Тема 2. Прямий (декартовий) добуток множин. Основні властивості декартового добутку.

Основні властивості декартового добутку.

Питання теми

1. Поняття вектора.

2. Визначення прямого (декартового) добутку множин.

3. Властивості декартового добутку множин.

Основні терміни теми:  вектор, декартовий добуток.

1. Поняття вектора

Для описання властивостей елементів множини зручно використовувати векторні уявлення. Нехай нас цікавлять властивості (значення, стани, ознаки, атрибути тощо) елементів v множини V по n фіксованим характеристикам A1, A2, A3,… An; При цьому кожна характеристика Ai, представлена множиною із mi =

Означення. Вектор - це упорядкований набір елементів.

Елементи, що будують вектор називають координатами або компонентами вектора. Кількість координат називають довжиною  вектора.

Означення. Два вектора рівні, якщо вони мають однакову довжину та їх тотожні координати рівні.

2. Визначення прямого (декартового) добутку множин

Означення. Декартовим добутком двох множин A і B називається множина всіх пар (a,b), де a A і b B. Позначається A B.

Якщо A=B, то обидві координати належать A. Такий декартовий добуток позначається A A = A2.

Приклади.

1. R R = R2 - множина крапок площини.

2. R R R = R3  - множина крапок простору.

3. A={a,b,c,d,e,f,g,h}, B={1,2,3,4,5,6,7,8}, тоді A B={a1,a2,...,h7,h8} - множина всіх клітин шахової дошки.

4. Множина чисельних матриць 3 4

  ,  aij  R.

Строки - це R R R R = R4.

Матриця - це упорядкований набір (вектор строк). У даному випадку - це елемент множини (R4)3 = R4 R4 R4. Слід підкреслити, що (R4)3 R12.

5. Усі алфавіти. Алфавіт A - це скінчена множина. Елементи множини An - це слова довжини n в алфавіті A. Повна множина всіх можливих слів в алфавіті A має вигляд

A*= =A1 A2 A3 ...

Теорема. Нехай A1, A2, ... , An - кінцеві множини і  =m1,  =m2, ... ,  =mn, тоді міць множини  =m1m2...mn.

Слідство.  = n.

Означення. Проекцією вектора v на i-у ось (прiv) називається його i-а компонента.

3. Властивості декартового добутку множин

1. A  =  A=  для будь якої множини A.

2. Якщо A B, то A B B A, тобто для декартового добутку не виконується комутативний закон.

3. а) A (B C)=(A B) (A C);

б) A (B C)=(A B) (A C);

в) A (B\C)=(A B)\(A C);

г) (A B) C=(A C) (B C);

д) (A B) C=(A C) (B C);

е) (A\B) C=(A C)\(B C);

ж) (A B) (C D) (A C) (B D);

з) (A B) (C D)=(A C) (B D).

Приклади розв’язування задач.

1. Записати множини A B і B A, якщо А={5, 1, 0}, B={2, 4, 6, 8, 10}.

Розв’язання.

За означенням:

A B={(5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8), (5, 10), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (1, 10), (0, 2), (0, 4), (0, 6), (0, 8), (0, 10)};

B A={(2, 5), (2, 1), (2, 0), (4,5), (4, 1), (4, 0), (6, 5), (6, 1), (6, 0), (8, 5), (8, 1), (8, 0), (10, 5), (10, 1), (10, 0)}.

Цілком очевидно, що A B B A.

2. Зобразити на координатній площині такі множини точок:

а) {(x, y)

б) {(x, y)

в) {(x, y)

г) {(x, y)

д) {(x, y)

Розв’язання.

R  - множина точок площини, тобто декартів квадрат множини дійсних чисел:

а) множина точок бісектриси І і ІІІ координатних кутів;

б) множина точок площини, розташованих нижче від прямої y=x;

в) множина - об’єднання множини точок прямої y=x і множини точок площини, розташованих нижче від цієї прямої;

г) множина точок площини, розташованих вище від прямої y=x;

д) множина являє собою об’єднання множини точок прямої y=x і множини точок площини, розташованих вище від цієї прямої.

3. Зобразити у прямокутній системі координат множину A B, якщо:

а) A={x

б) A={x

в) A={x

Розв’язання.

а) Множина A B складається з точок, абсциси яких задовольняють нерівність -3 x 4, а ординати нерівність 0 y 3. Це прямокутник;

б) відрізок, паралельний осі OY;

в) відрізок, паралельний осі OX.

Завдання для самостійної роботи.

1. Скласти множини A B і B A, якщо:

а) A={a, b, c}, B={0, 1, 2};

б) A={2}; B={m, n, k, l}.

2. Зобразити у вигляді прямокутної таблиці елементи декартового добутку множин А={3, 5, 7} і B={1, 2, 3, 4}: A B і B A. Обґрунтуйте, чому A B B A.

3. Знайти декартові добутки множин і зобразити їхні елементи на координатній площині:

а) A={x

б) A= ,  B= ;

в) A={x

г) A={x

д) A={x

є) A=N,  B={y

ж) A={3, 4, 5, 6, 7},  B={y

4. Зобразити на координатній площині такі множини точок:

а) {(x, y)

б) {(x, y)

5. Записати всі двоцифрові числа, в яких число десятків належить множині {1, 9, 7}, а число одиниць - множині {3, 4, 5}.