Тема 2.4.  –критерій Манна–Уїтні

Призначення критерію. Критерій призначений для оцінки розбіжностей між двома вибірками за рівнем якої-небудь ознаки, яка кількісно вимірюється. Він дозволяє виявити відмінності між двома малими вибірками, коли  або  ,  і є більш потужним, ніж критерій Розенбаума.

Опис критерію. Даний метод визначає, чи достатньо мала зона накладання значень між двома рядами. 1-ий ряд – це той ряд значень, у якому значення, за попередньою оцінкою, вище, а 2-ий ряд – той, де значення за припущенням нижчі.

Чим менша область накладання значень, тим більш ймовірно, що відмінності достовірні. Інколи ці розбіжності називають розбіжностями у розташуванні двох вибірок.

Емпіричне значення критерію  відображає те, наскільки велика зона співпадання між рядами. Тому чим менше  , тим більш ймовірно, що відмінності достовірні.

Гіпотези

 : Рівень ознаки у групі 2 не нижче рівня ознаки у групі 1.

 : Рівень ознаки у групі 2 нижче рівня ознаки у групі 1.

Графічне представлення критерію 

На рисунку представлені три можливих варіанти співвідношення двох рядів значень.

У варіанті (а) другий ряд нижче першого, і ряди майже не накладаються. Область накладання занадто мала, тому є шанс, що розбіжності між рядами достовірні. Точно визначити це можна за допомогою критерію  .

У варіанті (б) другий ряд теж нижче першого, але і область накладання значень у двох рядів достатньо велика. Вона може ще не досягати критичної величини, коли розбіжності необхідно визнати неістотними. Але чи так це, можна визначити лише шляхом точного підрахунку критерію  .

У варіанті (в) другий ряд нижче першого, але область накладання настільки велика, що відмінності між рядами зникають.

  а)  б)  в)

 

  Обмеження критерію

  1. У кожній вибірці повинно бути не менше 3 спостережень:  ; припускається, щоб в одній виборці було 2 спостереження, але тоді у другій їх повинно бути не менше 5.

  2. У кожній вибірці повинно бути не більше 60 спостережень;  .Однак вже при  ранжування стає досить трудомістким. У цьому випадку краще використовувати критерій кутове перетворення Фішера.

Алгоритм підрахунку критерію  Манна–Уітні

1. Перенести всі дані піддослідних на індивідуальні картки.

2. Помітити картки піддослідних вибірки 1 одним кольором (наприклад, червоним), а усі картки з вибірки 2 – іншим (синім).

3. Розкласти усі картки в єдиний ряд за ступенем зростання ознаки, не враховуючи те, до якої вибірки вони відносяться, тобто так, як би працювали з однією великою вибіркою.

4. Проранжувати значення на картках, приписуючи меншому значенню менший ранг. Усього рангів одержиться  . У випадку, якщо декілька значень рівні між собою, їм нараховується ранг, який представляє собою середнє значення з тих рангів, які б вони одержали, якщо б не були рівні.

5. Знову розкласти картки на дві групи, орієнтуючись на кольорові позначення: червоні картки в один ряд, а сині – в інший.

6. Підрахувати суму рангів окремо на червоних картках і окремо на синіх картках. Перевірити, чи співпадає загальна сума рангів з розрахунковою, яка обраховується за формулою:

 ,

де  – загальна кількість значень, що ранжуються.

7. Визначити більшу з двох рангових сум.

8. Визначити значення  за формулою:

 ,

де  – кількість піддослідних у вибірці 1;  – кількість піддослідних у вибірці 2;  – кількість піддослідних у групі з більшою ранговою сумою;  – більша з рангових сум.

9. Визначити критичні значення  за таблицею критичних значень. Якщо  , то  приймається. Якщо  , то  відкидається, приймається  . Чим менше  , тим достовірність розбіжностей вища.