3.2. Обоснование способов представления экспертных суждений

В рамках экспертного прогноза источником суждений в виде индивидуального или же коллективного мнения об объекте прогнозирования выступают люди - эксперты в данной области. Следовательно, неотъемлемой характеристикой прогнозной информации, полученной в ходе процедуры экспертного оценивания, всегда будет ее субъективизм. Т.е. в общем случае аналитики всегда в праве подразумевать различие между истинным содержанием, сутью изучаемого объекта, а также его свойств и их восприятием конкретным индивидуумом. Последний, выступая в роли своеобразного поглотителя и анализатора поступающей из вне информации производит ее восприятие, оценку и выносит некие заключения о возможных перспективах явления. Источниками ошибок «прибора» измерения в значительной их части могут быть как его специфические психофизические и социо-гуманитарные кондиции, так обще и специально образовательные характеристики субъекта, его когнитивная «настройка». При этом особый практический интерес для нас представляет способ формализации внешнего отражения внутренним восприятием эксперта сути изучаемой проблемы. В самом концентрированном виде проблема может заключиться в идентификации объектов, оценке объектов, построении объектов, построении и оценке объектов.

Приведем следующий пример. Для того чтобы дать прогноз относительно возможности успешной сдачи группой студентов в конце семестра экзамена по соответствующей дисциплине администрация учебного заведения может делать свои выводы, исходя из предварительной полусеместровой информации, предоставленной преподавателями. Понятно, что в данной ситуации именно они являются экспертами, производящими оценивание потенциала каждого обучаемого. При этом непосредственная оценка может производиться с использованием терминов: «сдаст - не сдаст», «зачтено - не зачтено», «успевает - не успевает». Другая форма отображения информации - представление упорядоченного списка студентов, по мнению преподавателя, соответствующего степени знания или незнания студентами предмета. Третья возможность - проставить каждому студенту заслуженную им оценку, т.е. иначе говоря, балл. При этом масштаб измерений может быть весьма различен, например, от 1 до 5 или от 1 до 15 и т.п. Если преподаватель очень дотошен в поиске истины, он может, например, рассуждая о возможности некого студента оценить его потенциал следующим способом: 5 может получить с вероятностью 5%, 4 с вероятностью 15% и 3 с вероятностью 80%. Очевидно, что перечень возможностей формализации оценки одного и того же объекта исследования легко продолжить. Заметим лишь, что по всей вероятности преподаватель, оценивший знания данного студента как отличные, поместит его в группу учащихся, которые успеваю по предмету. При этом не очевидно, что студент, причисленный к группе успевающих, сдаст грядущий экзамен на оценку 5.

В силу объективных условий исследуемые и оцениваемые с помощью методов экспертных оценок объекты прогнозирования различаются на основе их свойств (характеристик, параметров, показателей, качеств и т.п.), которые явно или не явно имеют ввиду эксперты. Как правило, каждый из объектов социально-экономического прогнозирования характеризуется набором показателей, каждый из которых отражает некоторое свойство объекта либо их совокупность. В общем случае это свойство может быть отображено несколькими способами. В то же время, какой бы из способов мы ни избрали, должны сохраняться некоторые соотношения значений показателя для различных объектов.

В ходе решения этих задач следует выбрать способ настройки шкалы нашего «измерительного прибора», то есть общий принцип формализации характеристик объекта, конкретный способ его воплощения, что собственно представляет способ отражения изучаемой эмпирической системы в виде ее модельного образа.

Введем несколько понятий, позволяющих эффективно осуществлять процедуру генерации экспертных суждений, т.е. экспертного оценивания объектов прогноза.

Пусть О , где О = (О), 7 ^О ^ - множество эмпирических объектов с заданным на нем набором отношений R=(R_i), где і о I. Отношения определяют свойства системы, его структуру. Множество эмпирических объектов с эмпирически определенным на нем множеством отношений называют

эмпирической системой М или системой с отношениями, и обозначается как М

= <0;Я>.

Аналогичным образом можно ввести понятие символьной системы Н = Щ>, где S = I о L - множество объектов символьной системы, а W = (Щ), к о К - множество отношений, определенных на нем.

Структура множества S может определяться не только отношением, но и операциями. В этом случае система Н называется алгеброй, при условии, что все отношения из Щ являются операциями.

Под числовой «-мерной системой понимается система, в которой S=Dⁿ, где D - множество действительных чисел, а Щ - множество операций над ними. При этом особая роль в теории измерений отводится так называемым одномерным шкалам (где S=D), единственным с точностью до некоторого линейного преобразования множества D.

В теории измерений под шкалой понимается гомоморфизм f эмпирической системы отношений М в символьную систему Н. Таким образом, шкала представляет собой, по сути, правило, определяемое тройкой <М,Н/>. Модели, образы реальной системы в символике формальной системы носят наименование «шкальных значений». Процедура сравнения объектов по выбранным признакам носит название измерения, или измерения в заданной шкале.

Более узким является определение шкал в терминах репрезентативной теории измерений [16, с.23]. Здесь под «-мерной шкалой понимается гомоморфизм f эмпирической системы отношений М в «-мерную числовую систему отношений =< Ц¹, Щ>.

Следовательно, данные об исследуемом объекте получают в процессе измерений. В результате сравнения осуществляется присвоение объектам некоторых символов в соответствии с некоторым правилом. Символы могут быть буквенными и составлять классы (категории), а могут быть числовыми и

составлять либо категории, либо числа. В последнем случае над ними можно использовать арифметические правила.

Возникает вопрос о взаимосвязи различных отображений одной и той же эмпирической системы.

Понятно, что отображение множества О в множество S, т.е. гомоморфизм f, в общем случае не единственен. Существует множество шкал, отображающих заданную систему М в числовую символику Н. Такого рода шкалы носят название класса эквивалентных шкал - F(M,H). Любая шкала из класса эквивалентных может быть охарактеризована внутренними свойствами системы Н. Т.о., F (М, Н) = [у(/)\ у о Г_Н (/ (М))}. Элементы множества Г_Н (/ (М)),- т.е. _у, - будем называть допустимыми преобразованиями шкалы f, т.к. они переводят шкалу f в эквивалентное представление.

Иначе говоря, имея две шкалы <М, Н, /> и <М, Н, с различными отображениями f и g, следует определить некую функцию у - назовем ее "допустимым преобразованием шкалы", позволяющую переходить от одной шкалы к другой без потери информативности. Или иначе ДО^ = у ^(О^] .

Свойства функции у и определяют тип шкалы, а, следовательно, позволяют проводить классификацию шкал измерений.

В практике социально-экономических измерений различают три (иногда возможно неформальное сведение к четырем) основные типа шкал.

Отображение системы М в систему Н, где Я и Щ соответствуют лишь отношению эквивалентности либо его отсутствию, носит название шкалы наименований (номинальной, классификаций). Она используется для описания принадлежности объектов определенным классам, с заранее заданными свойствами. В рамках этой шкалы сохраняются отношения эквивалентности и различия. Для нее арифметические действия не определены. Идентифицировать отношения «больше», «лучше», «более предпочтительно» или «менее предпочтительно» и т.п. не представляется возможным.

Имея дело со шкалой наименований, следует понимать, с каким типом отображения систем ведется работа. Например, если речь идет о некотором полном наименовании населенного пункта его отображением в символьную систему может быть соответствующий почтовый индекс. Это пример взаимнооднозначного соответствия в номинальной шкале. В данном случае отношение тождества или различия значений соответствующей характеристики сохранится при любом преобразовании оценки, обладающим единственным обязательным свойством: преобразование, обратное данному, должно быть однозначным.

Несколько более совершенной шкалой, часто встречающаяся в прикладных задачах является шкала, допускающая преобразования в виде произвольной, монотонно возрастающей функции.

Шкала f отображающая множество O в множество D, называется шкалой порядка в том случае, если она единственна с точностью до монотонного непрерывного отображения множества f(O) в D. Она позволяет не только разбивать объекты на классы, но и упорядочивать сами классы в соответствии со степенью увеличения или уменьшения некоторого наперед заданного признака. Для порядковой шкалы допустимо любое монотонное преобразование, арифметические действия в ее рамках смысла не имеют.

Примером показателей, имеющих такую шкалу измерения, являются разного рода рейтинги или коэффициенты инвестиционной привлекательности проектов, ценных бумаг, регионов, стран и т.п.

Например, если сравниваются два вида облигаций X и Y по степени их надежности, то оценка облигаций X и Y в рейтинге компании Standard and Poor's могут оказаться соответственно AA и B (соответствуют 2-у и 6-у из 9-и возможных рангов), а в рейтинге, например, Canadian bond rating service их оценки A и С соответственно, что эквивалентно 3-й и 7-й категории надежности. Отсюда мы можем сделать вывод, что рейтинги AA и A (т.е. ранги 2-й и 3-й) соответствуют друг другу, точно также как и B - С (т.е. ранги 6-й и 7- й), и, кроме того, инвестирование в облигации типа X боле надежно, нежели в Y. При этом выразить степень превосходства одной ценной бумаги перед другой либо наоборот не представляется возможным. Поэтому отношение значений показателя для разных объектов может быть непостоянно, оно зависит от выбранного способа оценивания. Сохраняется лишь формальный порядок следования оценок (первая меньше второй по формальному отражению в числовом представлении). Отсюда название данной шкалы - порядковая. Показатели с порядковыми шкалами принято называть качественными.

Шкала называется шкалой интервалов, если она единственна с точностью до положительных линейных преобразований, т.е. группа Г_г положительных линейных преобразований из Ц на Ц состоит из всех преобразований у(а, Ь), таких что f (х) = ах + Ь, где ао Ц +, Ц . При этом группа эквивалентных преобразований: Г = (у(а),а о Ц +}- носит название группы растяжений, а соответствующий подвид линейной шкалы - шкалой отношений. Группу Г = (у(Р), Ь о Ц} называют группой преобразований сдвига, а соответствующий подкласс линейных преобразований именуется шкалой разностей. Интервальная шкала не только классифицирует и упорядочивает объекты, но и количественно оценивает различие между классами. Для проведения таких сравнений вводятся понятия «единица измерения» -а и «точка отсчета» - Ь. Допустимым в данной шкале является линейное преобразование: f (х) = ах + Ь .

Иногда в экспертном оценивании может также использоваться абсолютная шкала. Она определяется взаимнооднозначным соответствием: Дх)=х. Таким образом, осуществляется единственное преобразование объектов в числовую систему.

Чем уже множество допустимых преобразований, тем более совершенной считается шкала, имея в виду информативность осуществляемого предсказания, т.е. его детальность. Показатели, имеющие шкалу не менее совершенную, чем шкала интервалов, называются количественными, следовательно, допускающими алгебраические действия. Имея в виду ранее приведенный пример оценки знаний студентов, понятно, что суждение о том, что некий студент успешно справиться с экзаменом по предмету не очень информативно, зато более вероятно, чем конкретное утверждение о возможности получения им, например, четверки.

Таким образом, мы познакомились с тремя типами шкал, в которых могут быть измерены (оценены) характеристики объектов прогнозирования: номинальной, порядковой и шкалой интервалов с ее подклассами. Подчеркнем, что тип шкалы зависит от содержания характеристики и не может быть определен чисто формальным путем без анализа ее смысла, а также произвольно изменен исследователями. Более того, одна и та же характеристика в разных задачах может рассматриваться как измеренная в различных шкалах.

Если нас интересует выбор объекта (из множества допустимых) с наибольшим значением данной характеристики безотносительно к тому, чему будет равно это значение, то можно считать ее измеренной в порядковой шкале. Если же нас интересует выбор объекта со значением характеристики, наиболее близким к некоторой заданной величине, то ту же самую характеристику придется рассматривать как количественную, измеренную в шкале интервалов.

В таблице 5 показаны все формально допустимые преобразования в рамках основных шкал измерений [24].

Тип шкалы измерений, используемой для описания свойств, характеристик эмпирической системы, определяет группу методов, допустимых для оценки измерений в рамках шкал. Имея в виду под измерением процедуру сопоставления (в рамках допустимых преобразований) свойств объектов, представленных в соответствующих шкалах, т.е. это способ оценки формально приписываемых свойств исследуемого объекта. Соответствие шкал и наиболее распространенных в практике экспертного оценивания методов измерений представлено в таблице 6. Таблица иллюстрирует допустимые измерения в рамках соответствующих шкал.

Таблица 5.

 

Анализ данных, приведенных в таблице 6, позволяет констатировать, что приведенные методы измерений на практике являются той или комбинацией таких элементарных способов измерений, как:

-                   качественная идентификация (определение качественного соответствия объектов эталону, либо объектов между собой);

-                            упорядочивание однородных объектов по степени проявления доминантного качества;

-                   количественные измерения (определение количества свойства). Все остальное представляется комбинацией исходных способов измерений. Очень часто в ходе проведения экспертного оценивания способ измерения отождествляется с видом экспертной оценки, хотя в общем случае они различны. Экспертные оценки, представленные в таблице 6, принято называть оценками первого рода [21], что подразумевает их не составной, а элементарный характер. Оценки, строящиеся как комбинация элементарных, носят именование экспертных оценок второго рода. Такого рода оценка, как правило, представляет собой высказывание, состоящее из двух частей. Первая часть содержит некое утверждение, сформулированное в виде оценки первого рода, а вторая отражает степень уверенности эксперта в данном утверждении, выраженная в том или ином виде. Из всех ранее приведенных нами примеров высказываний экспертов к оценкам второго рода можно отнести лишь суждение преподавателя о возможности получения студентом на экзамене пятерки с вероятностью 50%, четверки с вероятностью 15% и тройки с вероятностью 80%.

 

Остановимся подробнее на пояснении характеристик основных форм экспертных оценок.

Вербальные оценки представляют собой обычное лингвистическое выражение экспертного суждения. Примеры такого рода оценок - это либо слова наименования (квантификаторы), либо окончательные суждения. Исходя из посылки о структуре исследуемой эмпирической системы ясно, что они призваны именовать объекты системы, а также характер отношений между ними. По форме представления данная оценка может выражаться цифрами, т.е. представлять некий цифровой код. А может отражаться в символьной форме, т.е. носить вид непосредственно символьного наименования.

Группировка (класс, кластер, страта и т.п.) представляет результат указания экспертом совокупности в общем случае непересекающихся множеств объектов изучения, индексированных элементами некоторого множества значений соответствующего признака, свойства. Число групп на множестве объектов может задаваться априорно, но может быть и не известно заранее.

Парное сравнение представляет собой установление соответствующего отношения, например - предпочтения, в рамках каждой предъявленной к оценке эксперта паре объектов из заданной ограниченной совокупности альтернатив. При этом предполагается, что эксперт не только в состоянии установить факт различия между объектами оценки, но и в состоянии определить свои предпочтения на рассматриваемой паре символьно либо графически. На практике результаты измерения представляют, как правило, в виде матрицы парных сравнений А= (ау) , I = 1, п , ] = 1, п , где п - количество альтернатив сравнения, а элемент матрицы ау отражение отношения (более предпочтительно, менее предпочтительно, безразлично) между объектами оценки 1 и ] с точки зрения субъекта оценки, т.е. эксперта. Символика записи степени предпочтения может задаваться произвольно. Например, если 1-й объект предпочтительнее >го, оценка ау принимается равной 1 (или 2); в противоположенном случае, когда 1 менее предпочтительна чем ] оценка ау = -1 (в других обозначениях - может быть, например равной 0). Если же 1-й объект эквивалентен >му объекту, то ау = аj_i = 0 (или 1, или 0,5). При сравнении объектов группой экспертов каждый из них заполняет соответствующую матрицу парных сравнений.

Расширением данного способа измерений свойств объектов сравнения является оценивание методом множественных сравнений. Он является промежуточным между методом парных сравнений и ранжированием. Его особенность в том, что эксперту для оценивания предъявляется не пара альтернатив из всего множества исходов, а тройка либо четверка и т.д., т.е. некоторые подмножества исходного множества альтернатив.

Упорядочение всего множества допустимых альтернатив прогноза в соответствии с их предпочтительностью для оценщика носит название ранжирования. Данная процедура используется в ситуации невозможности непосредственного количественного измерения свойств объектов прогнозирования. Номер, получаемый объектом оценки в ходе этой процедуры, именуют рангом. Это натуральное число, характеризующее порядковое место оцениваемого объекта в группе других.

При использовании этого метода характеристики всех объектов сравниваются друг с другом. В результате применения ранжирования эксперт располагает объекты в порядке возрастания (или убывания) присущего им оцениваемого показателя (характеристики). Обычно наиболее предпочтительному объекту присваиваю ранг, равный 1, второму по предпочтению объекту -2 и т.д.

Различают строгие и нестрогие ранжировки. Внутри строгих ранжировок устанавливают лишь отношения строгого порядка, когда есть четкое указание на предпочтение одной альтернативы другой, а отношения эквивалентности не допускаются.

Нестрогие ранжировки допускают отношения равной предпочтительности между объектами сравнения. Эквивалентные с точки зрения эксперта объекты получают равные ранги. Группы одинаковых рангов внутри одной и той же ранжировки носят название групп связных рангов.

Для проведения унифицированных процедур обработки экспертной информации, представленной, как правило, в виде ранжировок нестрогого порядка с произвольным масштабом шкалы изменения ранга, предварительно осуществляют процедуры стандартизации. Формальным критерием стандартизированной ранжировки объектов сравнения является выполнение следующего условия.

п(п +1)

* 2

где r_k - ранг k-го объекта сравнения, k=1,n, где n - количество альтернатив сравнения.

Для эффективного решения проблемы стандартизации разработано множество процедур сведения любой ранжировки произвольного вида к стандартизированной. Одна из них получила название процедуры стандартизированного ранга [5, 6, 10], приведем пример ее использования. Процедура предполагает осуществление следующих шагов:

1)                   M=0, где М - множество индексов, для которых проведена операция стандартизации. Естественно, что на первом шаге М- пустое множество;

2)                    формируется множество L={ l: r_L = max r_k}, состоящее из максимальных

keM

рангов по множеству не стандартизированных к данному шагу рангов. Подсчитывается количество его элементов K(L);

3)                    проводится стандартизация для всех рангов с индексами из L;

(K (L) -1)                                           Га, = n, м = о

K =a_n               ⁴, где aN = н

2 '                                                       |Д N =A N-1 - K (L);

4)                    изменяем множество M, так что М = M U L; если M = 1, n, то работа алгоритма заканчивается, в противном случае переходим к шагу 2.

Использование этого алгоритма рассмотрим на Примере 1 [11].

Пусть задана следующая исходная ранжировка объектов сравнения:

2) N=2; А₁ =Д₂ - 2 = 10 - 2 = 8; 8 = тахг_к; Ь=(5,6,8); К(Ь)=3.

к оМ

3 _-1

Х5=Х6=Х8= А2 - — = 8 -1 = 7; М=(2,4,5,6,8)

3) N=3; А₃ = А₂ - 3 = 5; 6 = тахг_к; Ь=10; К(Ь)=1

к оМ

Х10= А3 -^ = 5; М=(2,4,5,6,8,10)

4) N=4; А₄ = А₃ - 1 = 4; 2 = тахг_к; Ь=(1,3); K(L)=2

к оМ

2 _- 1

Х1=Х3=Х4= А4 - — = 3,5; М=(7,9).

5) N=5; А₅ = А₄ - 2 = 2; 0 = тахг_к; Ь=(7,9); K(L)=2

к оМ

2-1

х₇=х₉= А ₂ - = 1,5; М=0.

Вычисления закончены, имеем следующую стандартизированную ранжировку:

_ | ^Х1 ^Х2 ^Х3 ^Х4 ^Х5 ^Х6 ^Х7 ^Х 8 ^Х9 ^Х10 |

= и3,5 9,5 3,5 9,5 7 7 1,5 7 1,5 5 ) Другой подход к решению проблемы перехода от ранжировки произвольного вида к стандартизированному представлению можно описать в виде следующего алгоритма.

На начало работы процедуры стандартизации имеем:

-          множество номинально распределяемых рангов, представленных в виде строгой ранжировки вида R_n = (г₁) = (1, 2, 3, ..., к, ..., п);

-          фактическая ранжировка альтернатив, предложенная экспертом вида Rf(t=0) = (гп, ге, го, ...,Г£к, ...,г_£п), где £ - ранг, присвоенный к-й альтернативе сравнения, а t - номер текущей итерации. стандартизированная ранжировка альтернатив вида R_c = (г_с1, г_с2, г_с3, ...,г_ск, ...,г_сп), где г_ск - стандартизированный ранг, присвоенный к-й альтернативе сравнения.

Осуществляем следующие шаги:

1. t = 1.

2.       Определяем множество элементов Rf(t) = {max Rf(t)}, множество индексов элементов множества Rf(t) обозначим ind Rf(t), N(t) = | Rf(t) | - количество элементов множества Rf(t).

3.       Из множества исходных рангов R_n выделяем подмножество Rn = {max Rn(t): | Rn | = N(t)}.

N (t)

е r

4.       r_ck(t) = , для "k о ind R_f (t).

5.       Сокращение множеств R_n , R_f на число элементов R_n в соответствующих позициях, определяемых в соответствии с множеством ^ Rf(t).

6.       Если R_f № 0 - закончить преобразования, иначе t = t + 1 и переход на п.2.

Проиллюстрируем работу алгоритма на выше приведенном примере. Исходная информация, рабочие итерации алгоритма и полученный результат представлены в следующей таблице.

 

Используя ранжировку как метода измерения характеристик объектов необходимо помнить, что ранги, присваиваемые объектам, отражают только лишь субъективное представление эксперта о характере, степени наличия сравниваемых свойств в данного объекта. Они отражают субъективное предпочтение одной альтернативы перед другими (другой), без указания степени предпочтительности. Т.е. ранжировка показывает лишь факт
предпочтения, а не меру степени предпочтения. Если объект имеет ранг, равный 1, то это не значит, что он предпочтительнее объекта, имеющего ранг 3, в три раза или на две единицы. Это только порядок предпочтения.

Не трудно показать, что любую ранжировку легко превратить в матрицу парных сравнений, если определить ау, например, следующим образом:

 

1, г < Г, -1, г > г,, 0, Г = г,

 

где гі, Г| - ранги, присвоенные соответственно і-му и ]-му объектам.

Пример 2. Пусть пять альтернатив (например, проекты развития предприятия) оцениваются по степени предпочтительности шестью экспертами. Последним предложено проранжировать проекты в соответствии со степенью убывания привлекательности проекта с точки зрения оценщика. Полученные результаты индивидуальной оценки сведены в таблице 7.

что сама по себе процедура стандартизации ранжировки не является обязательной для перехода к матрице парных сравнений. Стандартизированные ранжировки экспертов сведены в таблице 8.

 

В соответствии с правилом (1) ранжировка R^k может быть представлена соответствующей матрицей парных сравнений А^к, где к = 1,6 - индекс эксперта. Таким образом,

	Ж 0	-1	-1	-1	-1		Ж 0	1	-1	-1	-1		Ж 0 -	1 -1 -1	- 1Ц
	1	0	-1	0	-1		-1	0	-1	-1	-1		1 0 -1 -1		-1
=	1	1	0	1	1	, А2 =	1	1	0	1	-1	, А3 =	1 1	01	1
	1	0	-1	0	-1		з1	1	-1	0	-1ч		з1 1	-1 0	-1ч
	и1	1	-1	1	0 ,		и 1	1	1	1	0 у	/	и1 1	-1 1	0 ш
	ж 0	-1		-1	- 1Ц		0	-1	-1	-1	- 1Ц		ж 0 -	1 -1 -1	- 1Ц
	зз1	0	-1	0	-1		1	0	-1	-1	-1чч		зз1 0	-1 -1	-1чч
=	зз1	1	0	1	0	, А5 =	1	1	0	1	1чч	, А6 =	зз1 1	01	1чч
	з1	0	-1	0	-1ч		1	1	-1	0	-1ч		з1 1	-1 0	-1ч
	и1	1	0	1	0 ш		1	1	-1	1	0 ш		и1 1	-1 1	0 ш
Существует				и	обратная		возможность				перехода		от матрицы		пар

следующего алгоритма [6, 10]. Пусть т экспертов проводят оценку всех пар объектов, давая числовую оценку ау, так как это указано в примере заполнения матрицы парных сравнений. Всего объектов п. Если при оценке 1-го и ]-го m_i экспертов высказались наоборот, а т_п экспертов считают эти объекты эквивалентными, то оценка математической величины ау равна х^:

т                                       т т.

X = М (а ) = 1 • — + 0,5 • — + 0 • —. ^{. .} _{т т т}

Учитывая, что т=т₁+т_п+т|, получаем: 1 т. - т

^х. = 2+^тг ^^ ..., ^п).

Совокупность величин Ху образует неотрицательную матрицу, на основе

которой можно построить ранжирование всех объектов Х=(Ху). Матрица

называется неразложимой, если перестановкой рядов (строк и одноименных

столбцов) ее нельзя привести к треугольному виду:

ЖА_и ...........................  0 Ц

^А21 ^А22 ... ⁰

X =

и ^АЬ1 ^А₁₂ ... ^Аьь Ш

где А^ - неразложимые подматрицы Х. При 1=п матрица Х неразложима. Если матрица Х неразложима, то по результатам парного сравнения объектов возможно в интервальной шкале измерение предпочтительности объектов и ранжирование, а в плане порядков - ранжирование. Если она разложима, то возможно только ранжирование объектов. Эти действия осуществляются таким образом. Вычисляется вектор коэффициентов относительной важности объектов порядка t:

К' = 1 • X• К^-1 1=1,2,3 ... ,

1                п п

где у = ееX. • к;^-1.

Для 1=1 полагают, что

Є ^ХЦ П

К —; Є к,¹ = і. Є І.Х,

' у t=l t=l

Расчет К¹ прекращают при стабилизации значений его компонент. Ранжировка объектов определяется цепочкой неравенств К_і>К₂>К₃>К₄>...>К_п. Решение указанной выше задачи возможно и при т=1, т.е. при наличии только одного эксперта.

Очень часто в целом ряде ситуаций ранжирование является удобным методом в силу своей простоты и наглядности. Однако в случаях прогнозирования, когда число объектов сравнения превышает 10-15 альтернатив (иногда допустимо до 20) этим методом не следует злоупотреблять в виду роста вероятности ошибочных суждений из-за физической ограниченности возможности контроля всей информации со стороны экспертов [11, 18, 21].

В случае, когда у эксперта наблюдаются затруднения при использовании методов оценки предпочтительности вариантов прогноза, полезным может оказаться процедура составления векторов предпочтений.

Вектором предпочтений V = ( v₁, VI, ..., V;, .                                заданным на

фиксированном наборе альтернатив X = ( х₁, х₂, ..., х_к, ...,х_п) будем называть такой вектор V, ^-я компонента которого определяется как количество альтернатив, превосходящих данную из всего множества Х без конкретного указания на лучшие варианты.

Таким образом, каждая компонента вектора предпочтений v_k указывает количество альтернатив, превосходящих данную ^ю альтернативу. Для ранее рассмотренной ранжировки Примера 1 вектор предпочтений принимает вид:

С Х2 Х3 Х4 Х5 Хб Х7 Х*8 Х9 Х*ю

_ч 2 82855050 4 _ш

Очевидно, что существует взаимнооднозначное соответствие между стандартизированной ранжировкой оцениваемых экспертом альтернатив и его
вектором предпочтений. По вектору предпочтений можно восстановить ранжировку и наоборот. Если в векторе предпочтений ни одна из его компонент не повторяется, то соответствующее ранжирование может быть отнесено к классу строгих. Наличие в векторе предпочтений повторяющихся чисел свидетельствует о не строгости соответствующей ранжировки.

Все методы измерения со степенью информативности оценок более высокой, чем ранжирование относят к группе так называемых методов непосредственной оценки. Они представляют собой процедуры приписывания объектам числовых значений при наличии полной информации о свойствах объектов. Все действия осуществляются в интервальной шкале. При использовании метода непосредственной оценки может быть осуществлено не только упорядочивание объектов, но и определение степени предпочтительности одного объекта перед другим. От непосредственных оценок не трудно перейти к ранжированию, приписывая каждой оценке (например, по убыванию от максимальной оценки) натуральные числа 1,2,3 ... и т.д. Рассмотрим некоторые наиболее известные способы непосредственных измерений.

Одним из наиболее часто используемых методов непосредственного оценивания является бальное оценивание. Бальное оценивание представляет собой промежуточный способ измерения свойств объектов измеренных в качественных и количественных шкалах, переходное измерение между ранжировкой и количественной шкалой. Балл - это некоторая условная градация альтернатив сравнения, отражающая всю совокупность непосредственно не измеримых свойств объекта. Двойственность данного метода проявляется в том, что балл, с одной стороны, - субъективная мера возможной множественности разнородных свойств объекта. С другой стороны - бальное измерение допускает арифметические действия в рамках известных гипотез в силу того, что априорно задается масштаб измерений и некие правила соотнесения реального свойства и условной безразмерной единицы измерения данного свойства.

Обычно использование бальных оценок предполагает постулирование предварительных гипотез их использования [21]. В том числе:

-          формулировку некоторой совокупности независимых от эксперта правил, критериев присвоения баллов;

-          отдельное оценивание каждого объекта в шкале не сильнее интервальной, но не слабее порядковой;

-         разумную фиксацию масштаба баллов.

Интервальные шкалы допускают в оценивании некоторых ситуаций принятие не единственной четко очерченной альтернативы, а их множества, заданного в некоторых, как правило, непересекающихся границах. В рамках этого измерения допускается отношение типа «между». Примером результирующего представления такого рода экспертной информации могут быть вариационные ряды с бальной формой представления варианты.

Пожалуй, одной из самых распространенных форм представления экспертной информации в прогнозировании является точечное оценивание. Под точечной оценкой объекта эмпирического пространства будем понимать оценку, выраженную одним действительным числом.

Однако, следует помнить, что оценивая свойства соответствующей эмпирической системы мы допускаем некую условность, вводя единицу, масштаб измерения соответствующих характеристик объектов и отношений. Для иллюстрации этого факта удобно воспользоваться часто приводимым примером оценки экспертами времени наступления некого ожидаемого события [10, 11, 21]. Так на вопрос о времени наступления события ответ может быть получен в форме «через 15 лет» или «в 2025 году», что соответствует точечному представлению суждения об объекте прогноза. Однако наряду с этими утверждениями соответствующую дату можно рассматривать и как временной интервал длиной в один год, и как 365 дней с 1января по 31 декабря соответствующего года. Таким образом, точечная оценка легко трансформируется в многоточечную или интервальную. Окончательное решение относительно конкретного вида представления высказывания по поставленной проблеме следует принимать в зависимости от операций, которые мы предполагаем выполнить над полученной информацией. Т.е. здесь еще раз отслеживается дуализм экспертного суждения, выражаемый через взаимосвязь информативности и надежности прогнозного суждения. Формально расширяя диапазон свершения события, мы тем самым существенно изменяем как характеристику точности, так и надежности прогноза.

Многоточечной экспертной оценкой называют конечную совокупность точечных оценок, взаимосвязанных и воспринимаемых как единое целое. Правило определения взаимосвязь в рамках группы многоточечных оценок может устанавливаться посредством введения нормирования, процентовки, ограничения и т.п.

Естественным продолжением практической реализации многоточечного оценивания является выражение экспертного суждения в виде функциональных оценок. Формальное их выражение может осуществляться как с помощью экспертных кривых, так и разного рода законов соответствия.

Дальнейшее совершенствование способов представления экспертной информации с целью повышения точности и надежности прогнозов идет по пути создания комплексных процедур оценивания, представляющих собой в общем случае разнообразные комбинации экспертных оценок первого рода. В качестве примера можно назвать метод сортировки (комбинация группировки и ранжирования) и т.п.

Возможность использования тех или иных методов измерения определяется наличной информацией об объектах. Однако, хотя эти методы и имеют качественные различия и разнятся по трудоемкости, они приводят к близким результатам при решении аналогичных задач [6].