Порядкові шкали

У багатьох випадках вимірювана ознака стану системи дає змо-гу не тільки ототожнити стан з одним із класів еквівалентності, а й порівнювати різні класи в певному відношенні. Якщо таке порівняння не здійснювати, то частина корисшн шформацп буде втрачена. У зв'я-зку з цим розроблеш бшып сильш вим1рювальн1 шкали, ніж шкала найменувань

Наступною за силою після номінальної є порядкова (рангова) шкала. Порядкові шкали використовують, якщо класи, крім аксіом тотожності, задовольняють також таким аксіомам упорядкованості: Якщо A > B, то B < A

Якщо A > B і B > C, то A > C

Прикладами шкал простого порядку є військові звання, рейтин¬ги впливовості політиків, нумерація черговості тощо. У таких шкалах класи позначаються деякими символами, між якими встановлюються Ti самі відносини порядку, що й між класами

Однак можлива ситуація, коли два класи не можна впорядкува-ти за перевагою, і вони вважаються рівними. Тоді замість аксіом 4 і 5 будуть виконуватися такі аксіоми: 4*. Якщо А < В, то А > В

5*. Якщо А > В і В > С, то А > С

Шкала, що відповідає аксіомам 4 i 5* , називається шкалою сла-бкого порядку. Прикладами таких шкал є впорядкування людей за ступенем споріднення з певними особами, студентських груп за кур¬сами, працівників за стажем роботи й таке інше

Разом з тим іноді виявляється, що деякі пари класів не можна порівняти між собою, тобто неможливо зробити вибір А > В чи В > А. У таких випадках вводять шкалу часткового порядку. Подібні шкали часто зустрічаються в соціологічних дослідженнях. У людей можуть ПО  виникати труднощі при впорядкуванні за перевагою політичних пар-тій, улюблених занять, різних груп товарів тощо

Характерною рисою порядкових шкал є те, що встановлення відносини порядку не дає інформації про відстань між класами. Тому над порядковими експериментальними даними, навіть якщо вони зо-бражуються числами, не можна виконувати різні дії, як над звичай-ними числами. Зокрема, не коректно знаходити вибіркове середнє по¬рядкових вимірів. З цими числами можна виконувати тільки дві опе-рації - перевірку їх збігу чи розбіжності, а також визначення кращого результату спостережень. Остання операція формально може бути ви-ражена через різницю t = =− i j. Введемо індикатор позитивних чисел п .     , - функцію C(t) = {}1: t ≥ 0; 0: t < 0. Число Ri = ∑C()xi − xj , де n - кіль- j=1 кість порівнюваних об'єктів ()1 ≤ Ri ≤ n, називають рангом i-го об'єкта

Якщо має місце слабкий порядок, то частина спостережень збігається (така група спостережень називається зв'язкою), і всі вони одержують той самий (як правило, старший для них) ранг. Іноді використання старшого рангу є незручним. У таких випадках усім спостереженням присвоюється середній для зв'язки ранг (мідранг) або випадково - ра¬нги від молодшого до старшого

Обробка даних ґрунтується на використанні величин 8у та Ri

Для цих чисел можна знаходити частоти й моди, вибіркові медіани (тобто спостереження з рангом Ri, найближчим до n/2), вибіркові ква-нтілі будь-якого рівня р (тобто спостереження з рангом Ri, найближ¬чим до величини np, 0 < p < 1), коефіцієнти рангової кореляцп М1Ж двома серіями порядкових спостережень і таке інше

При використанні порядкових шкал варто мати на увазі, що во¬ни визначеш тшьки для заданого набору порівнюваних об'єктів. Для цих шкал немає загальноприйнятого чи тим більше абсолютного ста¬ндарту

Завдання. Чому порядкові шкали є більш сильними, ніж шкала найменувань? Наведіть приклади вимірювальних шкал, що відпові дають співвідношенням 4, 5 і 4*, 5*

4.3. Модифіковані порядкові шкали Багато з вимірюваних у порядкових (принципово дискретних) шкалах величин, наприклад сила вітру, глибина знань тощо, насправді ill  мають неперервний характер. Для аналізу результате ix вимірювань використовують менш строгі порядкові шкали. До них належать шка¬ла твердості речовин за Моосом, шкала сили вітру за Бофортом, шка¬ла магнітуд землетрусів за Ріхтером, шкала сили хвиль на морі, різні варіанти бальних шкал оцінки знань тощо. Розглянемо деякі прикла-ди

Шкала твердості за Моосом. З двох матеріалів бшып твердим вважається той, котрий залишає на іншому подряпини чи вм'ятини при досить сильному зіткненні. Відношення "А твердіше за В" є ти-повим відношенням порядку. У 1811 р. німецький мінералог Ф. Моос запропонував шкалу, що містить 10класів речовин зі зростаючою твердістю: 1 - тальк, 2 - гіпс, 3 - кальцій, 4 - флюорит, 5 - апатит, 6 -ортоклаз, 7 - кварц, 8 - топаз, 9 - корунд, 10 - алмаз. Шкала штучно встановлює слабкий порядок. Градації твердості не мають числового характеру. Не можна говорити, що алмаз у 2 рази твердіший за апатит чи у 10 разів твердіший за тальк

Шкала сили вітру за Бофортом. У 1806 р. англійський адмірал Ф. Бофорт запропонував 12-бальну шкалу сили вітру, визначаючи п за характером хвилювання моря та можливими руйнуваннями наземних об'єктів

Шкала магнітуд землетрусів за Ріхтером. У 1935 р. американсь-кий сейсмолог Ч. Ріхтер запропонував 12-бальну шкалу для оцінки енергії сейсмічних хвиль залежно від наслідків їх проходження по да-ній території

Бальні шкали оцінки знань. Такі шкали призначені для встанов-лення відносин порядку в рівні знань школярів і студентів. На сього-дні використовують різні шкали від 2-бальної (залік - незалік) до 100-бальних. Грубою методичною помилкою є визначення середнього ба¬ла, тому що для порядкових шкал ця величина не має сенсу. Мало-ефективними є також спроби зробити бальні шкали оцінки знань об'-єктивними за допомогою введення незалежних стандартів. Викладачі й експерти по-різному розуміють вимоги стандартів, і оцінки все одно виявляються відносними. Відомо, що рівень знань відмінників різних шкш i вузів помітно відрізняється. Тому у відповідальних випадках за необхідності зіставлення рівнів знань осіб, що навчаються чи закінчи-ли різні навчальні заклади, порівнюють безпосередньо їх знання (за допомогою конкурсів, олімпіад і т. п.), а не документи про успішність навчання

112  Завдання. У НТУУ "КПІ" запропонована чотирирівнева 12-бальна шкала оцінок, відповідно до якої знання на кожному з рівнів оцінюють за 3-бальною шкалою. Студент, що складає іспит, вибирає рівень, за яким йому дають запитання й при задовільних відповідях, скажімо, на третьому рівні, він одержує 7, 8 або 9 балів. Як Ви вважа-єте, чи є така шкала кращою за просту 12-бальну, де рівень запитань для всіх студентів однаковий? 4.4. Шкали інтервалів Якщо для певної множини об'єктів можна вказати відстань між будь-якими двома елементами, виражену в деяких довільних одиницях, то для впорядкування елементів цієї множини використовують інтерва-льні шкали. Така шкала задається введенням початку відліку й одиниці вимірювань, які можуть бути обрані довільно. При використанні двох рі-зних шкал вимірювань для впорядкування тієї самої множини значення х, що відповідає певному елементу в одній шкалі, буде пов'язане зі зна¬ченням у, яке відповідає цьому ж елементу в іншій шкалі, співвідношен-ням у = ах + ,деа>0іb- деякі сталі. Інтервали між двома елементами в одній шкалі будуть у ту саму кількість разів більше за вщповщш iHrep-вали в шшш niKani: у2 -у1 =а(х2 -xj. Вщношення 1нтервал1в, вираже- них у різних шкалах, буде однаковим для будь-якої пари елементів: У2-У1 _yj~yj _п    —        — а

x2−x1 xi−xj Прикладами величин, що припускають свободу вибору початку відліку та вимірюються в інтервальних шкалах, є температура, час, координати

У шкалі інтервалів тільки інтервали мають значення справжніх чисел і з ними можна виконувати арифметичні операції. Самі значен¬ня не є справжніми числами й в окремих випадках результати опера-цій з ними можуть не мати сенсу. Наприклад, неправильно стверджу-вати, що температура води збільшилася в два рази при нагр1ванш вщ 10 до 20 оС чи що потенціальна енергія тіла зменшилася в 10 разів при перемщенш тша з висоти 10 м на висоту 1 м. Єдиною новою порів-няно з попередніми шкалами припустимою операцією над спостере-женнями є визначення інтервалу (відстані) між ними. Над інтервала-ми можна виконувати будь-які арифметичш дй, а також використову-вати придатні методи статистичної або іншої обробки даних. При цьому варто мати на увазі, що початкові моменти розподілів, зокрема 113  середні значення, для інтервальних шкал є відносними, як і самі вимі ри. Варто виявляти обережність також і при визначенш р1зних статис-тичних параметрів, що розраховуються через початкові моменти роз-поділів, таких як відносна похибка (відношення стандартного відхи-лення до математичного очікування). Відповідні значення часто наво-дяться в спещальнш лггератур1. Однак вони мають сенс лише в тому випадку, коли зазначено використану для вимірів шкалу. Водночас центральні моменти, зокрема вибіркова дисперсія, мають об'єктивний сенс, оскільки виражаються не безпосередньо через виміри, а через інтервали

Окремим випадком інтервальних шкал є шкали різниць (цикліч-Hi шкали, періодичні шкали). У них а = 1 і зв'язок між результатами вимірів однієї величини у двох різних шкалах визначається співвід-ношенням у = х + b

Питання. Як Ви вважаєте, чи не слід запропоновану в НТУУ "КПІ" 12-бальну шкалу віднести до шкал інтервалів? 4.5. Шкали відношень Нехай величини, що спостерігаються, задовольняють аксіомам тотожності 1-3, аксіомам упорядкованості 4, 5, а також аксіомам ади-тивності: Якщо А =

Результати таких вимірювань є повноцінними числами й з ними можна виконувати будь-які арифметичні операції. Відповідна шкала називається шкалою відношень. При п побудов1 використовується природний (абсолютний) нуль, однак зберігається свобода у виборі одиниці вимірювань. Зв'язок між значеннями вимірів однієї й тієї са-мої величини у двох різних шкалах відношень є прямо пропорційним: у = ах = ≠ (). Відповідно, відношення — для будь-якого виміру не за- х; лежить від обраної шкали. Прикладами величин, що вимірюють у шкалі відношень, є маса, електричний заряд, кінетична енергія, гроші й таке інше

114  Питання. Як Ви вважаєте, чи є абсолютна шкала температур Кельвіна шкалою відношень? 4.6. Абсолютна шкала Абсолютна шкала має абсолютний нуль і абсолютну одиницю виміру. К прикладом може бути числова вісь. Важливою особливістю такої шкали є безрозмірність п одинищ. Це дає змогу не тільки вико-нувати з показаннями абсолютної шкали всі арифметичні операції, а й використовувати їх як показники ступеневої функції, а також аргуме¬нти показникової та логарифмічної функцій

115