Тема 4. Відповідності, відображення і функції.
Відповідності, відображення і функції
Питання теми
1. Поняття відповідності.
2. Взаємо однозначні відповідності та потужність множин.
3. Відображення та функції, зворотна відповідність, композиція функцій.
4. Способи завдання функцій.
Основні терміни теми : відповідність, відображення, функція.
1. Поняття відповідності
На практиці часто доводиться зустрічатися з відповідностями між елементами однієї або різних множин. Наприклад, при вимірюванні відрізків кожному відрізку ставиться у відповідність число, що виражає його довжину, при сталій ціні кожній певній кількості предметів ставиться у відповідність їхня вартість.
Розглянемо приклади.
Між елементами множин X={2,3,4} i Y={4,9,16} встановити відповідність “y є квадратом x”, де x X i y Y.
Із декартового добутку даних множин X Y слід виділити ті упорядковані пари (x,y), елементи яких знаходяться між собою в даній відповідності. Дістанемо підмножину декартового добутку: M={(2,4),(3,9),(4,16)}. Її називають графіком даної відповідності.
Означення. Відповідністю між множинами A i B називається підмножина GAB.
Якщо (a,b) G, то говорять, що b відповідає a при відповідності G (рис. 1).
Рис. 1
Множина пр1G називається областю визначення відповідності, множина пр2G - областю значень відповідності. Якщо пр1G=А, то відповідність називають всюди визначеною чи повністю визначеною (в іншому випадку відповідність називають частковою); якщо пр2G=B, відповідність називають сюр’єктивною.
Множина всіх b B, що відповідають елементу a A, називається образом a в B при відповідності G. Множина всіх a A, яким відповідає b, називається прообразом b в A при відповідності G.
Відповідність G називається функціональною (або однозначною), якщо образом кожного елемента з пр1G є тільки один елемент з пр2G. Відповідність G між A та B називається взаємно однозначним, якщо воно всюди визначено, сюр’єктивно, функціонально, а також , прообразом кожного елемента з пр2G є один елемент з пр1G.
2. Взаємо однозначні відповідності та потужність множин
Теорема. Якщо між скінченими множинами A та B існує взаємо однозначна відповідність, то =
Цей факт дозволяє, по-перше відзначити рівність міцностей двох множин, не обчислюючи цих міцностей, по-друге дає можливість вичислити міцність множини, якщо йому однозначно відповідає множина, міцність якої вже обчислена, або легко обчислюється.
Теорема. Якщо для кінцевої множини A =n, то число всіх підмножин A дорівнюється 2 , іншими словами дорівнює 2 .
3. Відображення та функції, зворотна відповідність,
композиція функцій.
Функцією називається функціональна відповідність. Якщо функція f встановлює відповідність між множинами A та B, то кажуть, що функція f має тип AB (f: AB).
f(a)=b
a - аргумент функції;
b - значення функції на a.
Повністю визначена функція f: AB називається відображенням A та B. Образ A при відображенні f позначається f(A). Якщо відображення f при цьому сюр’єктивно, іншими словами якщо кожний елемент B має прообраз в A, то кажуть, що має місце відображення A на B (сюр’єктивне відображення).
Якщо f(A) має єдине значення, то f називають функцією-константою. Відображення AA часто називають перетворення множини A.
Означення. Функції f та g рівні, якщо їх область визначення - одна і та ж множина A і для всіх aA
f(a)=g(a).
Приклади.
1. f(x)=2x.
2. f(x)= NN - не повністю визначена;
- повністю визначена.
Функція А А ...А B називається n-мiстною функцією. У цьому випадку рахують, що функція має n аргументів: f( а1, a2,..., an)=b, де a1 A1, a2 A2,..., an An , b B.
Приклади.
1. Операції додавання, добутку, відокремлення та ділення є двомістними функціями на R, інакше кажучи функціями типу R R.
2. Таблиця розіграшу лотереї завдає двомістну не повністю визначену функцію, яка встановлює відповідність між парами з N (серія та номер) та множиною виграшів.
Зворотна відповідність
Означення. Нехай дана відповідність GAB. Якщо відповідність HBA така, що (b,a) H, тоді і тільки тоді, коли (a,b) G, то відповідність H називають зворотною до G та позначають G-1.
Якщо відповідність, зворотна до функції f: AB, є функціональною, то вона називається функцією, зворотною до f, та позначаються f-1.
Так як у зворотній відповідності образи та прообрази змінюються місцями, то для існування функції, зворотною до f: AB, необхідно, щоб кожний елемент b з області значень f мав один єдиний прообраз. Це, в свою чергу, означає, що для функції f: AB зворотна функція існує тоді і тільки тоді, коли f є взаємно однозначною відповідністю між своєю областю визначення та областю значень.
Приклади.
1. Функції sinx та arcsinx.
2. Кодування та декодування.
Композиція функцій
Нехай дані функції f: AB та g: BC. Функція h: AC називається композицією функцій f та g (f g), якщо має місце рівняння h(x)=g(f(x)), де xA. Композиція f та g є послідовність використання функцій f та g; g використовується до результату f. Часто кажуть, що функція h отримана підстановкою f в g.
4. Способи завдання функцій
1. За допомогою таблиць.
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2
F(x) 2 2,44 2,96 3,56 4,24 5 5,84 6,76 7,76 8,84 10 11,24
2. За допомогою формул, які описують функцію:
F(x) = x2 +1
G(x) = x3 + 4x2 + 3x +2
H(x) = sin x + cos x
3. За допомогою графіків:
4. Рекурсивний засіб.
F(x0) = 4; F(xi) = F(xi-1) + 2 (F(xi-1))2
5. За допомогою описання:
F : F(x) = x + cos x, 0 < x < 10;
F(x) – функція, що ставить у відповідність кожному значенню аргументу x величину залишку від ділення його на число 9 (для всіх натуральних значень 0 < х < 20 ).