2.2. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

2.2.1. Понятие игры с природой

Почему стратегия риска является исключительно современным понятием? Почему должны были пройти тысячелетия, прежде чем добравшееся до Ренессанса человечество смогло пробиться через барьеры, стоящие на пути измерения риска и контроля над ним?

Ответить на этот вопрос нелегко. Мы начнем с главного. С самого начала писаной истории игра, эта квинтэссенция риска, была популярным развлечением, а частенько и пагубным пристра­стием многих людей. Именно загадки азартной игры, а не гло­бальные вопросы о природе капитализма или проникновении в тайны грядущего подвигли Паскаля и Ферма на революционный прорыв в сферу вероятностных закономерностей. До этого момен­та на протяжении всей истории люди заключали пари и играли в азартные игры, не используя известной нам системы оценки шан­сов выигрыша или проигрыша. Выбор стратегии игры носил ис­ключительно интуитивный характер и не направлялся никакими предписаниями теории.

В игре человек всегда склонен к безрассудству, поскольку она ставит его лицом к лицу с судьбой, никому не открывающей сво­их намерений. Мы ввязываемся в эту бескомпромиссную битву, потому что верим, что у нас есть могучий союзник — госпожа Удача, которая непременно вмешается в наши отношения с судь­бой и принесет победу. Адам Смит, тонкий знаток человеческой природы, определял мотивацию игрока как «свойственную боль­шинству людей самонадеянную переоценку своих способностей и абсурдную веру в свою счастливую звезду». Следует отметить, что Смит, хотя и отдавал себе отчет в том, что человеческая предрас­положенность к риску способствует экономическому прогрессу, высказал опасение, что общество может пострадать, если эта склонность перейдет разумные границы. Поэтому он осторожно балансировал на грани морализирующих предостережений каса­тельно пользы свободного рынка. Спустя сто шестьдесят лет ему вторил другой великий английский экономист Джон Мейнард Кейнс: «Если основой развития страны становится прибыль от казино, пиши пропало».

Однако жизнь была бы скучна, если бы людям недоставало смелости и веры в свою звезду. Кейнс допускал, что «если бы че­ловеку по его природе не свойственно было искушение испытать свой шанс... то на долю одного лишь холодного расчета пришлось бы не так уж много инвестиций». Никто не рискует в ожидании проигрыша.

Игра приковывала к себе человечество в течение тысячелетий. Она завлекала всех — и отбросы общества, и наиболее респекта­бельные его слои.

Достаточно часто решения приходится принимать в условиях неопределенности, то есть в таких условиях, когда или процесс выполнения операции является неопределенным, или нам созна­тельно противодействует противник, или нет ясных и четких це­лей операции.

Наличие неопределенностей значительно усложняет процесс выбора эффективных (оптимальных) решений и может привести к непредсказуемым результатам. На практике, при проведении экономического анализа, во многих случаях пытаются не заме­чать указанное «зло», вызванное фактором неопределенности, и действуют (принимают решение) на основе детерминированных моделей. Иначе говоря, предполагается, что факторы, влияющие на принимаемые решения, известны точно. К сожалению, действи­тельность часто не соответствует таким представлениям. Поэто­му политика выбора эффективных решений без учета неконтро­лируемых факторов во многих случаях приводит к значительным потерям экономического, социального и иного содержания.

Рассматривая неопределенность, которая является наиболее характерной причиной риска в экономической деятельности, не­обходимо отметить, что выделение и изучение ее применительно к процессу экономической, управленческой, финансовой и дру­гих видов деятельности является крайне необходимым, посколь­ку при этом отображается практическая ситуация, когда нет воз­можности осуществлять перечисленные виды деятельности в ус­ловиях, которые не могут быть однозначно определены.

В целом ряде экономических задач приходится анализировать ситуации, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, то есть, например, возникают ситуации, в ко­торых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, каждая из которых преследует свою цель, причем резуль­тат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какие действия предпримет противник. Это особенно характерно в ус­ловиях рыночной экономики. Такие ситуации называют конфлик­тными. Научно обоснованные методы решения задач с конфлик­тными ситуациями дает теория игр.

Теория игр — это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности, противопо­ложных интересов различных сторон конфликта. Матричные игры могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики. В частности, тео­рия игр применяется в вопросах борьбы фирм за рынки, в явлени­ях олигополии, в планировании рекламных компаний, при фор­мировании цен на конкурентных рынках, в обменных и торговых операциях, в биржевой игре, в анализе коалиционного поведения и т.д. С позиций теории игр можно рассматривать вопросы цент­рализации и децентрализации управления производством, опти­мальное планирование по нескольким показателям, планирова­ние в условиях неопределенности, порождаемой, например, тех­ническим прогрессом, преодоление ведомственных противоречий и другие вопросы.

Как уже отмечалось, теория игр — это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности. При этом конфликт не обязательно дол­жен быть антагонистическим, в качестве конфликта можно рас­сматривать любое разногласие.

Рассмотрим следующий экономический пример. Пусть требу­ется принять решение о выпуске на рынок некоторого товара. Мо­жет случиться, что объем спроса на этот товар известен точно; может быть, что известно лишь статистическое распределение воз­можных значений спроса; наконец, может оказаться, что извест­ны лишь границы, в которых заключен спрос, но никаких даже вероятностных соображений о его предстоящих значениях нет. Последний случай квалифицируется как неопределенность. Такая неопределенность может возникнуть, когда спрос (например, на сезонные товары) зависит от метеорологических условий (конф­ликт с природой) или, в условиях рынка, от деятельности конку­рента, уже удовлетворившего неизвестную часть спроса. Приве­денные примеры при определенных условиях могут быть приве­дены к игре.

Всякая теоретико-игровая модель должна отражать, кто и как конфликтует, а также, кто и в какой форме заинтересован в том или ином исходе конфликта.

Действующие в конфликте стороны будем называть игрока­ми, а решения, которые способны принимать игроки, — страте­гиями.

Содержание математической теории игр состоит, во-первых, в установлении принципов оптимального поведения игроков в иг­рах, во-вторых, в доказательстве существования ситуаций, кото­рые складываются в результате применения этих принципов, и, в- третьих, в разработке методов фактического нахождения таких ситуаций.

2.2.2. Предмет теории игр. Основные понятия

Теория игр является теорией математических моделей приня­тия решений в условиях конфликтов. Здесь под конфликтом бу­дем понимать явление, применительно к которому можно гово­рить, кто и как в этом явлении участвует, какие у него могут быть исходы и кто и как в этих исходах заинтересован. Поэтому для формального задания конфликта необходимо указать:

1)   множество участвующих в нем действующих начал, назы­ваемых коалициями действия;

2)  семейство множеств стратегий каждой из коалиций действия;

3)  множество ситуаций;

4)  множество заинтересованных начал, называемых коалици­ями интересов;

5)   семейства отношений, выражающих предпочтения между ситуациями для коалиций интересов.

Перечисленная система множеств и называется игрой. Содер­жание теории игр состоит в установлении связей между компо­нентами каждой игры и оптимальными ее исходами, и прежде все­го, в уточнении самого понятия оптимальности, в доказательстве существования оптимальных исходов и в их фактическом опреде­лении.

Дли игр с одной коалицией действия множество всех ситуа­ций можно принять за множество стратегий этой единственной коалиции действия и далее о стратегиях не упоминать. Поэтому такие игры называются нестратегическими. Важным классом та­ких игр являются игры с природой, применяемые для анализа эко­номических ситуаций, оценки эффективности принимаемых ре­шений и выбора наиболее предпочтительных альтернатив, в ко­торых риск связан с совокупностью неопределенных факторов окружающей среды, именуемых «природа». Поэтому термин «при­рода» характеризует некую объективную действительность, ко­торую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встре­чаться ситуации, в которых игроком действительно может высту­пать природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

В отличии от нестратегических игр, все остальные игры, с дву­мя или более коалициями действия, называются стратегически­ми. В практических ситуациях часто появляется необходимость согласования действий компаний, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не со­впадают. В подобных ситуациях теория стратегических игр по­зволяет найти оптимальное решение для поведения всех участни­ков проекта, обязанных согласовывать действия при столкнове­нии интересов.

Риск и неопределенность исходов игры обусловливаются слу­чайным состоянием среды или выбором образа действия проти­воположной стороной, или вероятностным характером появления желаемого результата по возможным стратегиям.

В этой главе рассматриваются различные экономические си­туации, в которых риск связан с совокупностью неопределенных факторов окружающей среды, именуемых «природа».

В играх с природой, как и в стратегических играх, создание модели должно начинаться с построения платежной матрицы. Это наиболее трудоемкий и ответственный этап подготовки принятия решения, так как ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и могут привести к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в боль­шинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) со­знательно против игрока 1 не действует, а выступает как не име­ющий конкретной цели и случайным образом выбирающий оче­редные «ходы» партнер по игре.

Методы принятия решений в играх с природой зависят от того, известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или неопределенности.

Предположим, что построена следующая платежная матрица игры с природой:

 

Здесь игрок 1 имеет т возможных ситуаций Р\, Р₂, ... , Р_т, а у природы имеется п возможных состояний (стратегий) П\, П₂,..., П„.

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие «природа»).

Можно задавать матрицу игры с природой и в виде так назы­ваемой матрицы рисков R = || или матрицы упущенных возмож­ностей. Величина риска — это размер платы за отсутствие инфор­мации о состоянии среды. Матрицу R строим на основе матрицы

выигрышей £ = ||е_в|

Риском гц игрока при использовании им стратегии Pi, и при состоянии среды 77/ будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он знал, что состоянием сре­ды будет 77/, и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Зная состояние природы (стратегию) 77,-, игрок выбирает ту стратегию, при которой его выигрыш максимальный, т.е.

'ij=Pj-'v>                                                                          (2.2.2)

где Pj = max e_tj при заданном j.

1 <i<m

Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую стратегию игрока, которая была бы наиболее выгодной по срав­нению с другими.