Глава 2

 

 

 

 

Рис. 2.7

 

Введем, как и ранее, индивидуальные коэффициенты:

В + АВ = к_}В, С + ДС = £₂С.

Представим задачу в виде системы уравнений:

П-АП = к_лВ-к₂С, кВ-В а

^к₂С-С Р

Решив ее относительно к_х и к_г получим:

+ а(Я - АП) - аС

К-

В®-а) к_{В-(П-АП)

к₂ =

Проверка. а = 0,3; (3 = 0,7; В = 15; С = 10; П = 5; ДП = 3; к_х = 1,15; к₂ = 1,53; В + АВ = 1,15 • 15 = 17,25;

С + ДС = 1,53 • 10= 15,3; Я-ДЯ = 17,25- 15,3 = 1,95 = 2.

6. Целевая установка: у = /(х (а), г⁺(Р)).

Как и ранее, используя индивидуальные коэффициенты при роста, запишем задачу обратных вычислений:

К

х

х-------------------------------

к_{ _ а

к₂г-2 (3

Система неравенств, используемая для поиска приемлемых значений входных данных, та же.

Пример (рис. 2.6). Воспользуемся исходными данными из целевой установки 3, однако изменим задачу в соответствии с це­левой установкой 6. Будем считать, что объем производственных фондов необходимо понизить за счет снижения А Ф, но одновре­менного повышения ПФ\ изменения производить большей ча­стью за счет ПФ. Согласно такой целевой установке получим:

ф~ =АФ~(а) + ЯФ⁺ (р), р > а. Введем индивидуальные коэффициенты:

АФ-ААФ =----------------------------- ;

К

ЛФ + &ПФ = к₂ПФ. Составим систему уравнений:

Ф-ДФ =------------------------ + к₇ПФ,

К

к_х а

к₂ПФ-ПФ р'

Решив ее, получим:

 

Очевидно, что задача имеет решение лишь при (3 > а. Проверка. Ф = 25; ДФ = 5; АФ = 20; ПФ = 5; а = 0,3; (3 = 0,7; = 3,478; к₂ = 2,85;

ЛФ-ДЛФ = —= -^-- = 5,75; к, 3,478

ПФ + Д/7Ф = к₂ПФ - 2,85-5 = 14,25;

Ф-ДФ = 5,75 + 14,25 = 20.

7. Целевая установка: у = /(*""(а), г~(Р)).

Как и ранее, введем индивидуальные коэффициенты:

д                                               *

х-Ах = —,

V

д                                                2Г

К

Задача обратных вычислений примет вид системы

'-»-'І-іг*

X

х--------------------------------

к_х а

—і Р'

Ограничения те же.

Пример (рис. 2.7). Обратимся к примеру, рассмотренному в целевой установке 2. Однако зададимся целью снизить рента­бельность за счет понижения как прибыли, так и себестоимости. Большая часть отрицательного прироста должна быть обеспече­на за счет снижения прибыли. Такая целевая установка запишет­ся следующим образом:

Система уравнений примет вид:

Я

Р-АР = ^,

 

Отсюда получим:

_k -Р-АР

/V, —                                                   ,

¹                                                                                        аС-рЯ к^Р-АР)

²                                                                                               Р

Проверка. Р =5; АР = 3; Я = 25; С = 5; а = 0,7; |3 = 0,3; А:, = 4; *₂= 1,6;

Я-ДЯ = — = — = 6,25; А. 4

С-ДС = —= — = 3,125; 1,6

Р-АР^.2. 3,125

2.2.

Решение задач на основе единого коэффициента прироста аргументов

Пусть, как и ранее, задана функция^ = f(x, z). Введем величи­ну к₀, которая, будучи умноженной на КОВ каждого из аргумен­тов, позволит получить желаемый для них прирост.

8. Целевая установка: у⁺ = /(;с⁺(а), г⁺(р)).

Введем единую величину к₀ и получим искомые приросты сле­дующим образом:

Ах = a • к₀, Az = p.*₀.

Задача обратных вычислений заключается в поиске величи­ны к₀ из уравнения

у + Ау= f(x + ak_Q, z + р&₀).

Пример (рис. 2.8). Умножением количества на цену полу­чают выручку, приобретенную в результате реализации продук­ции. Формула расчета имеет вид:

Р = КЦ,

Допустим, целевая установка следующая: нарастить выручку за счет увеличения количества продаваемой продукции и ее цены. При этом большая часть выручки должна быть получена за счет увеличения количества (а > (3). Такая установка отразится следую­щим образом:

Р⁺=*⁺(а)./(⁺(р),а>р.

Введем величину к₀ и получим:

АК = ак₀; АЦ = (3/г₀; Р + АР = (К + ак₀ )(Ц + р/г₀);

+ рЯ") ± 7(а// + рА*)²+4арАР

2ар

Вполне очевидным ограничением на исходные данные слу­жит следующее неравенство:

УІ(аЦ + $К)² +4а$АР > -(аЦ + р/Г).

Проверка, а = 0,6; (3 = 0,4; К = 12; # = 4; Р = 48; АР = 12; = 1,58; АК = 0,6 • 1,58 = 0,95; АЦ = 0,4 • 1,58 = 0,63;

А: + АЛ: = 12 + 0,95 = 12,95; Ц + А/| = 4 + 0,63 = 4,63; Р + АР = 12,95 • 4,63 = 59,958 - 60.

9. Целевая установка: у⁺ = /(л:⁺(а), г~(Р)).

Задача заключается в поиске величины к₀ из следующего урав­нения:

у + Ау = /{х + ак₀, і -13&₀). Пример. Воспользуемся примером из целевой установки 2, имеющей вид

С (р)

где Р - рентабельность; П - прибыль;

С - себестоимость продукции. Введем величину к₀ и получим:

АЛ = ак₀; АС = $к₀; /7 + а/г_п

Р +АР = ■

С-Р*о ' АРС ⁰ ~р(Р + АР) + а'

Проверка, а = 0,7; (3 = 0,3; П = 24; С = 4; Р = 6; АР = 4; /с₀ = 4,32; АЯ = 0,7 • 4,32 = 3,02; АС = 0,3 • 4,32 = 1,3; П + АЯ = 27,02;

27 02

С-АС = 2,7; Р + АР = —— = 10.

2,7

10.     Целевая установка: = /(*""(а), г⁺(Р)).

В общем виде задача запишется следующим образом:

y + Ay = f(x-ak₀,z + fik₀).

Пример (рис. 2.9). Обратимся к задаче из целевой установ­ки 3, где речь шла о среднегодовой стоимости основных произ­водственных фондов Ф, которая рассчитывалась по формуле

Ф = АФ + ПФ,

где АФ - среднегодовая стоимость активной части основных производствен­ных фондов;

ПФ - среднегодовая стоимость пассивной части основных производ­ственных фондов.

Как и ранее, будем считать, что необходимо нарастить сред­негодовую стоимость основных производственных фондов за счет снижения АФ и повышения ПФ. Прирост следует добиться боль­шей частью за счет увеличения ПФ.

Это отражается в формуле расчета следующим образом:

Ф⁺ = ЛФ~(а) + ЯФ⁺(р),р>а. Введем величину к₀ и получим:

АФ

ААФ- ак₀; АЯФ = р&₀; АФ = к₀(а-Р); к₀ = ---- .

Проверка. а = 0,4; (3 = 0,6; АФ = 40; ПФ = 10; Ф = 50; АФ = 2; k_Q = 10; ААФ = 4; АЯФ = 6; АФ - ААФ = 36; ПФ + АЯФ = 16; Ф + АФ = 36 + 16 = 52.

11.     Целевая установка: = /(л;~(а), г~(Р)). В общем виде задача запишется так:

у + Ау = f(x-ak₀, z -pyfc₀).

Пример. Вернемся к целевой установке 9 и рассмотрим, можно ли решить задачу повышения рентабельности путем од­новременного уменьшения прибыли и себестоимости продукции с помощью единого коэффициента. Тогда целевая установка за­пишется следующим образом:

_р+ ₌ ТГ( а) С"(Р)'

где Р - рентабельность; П - прибыль;

С - себестоимость продукции. Как и ранее, введем величину к₀ и получим: ДЯ = ак₀; АС = р&₀; П-ак_п

Р + АР = -

^ко =

Проверка, а = 0,7; (3 = 0,3; П = 24; С = 4; Р = 6; АР = 4; = 6,96; ДЯ = 0,7 • 6,96 = 4,87; АС = 0,3 • 6,96 = 2,09; Я - АП = 24 - 4,87 =

= 19,13; С - АС = 4 - 2,09 = 1,91; Р + ДР = -^^ = 10,015 * 10.

1,91

Теперь рассмотрим случаи снижения значения функции.

12. Целевая установка: уГ = /(л:⁺(а), г⁺(Р)). В'общем виде задача запишется так:

у-Ау = /(х + ак₀,і + рк₀).

Пример (рис. 2.10). Воспользуемся примером из целевой ус­тановки 1, в котором прибыль Я определяется путем вычитания себестоимости продукции С из выручки В:

П = В-С.

Рис. 2.10                          Рис. 2.11                    Рис. 2.12

Изменив знак прироста функции, получим следующую целе­вую установку:

Я~=Я⁺(а)-С⁺(р).

Решая уравнение

А-АА = (В + ак₀)-(С + рк₀),

где

АВ = ак₀, АС = Р&₀,

получим

⁰ р-а

Проверка. а = 0,3; (3 = 0,7; В = 12; С = 4; П = 8; АЯ = 2; /с₀ = 5; АВ = 0,3 • 5 = 1,5; АС = 0,7 • 5 = 3,5; Я- АЯ = (12 + 1,5) - (4 + 3,5) = 6.

13. Целевая установка: у~ = /(л:~(а), г⁺(Р)). В общем виде задача запишется так:

у-Ау = /(х-ак₀,г + рк₀). Пример (рис. 2.11). Обратимся к примеру, рассмотренно­му в целевой установке 2. Однако теперь зададимся иной целью, которая будет заключаться в понижении рентабельности за счет уменьшения прибыли и повышения себестоимости. Большая часть прироста должна быть обеспечена за счет уменьшения прибыли. Такая целевая установка запишется следующим образом:

Я" (а)

Р ^-г-¹, а>р.

П = 8(6)	©
а = 0,3/	\р = 0,7
/©
В = 12	С = 4

с⁺(р)

Решив уравнение относительно к₀, получим:

_ П -С(Р-АА) ⁰ ~~ р(Р - АР) + а ' Проверка. а = 0,7; р = 0,3; П = 24; С = 6; Р = 4; АР = 2; = 9,23;

24 - о 7 • 9 23 Р - АР == ^{? ?} =2. 6 + 0,3-9,23

14. Целевая установка: ^ = /(* (а), г О».

В общем виде задача запишется так:

у-&у = /(х-ак₀,г-$к₀). Пример (рис. 2.12). Затраты на перевозку продукции рас­считываются по формуле:

Р = КС,

где Р - затраты на перевозку;

К - количество перевозимой продукции; С - стоимость перевозки единицы продукции.

Допустим, целевая установка следующая: снизить затраты на перевозку за счет снижения количества перевозимой продукции и стоимости перевозки единицы продукции. Большая часть сни­жения затрат должна произойти за счет снижения количества продукции. Такая целевая установка отразиться следующим об­разом:

- К~ (а) • (Р).

Введем величину к₀. Тогда задача обратных вычислений за­пишется в виде:

Р - АР = (К - ак₀ )(С - р/г₀),

откуда получим:

_К$ + Са± + Са)² + 4арАР

Проверка. а = 0,3; р = 0,7; К = 5; С = 3; Р = 15; АР = 5; к₀ = 1,21; Р-АР = (5-0,3- 1,21)(3-0_Э7 • 1,21) = 9,967« 10.

Иногда у пользователя при наличии функции, с числом аргу­ментов больше двух нет желания применять процедуру свертки/ развертки. В этом случае лицо, формирующее решение, стал­кивается с проблемой решения уравнений п-й степени. Если та­кая перспектива для него приемлема, то процесс расчетов сокра­щается.

Пример. Численность вспомогательных рабочих Ч опре­деляется по формуле

Ч =М-С-К, где М - число мест вспомогательных рабочих;

С - количество рабочих смен;

К - коэффициент списочного состава.

Необходимо за счет увеличения всех аргументов повысить численность вспомогательного состава. Такая целевая установ­ка отразится следующим образом:

^с/⁺ = М⁺(а)С⁺(Р)/С⁺(у).

Если, как и ранее, ввести величину к₀, то можно получить: АМ = ак₀; АС = $к₀; АК = ук₀.

Это позволяет записать задачу в виде:

Ч + АЧ = (М + ак₀ )(С - р к₀ )(К + ук₀).

Отсюда получим:

офу£₀³ + ар Кк1 + (а СК + р МК + у СМ + ауС + руМ)к₀ -АЧ =0.

Решить это уравнение можно с помощью метода Кардано.

Подобным образом можно вывести уравнения для любого числа аргументов, что, однако, вынуждает прибегать к числен­ным решениям уравнений высших порядков.

2.3. Решение задач без коэффициентов прироста аргументов

Пусть задана функция у = /(.\', г). Целевые установки, учиты­вающие пожелания пользователя, остаются прежними. Вначале рассмотрим варианты, учитывающие увеличение функции, а за­тем ее снижение.

15. Целевая установка: у⁺ = /(х⁺(а)₉ г⁺(Р)).

Если не вводить индивидуальные коэффициенты, то задачу обратных вычислений можно записать следующим образом:

< Ах _ а

В такой постановке надлежит пользоваться следующими ог­раничениями:

(Ах > О,

Пример (рис. 2.13). Воспользуемся зависимостью из целе­вой установки 1, где фигурируют прибыль Я, выручка В и себес­тоимость продукции С. Эта зависимость представляется в виде формулы

Я = Я-С.

Целевая установка состоит в следующем: необходимо нарас­тить прибыль за счет повышения выручки и себестоимости, при­чем большая часть прироста прибыли должна произойти за счет повышения прибыли, а меньшая - за счет повышения себестои­мости. Такая целевая установка отражается следующим образом:

Я⁺ = В^ (а) - С⁺ (Р), а > р.

 

Представим эту задачу в виде системы уравнений:

Я + ДЯ = Д + ДД-(С-ДС), < АВ а АС ~ Р

Решив ее относительно А В и АС, получим:

АЯ = -ДС, Р

Проверка, а = 0,7; р = 0,3; В = 20; С = 12; П = 8; АЯ = 4; АС = 3; АЯ = 7;Я + АЯ = 27; С + АС = 15; Я + АЯ = 27 - 15 = 12.

Какими граничными значениями должны обладать Ду, а и Р, чтобы задача имела решение, укажет система следующих нера­венств:

Одним из очевидных ограничений является неравенство

а > р.

В качестве примера здесь использована аддитивная функция, для которой отыскивались приросты с одинаковыми знаками. В п. 1.3 было показано, что в таких частных случаях задачу можно решить путем пропорционального деления прироста функции и добавления результатов деления к ее аргументам. Этого не сде­лано с целью демонстрации общности метода обратных вычис­лений без коэффициентов прироста аргументов.

16. Целевая установка: у⁺ = /(х*(а)₉ г (Р)). Задача обратных вычислений принимает вид:

у + Ау = /(х + Ах, 2 - Аг), Ах _ а Аг ~ (3

Пример (рис. 2.14). Воспользуемся примером из целевой ус­тановки 2, в которой рентабельность Р рассчитывается делением прибыли П на себестоимость продукции С. Пусть целевая уста­новка остается прежней, т.е. необходимо увеличить рентабель­ность за счет повышения прибыли и снижения себестоимости, причем большая часть увеличения рентабельности должна про­изойти за счет повышения прибыли, а меньшая - за счет сниже­ния себестоимости. Такая целевая установка представляется сле­дующим образом:

77+(а) Р⁺ = __ , а > р.

С ФУ

Составим систему уравнений:

Л + АЛ С-АС ⁹

 

 

Решив ее относительно АП и АС, получим:

(Р + АР)С - П Р+АР+-

аДС

АП =

Неравенствами для поиска приемлемых диапазонов исходных данных служат выражения: АС > 0 и А/7 > 0.

Проверка, а = 0,7; Р = 0,3; Я = 24; С = 4; .Р = 6; АР = 4; АС = 1,3;

27

АП = 3; Я + АП = 27; С + АС = 2,7; Р + ДР = —= 10.

17. Целевая установка: у⁺ = /(х (а), г⁺(Р)).

Задача обратных вычислений принимает вид:

у + Ау = /(х- Ах, г + Аг), < Ах а

Аг р'

Пример (рис. 2.15). Прибыль П , направляемая на потреб­ление, и прибыль Я_и, направляемая на инвестиции, составляют общую прибыль, равную

Л = Я_П+Л_И,

где П - общая прибыль.

Необходимо определить, какими должны быть величины П_п и /7_и, чтобы П увеличилась на величину А П. Прибыль П_п должна снизиться, а прибыль Я_и - увеличиться. Большая часть АЯ долж­на возникнуть за счет увеличения Я_и, а меньшая - за счет Я_п. Та­кая целевая установка отражается следующим образом:

Я⁺=Я"(а) + Я_и⁺(р), а < р.

Решив ее, получим:

. __ а _А „ ДЯ_П=-ДЯ_И,

Р

Очевидным ограничением служит выражение а < р. Проверка, а = 0,3; Р = 0,7; Я_п = 10; Я_и = 30; П = 40; ДП = 7; ДЯ_п = 5,26; ДЯ_и = 12,28; Я_п - ДЯ_п = 10 - 5,26 = 4,74; Я_и + ДЯ_и = = 30 + 12,28 = 42,28; Я + ДЯ = 4,74 + 42,28 = 47,02 - 47."

18. Целевая установка: у⁺ = /(х (а), г (Р)).

Задача обратных вычислений принимает вид:

Ах а

Дг р'

Как правило, Задача имеет решение при а < р.

Пример (рис. 2.16). Индекс прибыли рассчитывается по формуле

где / - индекс прибыли;

Б - прибыль базового периода;

А - прибыль анализируемого периода.

Необходимо поднять индекс за счет снижения прибыли как в базовом, так и в анализируемом периодах. Большая часть сниже­ния должна произойти за счет снижения прибыли в анализируе­мом периоде. Такая целевая установка отразится следующим об­разом:

_{/+ =} 2Г(а) Л'{ Р)

Запишем систему уравнений:

 

Б-АБ А-АА '

АБ а АА

Решив данную систему, получим: Л(1 + А1)-Б

, АБ = -АА.

Г Л г ^а

/ 4- АІ —

 

Проверка. Б = 20; А = 15; 7 = 1,3; А/ = 0,17; а = 0,3; (3 = 0,7; АЛ = 2,31; А£ = 0,99; Б - АБ = 20 - 0,989 = 19,01; Л - Д4 = 15 -

 

2,31 = 12,69; /4-А/:

 

Теперь рассмотрим задачи, решение которых позволяет сни­зить значение функции.

19. Целевая установка: у~ = /(л:⁺(а), г⁺(Р)).

Задача обратных вычислений принимает вид:

у - Ау = /(х + Ах, г + Аг), Ах а ~Аг ~ р'

Пример (рис. 2.17). Воспользуемся зависимостью из целе­вой установки 1, где прибыль П рассчитывается на основе вы­ручки В и себестоимости продукции С. Расчет выполняется по формуле

Я = Я-С.

Целевая установка состоит в следующем: необходимо снизить прибыль, однако выручка и себестоимость должны повыситься. При этом большая часть снижения прибыли должна произойти за счет повышения себестоимости. Такая целевая установка от­ражается следующим образом:

П~ = В⁺(а) - С⁺(р), р > а.

Составим систему уравнений:

Л-АП = В + АВ-(С-АС), < АВ а ЛС~р'

Решив ее относительно А В и АС, получим:

Р

и

Ограничением служит выражение ^

Проверка. а = 0,3; Р = 0,7; В = 20; С = 12; П = 8; АЯ = 4; АС = 7; АЯ = 2,99; В + АВ = 22,99; С + АС = 19; Я- АЯ = 22,99 - 19 = 3,99 -4.

20. Целевая установка: у" = /(л:⁺(а), г~(р)). Задача обратных вычислений принимает вид:

^гу - Ау = Дх + Ах, г - Аг),

< Ах _ а р'

Пример (рис. 2.18). Прибыль П , направляемая на потреб­ление, и прибыль П _у направляемая на инвестиции, составляют общую прибыль Я, равную

Я = Я_П+Я_И.

Целевая установка следующая: необходимо снизить общую сумму прибыли, причем большая часть отрицательного прирос­та прибыли должна быть обеспечена за счет увеличения прибы­ли, направляемой на потребление, и меньшей - за счет прибыли, направляемой на инвестиции. Такая целевая установка запишет­ся следующим образом:

П - П* (а) + Я_и (Р).

Это позволяет сформулировать следующую задачу обратных вычислений:

Я - АЛ = Я_п + АЯ_П + (Я_и - АЯ_И), <АЯ^ ₌ а

А^и Р'

Решив ее, получим:

Ограничением служит выражение а < р.

Проверка, а = 0,3; р = 0,7; П_п = 12; Я_и = 8; П = 20; АП = 2; АП =3,5; АП = 1,5; Я + АП =12+ 1,5 = 13,5; Я - АЯ =8-

и ' ' п ' ' п  п '    ''и  и

- 3,5 = 4,5; П - АЯ = 13,5 + 4,5 = 18.

21. Целевая установка: у =/(х (а), г⁺(Р».

Запишем задачу обратных точечных вычислений:

у — Ау — /(х-Ах,г + Аг), <Ах_а

Пример (рис. 2.19). Воспользуемся целевой установкой 20, но изменим знак первого аргумента на минус, а второго - на плюс. Кроме того, большая часть отрицательного прироста функции

должна быть получена за счет первого аргумента. Такая целевая установка запишется следующим образом:

П~ = П~ (а) + Я* (Р). Задача обратных вычислений примет вид:

П-АП = П_и -Д/7_П + (Я_И + ДЯ_И), ДЯ_П _ а

Решив ее, получим:

 

 

Ограничением служит выражение: а > р.

 

 

 

 

Проверка, а = 0,7; Р = 0,3; Я_п = 12; #_и = 8; П = 20; ДЯ = 2; ДЯ = 1,5; ДЯ = 3,49; Я - ДЯ "= 12 - 3,49 = 8,51; Я + ДЯ =

и ' ' п ' ' п  п   ' ''и  и

= 8 + 1,5 = 9,5; Я- ДЯ = 8,51 + 9,5 = 18,01 - 18.

22. Целевая установка: у = /(х (а), г (Р)).

Задача обратных вычислений в данном случае имеет вид:

у-Ау = /(х - Ах, г - Аг), Ах а

дГр"

Пример (рис. 2.20). Воспользуемся примером из целевой ус­тановки 20, но изменим знак обоих аргументов на минус. Кроме того, будем считать, что большая часть отрицательного приро­ста функции должна быть получена за счет второго аргумента. Такая целевая установка запишется следующим образом:

= Щ (а) + Я~ (Р).

Рассматриваемая задача примет вид:

Я-ЛЯ = Я_п - ЛЯ_П + (Я_И -Л/7_И), ЛЯ, а

[АЯ_И р Решив ее, получим:

Проверка, а = 0,3; р = 0,7; Я_п = 12; Я_и = 8; Я = 20; ЛЯ = 2; ЛЯ = 1,399; ЛЯ = 0,599; Я - Ля" = 12 - 0*599 = 11,4; Я - ЛЯ =

и ' ' п ' ' п                                 п             '             ' ' и           и

= 8- 1,399 = 6,6; Я-ЛЯ = 11,4 + 6,6= 18.

Эта задача содержит аддитивную функцию и одинаковые зна­ки приростов, поэтому она может быть решена также простым делением прироста функции между аргументами (см. п. 1.3).

2.4. Решение задач без указания приоритетности целей

Достаточно часто важность целей установить или невозмож­но, или затруднительно. Иногда такая характеристика не инте­ресует лицо, формирующее решение. Например, если у функции 7-10 аргументов, то определить важность целей, отражаемых с их помощью, весьма проблематично. Существуют специально разработанные для этого методы, например, метод анализа иерар­хий Саати, однако этот и другие методы требуют значительных дополнительных усилий [7]. Очень часто перед лицом, формиру­ющим решение, стоит задача добиться цели без указания каких- либо приоритетов в путях ее достижения. В таких случаях задача обратных точечных вычислений упрощается и сводится к реше­нию уравнений с одним неизвестным. Им служит единый коэф­фициент, на который следует либо умножить, либо разделить исходные значения аргументов, чтобы получить желаемый при­рост функции.

Как и ранее, функция дополняется целевыми установками, однако КОВ отсутствуют.

Пусть задана функция у = /(х, г). Как и ранее, в соответствии с целевыми установками возникают следующие варианты обрат­ных точечных вычислений:

У^±=/(Х^±,₂^±).

Как видим, КОВ отсутствуют.

23. Целевая установка: у⁺ = /(л:⁺, г⁺).

Если ввести единый коэффициент к, то можно получить:

х + Ах = кх; г + Аг = кг.

Задача обратных вычислений примет вид: у + Ау = /(кх, кг).

Пример (рис. 2.21). Воспользуемся задачей из целевой уста­новки 1, где речь шла об исчислении прибыли по формуле П = В-С, а П — прибыль; В - выручка; С - себестоимость продукции.

Допустим, целевая установка состоит в следующем: необходи­мо повысить прибыль за счет увеличения выручки и себестоимо­сти. Такая целевая установка представляется следующим образом:

П⁺ =В⁺-С⁺.

Представим эту задачу в виде выражения:

П+ АП = В + АВ-(С + АС).

Введем величину к и запишем:

В + АВ = кВ, С + АС = кС.

Л + АЛ=кВ-кС = к(В-С),

Рис. 2.21                Рис. 2.22                       Рис. 2.23

откуда получим

, П + АП

к =--------------------------------------- .

П

Проверка. В = 20; С = 8; П = 12; АП = 8; к = 1,66; П + АП = = 1,66-20- 1,66-8 = 20,05« 20.

24. Целевая установка: = /(л;⁺, г ).

Задача обратных вычислений имеет вид: у + Ау = —).

Пример. Обратимся к задаче из целевой установки 2, пред­назначенной для расчета рентабельности по формуле

где Р - рентабельность; П - прибыль;

С - себестоимость продукции.

Пусть, как и ранее, целевая установка следующая: увеличить рентабельность за счет повышения прибыли и снижения себесто­имости. Такая целевая установка представляется следующим об­разом:

С~ '

Введем коэффициент к и запишем:

П + АП = кП,

С-ДС =—. к

Подставив эти выражения в общую функцию, получим

откуда

_к _ \Р + АР

Проверка. П = 24; С = 4; /> = 6; АР = 4; к = 1,29; 3,1

25. Целевая установка: = /(л: ,

Обратная задача имеет вид: .У + Ду г= /(—,

Пример (рис. 2.22). Если формула для прямого расчета

А = В-С,

а целевая установка отражена следующим образом:

то наша задача примет вид

А + АЛ = --кС. к

В ней использованы следующие обозначения:

В — АВ — —-, к

С + АС = кС.

Решив уравнение относительно к, получим: -(А 4- АА) 4- у] (А + ЛЛ)² + 4СЯ

2С

Проверка. В = 80; С = 8; Л = 12; АЛ = 4; к = 1,04; 4 + АЛ = 34,78 - - 18,4= 16,38 ~ 16.

Если возникает потребность в поиске значений аргументов, обеспечивающих уменьшение функции, то здесь возможности дан­ной модификации ограничены. В таких случаях следует обратить­ся к иным модификациям метода. Задача обратных вычислений с аддитивной функцией и с обоими отрицательными приростами аргументов может быть решена с помощью данного метода. Рас­смотрим ее.

26. Целевая установка: у" = /О", z~). Задача обратных вычислений имеет вид:

к к

Пример. Допустим, прямая формула расчета следующая:

А - В-С.

Если целевая установка

А~ = ВТ ~С~~,

то задача обратных вычислений запишется следующим образом:

А ка ^{3 С} А-АА--------------------------- .

к к

^л

Решая ее, получим к = ———.

А — АА

Проверка. А = 12; АА = 4; В = 20; С = 8; к = 1,5; В - АВ = 13,33; С - АС = 5,33; А - АА = 13,33 - 5,33 = 8.

Рассмотрим еще один пример с аддитивной функцией, но уже с тремя аргументами.

Допустим, необходимо снизить величину оборотного капи­тала И за счет снижения производственных запасов 3, снижения незавершенного производства Я и увеличения денежных средств С. Формула расчета

Я = 3 + Я + С,

которая в соответствии с целевой установкой приобретает вид:

И~ =3~ +Н~ + С⁺.

Введем искомый коэффициент и получим:

3-А3 = —,Н- АН = —, С + АС = кС, И - АИ = ~ + — + кС, к к к к

Ск²-(И-АИ)к + (3 + Н) = 0.

Решив уравнение, получим

, И - АИ + у](И - АИ)² - 4С(3 + Я) к =.--- ¹                  .

2С

Проверка (рис. 2.23). И = 35; А# = 5; 3 = 10; Н = 20; С = 5; к = 4,73; 3 - АЗ = 2,11; Я - АЯ = 4,22; С + АС = 23,66; И - АИ = = 2,11 + 4,22 + 23,66 = 29,99 « 30.

2.5. Решение задач с помощью процедуры свертки/развертки

Процедура свертки/развертки применяется для упрощения про­цесса решения задач обратных точечных вычислений, которые используют прямые функции с числом аргументов больше двух. Процедура свертки/развертки базируется на понятии элементар­ной базовой конструкции (ЭБК). Эта конструкция содержит в себе только три элемента, которые приведены к стандартному виду и два из которых соединены одной из четырех арифметических опе­раций (+, -, *, Г). Большинство экономических расчетов можно све­сти к ЭБК, что позволяет достаточно просто решить ряд задач. В качестве примеров ЭБК можно привести следующие выражения:

Р~ = П⁺ (а) - С⁺ ф); В" = К⁺ (а) + Т~ (р);

Я»

Л⁺=Л⁺(а)-В⁺(Р); ^р

Процедура свертки уже рассмотрена в п. 1.2, поэтому остано­вимся на процедуре развертки.

Аддитивные функции

27. Целевая установка: Р⁺ = Л⁺(а) + С⁺($) + Т⁺(у) + 0⁺(Х).

Процесс свертки/развертки можно продемонстрировать с по­мощью рис. 2.24, на котором отражены следующие шаги проце­дуры свертки/развертки:

Р⁺ = /7⁺(а) + £>⁺(а); = С⁺ +Г⁺ а = р + а + А,;

=С⁺(р) + Я1⁺(у|/); £>1⁺=Г⁺(у) + 0⁺(^); \|/ = у + А,.

Задачу будем решать с помощью индивидуальных коэффици­ентов прироста аргументов. Вначале отыскиваются приросты фиктивной вершины Л и реальной П обычным способом:

 

Рис. 2.24

Для того чтобы определить прирост фиктивной вершины £>1,

необходимо нормализовать веса |3 и \|/ следующим образом:

р + у р+у

Тогда получим приросты фиктивной вершины 01 и реальной С следующим образом:

С +АС = &₃С, Я1 + А£>1 = *,/Л,

_р'(Д + АР) + у'С-р'Р1 _(Р + АР)-к₃С £     £ — __

³                                 С                    ⁴

Для того чтоб^л рассчитать приросты аргументов Т и Я, предварительно следует нормализовать их веса:

у'-* Г = . ^х

у + Х у + А, Приросты оставшихся аргументов:

Г +АГ = к₅Т, 0 + А0 = к₆0, _ у'ЦИ + АРЦ + УГ-у'О _к _(Р\ + АР\)-к₅Т

5-                                _т                 > 6"            ₀

Пример (рис. 2.25). Оборотный капитал предприятия мож­но рассчитать по формуле

0 = Я+С + 7\

где О - стоимость оборотного капитала в некотором периоде; П - стоимость производственных запасов; С - стоимость незавершенного производства;

Т - стоимость прочих элементов оборотного капитала (готовая про­дукция, денежные средства и пр.).

Допустим, необходимо повысить общую стоимость оборот­ного капитала за счет повышения стоимости всех его элементов. Такая целевая установка отразится следующим образом:

0⁺ = Я⁺(а) + С⁺(р) + Г⁺(у).

Свернем эту формулу:

С⁺(р) + Г(у) = Я»; а = р + Х.

Тогда

= Я⁺(а) + Я⁺(ст).

 

Рис. 2.25

Приросты для аргументов Пи О равны:

77 +ДЯ = к_хП\ 0 + А0 = к₂0. Отсюда коэффициенты для расчета приростов:

а(0 + АО) + а/7 - аО

к_{=-

П

(0 + А0)-к_хП

Б '

Приросты для аргументов С и Г равны: С + АС = &₃С, Г + ДГ = к₄Т,

р + у                                       р + у

Тогда коэффициенты для расчета приростов:

_ Р'(Я + АР) + у'С - РТ _(Р + АР)-к₃С

—                        ~           9 к 4 —     _

Проверка. П = 60; С = 30; Т = 10; О = 100; АО = 40; а = 0,6; Р = 0,1; у = 0,3; Р = 40; (3' = 0,25; / = 0,75; ^ = 1,4; к₂ = 1,4; Я + АЯ = = 1,4 • 60 = 84; Я + АР = 1,4 • 40 = 56; к_ъ = 1,13; к₄ = 2,2; С + АС = = 1,13 . 30 = 33,9; Т+ АТ= 2,2 • 10 = 22; О + АО = 84 + 33,9 + 22 = = 139,9 ~ 140.

Мультипликативные функции

28. Целевая установка: Р⁺ = Я⁺(а) С⁺(Р) Г⁺(у) Ф⁺(^). Как и ранее, вначале эту функцию следует свернуть: Р⁺ = П⁺(а)Р⁺(а); Р⁺ = С⁺(Р)£⁺(\|/)_; а = р + у + А,; у = у + Х; Е⁺=Т⁺(у)<Ф⁺(Х). Приросты для аргументов Я и Я равны:

Р + АР

Я + АЯ = к Я; Р + АР = к₂Р\ &

-Р(аП -аР) + у](~Р(аП - аР))² + 4а аРПР(Р + АР) ¹ 2оРР   '

С целью определения приростов для Си£ предварительно выполним для них нормализацию весов:

Р + У Р + У Тогда приросты:

О + АО

С + ДС = /ЦС; Е + АЕ = к_лЕ\

к₄0

-£>(у|/С - р'£) + У(Д(у'С - Р'£))² + 4р >'£> • С •£(£> + АР)

2\|Л£-£>

Для определения приростов аргументов Т и Ф нормализуем для них веса:

у + Х у + Х.

 

Пример (рис. 2.26). Норматив Р на незавершенное произ­водство рассчитывается по формуле

Р = ПСТ,

где П - однодневный расход материалов;

С - длительность производственного цикла (дни); Т - коэффициент нарастания затрат в незавершенном производстве.

Допустим, необходимо увеличить норматив за счет повыше­ния всех составляющих формулы расчета. Это отразится следую­щим образом:

Р⁺=77⁺(а)С⁺(Р).Г(у). Свернуть эту формулу можно следующим образом:

Р⁺ = /7⁺(а)Р⁺(а),а = р + у, Р⁺ = С⁺(Р) + Г⁺(у). Приросты для Пи О равны:

Р + ЛР

П + АП = к_]П; 0 + А0 = к₂0; к_х=-

к₂Р

-Р(дП -аР) + У(-Р(аЯ - аР))² + 4а аРПР(Р + АР)

 

 

Для определения приростов С и Г предварительно следует нормировать веса аргументов:

Р + У Р + У Отсюда приросты равны:

С + АС = к_%С\ Т + АТ = к.Т; к, = ^{0 + Ш} ■ ^{3        4 3} к₄Р

__ -Р(у'С - р'Е) + У(-Р(у'С - РТ))² + 4ру ТРС(Р + АР) ⁴ ~ 2Р'ТР

Проверка. Р = 400; АР = 50; П = 20; С = 4; Г= 5; а = 0,6; Р = 0,3; у = 0,1; £> = 20; р' = 0,75; у⁷ = 0,25; а = 0,4; к_х = 1,072; к₂ = 1,049; П + АП = 21,44; £> + = 20,98; А:₃ = 1,045; к_А = 1,0038; С + ДС = = 4,18; Т+ АТ= 5,019; Р + АР = 21,44 • 4,18 • 5,019 = 449,798 = 450.

Кратные функции

29. Целевая установка: Р⁺ = ^ ^; а > р+у; у > р.

В (р)

С~( у)

Вначале свернем эту функцию следующим образом:

₊ _А⁺( а)                                      5⁺(Р).

^у ~-------------------------- > где ° ⁼7^7Т' ° = Р ⁺ У­/Г (а) С (у)

Приросты для А и Р равны:

Л + АЛ-ЪЛ; О-Ак, = ^ ^к₂ ² V          аР + -

Р + АР

Для того чтобы определить приросты В и С, необходимо нор­мализовать их веса:

Р+У Р+у

В связи с тем что приросты аргументов В и С определяются умножением, задача решается на основе функции:

Р-АР = Д⁺(Р')С~(у').

С

Тогда приросты В + АВ = к₃В, С - АС = — можно найти за счет:

4

_£₄(Р-АР) ^кз~ В '

_ СР' + Ду' + У(СР' + Ду')² - 4у'Р'(Р - АР) ⁴~    2у'Р'(Р-АР)

Пример (рис. 2.27). Р = 5; АР = 3; А = 100; В = 5; С = 4 Р = 20; а = 0,6; р = 0,3; у = 0,1; (У = 0,75; / = 0,25; к= 1,095 к₂ = 1,46; А + АА = 109,5; В - АР = 13,7; = 1,3289; = 1,94

В + АВ = 1,3289 • 5 = 6,6445; С-АС = -^- = 2,06; Р+АР = 109,5 :

1,94

: 6,6445: 2,06 = 7,999 - 8.

Смешанные функции 30. Целевая установка: Р⁺ = Я⁺(а) + Л⁺(Р) С⁺(у).

Здесь одновременно имеем дело с аддитивной и мультипли­кативной функциями. Свернем смешанную функцию:

Р⁺ = П⁺ (а) + Р⁺ (а), где а - р + у, Р⁺ = А⁺ (р) • С⁺ (у).

Приросты для аргументов П и Р равны:

/7 +А/7 = к_хП\ В + АВ = к₂В;

_ (Р + АР) — к_{П _ а(Р + АР) + а/7 - аР ²    Р          ¹        П

Приросты для А и С определяются так:

Р + АР

А-\-АА-к₃П; С+АС = к₄С; к₄=- ^

_ Р(у'А -Р'С) + уІ(Р(у'А -Р'С))² + 4Р'у'РАС(Р + АР) ³ ~          2у7Ш

Пример. Р = 44; ДР = 10; П = 20; А = 6; С = 4; = 24; а = 0,4; р = 0,2; у = 0,4; Р' = 0,33; / = 0,66; к_] = 1,2; к₂ = 1,25; П + АП = = 1,2 • 20 = 24; Д + Д£> = 1,25 • 24 = 30; к_г = 1,059; к = 1,179; А + АА = = 1,059 • 6 = 6,3588; С + АС = 1,179 • 4 = 4,716; Р + АР = 24 + + 6,3588 • 4,716 = 53,988 = 54.

2.6. Решение задач без процедуры свертки/развертки

Этот метод предполагает решение системы уравнений, число которых равно числу аргументов функции. Рассмотрим функцию с тремя аргументами.

31. Целевая установка: = /(дс⁺(а), г⁺(Р), р~(у».

Если для расчета приростов аргументов воспользоваться ин­дивидуальными коэффициентами, то получим:

х+Ах=к_хх, г+А2=-к₂г,

р+Ар = —~. ^къ

Задача обратных вычислений запишется в виде:

3

__ а

к_ъ

к_г2-г                                                 р

/ , Р а + у к_хх-х +                    ¹

^къ

Ограничения на значения исходных данных устанавливают­ся из семантики индивидуальных коэффициентов:

к_х> 1, к₂> 1, к₃> 1.

Пример. Вложения во внеоборотные активы П, как правило, состоят из приобретения объектов основных средств Р, приобре­тения нематериальных активов О и приобретения земельных уча­стков В. Формула расчета следующая:

Я = Р + 0 + Д.

Допустим, целевая установка следующая: необходимо повы­сить общие вложения во внеоборотные активы за счет увеличе­ния объектов основных средств, наращивания нематериальных активов и сокращения стоимости земельных участков. Все это от­ражается на формуле следующим образом:

П⁺ = Р⁺(а) + 0⁺(Р) + Я~(у), где а, (3, у - коэффициенты относительной важности целей, отра­жаемых аргументами Р, О и В. Соответственно задачу будем ре­шать с помощью индивидуальных коэффициентов:

Р + АР = к_{Р, 0 + &0 = к_г0₉

В-АВ = —.

Запишем задачу обратных вычислений:

о

Л + АП = к.Р+к₇0 + —, ' ² *з

к_хР-Р _ а *з

к₂Р-0 _ р

_кР„Р₊В-1.~ ^{а +} ч I '                 *з

Решив данную систему относительно к₂ и к_у можно полу­чить приросты для аргументов Р, О и В.

2.7. Комплексный пример применения обратных вычислений в экономике

В качестве примера выберем предприятие, руководство кото­рого озабочено низким уровнем рентабельности. При этом оно осознает пути повышения рентабельности и способно указать приоритеты в выборе этих путей.

Дерево целей (см. рис. 1.2), формулы для прямых расчетов и числовые значения исходных показателей рассматривались в разд. 1.1. На рис. 1.3 с помощью знаков плюс и минус показаны направле­ния изменения аргументов. Приоритетность целей представлена в табл. 2.1. Для того чтобы расчетные формулы к рис. 1.3 можно было использовать для обратных вычислений, их необходимо снаб­дить целевыми установками. Приведем их.

_1р+_ л»

ф⁺(р) + 0"(г)

Для расчета Р выполним свертку: Д (р + у) = Ф' ф) + О (у) и введем индивидуальные коэффициенты:

Я + АЛ = Л,

к₂

_ а+                   , _

~                                             „О ' ^К2 -

аР ' ¹ к,Р

(Р + У )Р +

Р + АР

Значения Р, П, Ф и О указаны на рис. 1.2, а коэффициенты приоритетности - на рис. 1.3 и в табл. 2.1.

Если а = 0,7; р + у = 0,3; Р = 0,22; АР = 0,1; П = 510; Д = Ф + О = = 2295, то к_х = 1,4;к₂ = 1,04; П + ДЯ= 714; Д-АД= 2206,7.

 

„ „ Я + ЛЯ Проверка. Р + АР = —     — «0,32.

д-АД

Расчет для Д: Д~ф+у) = Ф⁺ф) + 0~(у) при у > р. Здесь коэффициенты равны:

Ф + АФ = к_]Ф, 0-А0 =

2

Р0 + уФ-— *   _к О(У^)

¹                     уф ' у(Д -АД)-$0-уФ

Если Р = 0,1; у = 0,2; Ф = 2000, О = 295, то получим: к_х = 1,044; к₂ = 2,49; Ф + ДФ= 2088; О - АО = 120,4.

Проверка. Д - АД = 2088 + 120,4 = 2208,4 « 2206,7.

 

Здесь индивидуальные коэффициенты равны: ПП + АПП = к_} ПП, ПД + ШД = к₂ПД,

_к п₊АЛ-к₂пд₊н _к ^Я+А^н-пп^щ ^пп    ' ²"        ПД(^ 1)

Если а = 0,9; (3 = 0,1; П = 714; ПП = 400; ПД = 120; Я = 10, то получим: = 1,46; к₂ = 1,17; ПП+ АПП = 584; ПД + АПД= 140,4. Проверка. П + АП = 584 + 140,4 - 10 = 714,4 = 714.

З.ЛЛ⁺ =В⁺(а)-С"(Р); Индивидуальные коэффициенты равны:

В + АВ = кВ, С-АС = — , к

2

ПП + АПП + у                             С(- + 1)

^=: ₅ к>2 ⁼ .

⁵                                           -С-ПП-АПП + В

р

Так как а = 0,6; 0 = 0,4; В = 4000; С = 3600, то получим: к_х = 1,03; = 1,02; В + АВ = 4080; С- АС = 3495,12. Проверка. ПП + А ПП = 4080 - 3495,12 = 584,8.

4.В⁺ = К⁺(а)Ц-ф). Индивидуальные коэффициенты равны:

К + АК = к\К,

к₂

(В + АВ)к₂ КЦ

(-Ц + К)²-4-(КЦ + АВ)

_к =£_______________________

Так как а = 0,7; Р = 0,3; К = 200; Ц = 20, то получим: к_} = 1,545; к₂ = 1,5; А* + АК = 309; Ц - АЦ = 13,3.

Проверка. В + АЯ = 309 • 13,3 = 4109,7 » 4080.

5. С" = Я£7>⁺ (а) + ПОСТ~ (Р). Рассчитаем коэффициенты:

ПЕР + АПЕР = к_х ПЕР,

ПОСТ

ПОСТ - АПОСТ = ■

к₂

_ аПОСТ - а (С - АС) + рЛЕР ф-а)ПЕР

___________________ ПОСТ ________

² "                           аПОСТ - а(С - АС) + $ПЕР

С-АС-

(Р-а)

Так как ПЕР = 2100; ПОСТ = 1500; а = 0,3; (3 = 0,7, то полу­чим: к_х = 1,04; к₂ = 1,15; ПЕР + А ПЕР = 2184; ПОСТ- АПОСТ = = 1304,3.

Проверка. С-АС = 2184 + 1304,3 = 3488,3 ® 3495.

6. ПЕР" = К • ПЕ+(а),а = 1. Здесь мы имеем функцию с одной переменной, которая обра­тима. Поэтому обратные вычисления не нужны. Прирост для од­ного аргумента равен:

ПЕР + АПЕР = {ПЕ + АПЕ)К,

ЛЕ ₊ ШЕ=^{ПЕР+АПЕР} = ²-™ = Ш,2. К          13,3

Результат: ПЕ + А ПЕ = 164,2.

7. ПЕ⁺ = ПРП⁺ (а) + НПР⁺ (Р).

Здесь мы имеем аддитивную функцию, поэтому задачу мож­но решить путем пропорционального деления прироста функции. Так как а = 0,2; Р = 0,8; А ПЕ = 59,4, то получим:

ПРП + АПРП = ПРП + аАПЕ = 60 + 0,2 • 59,4 = 71,88;

НПР + АНПР = НПР + $АПЕ = 45 + 0,8 • 59,4 = 95,52.

Проверка. ПЕ + АПЕ = 164 «164,2.

8.                                        ПРП⁺ = ПМЗ⁺ (а) + ПЗТ⁺ (Р) + Я/>Г (у).

Здесь так же, как и в формуле пункта 7 имеем аддитивную функцию, поэтому при а = 0,5; Р = 0,3; у = 0,3; АПРП = 11,88 получим:

ПМЗ + А ПМЗ = ПМЗ + а • АПРП = 25,94;

ПЗТ + АПЗТ = ПЗТ + р • АПРП = 33,56;

ПР\ + АЯР1 = ПР\ + у • АПРП = 12,4.

Проверка. ПРП + АПРП = 71,87.

9.                                        ЯЯ/>⁺ = Л У//⁺ (а) + />£М⁺(Р) + ПР2⁺ (у).

Здесь так же, как и в формулах пунктов 7 и 8, можно восполь­зоваться пропорциональным делением прироста функции. При а = 0,4; Р = 0,4; у = 0,2; АНПР = 50,52 получим:

А УЦ + АА УЦ = А УЦ + а • АНПР = 3 2,2;

РЕМ + АР£М = РЕМ + Р • АЯРЯ = 33,2;

ПР2 + АЯР2 = ПР2 + а • АПРП = 30,1.

Проверка. НПР + АНПР = 95,5 « 95,52.

10. ПОСТ' = РУ" (а) + ОТ' (р) + ЛЯ~ (у) + (а).

Для решения данной задачи следует воспользоваться проце­дурой свертки/развертки. Обозначим через РУ + ОХ = А и АП + + ЯРЗ = В. Тогда имеем:

ПОСТ" = А~ (а + Р) + В~ (у + а).

Введем индивидуальные коэффициенты:

Д-АЯ = —,

_________________________ 4_______________

¹ (7 + а)Л - (<* + Р)Я + (а + Р)(ПОСТ - АПОСТ)'

Ь------------------------------------ ²--------- 7"

ПОСТ-АПОСТ-— ^к\

Первый промежуточный результат: к_{ = 1,12; к₂ = 1,18; А - АА 625; В-АВ = 677,96.

А~ =РУ~(а') + ОХ-ф'); а'= 0,6; р' = 0,4;

РУ

____________ РУ______              ох

 

При РУ = 300; ОХ = 400; а = 0,3; Р = 0,2 получим: к_х = 1,18, А:₂ = 1,08; РУ-АРУ= 254,24; ОХ - АОХ = 370,4. Проверка. А - АА = 254,24 + 374,4 = 624,6 - 625.

В~ = АП~ (у¹) + ПР4~ (а'); у' = 0,4; о' = 0,6;

АП

к ^;

ПР4

*2

ЛЯ

=

а'ЛЯ - у'ПР4 + у'(Д - АД) Я/Ч

^ "                                ЛЯ­

Д-АД—

При ЛЯ = 100; ПР4 = 700; у = 0,2; а = 0,3 получим следующее: = 1,95, к₂ =1,12; АП - ААП = 51,28; ЯРЗ - АЯРЗ = 625. Проверка. В - АВ = 51,28 + 625 = 676,28 » 677,9.

11. Ф⁺ = ЛФ⁺(а) + #Ф~ф). Введем индивидуальные коэффициенты:

АФ + МФ = к_]АФ;

ПФ

ПФ-АПФ = -—; аЯФ- а(Ф +АФ) + (Зт4Ф

ЛФ(р-а) ПФ

Ф + АФ-к^АФ

При а = 0,6; Р = 0,4; ЛФ = 900; ЯФ = 1100 получим: = 1,29, к₂ = 1,19; АФ- ААФ = 1161; ЯФ- АЯФ = 924,4.

Проверка: Ф + ДФ = 1161 + 924,4 = 2085,4 - 2088.

12. СГ = Я3~ (а) + #3" (р) + /77" (у) + ДС~ (X) + Я/>4~ (а).

Здесь функция имеет пять аргументов, что сущуственно затруд­няет возможность установить приоритетность аргументов. Поэто­му откажемся от весов важности целей и решим задачу без них:

- _А ^ ПЗ НЗ ГП ДС ПР4 0-А0 = — +— +         + +    .

Отсюда получим:

ЯГ= ⁰ =2,45. О-АО

Результат: ПЗ - А ПЗ = 57,14; НЗ - АНЗ = 18,37; ГП - АГП = = 22,45; ДС - ДДС = 16,33; ПР4 - ДЯР4 = 6,12.

Проверка. О-ДО = 57,14 + 18,37 + 22,45 + 16,33 + 6,12 = 120,4.

13. ПЗ" = Т3~ (а) + С3~ (р) + ПД 4" (у).

Здесь можно применить единый коэффициент, согласно ко­торому будут снижаться приросты:

АТЗ = а• ; ДСЗ = р-*₀; ДЯД = ЯЗ - ДЯЗ = ГЗ - а • + СЗ - р • к₀ + ПД 4 - у • £₀.

Отсюда получим: к₀ = АПЗ.

При а = 0,6; р = 0,3; у = 0,1; ДПЗ = 82,86; ТЗ = 100; СЗ = 25; ПД4 = 15 получим: АТЗ = 49,7; АСЗ = 24,9; АПДА = 8,28.

Результат: ТЗ-АТЗ = 50,3; СЗ - АСЗ = 0,1; ПД4 - АПД4 = 6,72. Проверка. ПЗ - А ПЗ = 57,12 « 57,14.

14. ДС~ = СС~ (а) + ЗС~ (Р).

СС + АСС = —;

ЗС-АЗС = —;

к₂

^к> рСС-аЗС + а(ДС-АДС)'

ЗС

к₂=-

ДС-АДС-

При а = 0,1; р = 0,9; СС= 15; ЗС = 25 получим: к= 1,19;к₂ = = 6,67; СС - АСС = 12,6; ЗС - АЗС = 3,73. Проверка. ДС - АДС = 16,33.

 

 

Если указать желаемый уровень рентабельности равным 0,32, то результаты расчетов будут такими, как это показано в табл. 2.2. Она может служить основой для разработки планов мероприя­тий, необходимых для функционирования различных структур­ных подразделений, ответственных за достижение того или ино­го показателя.

Очевидно, изменение показателей наталкивается на ограни­чения, ибо ресурсы предприятия всегда конечны. Поэтому необ­ходим алгоритм, с помощью которого можно определить при­рост одного показателя за счет другого. Как этого можно дос­тичь, будет показано в гл. 6.