Тема 4. Відповідності, відображення і функції.

Відповідності, відображення і функції

Питання теми

1. Поняття відповідності.

2. Взаємо однозначні відповідності та потужність множин.

3. Відображення та функції, зворотна відповідність, композиція функцій.

4. Способи завдання функцій.

Основні терміни теми : відповідність, відображення, функція.

1. Поняття відповідності

На практиці часто доводиться зустрічатися з відповідностями між елементами однієї або різних множин. Наприклад, при вимірюванні відрізків кожному відрізку ставиться у відповідність число, що виражає його довжину, при сталій ціні кожній певній кількості предметів ставиться у відповідність їхня вартість.

Розглянемо приклади.

Між елементами множин X={2,3,4} i Y={4,9,16} встановити відповідність “y є квадратом x”, де x  X i y  Y.

Із декартового добутку даних множин X Y слід виділити ті упорядковані пари (x,y), елементи  яких знаходяться між собою в даній відповідності. Дістанемо підмножину декартового добутку: M={(2,4),(3,9),(4,16)}. Її називають графіком даної відповідності.

Означення. Відповідністю між множинами A i B називається підмножина GAB.

Якщо (a,b) G, то говорять, що b відповідає a при відповідності G (рис. 1).

 

Рис. 1

Множина пр1G називається областю визначення відповідності, множина пр2G - областю значень відповідності. Якщо пр1G=А, то відповідність називають всюди визначеною чи повністю визначеною (в іншому випадку відповідність називають частковою); якщо пр2G=B, відповідність називають сюр’єктивною.

Множина всіх b  B, що відповідають елементу a A, називається образом a в B при відповідності G. Множина всіх a A, яким відповідає b, називається прообразом b в A при відповідності G.

Відповідність G називається функціональною (або однозначною), якщо образом кожного елемента з пр1G є тільки один елемент з пр2G. Відповідність G між A та B називається взаємно однозначним, якщо воно всюди визначено, сюр’єктивно, функціонально, а також , прообразом кожного елемента з пр2G є один елемент з пр1G.

2. Взаємо однозначні відповідності та потужність множин

Теорема. Якщо між скінченими множинами A та B існує взаємо однозначна відповідність, то  =

Цей факт дозволяє, по-перше відзначити рівність міцностей двох множин, не обчислюючи цих міцностей, по-друге дає можливість вичислити міцність множини, якщо йому однозначно відповідає множина, міцність якої вже обчислена, або легко обчислюється.

Теорема. Якщо для кінцевої множини A  =n, то число всіх підмножин A дорівнюється 2 , іншими словами дорівнює 2 .

3. Відображення та функції, зворотна відповідність,

композиція функцій.

Функцією називається функціональна відповідність. Якщо функція f встановлює відповідність між множинами A та B, то кажуть, що функція f має тип AB (f: AB).

f(a)=b

a - аргумент функції;

b - значення функції на a.

Повністю визначена функція f: AB називається відображенням A та B. Образ A при відображенні f позначається f(A). Якщо відображення f при цьому сюр’єктивно, іншими словами якщо кожний елемент B має прообраз в A, то кажуть, що має місце відображення A на B (сюр’єктивне відображення).

Якщо f(A) має єдине значення, то f називають функцією-константою. Відображення AA часто називають перетворення множини A.

Означення. Функції f та g рівні, якщо їх область визначення - одна і та ж множина A і для всіх aA

f(a)=g(a).

Приклади.

1. f(x)=2x.

2. f(x)=  NN  - не повністю визначена;

   - повністю визначена.

Функція А А ...А B називається n-мiстною функцією. У цьому випадку рахують, що  функція має n аргументів: f( а1, a2,..., an)=b,  де a1 A1, a2 A2,..., an An , b B.

Приклади.

1. Операції додавання, добутку, відокремлення та ділення є двомістними функціями на R, інакше кажучи функціями типу R  R.

2. Таблиця розіграшу лотереї завдає двомістну не повністю визначену функцію, яка встановлює відповідність між парами з N  (серія та номер) та множиною виграшів.

Зворотна відповідність

Означення. Нехай дана відповідність GAB. Якщо відповідність HBA така, що (b,a) H, тоді і тільки тоді, коли (a,b)  G, то відповідність H називають зворотною до G та позначають G-1.

Якщо відповідність, зворотна до функції f: AB, є функціональною, то вона називається функцією, зворотною до f, та позначаються f-1.

Так як у зворотній відповідності образи та прообрази змінюються місцями, то для існування функції, зворотною до f: AB, необхідно, щоб кожний елемент b з області значень f мав один єдиний прообраз. Це, в свою чергу, означає, що для функції f: AB зворотна функція існує тоді і тільки тоді, коли f є взаємно однозначною відповідністю між своєю областю визначення та областю значень.

Приклади.

1. Функції sinx та arcsinx.

2. Кодування та декодування.

Композиція функцій

Нехай дані функції f: AB та g: BC. Функція h: AC називається композицією функцій f та g (f g), якщо має місце рівняння h(x)=g(f(x)), де xA. Композиція f та g є послідовність використання функцій f та g; g використовується до результату f. Часто кажуть, що функція h отримана підстановкою f в g.

4. Способи завдання функцій

1. За допомогою таблиць.

          1          1.2        1.4        1.6        1.8        2.0        2.2        2.4        2.6        2.8        3.0        3.2

F(x)    2          2,44      2,96      3,56      4,24      5          5,84      6,76      7,76      8,84      10        11,24

2. За допомогою формул, які описують функцію:

F(x) = x2 +1

G(x) = x3 + 4x2 + 3x +2

H(x) = sin x + cos x

3. За допомогою графіків:

 

 

4. Рекурсивний засіб.

F(x0) =  4;  F(xi) = F(xi-1) + 2 (F(xi-1))2

5. За допомогою описання:

F :  F(x) =  x  + cos x,  0 < x < 10;

F(x) – функція, що ставить у відповідність кожному значенню аргументу x величину залишку від ділення  його на число 9 (для всіх  натуральних значень 0 < х < 20 ).