результаты). Более того, чем больше баланс, тем менее вероятно, что вы в конце концов получите проигрыш, после которого сможете торговать только 1 контрактом. Трейдерам с небольшими счетами или тем, кто только начинает торговать, следует использовать этот подход.

Порог геометрической торговли

Существует еще один хороший подход для трейдеров, которые только начинают торговать, правда, если вы не используете только что упомянутый метод. При таком подходе используется еще один побочный продукт оптимального f — порог геометрической торговли. Мы уже знаем такие побочные продукты оптимального f, как TWR, среднее геометрическое и т.д.; они были получены из оптимального f и дают нам информацию о системе. Порог геометрической торговли — это еще один из таких побочных расчетов. По существу, порог геометрической торговли говорит нам, в какой точке следует переключиться на торговлю фиксированной долей, предполагая, что мы начинаем торговать фиксированным количеством контрактов. Вспомните пример с броском монеты, где мы выигрываем 2 доллара, если монета падает на лицевую сторону, и проигрываем 1 доллар, если она падает на обратную сторону. Мы знаем, что оптимальное f= 0,25, т.е. 1 ставка на каждые 4 доллара баланса счета. Если мы торгуем на основе постоянного количества контрактов, то в среднем выигрываем 0,50 долларов за игру. Однако если мы начнем торговать фиксированной долей счета, то можем ожидать выигрыша в 0,2428 доллара на единицу за одну игру (при геометрической средней торговле). Допустим, мы начинаем с первоначального счета в 4 доллара и поэтому делаем 1 ставку за одну игру. В конце концов, когда счет увеличивается до 8 долларов, сле­дует делать 2 ставки за одну игру. Однако 2 ставки, умноженные на геометрическую среднюю торговлю 0,2428 доллара, дадут в итоге 0,4856 доллара. Не лучше ли придерживаться 1 ставки при уровне баланса 8 долларов, так как нашим ожиданием за одну игру все еще будет 0,50 доллара? Ответ — «да». Причина в том, что оптимальное f рассчитывается на основе контрактов, которые бесконечно делимы, чего в реальной торговле не бывает.

Мы можем найти точку, где следует перейти к торговле двумя контрактами, основываясь на формуле порога геометрической торговли Т:

Т = ААТ / GAT * Наибольший убыток / -f, где  Т = порог геометрической торговли; ААТ = средняя арифметическая сделка; GAT = средняя геометрическая сделка; f= оптимальное f (от 0 до 1). Для нашего примера с броском монеты (2 к I):

Т=0,50 / 0,2428*-1 / -0,25 =8,24

Поэтому следует переходить на торговлю двумя контрактами, когда счет увели­чится до 8,24 доллара, а не до 8,00 долларов. Рисунок 2-1 иллюстрирует порог гео­метрической торговли для игры с 50% шансов выигрыша 2 долларов и 50% шан­сов проигрыша 1 доллара. Отметьте, что дно кривой порога геометрической торговли соответствует оптимальному f. Порог геометрической торговли является

оптимальным уровнем баланса для перехода от торговли одной единицей к торговле двумя единицами. Поэтому если вы используете оптимальное f, то сможете перейти к геометрической торговле при минимальном уровне баланса счета. Теперь возникает вопрос: «Можем ли мы использовать подобный подход, чтобы узнать, когда переходить от 2 к 3 контрактам?», а также: «Почему в самом начале размер единицы не может быть 100 контрактов, если вы начинаете с достаточно большого счета, а не такого, который позволяет торговать лишь одним контрактом?» Разумеется, можно использовать этот метод при работе с размером единицы, большим 1. Однако это корректно в том случае, если вы не уменьшите размер единицы до перехода к геометрическому способу торговли. Дело в том, что до того, как вы перейдете на геометрическую торговлю, вы должны будете торговать постоянным размером единицы.

Допустим, вы начинаете со счета в 400 единиц в игре с броском монеты 2 к 1. Оп­тимальное f в долларах предполагает торговлю 1 контрактом (1 ставка) на каждые 4 доллара на счете. Поэтому начинайте торговать 100 контрактами (сделав 100 ставок) в первой сделке. Ваш порог геометрической торговли равен 8,24 доллара, и поэтому следует торговать 101 контрактом на уровне баланса 404,24 доллара. Вы можете преобразовать порог геометрической торговли, который соответствует переходу с 1 контракта к 2 следующим образом:

Оптимальное f =0,25 порог = $8,24

0    0,5  0,10  0,15  0,20  0,25  0,30  0,35  0,40  0,45  0,50  0,55

Значение f

Рисунок 2-1  Порог геометрической торговли для броска монеты 2 к 1

Преобразованное Т = EQ + Т - (Наибольший проигрыш / -f),

где   EQ = начальный уровень баланса счета;

Т = порог геометрической торговли для перехода с одного контракта к двум;

f= оптимальное f (от 0 до 1). Преобразованное Т = 400 + 8,24 - (-1 / -0,25) = 400 + 8,24 - 4 = 404,24

Таким образом, вы перейдете к торговле 101 контрактом (101 ставке), только когда баланс счета достигнет 404,24 доллара. Допустим, вы торгуете постоянным количеством контрактов, пока баланс счета не достигнет 404,24 доллара, где вы начнете применять геометрический подход. Пока баланс счета не достигнет 404,24 доллара, вы будете торговать 100 контрактами в последующих сделках независимо

от суммы счета. Если после того, как вы пересечете порог геометрической торговли (то есть после того, как баланс счета достигнет 404,24 доллара), вы понесете убыток и баланс упадет ниже 404,24 доллара, вы вернетесь снова к торговле на основе 100 контрактов и будете так торговать до тех пор, пока снова не пересечете геометрический порог. Невозможность уменьшения количества контрактов при уменьшении счета, когда вы находитесь ниже геометрического порога, является недостатком при использовании этой процедуры, когда контрактов больше 2. Если вы торгуете только 1 контрактом, геометрический порог является реальным методом для определения того, на каком уровне баланса начать торговать 2 контрактами (так как вы не можете торговать менее чем 1 контрактом при понижении баланса). Однако этот метод не работает, когда речь идет о переходе от 2 контрактов к 3, так как метод базируется на том, что вы начинаете торговлю с постоянного количества контрактов. То есть, если вы торгуете 2 контрактами, метод не будет работать (за исключением случая, когда вы откажетесь от возможности понизить количество контрактов до одного при падении уровня баланса). Таким образом, начиная торговлю со 100 контрактов, вы не можете перейти к торговле меньшим числом контрактов. Если вы не будете уменьшать количество контрактов, которыми в настоящее время торгуете, при понижении баланса, то порог геометрической торговли или его преобразованная версия из уравнения (2.03) будет уровнем баланса, достаточным для добавления следующего контракта. Проблема этой операции (не уменьшать при понижении) состоит в том, что вы заработаете меньше (TWR будет меньше) в асимптотическом смысле. Вы не выиграете столько, сколько бы выиграли при торговле полным оптимальным f. Более того, ваши проигрыши будут больше, и риск банкротства увеличится. Поэтому порог геометрической торговли будет эффективен, если вы начнете с наименьшего размера ставки (1 контракт) и повысите его до 2. Оптимально, если средняя арифметическая сделка более чем в два раза превышает среднюю геометрическую сделку. Предложенный метод следует использовать, когда вы не можете торговать дробными единицами.

Один комбинированный денежный счет по сравнению с отдельными денежными счетами

Прежде чем мы обсудим параметрические методы, необходимо рассмотреть не­которые очень важные вопросы в отношении торговли фиксированной долей. Во-первых, при одновременной торговле более чем в одной рыночной системе вы получите лучшие результаты в асимптотическом смысле, если будете использо­вать только один комбинированный денежный счет. Рассчитывать количество контрактов для торговли следует не для каждого отдельно взятого денежного сче­та, а для этого единого комбинированного счета.

По этой причине необходимо ежедневно «соединять» подсчета при изменении их балансов. Сравним две похожие системы: систему А и систему Б. Обе системы имеют 50% шанс выигрыша и обе имеют отношение выигрыша 2:1. Поэтому оптимальное f диктует, чтобы мы ставили 1 доллар на каждые 4 доллара баланса. Первый пример описывает ситуацию, когда эти две системы имеют положитель­ную корреляцию. Мы начинаем со 100 долларов и разбиваем их на 2 подсчета по 50 долларов каждый. После регистрации сделки для этой системы изменится только столбец «Полный капитал», так как каждая система имеет свой собствен­ный отдельный счет. Размер денежного счета каждой системы используется для определения ставки для последующей игры:

Таблица I

 

Сделка	Система А P&L Полный капитал		Сделка	Система	Б P&L Полный капитал
	50,00			50,00
2	25,00	75,00	2	25,00	75,00
-1	-18,75	56,25	-1	-18,75	56,25
2	28,13	84,38	2	28,13	84,38
-1	-21,09	63,28	-1	-21,09	63,28
2	31,64	94,92	2	31,64	94,92
-1	-23,73	71,19	-1	-23,73	71,19
		-50.00			-50.00
Чистая	прибыль	21,19140			21,19140

Итоговая чистая прибыль по двум счета =     $42,38

Теперь мы рассмотрим комбинированный счет в 100 единиц. Вместо того чтобы ставить 1 доллар на каждые 4 доллара на комбинированном счете для каждой сис­темы, мы будем ставить 1 доллар на каждые 8 долларов комбинированного счета. Каждая сделка для любой системы затрагивает комбинированный счет, и именно комбинированный счет используется для определения размера ставки для после­дующей игры (Таблица II).

Отметьте, что в случае комбинированного счета и в случае отдельных счетов прибыль одна и та же: $42,38. Мы рассматривали положительную корреляцию между двумя системами. Теперь рассмотрим случай с отрицательной корреляцией между теми же системами, для двух отдельных денежных счетов (Таблица III):

Таблица II

Система А Сделка P&L    Система Б Сделка P&L    Комбинированный счет

100,00

 

2	25,00	2	25,00	150,00
-1	-18,75	-1	-18,75	112,50
2	28,13	2	28,13	168,75
-1	-21,09	-1	-21,09	126,56
2	31,64	2	31,64	189,84
-1	-23,73	-1	-23,73	142,38
				-100.00
Итоговая	чистая прибыль	по комбинированному счету=  $42,38

 

Таблица Ш

 

Сделка	СистемаА	к P&L Полный	Сделка	Система	Б P&L Полный капитал
	капитал
		50,00			50,00
2	25,00	75,00	-1	-12,50	37,50
-1	-18,75	56,25	2	18,75	56,25
2	28,13	84,38	-1	-14,06	42,19
-1	-21,09	63,28	2	21,09	63,28
2	31,64	94,92	-1	-15,82	47,46
-1	-23,73	71,19	2	23,73	71,19
		-50.00			-50.00
Чистая прибыль		21,19140			21,19140
Итоговая чистая	прибыль по двум счетам =				$42,38

Как видите, при работе с отдельными денежными счетами обе системы выигры­вают ту же сумму независимо от корреляции. Однако при комбинированном счете:

Таблица IV

Система А Сделка P&L    Система Б Сделка P&L    Комбинированный счет

100,00

 

2	25,00	-1	-12,50	112,50
-1	-14,06	2	28,12	126,56
2	31,64	-1	-15,82	142,38
-1	-17,80	2	35,59	160,18
2	40,05	-1	-20,02	180,20
-1	-22,53	2	45,00	202,73
				-100.00
Итоговая	чистая прибыль	по комбинированному счету=   $102,73

При использовании комбинированного счета результаты гораздо лучше. Таким образом, торговать фиксированной долей следует на основе одного комбиниро­ванного счета.

Рассматривайте каждую игру как бесконечно повторяющуюся

Следующая аксиома, касающаяся торговли фиксированной долей, относится к максимизации текущего события, как будто оно должно быть осуществлено бес­конечное количество раз в будущем. Мы определили, что для процесса независи­мых испытаний вы должны всегда использовать оптимальное и постоянное f, но при наличии зависимости оптимальное f уже не будет постоянной величиной.

Допустим, в нашей системе существует зависимость, в соответствии с которой подобное порождает подобное, а доверительная граница достаточно высока. Для

наглядности мы будем использовать уже знакомую нам игру 2:1. Система показывает, что если последняя игра выигрышная, то следующая игра имеет 55% шанс выигрыша. Если последняя игра проигрышная, то следующая игра имеет 45% шанс проигрыша. Таким образом, если последняя игра была выигрышная, то исходя из формулы Келли, уравнение (1.10) для поиска оптимального f (так как результаты игры имеют бернуллиево распределение), получим: (1.10)  f =((2+1)* 0,55-1)/2 =(3*0,55- 1)/2=0,65/2=0,325

После проигрышной игры наше оптимальное f равно:

f =((2+1)* 0,45-1)/2 =(3*0,45-1) /2 =0,35/2 =0,175

Разделив наибольший проигрыш системы (т.е. -1) на отрицательные оптимальные f, мы получим 1 ставку на каждые 3,076923077 единицы на счете после выигрыша и 1 ставку на каждые 5,714285714 единицы на счете после проигрыша. Таким образом мы максимизируем рост в долгосрочной перспективе.

Отметьте, что в этом примере ставки как после выигрышей, так и после проигрышей все еще имеют положительное математическое ожидание. Что произойдет, если после проигрыша вероятность выигрыша будет равна 0,3? В таком случае математическое ожидание имеет отрицательное значение и оп­тимального f не существует, таким образом, вам не следует использовать эту игру: (1.03)  М0=(0,3*2)+(0,7*-1) =0,6-0,7 =-0,1

В этом случае следует использовать оптимальное количество только после выиг­рыша и не торговать после проигрыша. Если зависимость действительно суще­ствует, вы должны изолировать сделки рыночной системы, основанные на зави­симости, и обращаться с изолированными сделками как с отдельными рыночными системами. Принцип, состоящий в том, что асимптотический рост максимизируется, когда каждая игра осуществляется бесконечное количество раз в будущем, также применим к нескольким одновременным играм (или торговле портфелем).

Рассмотрим две системы ставок, А и Б. Обе имеют отношение выигрыша к проигрышу 2:1, и обе выигрывают 50% времени. Допустим, что коэффициент корреляции между двумя системами равен 0. Оптимальные f для обеих систем (при раздельной, а не одновременной торговле) составляют 0,25 (т.е. одна ставка на каждые 4 единицы на балансе). Оптимальные f при одновременной торговле в обеих системах составляют 0,23 (т.е. 1 ставка на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета). В случае, когда система Б торгует только две трети времени, неко­торые трейдеры разорятся, если обе системы не будут торговать одновременно. Первая последовательность показана при начальном комбинированном счете в 1000 единиц, и для каждой системы оптимальное f соответствует 1 ставке на каж­дые 4,347826087 единицы:

А       Б          Комбинированный счет

 

				1 000,00
-1	- 230,00			770,00
2	354,20	-1	-177,10	947,10
-1	-217,83	2	435,67	1 164,93
2	535,87			1 700,80
-1	-391,18	-1	-391,18	918,43
2	422,48	2	422,48	1 763,39

 

Рассмотрим теперь ситуацию, когда А торгует отдельно от Б. В этом случае мы де­
лаем 1 ставку на каждые 4 единицы на комбинированном счете для системы А (так
как это оптимальное f для одной игры). В игре с одновременными ставками мы все
равно ставим 1 единицу на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета как для
А, так и для Б. Отметьте, что независимо от того, отдельная это ставка или од­
новременная ставка по А и Б, мы применяем то оптимальное f, которое увеличи-
вает доход при бесконечном повторении ставок.       

А       Б          Комбинированный счет

 

				1 000,00
-1	- 250,00			750,00
2	345,20	-1	-172,50	922,50
-1	-212,17	2	424,35	1 134,67
2	567,34			1 702,01
-1	-391,46	-1	-391,46	919,09
2	422,78	2	422,78	1 764,65

Как видите, с помощью этого метода мы получаем небольшой выигрыш, и чем больше сделок проходит, тем больше этот выигрыш. Тот же принцип применяется к торговле портфелем, где не все компоненты портфеля находятся на рынке в определенный момент времени. Вам следует торговать на оптимальных уровнях для комбинации компонентов (или одного компонента), чтобы получить в итоге оптимальный рост, как будто этой комбинацией компонентов (или одним компонентом) придется торговать бесконечное количество раз в будущем.

Потеря эффективности при одновременных ставках или торговле портфелем

Давайте вернемся к нашей игре с броском монеты 2:1. Допустим, мы собираемся одновременно сыграть в две игры: А и Б, — и существует нулевая корреляция между результатами этих двух игр. Оптимальные f для такого случая соответству­ют ставке в 1 единицу на каждые 4,347826 единицы на балансе счета, когда игры проводятся одновременно. Отметьте, что при начальном счете в 100 единиц мы заканчиваем с результатом в 156,86 единицы:

Таблица V    

Система А Сделка P&L          Система Б

Сделка           P&L     Счет

Оптимальное f соответствует 1 единице на    100,00

каждые 4,347826 единицы на счете:

-1 -23,00         -1         -23,00   54,00

2 24,84           -1         -12,42   66,42

-1 -15,28         2          30,55    81,70

2 37,58

37,58

156,86

Теперь давайте рассмотрим систему В. Она будет такой же, как система А и Б, только мы будем играть в эту игру без одновременного ведения другой игры. Мы сыграем 8 раз, но не 2 игры по 4 раза, как в прошлом примере. Теперь наше оптимальное f - это ставка 1 единицы на каждые 4 единицы на балансе счета. Мы, как и прежде, имеем те же 8 сделок, но лучший конечный результат (Таблица VI). Мы получили лучший конечный результат не потому, что оптимальные f немного отличаются (оба значения f находятся на соответствующих оптимальных уровнях), а потому, что есть небольшая потеря эффективности при одновременных ставках. Неэффективность является результатом невозможности изменения структуры вашего счета (т.е. рекапитализации) после каждой отдельной ставки, как в игре только по одной рыночной системе. В случае с двумя одновременными ставками вы можете рекапитализировать счет только 3 раза, в то время как в слу­чае с 8 отдельными ставками вы рекапитализируете счет 7 раз. Отсюда возникает потеря эффективности при одновременных ставках (или при торговле портфелем рыночных систем).

 

Система В		Счет
Сделка	P&L	100, 00
-1	-25	75
2	37,5	112,5
-1	-28, 13	84,38
2	42, 19	126, 56
2	63,28	189, 84
2	94,92	284, 77
-1	-71, 19	213, 57
-1	-53, 39	160, 18

Оптимальное f соответствует единице на каждые 4 единице на счете

Мы рассмотрели случай, когда одновременные ставки не были коррелирова-ны. Давайте посмотрим, что произойдет при положительной корреляции (+1,00):

Таблица VII

 

Система А			Система Б
Сделка	P&L	Сделка	P&L	Счет
				100,00
-1	-12,50	-1	-12,50	75,00
2	18,75	2	18,75	112,50
-1	-14,06	-1	-14,06	84,38
2	21,09	2	21,09	126,56

Оптимальное f соответствует единице на каждые 8 единице на счете

Отметьте, что после 4 одновременных игр при корреляции между рыночными системами +1,00 мы увеличили первоначальный счет 100 единиц до 126,56. Это соответствует TWR = 1,2656, или среднему геометрическому (даже если это ком­бинированные игры) 1,2656 ^ (1/4) =1,06066. Теперь вернемся к случаю с одной ставкой. Обратите внимание, что после 4 игр мы получим 126,56 при начальном счете в 100 единиц. Таким образом, среднее геометрическое равно 1,06066. Это говорит о том, что скорость роста такая же, как и при торговле с оптимальными долями на абсолютно коррелированных рынках. Как только коэффициент корреляции опускается ниже +1,00, скорость роста повышается. Таким образом, мы можем утверждать, что при комбинировании рыночных систем ваша скорость роста никогда не будет меньше, чем в случае одиночной ставки по каждой системе, независимо от того, насколько высоки корреляции, при условии,

что добавляемая рыночная система имеет положительное арифметическое математическое ожидание. Вспомним первый пример из этого раздела, когда 2 рыночные системы имели нулевой коэффициент корреляции. Эта рыночная система увеличила счет 100 единиц до 156,86 после 4 игр при среднем геометрическом (156,86/ / 100) ^ (1/4) = 1,119. Теперь давайте рассмотрим случай, когда коэффициент корреляции равен -1,00. Так как при таком сценарии никогда не бывает проигрышной игры, оптимальная сумма ставки является бесконечно большой суммой (другими словами, следует ставить 1 единицу на бесконечно малую сумму баланса счета). Для примера мы сделаем 1 ставку на каждые 4 единицы на счете и посмотрим на полученные результаты:

Таблица VIII

Система А      Система Б

Сделка           P&L     Сделка P&L     Счет

Оптимальное f соответствует 1 единице на каждые 0,00 на балансе (показана 1 единица на каждые

4):

100,00
-1         -12,50   2    25,00   112,50

2        28,13    -1    -14,06   126,56

-1       -15,82   2    31,64   142,38

2        35,60    -1    -17,80   160,18

Из этого раздела можно сделать два вывода. Первый состоит в том, что при од­новременных ставках или торговле портфелем существует небольшая потеря эффективности, вызванная невозможностью рекапитализировать счет после каждой отдельной игры. Второй заключается в том, что комбинирование ры­ночных систем, при условии, что они имеют положительные математические ожидания (даже если они положительно коррелированы), никогда не уменьшит ваш общий рост за определенный период времени. Однако когда вы продолжаете добавлять все больше и больше рыночных систем, эффективность уменьшается. Если у вас есть, скажем, 10 рыночных систем, и все они одновременно несут убытки, совокупный убыток может уничтожить весь счет, так как вы не сможете уменьшить размер каждого проигрыша, как в случае последовательных сделок. Таким образом, при добавлении новой рыночной системы в портфель польза будет только в двух случаях: когда рыночная система имеет коэффициент корреляции меньше 1 и положительное математическое ожидание или же когда система имеет отрицательное ожидание, но достаточно низкую корреляцию с другими составляющими портфеля, чтобы компенсировать отрицательное ожидание. Каждая добавленная рыночная система вносит постепенно уменьшающийся вклад в среднее геометрическое. То есть каждая новая рыночная система улучшает среднее геометрическое все в меньшей и меньшей степени. Более того, когда вы добавляете новую рыночную систему, теряется общая эффективность из-за одновременных, а не последовательных результатов. В некоторой точке добавление еще одной рыночной системы принесет больше вреда, чем пользы.

Время, необходимое для достижения определенной цели, и проблема дробного f

Допустим, мы знаем среднее арифметическое HPR и среднее геометрическое HPR для данной системы. Мы можем определить стандартное отклонение HPR из формулы для расчета оценочного среднего геометрического:

EGM = (AHPR л 2 - SD л 2) л (1/2),

где  AHPR = среднее арифметическое HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR. Поэтому мы можем рассчитать стандартное отклонение SD следующим образом:

SD А 2 = AHPR Л 2 - EGM л 2

Возвращаясь к нашей игре с броском монеты 2:1, где математическое ожидание 0,50 долларов и оптимальное f- ставка в 1 доллар на каждые 4 доллара на счете, мы получим  среднее  геометрическое  1,06066.  Для  определения  среднего  ариф­метического HPR можно использовать уравнение (2.05): AHPR=l + (MO/f$),

где  AHPR = среднее арифметическое HPR;

МО = арифметическое математическое ожидание в единицах;

f$= наибольший проигрыш/-f

f = оптимальное f (от 0 до 1).

Таким образом, среднее арифметическое HPR равно: AHPR =1+(0,5/(-1/-0,25)) =1+(0,5/4) =1+0,125 =1,125

Теперь, так как у нас есть AHPR и EGM, мы можем использовать уравнение (2.04) для определения оценочного стандартного отклонения HPR:

SD Л 2 = AHPR л 2 - EGM л 2 =1,125 ^2- 1,06066 ^62

= 1,265625-1,124999636   =0,140625364

Таким образом, SD ^ 2, то есть дисперсия HPR, равна 0,140625364. Извлекая квад­ратный корень из этой суммы, мы получаем стандартное отклонение HPR =0,140625364 ^(1/2) =0,3750004853. Следует отметить, что это оценочное стандартное отклонение, так как при его расчете используется оценочное среднее геометрическое. Это не совсем точный расчет, но вполне приемлемый для наших целей. Предположим, мы хотим преобразовать значения для стандартного отклонения (или дисперсии), арифметического и среднего геометрического HPR, чтобы отражать торговлю не оптимальным f, а некоторой его частью. Эти преобразования даны далее:

FAHPR = (AHPR - 1) * FRAC + 1

FSD = SD * FRAC

FGHPR= (FAHPR ^ 2 - FSD ^ 2) А^(1/2),

где FRAC = используемая дробная часть оптимального f; АН PR= среднее арифметическое HPR при оптимальном f; SD = стандартное отклонение HPR при оптимальном f; FAHPR== среднее арифметическое HPR при дробном f; FSD = стандартное отклонение HPR при дробном f; FGHPR = среднее геометрическое HPR при дробном f.

Например, мы хотим посмотреть, какие значения приняли бы FAHPR, FGHPR и FSD в игре с броском монеты 2:1 при половине оптимального f (FRAC = 0,5). Мы знаем, что AHPR= 1,125 и SD = 0,3750004853. Таким образом:

(2.06)    FAHPR = (AHPR - 1) * FRAC + 1

=(1,125- 1)*0,5+ 1 =0,125* 0,5 + 1 = 0,0625 + 1 = 1,0625

(2.07) FSD = SD * FRAC =0,3750004853*0,5 = 0,1875002427

(2.08)  FGHPR = (FAHPR Л 2 - FSD л 2) л (1/2)

= (1,0625 ^ 2 - 0,1875002427 ^2) ^ (1/2) = (1,12890625 - 0,03515634101) ^ (1/2) =1,093749909 ^ (1/2) = 1,04582499

Для оптимального f= 0,25 (1 ставка на каждые 4 доллара на счете) мы получаем значения 1,125, 1,06066 и 0,3750004853 для среднего арифметического, среднего геометрического и стандартного отклонения HPR соответственно. При дробном (0,5) f =0,125 (1 ставка на каждые 8 долларов на счете) мы получаем значения 1,0625, 1,04582499 и 0,1875002427 для среднего арифметического, среднего гео­метрического и стандартного отклонения HPR соответственно. Посмотрим, что происходит, когда мы используем стратегию дробного f. Мы уже знаем, что при дробном f заработаем меньше, чем при оптимальном f. Более того, мы определили, что проигрыши и дисперсии прибылей будут меньше при дробном f. Что произойдет со временем, необходимым для достижения определенной цели? Мы можем определить только ожидаемое количество сделок, необходимое для достижения определенной цели. Это не то же самое, что ожидаемое время, требуемое для достижения определенной цели, но, так как наши измерения производятся в сделках, мы будем считать время и количество сделок синонимами.

(2.09) N = 1п(Цель) / 1n(Среднее геометрическое),

где N = ожидаемое количество сделок для достижения цели; Цель = цель в виде множителя первоначального счета, т.е. TWR;

1n() = функция натурального логарифма.

Вернемся к нашему примеру с броском монеты 2:1. При оптимальном f среднее геометрическое равно 1,06066, а при половине f оно составляет 1,04582499. Теперь давайте рассчитаем ожидаемое количество сделок, необходимое для удвоения на­шего счета (Цель = 2). При полном f:

N=ln(2)/ln( 1,06066) =0,6931471/0,05889134 =11,76993

Таким образом, в игре с броском монеты 2:1 при полном f следует ожидать 11,76993 сделок для удвоения нашего счета. При половине f получаем:

N=ln(2)/ln( 1,04582499) =0,6931471/0,04480602 = 15,46996

Таким образом, при половине f мы ожидаем, что потребуется 15,46996 сделок для удвоения счета. Другими словами, чтобы достичь цели при торговле на уровне f/ /2, от нас понадобится на 31,44% сделок больше. Ну что же, это звучит не так уж плохо. Проявляя терпение для достижения поставленной цели, мы потратим времени  на  31,44%  больше,  но  сократим  худший  проигрыш  и  дисперсию

наполовину. Согласитесь, половина — это довольно много. Чем меньшую часть оптимального f вы будете использовать, тем более гладкую кривую счета получите, и тем меньшее время вы будете в проигрыше. Теперь посмотрим на эту ситуацию с другой стороны. Допустим, вы открываете два счета: один для торговли с полным f и один для торговли с половиной f. После 12 игр ваш счет с полным f увеличится в 2,02728259 в 12 раза. После 12 сделок (с половиной f) он вырастет в 1,712017427 (1,04582499 ^ 12) раза. С половиной f первоначальный счет увеличится в 2,048067384 (1,04582499 ^ 16) раза при 16 сделках. Поэтому, торгуя на одну треть дольше, вы достигнете той же цели, что и при полном оптимальном f, но при активности, меньшей наполовину. Однако к 16 сделке счет с полным f будет в 2,565777865 (1,06066 ^ 16) раза больше вашего первоначального счета. Полное f продолжает увеличивать счет. К 100 сделке ваш счет с половиной f увеличится в 88,28796546 раз, но полное f увеличит его в 361,093016 раз!

Единственный минус торговли с дробным f— это большее время, необходимое для достижения определенной цели. Все дело во времени. Мы можем вложить деньги в казначейские обязательства и достичь-таки заданной цели через определенное время с минимальными промежуточными падениями баланса и дисперсией! Время — это суть проблемы.

Сравнение торговых систем

Мы увидели, что две торговые системы можно сравнивать на основе их средних геометрических при соответствующих оптимальных f. Далее, мы можем сравнивать системы, основываясь на том, насколько высокими являются их оптимальные f, поскольку более высокие оптимальные f соответствуют более рискованным системам. Это связано с тем, что исторический проигрыш может понизить счет, по крайней мере, на процент f. Поэтому существуют две основные величины для сравнения систем: среднее геометрическое при оптимальном f, где более высокое среднее геометрическое предпочтительнее, и само оптимальное f, где более низкое оптимальное f лучше. Таким образом, вместо одной величины для измерения эффективности системы мы получаем две; эффективность должна измеряться в двухмерном пространстве, где одна ось является средним геометрическим, а другая — значением f. Чем выше среднее геометрическое при оптимальном f, тем лучше система. Также чем ниже оптимальное f, тем лучше система.

Среднее геометрическое ничего не скажет нам о проигрыше. Высокое среднее геометрическое не означает, что проигрыш системы большой (или, наоборот, не­значительный). Среднее геометрическое имеет отношение только к прибыли. Оптимальное f является мерой минимального ожидаемого исторического проиг­рыша как процентное понижение баланса. Более высокое оптимальное f не гово­рит о более высоком (или низком) доходе. Мы можем также использовать эти по­ложения для сравнения определенной системы при дробном значении f с другой системой при полном значении оптимального f. При рассмотрении систем вам следует учитывать, насколько высоки средние геометрические и каковы оптимальные f. Например, у нас есть система А, которая имеет среднее геометрическое 1,05 и оптимальное f= 0,8. Также у нас есть система В, которая имеет среднее геометрическое 1,025 и оптимальное f=0,4. Система А при половине уровня f будет иметь то же минимальное историческое падение баланса худшего случая (проигрыш) в 40%, как и система В при полном f, но среднее гео­метрическое системы А при половине f вce равно будет выше, чем среднее геометрическое системы В при полном значении f. Поэтому система А лучше системы В. «Минутку, — можете возразить вы, — разве не является самым

важным то обстоятельство, что среднее геометрическое больше 1, и системе необходимо быть только минимально прибыльной, чтобы (посредством грамотного управления деньгами) заработать желаемую сумму!» Так оно и есть. Скорость, с которой вы зарабатываете деньги, является функцией среднего геометрического на уровне используемого f. Ожидаемая дисперсия зависит от того, насколько большое f вы используете. Вы, безусловно, должны иметь систему с оптимальным f и со средним геометрическим, большим 1 (то есть с положительным математическим ожиданием). С такой системой вы можете заработать практически любую сумму через соответствующее количество сделок. Скорость роста (количество сделок, необходимое для достижения определенной цели) зависит от среднего геометрического при используемом значении f. Дисперсия на пути к этой цели также является функцией используемого значения f. Хотя важность среднего геометрического и применяемого f вторична по срав­нению с тем фактом, что вы должны иметь положительное математическое ожи­дание, эти величины действительно полезны при сравнении двух систем или ме­тодов, которые имеют положительное математическое ожидание и равную уве­ренность в их работе в будущем.

Слишком большая чувствительность к величине наибольшего проигрыша

Недостаток подхода, основанного на оптимальном f, заключается в том, что f слишком зависит от величины наибольшего проигрыша, что является серьезной проблемой для многих трейдеров, и они доказывают, что количество контрактов, которые вы открываете сегодня, не должно быть функцией одной неудачной сделки в прошлом.

Для устранения этой сверхчувствительности к наибольшему проигрышу были разработаны разнообразные алгоритмы. Многие из этих алгоритмов заключаются в изменении наибольшего проигрыша в большую или меньшую сторону, чтобы сделать наибольший проигрыш функцией текущей волатильности рынка. Эта связь, как утверждают некоторые, квадратичная, то есть абсолютное значение наибольшего проигрыша, по всей видимости, увеличивается с большей скоростью, чем волатильность. Волатильность чаще всего определяется как средний дневной диапазон цен за последние несколько недель или как среднее абсолютное дневное изменение за последние несколько недель. Однако об этой зависимости нельзя говорить с полной уверенностью. То, что волатильность сегодня составляет X, не означает, что наш наибольший проигрыш будет Х ^ Y. Можно говорить лишь о том, что он обычно где-то около Х ^ Y. Если бы мы могли заранее определить сегодняшний наибольший проигрыш, то, безусловно, могли бы лучше использовать методы управления деньгами1. Это тот самый случай, когда мы должны рассмотреть сценарий худшего случая и отталкиваться от него. Проблема состоит  в  том,  что  мы  не  знаем  точно,  каким  будет  сегодня  наибольший

1 Именно в этом случае использование опционов в торговой стратегии столь полезно. Покупка пут или колл-опциона в обратном направлении от позиции по базовому инструменту для ограничения проигрыша либо торговля опционами вместо базового инструмента дадут вам заранее известный максимальный проигрыш, что очень пригодится в управлении деньгами, особенно при оптимальном f. Более того, если вы знаете заранее, каким будет ваш максимальный проигрыш (например, при дневной торговле), тогда вы всегда сможете точно определить величину f в долларах для каждой сделки как следующую дробь: риск в долларах на единицу/оптимальное f. Например, дневной трейдер знает, что его оптимальное f =0,4. Его стоп (stop-loss) сегодня на основе 1 единицы равен 900 долларам. Поэтому оптимально торговать 1 единицей на каждые 2250 долларов ($900 / 0,4) на балансе счета.

проигрыш. Алгоритмы, которые могут спрогнозировать это, не очень эффективны, так как они часто дают ошибочные результаты.

Предположим, в течение торгового дня произошло событие, вызвавшее на рынке шок, и до этого шока волатильность была достаточно низкой. Затем рынок находился не на вашей стороне несколько следующих дней. Или, допустим, на следующий день рынок открылся с огромным разрывом не в вашу пользу. Эти события так же стары, как сама торговля товарами и акциями. Они могут произойти и происходят, и о них не всегда предупреждает заранее повышающаяся волатильность. Таким образом, лучше не «сокращать» ваш наибольший исторический проигрыш для отражения текущего рынка с низкой волатильностью. Более того, есть реальная возможность испытать в будущем проигрыш больший, чем наибольший исторический проигрыш. Наибольший проигрыш, который вы получили в прошлом, может оказаться наибольшим проигрышем, который вы испытаете сегодня, и не зависеть от текущей волатильности1. Проблема состоит в том, что с эмпирической точки зрения f, оптимальное в прошлом, является функцией наибольшего проигрыша в прошлом. С этим ничего не поделаешь. Однако мы увидим, когда перейдем к параметрическим методам, что можно предусмотреть больший проигрыш в будущем. При этом мы будем готовы к появлению почти неизбежного большого проигрыша. Вместо подгонки наибольшего проигрыша к текущей ситуации на рынке, чтобы эмпирическое оптимальное f отражало нынешнюю ситуацию, лучше изучить параметрические методы. Следующий метод является возможным решением данной проблемы и может применяться вне зависимости от того, рассчитываем мы оптимальное f эмпирически или параметрически.

Приведение оптимального f к текущим ценам

Оптимальное f даст наибольший геометрический рост при большом количестве сделок. Это математический факт. Рассмотрим гипотетический поток сделок:

+2, -3, +10, -5

Из этого потока сделок мы найдем, что оптимальное f= 0,17 (ставка 1 единицы на каждые 29,41 доллара на балансе). Такой подход при данном потоке даст нам наи­больший рост счета.

Представьте себе, что этот поток выражает прибыли и убытки при торговле одной акцией. Оптимально следует покупать одну акцию на каждые 29,41 доллара на балансе счета, несмотря на текущую цену акции. Предположим, что текущая цена акции равна 100 долларам. Более того, допустим, что при первых двух сделках акция стоила 20 долларов, а при двух последних сделках — 50 долларов. Для наших первых двух сделок, которые произошли при цене акции в 20 долларов, выигрыш в 2 доллара соответствует выигрышу в 10%, а проигрыш 3 долларов соответствует проигрышу в 15%. Для двух последних сделок при цене акции 50 долларов выигрыш 10 долларов соответствует выигрышу в 20%, а проигрыш в 5 долларов соответствует проигрышу в 10%.

1 Разумный подход требует, чтобы мы использовали наибольший проигрыш, по крайней мере, такой же величины, как и в прошлом. С течением времени мы получаем все большее количество данных и большие периоды проигрышей. Например, если бросить монету 100 раз, она может 12 раз подряд выпасть на обратную сторону. Если бросить ее 1000 раз, то, вероятно, можно получить еще больший период, когда монета выпадет обратной стороной. Тот же принцип работает и в торговле. Мы не только должны ожидать более длинные полосы проигрышных сделок в будущем, следует также ожидать большую проигрышную сделку наихудшего случая.

обоих случаях ваш дневной баланс понижается. Использование приведенного оптимального f делает более вероятным, что ежедневное изменение размера позиции пойдет вам на пользу Использование приведенных данных для оптимального f неизбежно влечет за собой изменение побочных продуктов1. Мы знаем, что и оптимальное f, и среднее геометрическое (и отсюда TWR) изменятся. Средняя арифметическая сделка также изменится, потому что все сделки в прошлом должны быть пересчитаны, как если бы они происходили при текущей цене. Таким образом, в нашем предполагаемом потоке результатов по 1 акции (+2,-3,+10и-5) мы получим среднюю сделку, равную 1 доллару. Когда мы используем процентные выигрыши и проигрыши (+0,1; -0,15; +0,2 и -0,1), то получаем среднюю сделку (в процентах) +0,5. При цене 100 долларов за акцию мы получим среднюю сделку 100 * 0,05, или 5 долларов за сделку. При цене 3 доллара за акцию средняя сделка становится равной 0,15 доллара (3 * 0,05). Средняя геометрическая сделка также изменится. Вспомните уравнение (1.14) для средней геометрической сделки:

(1.14)   GAT = G * (Наибольший проигрыш /-f),

где  G = (среднее геометрическое) -1;

f=оптимальная фиксированная доля. (Разумеется, наш наибольший проигрыш всегда является отрицательным числом.)

Это уравнение эквивалентно следующему:

GAT = (среднее геометрическое -1) * f$

Мы получили новое среднее геометрическое на основе приведенных данных. Переменная f$, которая была постоянной, когда прошлые данные не приводились, теперь изменится, так как она является функцией текущей цены. Таким образом, наша средняя геометрическая сделка меняется, когда меняется цена базового инструмента.

Порог геометрической торговли также должен измениться. Вспомните урав­нение (2.02) для порога геометрической торговли:

Т = ААТ / GAT * Наибольший проигрыш / -f, где  Т = порог геометрической торговли;

ААТ = средняя арифметическая сделка; GAT =средняя геометрическая сделка;

f= оптимальное f (от 0 до  1). Это уравнение также можно переписать следующим образом:

Т = ААТ/GAT* f$

Наконец, при сведении в единый портфель нескольких рыночных систем мы дол­жны рассчитать ежедневные HPR. Это также функция f$:

1 Уравнения риска разорения, хотя они напрямую и не упомянуты в этой книге, должны также изменяться при использовании приведенных данных. Вообще в качестве вводных данных для уравнений риска разорения используют необработанные данные P&L. Однако когда вы используете приведенные данные, новый поток процентных выигрышей и проигрышей должен умножаться на текущую цену базового инструмента, и далее надо использовать именно этот получившийся поток. Таким образом, при текущей цене инструмента 100 долларов поток процентных выигрышей и проигрышей 0,1; -0,15; 0,2; -0,1 преобразуется в поток 10; -15; 20; -10. Этот новый поток и следует использовать для уравнений риска разорения.

(2.12)  Дневное HPR = D$ / f$ + 1,

где D$ = долларовое изменение цены 1 единицы по сравнению с прошлым днем, т. е. (закрытие сегодня - закрытие вчера) * (доллары за пункт);

f$= текущее оптимальное f в долларах, рассчитанное из уравнения (2.11). Здесь текущей ценой является закрытие последнего дня.

Предположим, некая акция сегодня вечером закрылась на уровне 99 долларов. На прошлой сессии ее цена была 102 доллара. Наибольший процентный проигрыш равен -15. Если f= 0,09, тогда f$ равно: f$ =-0,15*102*1/-0,09 =-15,3/-0,09 = 170

Так как мы имеем дело только с одной акцией, цена одного пункта составляет 1 доллар. Мы можем теперь определить сегодняшнее дневное HPR из уравнения

(2.12):

(2.12) Дневное HPR = (99 -102) * 1 /170 + 1 =-3/170+1 = -0,01764705882 + 1 = 0,9823529412

Теперь вернемся к началу нашей дискуссии. При потоке торговых P&L опти­мальное f позволит получить наибольший геометрический рост (при условии, что арифметическое математическое ожидание положительное)'. Мы используем по­ток торговых P&L в качестве образца распределения возможных результатов в следующей сделке. Если привести к текущей цене поток прошлых прибылей и убытков, то мы сможем получить более правдоподобное распределение потенци­альных прибылей и убытков для следующей сделки. Таким образом, нам следует рассчитывать оптимальное f из этого измененного распределения прибылей и убытков. Это не означает, что, используя оптимальное f, рассчитанное на основе приведенных данных, мы выиграем больше. Как видно из следующего примера, все выглядит несколько иначе:

P&L

Процент Цена f$ базового инструмента

Количество акций

Полный капитал

При f= 0,09 (торговля приведенным методом):

$10000

 

+2	ОД	20	$33,33	300	$10600
-3	-0,15	20	$33,33	318	$9646
+10	0,2	50	$83,33	115,752	$10803,52
	-0,	50	$83,33	129,642	$10155,31

 

P&L

Процент Цена f$ базового инструмента

Количество акций

Полный капитал

При f= 0,17 (торговля неприведенным методом):

$10000

 

+2	ОД	20	$29,41	340,02	$10680,04
-3	-0,15	20	$29,41	363,14	$9 590,61
+10	0,2	50	$29,41	326,1	$12851,61
	-0,	50	$29,41	436,98	$10666,71

 

Однако если бы все сделки были рассчитаны на основе текущей цены (скажем, 100 долларов за акцию), приведенное оптимальное f позволило бы выиграть больше, чем необработанное оптимальное f.

Что лучше использовать? Следует ли нам определять оптимальное f (и его по­бочные продукты) на основе приведенных данных или лучше действовать обыч­ным способом? Это больше вопрос ваших предпочтений. Все зависит от того, что более важно в инструменте, которым вы торгуете: процентные изменения или аб­солютные изменения. Будет ли движение в 2 доллара по акции в 20 долларов то же, что и движение в 10 долларов по акции в 100 долларов? Посмотрим, например, на торги по доллару и немецкой марке. Будет ли движение в 0,30 пункта при 0,4500 то же, что и движение в 0,40 пункта при 0,6000? На мой взгляд, лучше использовать приведенные данные. С этим, однако, можно поспорить. Например, если акция с 20 долларов выросла до 100 долларов, и мы хотим определить оптимальное f, нам, возможно, потребуется использовать только текущие данные. Сделки, которые происходили при цене в 20 долларов за акцию, относятся к рынку, значительно отличающемуся от существующего в настоящий момент.

Лучше не использовать данные, когда базовый инструмент был на совершенно другом ценовом уровне, так как состояние рынка могло существенно измениться В этом смысле оптимальное f на основе необработанных данных и оптимальное f, получаемое из приведенных данных, будут почти идентичны, когда все сделки происходят при ценах, близких к текущей цене базового инструмента.

Если действительно большое значение имеет то обстоятельство, приводите вы данные или нет, значит вы используете слишком много исторических данных. На самом деле, нет большой разницы, используете ли вы приведенные или необработанные данные, если нет вышеописанной проблемы, поэтому следует пользоваться приведенными данными. Это не означает, что оптимальное f, рас­считанное из приведенных данных, было оптимальным в прошлом. Оно могло таковым и не быть. Оптимальное f, рассчитанное из необработанных данных, могло быть оптимальным в прошлом. Однако оптимальное f, рассчитанное из приведенных данных, имеет больше смысла, так как приведенные данные явля­ются более справедливым представлением распределения возможных результатов по следующей сделке.

Уравнения с (2. 10а) по (2. 10в) дают разные ответы в зависимости от того, какая была открыта позиция: длинная или короткая. Например, если акция куплена за 80, а продана за 100, выигрыш составит 25%. Однако если акция продана по 100, а закрыта по 80, то выигрыш составит только 20%. В обоих случаях позицию открыли по 80 и закрыли по 100. Таким образом, последовательность — хронология трансакций — должна приниматься во внимание. Так как хронология трансакций затрагивает распределение процентных выигрышей и проигрышей, мы допускаем, что будущая хронология скорее всего будет подобна прошлой. Конечно, мы можем игнорировать хронологию сделок (используя 2.10в для длинных позиций и цену выхода в знаменателе 2.10в для коротких позиций), но это означало бы уменьшение информации в исторических данных. Более того, риск торговли является функцией хронологии торговли, и этот факт мы были бы вынуждены игнорировать.

Усреднение цены при покупке и продажа акций

Это старая, мало используемая техника управления деньгами, которая является идеальным инструментом для работы в ситуациях, когда у вас мало информации. Рассмотрим пример: Джо Пуцивакян каждую неделю заливает в свою машину бензина на 20 долларов, независимо от цены бензина в эту неделю. Он всегда

заправляется на 20 долларов и каждую неделю использует только 20 долларов. Когда цена бензина выше, это вынуждает его быть более экономным при вождении.

Джо Пуцивакян покупает больше бензина, когда он дешевле, и меньше, когда он дороже. Поэтому всю свою жизнь он платит за галлон бензина цену ниже средней. Другими словами, если вы усредните стоимость галлона бензина за все недели, когда Джо водил автомобиль, среднее значение будет выше, чем платил Джо.

У Джо есть двоюродный брат, Сесил Пуцивакян. Когда ему нужен бензин, он просто наполняет бак и сетует на высокую цену. В результате, Сесил использует постоянное количество топлива каждую неделю и поэтому платит среднюю цену всю свою автомобильную жизнь.

Предположим, вы ищите долгосрочную инвестиционную программу. В итоге вы решаете вложить деньги во взаимный фонд, чтобы обеспечить себе достойную старость. Вы полагаете, что, когда уйдете на пенсию, акции взаимного фонда будут стоить намного дороже, чем сегодня, то есть, в асимптотическом смысле, инвестиции во взаимный фонд принесут деньги (с другой стороны, в асимптотическом смысле, и молния дважды ударит в одно и то же место). Однако вы не знаете, какова будет стоимость этих вложений в следующем месяце или в следующем году. У вас нет информации о краткосрочной тенденции цен акций взаимного фонда.

Чтобы решить эту проблему, вы можете усреднить цену покупки акций взаим­ного фонда. Скажем, вы хотите купить акции взаимного фонда на определенную сумму в течение двух лет. Для инвестирования у вас есть 36 000 долларов. Поэтому каждый месяц в течение следующих 24 месяцев из этих 36 000 долларов вы будете инвестировать в фонд по 1500 долларов. Таким образом, вы вложите деньги в фонд ниже средней цены. Под «средней» имеется в виду средняя цена за 24 месяца, в течение которых вы инвестируете. Это не обязательно означает, что вы получите цену, которая меньше, чем в случае разовой инвестиции 36 000 долларов, и не гарантирует, что в конце этих 24 месяцев вы получите прибыль на вложенные 36 000 долларов. Сумма, которую вы инвестировали в акции фонда, к этому времени может быть меньше 36 000 долларов. Все вышесказанное означает только то, что если вы войдете в какой-то произвольной точке в течение 24 месяцев с 36 000 долларов, то сможете купить меньше акций фонда и, следовательно, заплатите более высокую цену, чем при усреднении. Похожим образом следует поступать, когда вы собираетесь выйти из взаимного фонда, только теперь это относится к усреднению цены продаж акций, а не к усреднению цены покупки. Скажем, вы уходите на пенсию с 1000 акций этого взаимного фонда. Вы не знаете, пришло время выходить из фонда или нет, поэтому решаете продавать акции в течение 2 лет (24 месяца), чтобы усреднить цену выхода. Вот как следует действовать. Возьмите общее количество акций (1000) и разделите их на количество периодов, за которое хотите выйти (24 месяца). Так как 1000 / 24 = 41,67, то последующие 24 месяца вы будете продавать 41,67 акций каждый месяц. Таким образом, вы продадите свои акции по более высокой цене, чем средняя цена за эти 24 месяца. Конечно, нет гарантии, что вы продадите их по более высокой цене, чем сегодняшняя, и совсем необязательно, что вы продадите акции по более высокой цене, чем через 24 месяца. Вы получите более высокую цену, чем средняя цена за период времени, когда вы усредняетесь. Это вам гарантировано. Те же принципы можно применять к торговому счету. В противоположность «одному решительному шагу» в какой-то точке в течение выбранного отрезка времени входите на рынок по лучшей «средней цене». При отсутствии информации о том, каким будет краткосрочное изменение баланса на счете, вам лучше усредняться. Не полагайтесь только на свою выдержку и интуицию, используйте методы измерения зависимости ежемесячных изменений

баланса торговой программы (см. главу 1). Попытайтесь понять, есть ли зависимость в ежемесячных изменениях баланса. Если зависимость существует при достаточно высоком доверительном уровне, чтобы вы могли полностью войти в благоприятной точке, тогда так и делайте. Однако если нет достаточно высокой уверенности относительно зависимости в ежемесячных изменениях баланса, тогда усредняйтесь. Таким образом, у вас будет преимущество в асимптотическом смысле. То же верно в случае снятия денег со счета. Аналогично усреднению при покупке (неважно, торгуете вы акциями или товарами) следует принять решение о дате начала усреднения, а также о том, насколько долгий период времени необходим для усреднения. В тот день, когда вы собираетесь начать усреднение, разделите баланс счета на 100. Это даст вам стоимость «I акции». Теперь разделите 100 на количество периодов, по прошествии которых вы закончите усреднение. Скажем, вы хотите снять все деньги со счета в течение следующих 20 недель. Разделив 100 на 20, вы получите 5. Поэтому вы будете снимать со своего счета 5 «акций» в неделю. Умножьте величину, которую вы вычислили как 1 «акцию», на 5, чтобы знать, сколько денег снять с торгового счета в эту неделю. Теперь вы должны отслеживать, сколько «акций» у вас осталось. Так как вы взяли 5 долей на прошлой неделе, у вас осталось 95. Когда подойдет время для второго снятия, разделите баланс на вашем счете на 95 и умножьте на 5. Это даст вам стоимость 5 «акций», которые вы «переведете в наличные» на этой неделе. Следуйте этой стратегии, пока у вас не закончатся «акции». Таким образом, средняя цена продажи будет лучше, чем цена в произвольной точке в течение этих 20 недель.

Этот принцип усреднения настолько прост, что остается только поражаться, почему мало кто ему следует. Я всегда использую этот принцип в торговле, однако не встречал никого, кто следовал бы моему примеру. Причина проста. Эта доста­точно эффективная концепция требует дисциплины и времени для проработки, и при этом точно те же составляющие необходимы для использования концепции оптимального f. Посоветуйтесь с Джо Пуцивакяном. Понять концепции и поверить в них — только полдела. Самое важное — следовать им.

Законы арксинуса и случайное блуждание

Давайте поговорим о проигрышах, но сначала скажем несколько слов о первом и втором законах арксинуса. Эти принципы относятся к случайному блужданию. Поток торговых P&L в некоторых случаях может быть неслучайным, хотя обычно большинство потоков торговых прибылей и убытков почти случайны, что можно подтвердить серийным тестом и коэффициентом линейной корреляции. Законы арксинуса предполагают, что вы заранее знаете сумму, которую можно выиграть или проиграть, и допускают, что сумма, которую можно выиграть, равна сумме, которую можно проиграть, и эта сумма постоянна. В нашей дискуссии мы допустим, что сумма, которую вы можете выиграть или проиграть, — это 1 доллар за каждую игру. Законы арксинуса также допускают, что у вас есть 50% шанс выигрыша и 50% шанс проигрыша. Таким образом, законы арксинуса предполагают игру, где математическое ожидание составляет 0. Эти предположения относятся к играм, которые значительно проще, чем торговля. Однако первый и второй законы арксинуса в точности относятся к только что описанной игре. Конечно, напрямую они не применимы к реальной торговле, но для наглядности мы не будем различать игру и торговлю. Представим себе действительно случайную последовательность, такую, как бросок монеты1, где мы

1 Хотя эмпирические тесты показывают, что бросок монеты не является истинно случайной последовательностью из-за некоторого несовершенства используемой монеты, мы будем считать, что монета идеальная с точным шансом 0,5 выпадения на лицевую или обратную сторону.

получаем 1 единицу, когда выигрываем, и теряем 1 единицу, когда проигрываем. Если бы мы строили кривую баланса за Х число бросков, то наносили бы точки с координатами (X, Y), где Х представляет собой номер броска, а Y — наш общий выигрыш или проигрыш после этого броска.

Введем понятие положительной области, когда кривая баланса находится выше оси Х или на оси X, если предыдущая точка была выше X. Таким же образом мы определим отрицательную область, когда кривая баланса находится ниже оси Х или на оси X, если предыдущая точка была ниже X. Логично предположить, что общее количество точек в положительной области будет примерно равно общему количеству точек в отрицательной области. На самом деле это не так. Если бро­сить монету N раз, то вероятность (Prob) осуществления К событий в положи­тельной области составит:

(2.13)    Prob ~ 1 / (ТС * К л 0,5 * (N - К) л 0,5),

где     71 = 3,141592654.

Символ ~ означает, что обе части стремятся к равенству в пределе. В этом случае, так как или К, или (N - К) стремятся к бесконечности, обе части уравнения будут стремиться к равенству.

Таким образом, если бросить монету 10 раз (N = 10), мы получим следующие вероятности нахождения в положительной области:

 

к	2 Вероятность
О	0,14795
1	0,1061
2	0,0796
3	0,0695
4	0,065
5	0,0637
6	0,065
7	0,0695
8	0,0796
9	0,1061
10	0,14795

Можно ожидать попадания в положительную область 5-ти из 10-ти бросков, но это наименее вероятный результат!

Наиболее вероятным результатом будет нахождение в положительной области при всех бросках или ни при одном!

Этот принцип формально описывается в первом законе арксинуса, который гласит:

Для фиксированного А (0 < А < 1), когда N стремится к бесконечности, время, проведенное в положительной области (т.е., когда К / N < А), будет определяться следующим образом:

2 Отметьте, что в уравнении (2.13) ни К, ни (N — К) не могут быть равными 0. Мы можем вычислить вероятности, соответствующие К = 0 и К = N, если вычтем сумму вероятностей от К = 1 до К = N — 1 из единицы. Разделив полученное значение на 2, мы получим вероятность при К = 0 и K = N.

(2.14)    Prob {(К / N) < A} = 2 / 71 * ARC SIN (А л 0,5),

где     П = 3,141592654;

N = количество бросков; К = количество бросков в положительной области.

Даже при N = 20 вы получите очень хорошее приближение для вероятности.

Уравнение (2.14), то есть первый закон арксинуса, говорит нам, что с ве­роятностью 0,1 кривая баланса счета проведет 99,4% времени в одной области (положительной или отрицательной). С вероятностью 0,2 кривая баланса будет находиться в той же области 97,6% времени. С вероятностью 0,5 кривая баланса счета проведет в одной области более 85,35% времени. Настолько упряма кривая баланса простой монетки!

Существует также второй закон арксинуса, который основан на уравнении (2.14) и дает те же вероятности, что и первый закон арксинуса, но применяется к другому случаю, максимуму или минимуму кривой баланса. Второй закон аркси­нуса гласит, что максимальная (или минимальная) точка кривой баланса вероятнее всего будет при начальном или конечном бросках, чем в середине игры. Рас­пределение будет таким же, как и в случае со временем, проведенным в одной об­ласти!

Если вы бросаете монету N раз, вероятность достижения максимума (или минимума) в точке К на кривой баланса также описывается уравнением (2.13):

(2.13)    Prob ~ 1 / (71 * К Л 0,5 * (N - К) Л 0,5),

где    71 = 3,141592654.

Таким образом, если бросить монету 10 раз (N = 10), мы получим следующие ве­роятности максимума (или минимума) при К бросках:

к        Вероятность

 

о	0,14795
1	0,1061
2	0,0796
3	0,0695
4	0,065
5	0,0637
6	0,065
7	0,0695
8	0,0796
9	0,1061
10	0,14795

Второй закон арксинуса говорит о том, что максимум (или минимум) вероятнее всего будет рядом с крайними точками кривой баланса.

Время, проведенное в проигрыше

Вспомните первоначальные предположения в законах арксинуса. Законы арксину­са допускают 50% шанс выигрыша и 50% шанс проигрыша. Более того, они допус­кают, что вы выигрываете или проигрываете одинаковые суммы, а поток сделок случаен. Торговля является значительно более сложной игрой. Таким образом, в чистом виде законы арксинуса не применимы к торговле. Законы арксинуса верны при нулевом арифметическом математическом ожидании. Таким образом, согласно первому закону, мы можем интерпретировать процент времени, проведенного с любой стороны нулевой линии, как процент времени с любой стороны арифметического математического ожидания. Так же обстоит дело и со вторым законом, где вместо того, чтобы искать абсолютный максимум и минимум, мы поищем максимум выше математического ожидания и минимум ниже его. Минимум ниже математического ожидания может быть больше, чем максимум выше него, если минимум был позднее, и арифметическое математическое ожидание было повышающейся линией (как в торговле), а не горизонтальной линией на нулевом уровне. Таким образом, мы можем считать, что общая идея законов арксинуса применима к торговле. Однако вместо горизонтальной линии на нулевом уровне следует начертить линию, направленную вверх со скоростью арифметической средней торговли (если торговля ведется постоянным количеством контрактов). Если мы

используем торговлю фиксированной долей, то линия будет направлена вверх, становясь более крутой со скоростью среднего геометрического. Мы можем ин­терпретировать первый закон арксинуса следующим образом: наша система будет находиться с одной стороны линии математического ожидания большее число сделок, чем с другой стороны этой линии. В отношении второго закона арксинуса можно сказать, что максимальные отклонения от линии математического ожида­ния (выше или ниже ее) будут чаще встречаться рядом с начальной или конечной точкой кривой баланса и реже в середине. Отметим еще одну характеристику, которая очень важна при торговле с оптимальным f. Эта характеристика касается времени, которое вы проводите между двумя пиками баланса. Если вы торгуете на уровне оптимального f (в одной рыночной системе или портфелем рыночных систем), период самого длительного проигрыша1 (не обязательно наибольшего) может составить от 35 до 55% времени, на протяжении которого ведется торговля. Это справедливо независимо от того, какой временной период вы рассматриваете! (Время здесь измеряется в сделках).

Это правило не жесткое. Скорее, это возможное проявление сути законов арк­синуса в реальной жизни.

Данный принцип справедлив независимо от того, насколько длинный или короткий период времени вы рассматриваете. Мы можем находиться в проигрыше приблизительно от 35 до 55% времени за весь период работы торговой про­граммы! Это верно независимо от того, используем мы одну рыночную систему или портфель. Поэтому надо быть готовыми к периодам проигрыша 35-55% вре­мени торговой программы, тогда мы сможем психологически подготовиться к торговле в эти периоды.

Собираетесь ли вы управлять чьим-то счетом, отдать деньги в управление или торговать со своего собственного счета, вы должны помнить о законах арксинуса и знать, что может произойти с кривой баланса, а также помнить правило 35-55%. Таким образом, вы будете готовы к тому, что может произойти в будущем. Мы достаточно подробно изучили эмпирические подходы. Кроме того, мы обсудили многие характеристики торговли фиксированной долей и узнали некоторые полез-

1 Под самым длительным проигрышем здесь подразумевается измеряемое в сделках время между моментом достижения пика баланса и моментом, когда этот пик снова достигнут или превзойден.

ные методы, которые будут использоваться в дальнейшем. Мы увидели, что при торговле на оптимальных уровнях следует ожидать не только значительных падений баланса счета, но и длительного периода времени, необходимого для того, чтобы снова заработать проигранные деньги. В следующей главе мы поговорим о параметрических подходах.