Глава 1

ОСНОВЫ ОБРАТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

1.1.  Обратные задачи и обратные вычисления

Фундаментальные особенности человеческого восприятия окружающего мира предопределяет изучение его с помощью пар­ных категорий, среди которых можно выделить следующие:

причина-------------------------- ► следствие

затраты --------------------------- ^ результаты

средства-------------------------- ► достижение цели

первично                                   вторично

При этом категория, находящаяся слева от стрелки, всегда является первичной, так как от нее зависит категория, находящая­ся правее. Это позволило К. Попперу в своей книге «Открытая Вселенная: аргумент в пользу индетерминизма» сформулировать следующее: «...здравый смысл склонен утверждать, что любое явление обусловлено теми или иными предшествующими явле­ниями и поэтому любое явление может быть объяснено или пред­сказано...» [2].

Если данное утверждение принимается, то это значит, что принимается позиция Аристотеля, которая заключается в том, что главное предназначение науки состоит в изучении и объяснении причин, повлекших за собой те или иные события (последствия) в природе и обществе.

Результаты изучения подчиненности вторичных категорий первичным находят свое отражение с различной степенью адек­ватности в прямых зависимостях (следствий от причин, резуль­татов от затрат, достижения целей от средств и т.д.). Эти зависи­мости воспроизводят существующее положение вещей, т.е. вос­создают «то, как есть».

В обобщенном виде результаты изучения прямых связей мож­но представить следующим образом:

следствие = /(причина), результат = /(затраты), достижение цели = ^средства),

где / указывает на прямую связь между причиной и следствием, сред­ствами и целью, затратами и результатами и т.д.

Внимательно вглядываясь в попперовско-аристотелевские разъяснения предназначения науки, мы, однако, не находим того, что объективно сопровождает всякую осмысленную деятельность человека и в том числе ученого, - это цель его деятельности. Между тем «изучение и объяснение» этих самых «причин» происходит с вполне определенной целью, преследуемой ученым.

Человек в силу своей природы после изучения «того, как есть» непременно инициирует процесс перехода к «тому как нужно». Человеку не свойственна лишь пассивная констатация фактов или событий, ему в подавляющих случаях требуется подчинить себе эти события, повлиять на них в соответствии со своими потреб­ностями. Такого разъяснения мы не находим в цитированном труде.

Процесс перехода к «тому, как нужно», т.е. влияние на собы­тия, требует дополнения в зависимости между событиями инфор­мации, отражающей антропоморфные цели. Кроме того, сами зависимости должны рассматриваться «задом наперед». Если ранее в качестве ведущих понятий рассматривались причина, средства, затраты, а в качестве ведомых - следствие, цель, резуль­таты, то теперь они должны поменяться местами. В обобщенном виде такую трансформацию можно представить следующим об­разом:

причина = ^(следствие), затраты = ^(результаты), средства = #(цель),

где g указывает на обратную зависимость между используемыми поня­тиями.

Здесь мы приходим к обратной задаче, ибо цель исследова­ния событий как таковых принципиально отличается от цели ис­следования, результаты которого предназначены для последую­щего влияния на эти события человеком. Первичным является изучение и воспроизведение прямых связей, т.е. «того, как есть», вторичным - изучение обратных связей с целью изменения «того, как есть» на «то, как должно быть». При этом существует доволь­но важная особенность: изучение обратных связей возможно лишь при наличии результатов изучения прямых связей.

Существует фундаментальное различие между прямыми за­висимостями (обозначенными ранее как /) и зависимостями, ко­торые получают с целью последующего влияния на эти события (обозначенными как g). Если первые воспроизводят существую­щие связи между событиями, то вторые предназначены для нару­шения, т.е. изменения этих связей в соответствии с внешними по отношению к ним целями. Получение обратных зависимостей и есть" результат постановки и решения обратных задач. Вполне естественно, что главное внимание должно уделяться прямым зависимостям, ибо они цель и результат всякой науки. Вторич­ные (обратные) связи, не упоминающиеся в попперовско-аристо- телевских воззрениях, находятся как бы в тени (в положении «зо­лушки», ждущей своего часа). Их звездный час приходит лишь в том случае, если возникла потребность во вмешательстве в суще­ствующий ход событий, в его изменении в соответствии с целями управления.

Может возникнуть путаница в используемой терминологии. Поэтому обратимся к классическому изображению системы уп­равления, представленной на рис. 1.1. Обычно в таких схемах используются термины прямая и обратная связь: прямая связь несет в себе директивную информацию, а обратная - отчет об исполнении предписаний. Чтобы избежать путаницы, будем упот­реблять эти термины, если в процессе управления обратные зада­чи на решаются. Тогда контур управления на этом рисунке пред­ставляется пунктирными линиями. Если же обратные задачи ста­вятся и решаются, то контур управления сохраняется, однако используемые при этом средства будут иными. На рассматривае­мом рисунке он отражается с помощью сплошных линий.

Статус обратных зависимостей, рассматриваемых с позиции главного предназначения науки как чего-то второстепенного, не мог не повлиять на уровень развития многих прикладных систем

экономической ориентации, разрабатываемых с целью вмеша­тельства в какие-либо события. Ярким примером здесь могут слу­жить стремительно распространившиеся в 1980-е годы эксперт­ные системы, которые затем так же стремительно и увяли. Такая же участь постигла множество систем формирования или под­держки принятия решений.

Главная причина такого достаточно плачевного положения дел состоит в том, что эти системы изначально не в состоянии выдавать информацию, необходимую для воздействия на вполне реальные события, ибо в них не заложены основы такого воздей­ствия - обратные зависимости. Наличие прямых зависимостей (детерминированных или стохастических) мало чем может по­мочь, ибо они воспроизводят «то, что есть». Верх возможностей такого рода систем - это констатация фактов, их анализ и ответ на вопрос: «Что будет, если?». В результате системы не могли от­ветить на вопрос: «Как сделать, чтобы?». Отсюда резкое угаса­ние интереса к подобного рода системам, пессимизм, «разброд и шатание». Для того чтобы системы стали полезными, т.е. с их помощью можно было реально влиять на события, в основу их построения, кроме формализованных прямых зависимостей, должны быть положены и обратные, рассматриваемые сквозь призму антропоморфных целевых установок.

Для этого они должны уметь решать обратные задачи. При­ведем примеры прямых и обратных к ним задач экономического профиля.

Системы, ориентированные па формирование решений в усло­виях определенности (детерминированные зависимости)

1. Прямая задача: Какова рентабельность предприятия?

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы рента­бельность повысилась на А %?

2. П р я м а я задача: Какова конкурентоспособность предпри­ятия?

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы конку­рентоспособность повысилась на В единиц?

3. Прямая задача: Какова выручка предприятия за месяц?

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы выруч­ка увеличилась на К единиц?

Системы, ориентированные на формирование решений в усло­виях неопределеннсти

1.      Прямая задача: Каково доверие к заключению «Акции данного предприятия поднимутся в цене».

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы акции данного предприятия поднялись в цене на А единиц?

2.      Прямая задача: Каково до.верие к заключению «ВВП в будущем периоде увеличиться на К единиц».

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы «ВВП в будущем периоде увеличился на К единиц?»

3.     П р я м а я задача: Каково доверие к заключению, что цены на энергоносители в будущем периоде снизятся?

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы цены на энергоносители в будущем периоде не снизились?

Системы, ориентированные на формирование решений в усло­виях риска (стохастические зависимости)

1. Прямая задача: Какова вероятность наступления одно­го из независимых событий?

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы данная вероятность повысилась?

2. Прямая задача: Определить вероятность того, что взя­тая наугад продукция окажется отличного качества.

Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы взятая наугад продукция оказалась отличного качества.

Обратные связи воспроизводятся с помощью обратных фун­кций, а задачи, решаемые с их помощью, получили название об­ратных. Основы систематических исследований обратных задач заложил академик А.Н. Тихонов в своей работе [1], опублико­ванной в 1943 г. Однако под обратными задачами он понимал изучение свойств объектов, недоступных или неудобных для не­посредственного изучения. Поэтому подвергаются изучению те характеристики объекта, которые можно измерить, а затем на их основании отыскать закономерности в развитии самих объектов. А.Н. Тихоновым также введено следующее определение, имею­щее теоретическую значимость: пусть некоторая совокупность элементов {х} отображается функцией /(х) на другую совокуп­ность элементов {х*}: х* =.Дх). Такое отображение называется

взаимно однозначным в точке х₀, если =/(*₀)* /X^х) Д^ля любо­го элемента отличного от х₀.

Это определение позволяет доказать следующую теорему: пусть некоторое метрическое пространство Л непрерывно ото­бражается на другое метрическое пространство Я*, т.е. х* = /(х), * *

[х е Я, х е Я ]. Если это отображение взаимно однозначно в точ­ке х₀ и пространство Л компактно, то отображение х =                                                                     так­же непрерывно в точке X*.

В отличие от содержания обратных задач, исследуемых в рабо­те [1], в нашем понимании такая задача характеризуется прежде всего целью управления, выраженной с помощью значения како­го-либо экономического или другого показателя, и наличием прямой функции. Эта функция отражает зависимость следствия от причины, результатов - от затрат, уровня достижения цели - от затраченных для этого средств и т.д.

Обратные задачи характеризуются капризностью и трудоем­костью. Капризность заключается в непредсказуемости поведения функции, вид которой, как правило, либо неизвестен, либо извес­тен приблизительно. Отсюда всегда существует проблема с опре­делением диапазонов значений исходных данных, при которых задача, во-первых, имеет смысл, а во-вторых - имеет решение.

Так как обратную функцию получить трудно, а зачастую и невозможно, существует потребность в разработке метода, кото­рый позволил бы решать некоторые обратные задачи без нее. Решения для такого класса задач могут быть частичными, т.е. точечными, базирующимися не на области решений, а на неко­торой ее точке.

Метод обратных точечных вычислений, представленный да­лее, требует немногого: корректно оформленных прямых зави­симостей и дополнительной информации о целях, преследуемых лицом, формирующим решение. Дополнительная информация отражается в специально разработанной форме, названной «це­левая установка». Эта форма позволяет достаточно просто транс­формировать исходные формулы в соответствующие постанов­ки обратных задач.

Решение обратных задач с помощью обратных вычислений - это получение точечных значений приростов аргументов прямой функции на основании ее задаваемого значения и дополнитель­ной информации, поступающей от лица, формирующего реше­ние. Точечными они называются потому, что отыскиваются но­вые значения аргументов лишь для одной заданной точки функ­ции.

Дополнительная информация, используемая при этом, каса­ется:

целевой установки лица, формирующего решение, выражае­мой с помощью знаков (увеличение или уменьшение) приростов каждого из аргументов прямой функции;

приоритетности в путях достижения целей, отражаемой с по­мощью коэффициентов их относительной важности (КОВ).

Полученное решение задачи требует тщательного анализа, ибо вычисленные точечные значения неизвестной обратной за­висимости могут быть бессмысленными. Анализироваться дол­жны исходные данные, диапазон их значений, при которых зада­чи имеют решение. Семантический анализ исходных данных и полученных результатов - одна из обязательных процедур реше­ния обратных задач.

Далее будут использоваться следующие рабочие термины: прямая зависимость - выражение, отражающее связи между событиями (объектами), которые характеризуют состояние «как есть»;

прямые вычисления (расчеты), осуществляемые с помощью прямых функций;

обратная зависимость - выражение, отражающее цели, пре­следуемые лицом, формирующим решение;

обратные точечные вычисления, осуществляемые на основе обратных зависимостей, в результате которых получают иско­мые приросты аргументов прямой функции.

Применение обратных вычислений в экономике

Рассмотрим, каким образом можно использовать обратные вычисления для формирования управленческих решений, на при­мере повышения рентабельности предприятия. Подробно этот пример будет демонстрироваться в разд. 2.7, здесь же исследуем принципиальные возможности данного метода.

Рассмотрим дерево показателей, предназначенное для расче­та рентабельности предприятия. Дерево имеет восемь уровней (рис. 1.2), что вполне достаточно для формирования предписа­ний различным службам предприятия, выполнение которых дол­жно привести к повышению рентабельности. Стрелки указыва­ют направление расчетов.

На рис. 1.2 не все терминальные (висячие) вершины достаточ­но детализированы. Например, активная часть основных фондов, от которой во многом зависит эффективность производства, пред­ставлена лишь одним показателем. Для реального принятия ре­шений эти показатели должны детализироваться по структурным подразделениям, по классам основных фондов и т.д. То же каса­ется и оборотного капитала, особенно показателей, характери­зующих его отдельные элементы (технологический запас, произ­водственный запас, страховой запас и т.д.).

Целевые установки, указанные лицом, формирующим реше­ние, приведены на рис. 1.3. Коэффициенты относительной важ­ности представлены в табл. 2.1.

Приведем расчетные формулы:

1

Ф+О

где Р - рентабельность;

П - чистая прибыль, полученная за анализируемый период;

Ф - среднегодовая стоимость основных производственных фондов;

О - месячная стоимость оборотных средств.

2. П- ПП + ПД - Я,

где ПП - прибыль от продаж;

ПД - прочие доходы, в том числе чрезвычайные;

Н - налог на прибыль.

з.пп = в-с,

где В - выручка от продажи товаров, продукции, работ, услуг за месяц; С - себестоимость товаров, продукции, работ, услуг за месяц.

4. В = К • Ц,

где К - объем выпуска продукции, шт.; Ц - цена единицы продукции, руб.

5. С = ПЕР + ПОСТ,

где ПЕР - совокупные переменные расходы; ПОСТ - постоянные затраты.

 

Рис. 1.3

6 ,ПЕР = КПЕ,

где /Г - объем выпуска продукции, шт.;

ПЕ - переменные затраты, приходящиеся на единицу продукции.

7. ПЕ = ЯРЯ + ЯЯР,

где ПРП - производственные переменные затраты; НИР - непроизводственные переменные затраты.

8. ПРП = ПМЗ + ПЗТ + ЯР1,

где ПМЗ - прямые материальные затраты; ПЗТ - прямые затраты на оплату труда; ПР\ - прочие производственные переменные затраты.

9. НПР = А УЦ + РЕМ + ПР2,

где А УЦ - содержание аппарата управления цехом;

РЕМ - содержание и ремонт производственного оборудования; ПР2 - прочие непроизводственные переменные затраты.

10. ПОСТ= РУ+ ОХ + АЛ + ПРЪ,

затраты на оплату труда работников управления; затраты на охрану;

затраты на аренду производственного инвентаря и производ­ственных площадей; прочие постоянные затраты.

\\.Ф = АФ + ЛФ,

где АФ - активная часть основных производственных фондов; ПФ - пассивная часть основных производственных фондов.

12. 0 = ПЗ + НЗ + ГЛ+ДС + ПРА,

где ПЗ - производственные запасы; НЗ . - незавершенное производство; /77 - готовая продукция; ДС - денежные средства; ПРА - прочие элементы оборотного капитала.

Из перечисленных в формуле для О элементов будут вычис­ляться лишь два, а именно:

13. ПЗ = ТЗ + СЗ + ЛДЗ,

где ТЗ - текущий запас; СЗ - страховой запас; ПДЗ - подготовительный запас.

14. ДС = СС + ЗС₉

где СС - собственные денежные средства; ЗС - заемные денежные средства.

Так как существует проблема повышения рентабельности, возникает обратная задача, которая формулируется следующим образом: на основании

прямых зависимостей показателей;

информации о желаемых направлениях в изменениях показа­телей;

информации о приоритетности в изменениях показателей;

информации о желаемом приросте рентабельности рассчитать приросты терминальных вершин дерева целей.

Граф показателей превращается в дерево целей с обратным направлением расчетов. На рис. 1.3 приоритеты в достижении каждой из подцелей (коэффициенты а, р...), а также знаки (плюс или минус) указывают, за счет чего необходимо достигать цели: уменьшения одних показателей или увеличения других. Напри­мер, часть прироста рентабельности, равной 0,5, должна быть обеспечена за счет увеличения прибыли (около показателя 77 ука­зан знак плюс), другая ее часть, равная 0,3 - за счет повышения среднегодовой стоимости основных производственных фондов (около показателя Ф указан знак плюс), а оставшаяся часть при­роста рентабельности, равная 0,2, должна быть достигнута за счет снижения оборотного капитала (около показателя О указан ми­нус). Тогда КОВ на данном уровне дерева целей приобретают следующие значения: а = 0,5; Р = 0,3; у ⁼ 0,2. Сумма всех КОВ должна равняться единице, т.е. а + Р + у ⁼ 1- Аналогично рас­шифровывается дерево целей и на других уровнях.

В рассматриваемом примере решение обратной задачи с по­мощью обратных вычислений выполняется в такой последова­тельности:

вначале на основании заданного прироста рентабельности, коэффициентов а, Р, у, а также информации о направлениях в изменении показателей Я, Ф, О определяются их новые значе­ния: Я + А Я, Ф + АФ и О - АО;

затем на основе новых значений показателей первого уровня, а также коэффициентов а, Р, у, ..., характеризующих приоритет­ность целей уже второго уровня, а также информации о направ­лениях в изменении показателей ЯЯ, ЯД, А Ф, ЯФ, ПЗ ... опреде­ляются новые значения показателей второго уровня: ЯЯ + А ЯЯ, ЯД + АЯД, АФ + АА Ф, ЯФ - А ЯФ, ПЗ - А ПЗ и т.д.

Процесс повторяется для всех уровней дерева целей.

Таким образом, на вопрос, что следует предпринять, чтобы рентабельность поднялась на АР, ответ будет следующим: для этого следует увеличить прибыль на А Я единиц, нарастить сред­негодовую стоимость основных производственных фондов на АФ единиц и снизить величину оборотных средств на АО единиц. В свою очередь, для того чтобы поднять прибыль на АП единиц, необходимо увеличить прибыль от продаж на АПП единиц и про­чие доходы - на АПД единиц. Процесс может продолжаться до тех пор, пока не будут вычислены новые значения показателей для всех терминальных вершин.

Более детально данный пример рассматривается в разд. 2.7.

Остается лишь добавить, что при создании реальных приклад­ных систем, полезных для формирования решений, следует учи­тывать ограничения на изменение показателей, находящихся на терминальном (самом нижнем) уровне дерева целей, дерева вы­вода или дерева вероятностей. Например, в результате выполне­ния вычислений может оказаться, что снижение себестоимости продукции на требуемую величину невозможно. Тогда задача должна быть решена за счет увеличения нагрузки в иных терми­нальных вершинах. Каким образом это можно достичь, будет рассмотрено в гл. 2.

1.3.Предварительные процедуры приведения функций к стандартному виду

Вид формул, обеспечивающих прямые вычисления, может быть сколь угодно разнообразным. Однако методика обратных точечных вычислений предполагает их приведение к стандарт­ному виду. Для этого необходимо выполнить две операции.

1.    Дополнить прямые функции информацией о целевых уста­новках лица, формирующего решение.

2.     Применить процедуру свертки/развертки для функций, име­ющих больше двух аргументов.

Последняя операция не обязательна. Ее можно заменить ре­шением системы с п уравнениями, где п - число аргументов в фун­кции.

Первая операция, т.е. отражение целевых установок лица, формирующего решение, реализуется путем дополнения прямой функции следующей информацией:

направления изменений аргументов;

приоритетность в изменении аргументов (веса важности целей).

Результаты отражаются в аналитической или в графической форме. Можно использовать обе формы одновременно.

Направление изменения показателей указывается с помощью знаков плюс или минус (увеличение или уменьшение), а приори­тетность целей - с помощью их коэффициентов относительной важности (КОВ).

Допустим, имеется формула, отражающая прямую зависи­мость рентабельности (у) от прибыли (х) и себестоимости про­дукции (г), что можно представить в виде:

х

2

Тогда если у лица, формирующего решение, появилось жела­ние повысить рентабельность за счет увеличения прибыли и сни­жения себестоимости, то такая целевая установка в формуле от­разится следующим образом:

2

Однако это еще не все. Прирост рентабельности можно до­биться в большей его части за счет увеличения прибыли, а в мень­шей - за счет снижения себестоимости, или наоборот. Пропор­ции этих частей указываются с помощью КОВ.

Например, если 0,8 прироста рентабельности следует добиться за счет увеличения прибыли, а 0,2 - за счет снижения себестоимо­сти, то тогда формула приобретает вид:

_{а = 0 8} р = 0,2, а + р = 1,

где а, Р - коэффициенты относительной важности целей.

Эта же информация может быть представлена графически (рис. 1.4), где показано, что приросты для х и для г зависят не только от прироста Ду, но и от коэффициентов а и (3.

Целевые установки лица, формирующего решение, могут быть и другими. Например, в том же примере необходимо значение у понизить за счет теперь уже снижения л: и повышения 2. Причем приоритетности в достижении подцелей должны поменяться ме­стами. Тогда получим следующее аналитическое выражение:

г⁺(а)

Целевые установки могут быть самыми разными, однако они не должны противоречить здравому смыслу. Например, на пря­мой функции

у-Х + 2

невозможно организовать обратные вычисления для реализации следующей целевой установки:

/=*-( а) + г-(Р),

так как нельзя увеличить сумму двух элементов за счет их одно­временного снижения.

В экономических расчетах нередко используются функции, число, аргументов в которых более двух. В этих случаях реко­мендуется применять процедуры свертки/развертки, что позво­лит существенно упростить процесс обратных вычислений путем применения стандартных базовых конструкций.

Процедура свертки/развертки достаточно проста и основыва­ется на введении фиктивных переменных, объединяющих блоки по два аргумента. Допустим, есть функция с тремя аргументами:

х⁺(а)

-, гдер > у.

^У 2⁺(Р) + *-(У)' Руководствоваться здесь надлежит следующими правилами: последовательно объединять попарно аргументы в группы, обозначая полученные пары новыми идентификаторами;

если знаки приростов полученных пар аргументов одинако­вы, то общий знак прироста будет тот же, что и аргументов, в противном случае указывается знак аргумента, имеющего боль­ший КОВ;

 

если знаки приростов полученных пар аргументов различны, но при этом одинаковы КОВ, то в качестве общего знака приро­ста указывается любой из них;

КОВ объединенной группы принимается равным сумме КОВ аргументов.

Для того чтобы рассматриваемую зависимость с тремя аргу­ментами свести к зависимости с двумя аргументами, обозначим ее знаменатель через математическое выражение р. Тогда получим

_/= х⁺(а)

Р⁺Ф + У)

Знак около р указан плюс, так как Р > у. Рассмотрим более сложное выражение

А'( а) М-(с).К⁺(е).Е'( _Л)

2Г(Р) + С⁺(У)                                   ₂

Е~(Х)

где Р > у, а > 0 > Г|, Р + у > X, а > 0 + г|. Введя обозначения

СГ((3 ₊ у)

В' (Р) + С⁺ (у) = 0"(р + у);                 = Г Ф + У + Х);

А'(а)

получим

у = £> (а + р + у + Х)---------------- ^у—-----

После свертки функции вычисляют новые значения ее аргу­ментов, что позволяет осуществить обратный процесс - разверт­ку, выполняемую по следующим правилам:

определяется общий прирост, зависящий от суммы КОВ груп­пы объединенных аргументов;

выполняется нормирование КОВ для отдельных аргументов по формулам:

V- ^е •

а+Р а+р 24

определяется прирост аргументов, объединенных в группу.

 

 

Иллюстрацией приведенных правил может служить рис. 1.6, где представлена функция с тремя аргументами: вначале ее ис­ходный вид (я), затем свернутый (б) и, наконец, развернутый (в).

1.4. Принцип выполнения обратных вычислений

Управление - это вмешательство в существующий ход собы­тий с помощью соответствующих инструментальных средств. При этом предполагается, что известно желаемое значение показате­ля, отражающего цель управления.

В простейших случаях, при наличии аддитивной функции и если при этом знак желаемого прироста функции совпадает со знаками аргументов, задача решается просто. Для определения приростов аргументов достаточно прирост функции разделить пропорционально коэффициентам относительной важности ар­гументов. Допустим, известна следующая целевая установка (рис.

1.7):

А⁺ =В⁺(а)+ С⁺ф).

Известен прирост функции АЛ, который следует получить в результате увеличения обоих аргументов. Если известны пропор­ции, согласно которым должно произойти данное увеличение, то задача решается просто. Для этого следует прирост функции раз­делить пропорционально коэффициентам а и (3. Получим:

АВ = а-АЛ, ЛС = р-ЛЛ,

откуда В + АВ = В + а-АА, С + ДС = С + р-Д4.

Проверим результат.

Пусть В = 20, С = 12, А = 32, ДЛ = 8, а = 0,2, (3 = 0,8.

Тогда: АВ = 0,2 • 8 = 1,6; ДС = 0,8 • 8 = 6,4;

В + ДЯ = 20 + 1,6 = 21,6; С + ДС = 12 + 6,4 = 18,4;

А + АА =21,6+ 18,4 = 40.

Аналогично можно решить задачу, если знаки приростов всех аргументов и функции отрицательны. Однако возникает вопрос: Как определить приросты для функций, которые, во-первых, не являются аддитивными, а во-вторых, приросты аргументов име­ют различные знаки? Например, можно ли добиться того же ре­зультата за счет повышения первого аргумента и снижения вто­рого? Если пойти тем же путем, то можно получить следующее: Я + ДД = 20+ 1,6 = 21,6; С-ДС= 12-6,4 = 5,4;А +АА= 21,6 + 5,4 = 27.

Как видим, данное решение неправильное. Не будет правиль­ного решения ни при кратных (дроби), ни при мультипликатив­ных (произведения), ни при степенных и прочих функциях.

Если формулы, элементы которых указывают на уровень до­стижений той или иной цели, известны, то необходимо вырабо­тать основу или принцип, согласно которому будут определять­ся приросты аргументов имеющихся функций.

Таким принципом будет служить пропорциональное измене­ние прироста аргументов прямой функции согласно долям, ука­занных лицом, формирующим решение.

Пусть задана функция у = Дх₉ z), причем согласно цели уп­равления необходим ее прирост на величину Ау. Так как у функ­ции два аргумента, прирост ее возможен за счет прироста либо

первого аргумента, либо второго, или же за счет прироста обо­их, или за счет прироста первого и снижения второго, или за счет уменьшения первого и увеличения второго. Первый вариант мож­но представить так: А^ = Ау_х + Ау₂, где Ау_х, Ау₂ - приросты функ­ции, полученные за счет приростов первого и второго аргумен­тов. Остальные варианты получают путем изменения знаков око­ло приростов.

Для того чтобы узнать, какими должны быть приросты аргу­ментов, можно задать следующие соотношения:

Ау Ау

что позволяет записать:

Ау, у(х±Ах^)-у(х^) А у _   Ау          _ а

Ау₂ у(х,2±Аг)-у(х,2) р' Ау Ау

Если, например, а = 0,75, а (3 = 0,25 то данное соотношение следует понимать так: 0,75 от всего прироста функции будет по­лучено за счет прироста аргумента х, а 0,25 - за счет прироста аргумента 2. Коэффициенты ос и Р - это КОВ аргументов или це­лей, которые эти аргументы представляют. Они задаются внача­ле и позволяют отыскать приросты ±Ах и ±Аг. Это напоминает задачу факторного анализа, поставленную наоборот.

Так как больший интерес представляет соотношение между приростами аргументов, запишем:

Ах

Ау _ Ах _ а

Аи ~ Ли ^_ Р '

Ау

Далее будем пользоваться именно этим соотношением.

Для того чтобы задача обратных вычислений была доопре­делена, ее следует дополнить еще одним выражением:

у±Ау~/(х± Ах, 7 ± Аг).

Принимая во внимание, что Ау = Ау, + Ау₂ = аАу + рАу, можно записать следующее условие: а + Р = 1.

Отсюда задачу обратных вычислений для функции с двумя аргументами в общем виде можно записать как систему уравне­ний вида:

у±Ау = /О ± Дг(а), г ± Агф), 4 Ах _ а

дГр"

Здесь выражения Ах(а) и Д2(Р) указывают на функциональ­ную зависимость прироста Ах от коэффициента а, а прироста Ах - от коэффициента р. Обязательным условием выступает ограни­чение а + Р = 1. Прирост Ау задается, а неизвестными являются приросты ±Ах и ±Аг.

Если функция содержит более двух аргументов, то возможны два пути решения задачи:

•      создать систему уравнений, число которых соответствует числу аргументов;

•      обратиться к процедуре свертки/развертки, которая позво­ляет свести многоаргументную функцию к двум аргументам.

Рассмотри первый путь. Пусть задана функция с тремя аргу­ментами:

у=Дх,г,р).

Прирост функции возможен за счет прироста (положитель­ного или отрицательного) всех трех аргументов, т.е.

■ ±Ау = ± А у_х ± А у₂ ± Ау₃,

где ±Ау           - общий прирост функции;

±Ду,, ±Ду_г ±Д- приросты функции, полученные за счет приростов первого, второго и третьего аргументов.

Как и ранее, можно задавать соотношения приростов аргу­ментов, обеспечивающих необходимый прирост соответствую­щей части прироста функции. Например,

АУ,                       у(х±Ах,1,р)-у(х,1,р)

А у                                __ Ау _ а

Ау₂ + Ау₃           у(х,г±А2,р±Ар)~у(х,г,р) р+_у '

Ау                                      Ау

где а, Р, у - КОВ целей, отражаемых аргументами х, г и р.

 

Для решения задач будем пользоваться более простыми вы­ражениями:

Ах

а

А2Г + Ар р + у А2Г Р

Ах + Ар а + у

Тогда задачу обратных вычислений для функций с тремя ар­гументами можно решить с помощью следующей системы урав­нений:

у±Ау = /(х±Ах(а), 1±А1®),р±Ар(у)1 Ах а

Аг +Ар р + у' Дг Р

Ах + Ар а + у

Как и ранее, в качестве ограничений используются неравен­ства вида:

Ах<Ах, Л2г< Ли, Ар<Ар.

Здесь Ах(а), Аг(Р), А/?(у), как и прежде, есть выражения, кото­рые указывают на функциональную зависимость соответствую­щих приростов от коэффициентов относительной важности а, Р и у.