6.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ ПРИ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА

6.7.1. Постановка задачи

ЦМРК (САРМ) предполагает, что только систематический риск каждого отдельного актива важен при построении портфе ля. Однако модель, первоначально разработанная Марковицем и до сих пор широко применяемая, использует общий риск каж­дого отдельного актива. Следовательно, при построении портфе­лей и определении общего риска портфеля должны рассматри­ваться ковариации в каждой паре потенциальных для портфеля активов.

Известно, что когда доходы по рискованному активу явля ются случайными переменными, доходы по портфелю — это взвешенная по стоимости средняя доходов по отдельным акти вам, т.е.

= г,                                                                                        (6.7.1)

1=1

Однако среднее квадратическое отклонение портфеля не рав но взвешенной по стоимости средней из средних квадратических отклонений отдельных ценных бумаг, потому что должна быть учтена ковариация в каждой паре активов. Для иллюстрации это

 

го среднее квадратическое отклонение портфеля из двух активов составляет:

оп =              +УЇСГІ + 2УхУ212аха2)

где 0/7 — среднее квадратическое отклонение портфеля, Ух и У2 — веса активов 1 и 2 в портфеле; <3\2 и <5ї — дисперсии доходов по активам 1 и 2; р 12 — корреляция доходов по активам 1 и 2; Оі и о2 средние квадратические отклонения доходов по 1 и 2; (Р12О1О2) — ковариации доходов по активам 1 и 2.

 

Каждый элемент — дисперсия в дисперсионно-ковариацион­ной матрице умножен дважды на соответствующий ему вес акти­ва, поэтому веса, связанные с дисперсиями, имеют возведенное в квадрат влияние, т.е. V,-2. Каждая ковариация умножается один раз на вес каждого актива из пары активов и существуют две ко­вариации для каждой возможной пары, т.е. 2соу У, Уу.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Естественно, что целью инвес­тора является такое вложение денег, которое сохраняет его капи­тал, а по возможности и наращивает его.

Обозначим через х„ 1 = 1, п долю капитала, потраченную на покупку ценных бумаг 1-го вида. Рассуждения о долях эквивален-

 

тны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть Е{ — доходность в процентах годовых ценных бумаг /-го вида в расчете на одну денежную единицу. Тогда доходность пор­тфеля равна

п

(6.7.5)

і=І

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (6.7.5).

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть е„ сг, — средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. с,- = М[£,] — математичес­кое ожидание доходности и г, = . где У,-,- — вариация или дис­персия г'-й доходности. Будем называть с,-, г,- соответственно эф­фективностью и риском г'-й ценной бумаги. Через Уу обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг г'-го иу'-го видов (или кор­реляционный момент Ку).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная вели­чина. Математическое ожидание доходности портфеля есть

М[Еп]=х1М[Е1]+...+хпМ[Еп] = ^хіеі,

і

обозначим его через ец. Дисперсия доходности портфеля есть

П[Еп] = ^хіхіач-

ч

Так же, как для ценных бумаг, назовем еп эффективностью портфеля, а величину о п    п ] — риском портфеля гп. Обыч­

но дисперсия доходности портфеля называется его вариацией г>п=а2п-

Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффек­тивности составляющих его ценных бумаг и их совместные кова- риации.

Пусть портфель наполовину (по стоимости) состоит из бу­маг первого вида с доходностью 14% годовых и из бумаг вто­рого вида с доходностью 8% годовых. Какова эффективность портфеля?

Оба термина — доходность и эффективность специально упомянуты вместе. Имеем 0,5 • 14 + 0,5 • 8 = 11% годовых.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с ди­леммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск помень­ше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необ­ходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор в конечном счете определяется отношением ЛПР к эффективности и риску).

Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель оценивается по двум характеристикам — эффективности и риску, то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем, что 1-й портфель с эффективнстью е\ и риском Г\ доминирует 2-й С С2, ?2 если С\ > еъ и Г\ < Г2, и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые портфели назовем оптимальными по Парето, такие портфели называют еще эффективными. Конечно, инвестор должен остановить свой выбор только на эффективных портфелях.

Если рассмотреть какое-нибудь множество портфелей и нане­сти их характеристики — риск гп и эффективность еп на плос­кость риск — доходность, то типичное множество эффективных портфелей выглядит, как кривая БАС на рис. 6.16.

Не расположенный к риску инвестор действует в соответствии с теоремой Неймана — Монгенштерна [54], составляя портфель


 

таким образом, чтобы максимизировать математическое ожида­ние полезности дохода (6.7.1) или (6.7.5). По общему свойству за­дач условной оптимизации следует, что с расширением выбора (6.7.1) (при росте п) шансы на более высокий уровень ожидаемрй полезности увеличиваются.

Любой инвестор заинтересован в уменьшении риска портфе­ля при поддержании его эффективности на определенном уровне.

Пусть в портфеле собрано к различных видов ценных бумаг. Рассмотрим дисперсию портфеля

и

Разобьем слагаемые на две группы:

I                                                       <*/

В первой группе слагаемых к, а во второй — к(к - 1). Предпо­ложим для простоты, что стоимость портфеля распределена рав­ными долями по этим видам ценных бумаг, т.е. все х1 - ^. Тогда по формулам для дисперсии имеем

К I                                   IV;           I             I*] К '

Величина           может быть названа средней дисперсией цен-

I

у

ных бумаг, входящих в портфель, а величина к(к-Х)их сРеД" ней ковариацей. Поэтому предьщущую формулу можно выразить словами: дисперсия портфеля равна средней дисперсии плюс

А

1-— средней ковариации. Это и есть эффект диверсификации портфеля: с ростом числа входящих в портфель ценных бумаг в 422 его дисперсии (и риске) вклад средней дисперсии (среднего риска) становится все меньше, зато все больше — вклад средней ковари- ации. Так что если входящие в портфель ценные бумаги мало кор- релированы друг с другом, то дисперсия портфеля уменьшается с ростом числа входящих в портфель бумаг.

В реальности, однако, практически все ценные бумаги, обра­щающиеся на рынке, испытывают воздействие общеэкономичес­ких факторов и изменяются под их воздействием. Это приводит к тому, что их взаимная корреляция является вполне заметной ве­личиной. Эта взаимная корреляция обусловливает так назы­ваемый рыночный, или систематический, риск портфеля, его также называют недиверсифицируемым риском. Систематический риск •— это минимальный уровень риска портфеля, которого мож­но достичь при диверсификации с большим количеством произ­вольно выбранных активов. Иными словами, систематический риск порождается общими рыночными и экономическими усло­виями, и этот риск не может быть полностью диверсифицирован.

Конечно, в силу особенностей работы эмитентов ценных бу­маг каждая конкретная ценная бумага испытывает свои колеба­ния эффективности, иногда совершенно не связанные с общеры­ночными. Эти колебания обусловливают так называемый инди­видуальный, или несистематический, риск ценной бумаги. Его также называют диверсифицируемым, уникальным, остаточным или специфическим риском.

Снижение несистематического риска портфеля при помо­щи диверсификации можно проиллюстрировать графически. На рис. 6.17 показано, что уже для портфеля из 20 случайно подо­бранных активов (в данном случае обыкновенных акций), риск можно почти полностью диверсифицировать. Существенно, что оставшийся риск представляет собой систематический, или ры­ночный, риск.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: общий риск актива измеряется вариацией его доходности. При этом он делит­ся на систематический и несистематический компоненты.

Диверсификация портфеля может почти полностью устранить влияние на риск всего портфеля индивидуального риска отдель­ных ценных бумаг, но она не в силах устранить рыночный риск всего портфеля.

Рассмотрим более конкретно упрощенные примеры влияния корреляции разных ценных бумаг. Предположим сначала, что

 

ценные бумаги различных видов ведут себя независимо, они не- коррелированы, т.е. а,, = 0, если / * у". Тогда Бп = ^ л2сг,2 и

 


 

о; с;

ш ■&

I-

Несистематический или диверсифицируемый, риск

Совокупный риск

Систематический, или рыночный, риск

о. о с

&

I

о ч

I ф

I

1

о

X

£ го

ч

го

I-

о

 


 

Число активов в портфеле

Рис. 6.17. Систематический и несистематический риски портфеля

Предположим далее, что деньги вложены равными долями, т.е. 1     . — ~        г«,

средняя ожидаемая

Для всех / = 1, я . Тогда еп = У,

о2

Пусть у2 = шах а2, тогда гп <

Гп'

Отсюда вывод: если ценные бумаги некоррелированы, то при росте числа их видов п в портфеле риск портфеля ограничен и стре­мится к 0 при п —>

Анализ составления портфеля из нескольких видов не­коррелированных ценных бумаг позволяет сделать ряд важных выводов.

 

Предположим, инвестор имеет возможность составить порт­фель из четырех видов некоррелированных ценных бумаг, эффек­тивности и риски которых даны в таблице.

/12 3 4

е,                                  2            4             8         12

<т,                               1            2             4            6

Рассмотрим несколько вариантов составления портфеля из этих бумаг равными долями. Напомним, что эффективность пор­тфеля есть среднее арифметическое эффективностей, а риск в дан-

2 2 2 2 Л+/', + ... + Г„

ном случае г = -------------- — -

п

В табл. 6.7 сведены результаты расчетов эффективности е и риска г для портфелей, образованных из различного сочетания ценных бумаг.

Таблица 6.7

Портфель образован из бумаг

е

г

1-го и 2-го видов

3,0

1,12

1-го, 2-го и 3-го видов

4,67

1,53

Всех 4-х видов

6,5

1,89

2-го, 3-го и 4-го видов

8

2,49

3-го и 4-го видов

5

3,61

 

Как видим, при составлении портфеля из все большего числа ценных бумаг риск растет весьма незначительно, а эффективность растет быстро.

Однако, как указано выше, полная некоррелированность цен­ных бумаг по существу невозможна.

При полной прямой корреляции диверсификация портфеля не дает никакого эффекта — риск портфеля равен среднему арифме­тическому рисков составляющих его ценных бумаг и не стремит­ся к нулю при росте числа видов ценных бумаг.

Положительная корреляция между эффективностями двух цен­ных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора дей­ствует на обе бумаги в одну и ту же сторону. Диверсификация портфеля путем покупки обеих бумаг бесполезна — риск портфе­ля от этого не уменьшится.

При полной обратной корреляции возможно такое распреде­ление вложений между различными видами ценных бумаг, что риск полностью отсутствует.

Полная обратная корреляция довольно редкое явление и обыч­но она очевидна.

Суммирая записанные выше отдельные элементы формализа­ции, придем в общем случае к следующей оптимизационной зада­че, которую решает инвестор: максимизировать доходность пор­тфеля

(6-7.7)

м

сведя риск (дисперсию) портфеля

п п

1=1 м

к минимальному значению и выполняя естественное условие

5>,=1.                                                                                     (6.7.9)

1=1

Если инвестор только покупает ценные бумаги, то добавляет­ся условие неотрицательности х( > 0.

Для инвестора, который готов участвовать в операциях типа коротких продаж, что равносильно взятию в долг суммы (-х,) под случайную ставку г,-, неизвестные х, могут быть любого знака. Подобное заимствование сводится к тому, что инвестор продает акции, которых у него нет и которые он обещает поставить на оговоренную дату. При этом он назначает цену продажи, исходя из оценки будущего курса.

На дату поставки инвестор приобретает акции на реальном рынке и закрывает свои обязательства. Из-за возможного несоот­ветствия цены приобретения ожиданиям инвестора вся операция сопряжена с риском процентной ставки г, учитываемой в модели характеристиками <?,-, о,2.

Мы здесь не даем схемы коротких продаж, т.е. продаж ценных бумаг, которых в данный момент нет, рекомендуя обратиться к специальной литературе. Для нас важно только то, что если неко­торые переменные Хі окажутся отрицательными, то это будет оз­начать, что по данным позициям следует участвовать в подобных операциях.

Очевидно, что точка (х,, ... х„), доставляющая максимум по­лезности и (е, о), принадлежит множеству таких допустимых то­чек задачи (6.7.7) — (6.7.9), которые не могут быть улучшены сра­зу по двум критериям — ей а. В теории многокритериальной оп­тимизации такие решения называются Парето-оптимальными, или эффективными.

Чтобы пояснить смысл этого понятия, представим себе кон­тур, соединяющий точки с координатами е, а, вычисленными для допустимых точек некоторого «условного» множества х (рис. 6.18).

с А


е

Рис. 6.18. Восходящая дуга АВ соответствует Парето-оптимальному множеству решений

Множеству эффективных точек соответствует восходящая дуга АВ: для любой посторонней точки, например С, можно постро­ить улучшающую ее точку (*) в том смысле, что либо е* > е, су* = <т (точка С[), либо е* - е, а* < а (точка С2), либо е* > е, о* < а (точка Сз), а для «своих» точек этого сделать нельзя.

В связи с этим ясно, что поиск оптимального по критерию полезности и (е, <т) портфеля можно проводить в два этапа: вна­чале, решая задачу (6.7.7) — (6.7.9), найти множество эффектив­ных портфелей, а затем из этого множества отобрать портфель с максимальным уровнем полезности. Очевидно, что это может быть сделано с помощью множества эффективных точек.

Функция полезности и (е, а) и оптимальность по Парето бу­дут подробно рассмотрены в следующей главе.

На данном этапе достаточно лишь знать, что у инвестора име­ется некоторая функция полезности и (е, о), с помощью которой он может анализировать варианты, причем предпочтение отдает­ся варианту с большим значением этой функции.

6.7.2. Построение границ эффективности портфеля

Известно, что если коэффициент корреляции в парах активов меньше чем 1,0, то диверсификация может улучшить взаимосвязь между ожидаемым риском портфеля и ожидаемым доходом по портфелю. Это происходит потому, что, если переменная доход­ности является линейной функцией средней доходности, то фак­тор риска представляет собой квадратическую функцию диспер­сии доходов по ценным бумагам. Степень улучшения портфеля зависит от весов, которые каждый из активов имеет в портфеле, и от корреляции этих активов.

Лучший способ продемонстрировать это — пример с дву­мя активами. Рассмотрим данные табл. 6.8 — различные средние

Таблица 6.8

Вес У2

Вес У\

Доход Е(гп)

Оя при Р\2 = 0,6

£Т,7 При Р12 = 0,9

0

1,0

8,0

12

12

0,1

0,9

8,4

11,82

12,26

0,2

0,8

8,8

11,80

12,56

0,3

0,7

9,2

11,91

12,89

0,4

0,6

9,6

12,17

13,26

0,5

0,5

10,0

12,55

13,65

0,6

0,4

10,4

13,06

14,07

0,7

0,3

10,8

13,67

14,52

0,8

0,2

11,2

14,37

15,0

0,9

0,1

11,6

15,15

15,49

1,0

0

12,0

т

16,0

16,0

 

 

квадратические отклонения портфеля, составленного из двух рискованных активов, при допущениях, что корреляция р\^ равна 0,6 или 0,9 и что доли каждого актива в портфеле меня­ются на 10%. Рис. 6.19 — это диаграмма границ эффективнос­ти, относящихся к портфелям, построенным с учетом пред­положенных Р12 = 0,60 и рп = 0,90. Актив 1 имеет ожидаемый доход 8% со средним квадратическим отклонением 12%, а актив 2 — ожидаемый доход 12% со средним квадратическим отклоне­нием 16%.

Средние квадратические отклонения портфеля вычисляются по формуле (6.7.2).

Для предположенной степени корреляции среднее квадрати- ческое отклонение рассчитано для некоторых различных портфе­лей, которые могут быть построены из этих двух активов и нане­сены на диаграмму (рис. 6.19).

Сначала рассмотрим данные в столбце табл. 6.8 для р\г ~ 0,6

 


и график на рис. 6.19 для р\2 = 0,6, отражающие выгоды от диверсификации для случая, когда активы умеренно коррели­рованны. Данные и график, обозначенные р\2 = 0,9, показы­вают, что диверсификация имеет благотворное влияние на соотношение риск-доход, даже когда активы высоко, но не пол­ностью коррелированны. Заметьте, что в обоих случаях грани­ца эффективности вогнута. Чем больше степень вогнутости, тем больше выгоды от диверсификации. Учтите, однако, что не все точки на границе эффективны, а эффективна только верх­няя часть каждой вогнутой границы (обозначенных АВ на рис. 6.19).

Верхняя часть каждой из линий АВ представляет границу эф­фективности возможных портфелей, так как на границе невозмож­но достичь большего дохода без несения большего риска. Выше линии находится область недостижимых комбинаций риска и до­хода из-за ограниченности характеристик ценных бумаг 1 и 2. Ниже линии находятся худшие комбинации риска и дохода, кото­рые могут быть улучшены просто перемещением в любую точку на линии АВ. Это достигается продажей существующих активов и покупкой 1 и/или 2. Например, портфель С располагается на нижней части границы, помеченной р\2 - 0,6. Инвестор может повысить свою полезность продажей этого портфеля и покупкой комбинации 1 и 2, представленной любой из точек на границе эффективности. Например, перемещаясь в точку Б, инвестор не­сет тот же уровень риска, но получает более высокий доход, чем в С.

Нужно отметить, что не существует единственного наилучше­го портфеля. Жирные линии указывают на многие «эффективные портфели». Граница эффективна, потому что невозможно повы­сить доход без увеличения риска или снизить риск без снижения дохода. Возможная комбинация риска и дохода будет зависеть от целевой функции (функция полезности для инвестора).

Однако давая в реальности обычно менее чем полностью кор­релированные доходы по отдельным активам, теория предпола­гает, что наиболее диверсифицированным и, следовательно, при­носящим наилучший доход на единицу риска, будет портфель, который содержит все рискованные активы. Это должны помнить инвестиционные менеджеры, поскольку их портфели обычно ог­раничены до содержания только денежных средств, облигаций и обычных акций.

6.7.3. Задача оптимизации портфеля

Теперь, понимая взаимосвязь между риском и доходом и вли­яние ковариации, мы можем определить задачу оптимизации пор­тфеля. Задача оптимизации портфеля заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каж­дой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уро­вень риска оптимально соответствовали целям инвесторов. Пред­положим, что цель инвестора состоит в минимизации риска порт­феля, где риск измеряется дисперсией портфеля.

На практике инвестор обычно устанавливает ограничения относительно способа, по которому может быть построен порт­фель. Например, целевой функцией может быть минимизация рис­ка, но при каком-то минимальном уровне дохода, а также при ограничениях на минимальные и максимальные доли, которые могут быть инвестированы в каждый актив. Как поступать с эти­ми ограничениями — объясним позже.

Сейчас же проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из трех активов.

Требования инвестора обычно ограничивают процесс выбо­ра. Например, инвестор может потребовать минимизации риска при ожидаемом доходе не менее или равном данному уровню.

Портфельная задача, таким образом состоит в минимизации дисперсии портфеля при каком-то минимальном уровне дохода. Из (6.7.4) видно, что дисперсия портфеля ои может быть выра-

т

жена через произведение транспонированного вектора V, т.е. V ,

дисперсионно-ковариационной матрицы О и вектора V, т.е. V. Следовательно, поставленная задача является задачей квадрати- ческого программирования и может быть записана следующим образом.

Минимизировать функцию

2 =                                                                                       (6.7.10)

при ограничениях

У,+У23 =1

У,Е1) + У2Е1)+УзЕ3)>ЕПр(г),                                 (6711)

У!>0,У2>0,У3>0,

где Ецр(г) — это минимальный приемлемый уровень дохода.

 

Рассмотрим некоторый портфель акций, которые находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за счет кредита. Отметим, что входные данные для нахождения эф­фективного портфеля это прибыли, которые мы ожидаем по дан­ной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям определяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной сто­имости акций (или минус уменьшение) за этот же период, выра­женные в процентах.

£2 =

Предположим, что мы имеем три актива — 1, 2 и 3 с ожидае­мыми доходами 0,14,0,16, 0,10 соответственно. Известна диспер­сионно-ковариационная матрица £2 :

0,0002 0,00006 - 0,00008Л 0,00006 0,0003 -0,00004 -0,00008 - 0,00004 0,0001

Нужно найти пропорции V, для инвестирования в каждый ак­тив, чтобы получить требуемый доход 13% при минимальной дис­персии.

Составляем дисперсию (целевую функцию)

 


 

Г1

У2

У

\ /

0,0002 0,00006 - 0,00008 0,00006 0,0003 -0,00004 -0,00008 - 0,00004 0,0001

 


 

= + К22ст22 \Vlol +2Уп соу12+2К,з СОУ,3+2У23 СОУ23 = = 0,0002К,2 + 0,0003К22 + 0,00011"з2 + 0,000121-1 К, -0,00016Г,К3 - -0,00008Г2К3.

(6.7.12)

(6.7.13)

Таким образом, наша задача формулируется следующим об­разом: минимизировать целевую функцию

г = 0,0002К,2 +0,0003к22 +0,0001К32 + 0,00012К,К2 -0,00016У,У3 -0,00008У2У3

при ограничениях

V,+У2 + У3=1,

0Д4У, +0,16У2+0,1У3 =0,13,

V! >0,У2 >0,У3 >0.

 

Если имеем задачу математического программирования: минимизировать функцию

г=ЛУ\, Уг,..., Уп)

при ограничениях

х12,...,Уп) = 0, / = то функция Лагранжа имеет вид

п

иух ,..У„, Я, ,...,А„) = /(V,, У2,..., Уп) + £ (V,, У2,..., Уп).

1=1

Для нашего случая функция Лагранжа запишется как

ОД. У2, УъА Д2) = 0,0002У,2 + 0,0003У22 + 0,0001У32 + + 0,000121/^2 -0,00016У,У3 -0,00008У2\/3 +А,(У, + У2 + У3 -1) + +А2(0,14У1 +0,16У2 +0,1У3 -0,13).                 (6.7.14)

Находим частные производные этой функции по У\, У2, Уз, Л\, Л2 и приравниваем их к нулю

^ = 0,0004У, + 0,00012У2 -0,00016У3 +*., +1,2Х2 =0, (IV,

= 0,0006У2 + 0,00012V, -0,00008У3 +1,4Х2 =0,

0\>2 г)1

- = 0,0002У3 -0,00016V! -0,00008У2 +Х, 2 =0,

сУ3

А 7 \ 7 1 А                                                                          (6.7.15)

= V, + У2 + У3 -1 = 0,

4^- = 0,14У,+0,16У2+0,1У3 -0,13 = 0. дк2

Исключаем Уз из 4-го и 5-го уравнений системы, найдем г + 6 У2 = 3.

Исключаем А1 из 1-го и 3-го уравнений системы и исключаем А] из 2-го и 3-го уравнений системы, получаем:

0,00028 У\ - 0,00048 У2 - 0,00008 У3 - 0,2А2 = 0, 0,00028 У, + 0,00668 У2 - 0,00028 У3 + 0,4А2 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем переменную Я2, находим 0,00084 У\ - 0,00028 У2 - 0,00044 У3 = 0.

Подставляя сюда Уз = 1 - У\ - У2, имеем 32У\ +4У2= 11.

Из системы

4У, +6У2 =3, 32% + 4У2 = 11

находим, что У\ = 0,307; У2 = 0,295 и, следовательно, У3 = -\-V\-Vi~ 0,398.

При этом определяем, что = 0,000432 и А2 = -0,000439.

Таким образом, минимальные риски (дисперсия) соответству­ют портфелю, в котором имеются 30,7% активов 1-го вида, 29,5% активов 2-го вида и 39,8% активов 3-го вида.

Пакет линейного программирования позволяет быстро решать системы вида (6.7.15).

Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из кото­рых — в акции, а одна — в сберегательный счет с процентной ставкой 8,5% в год. Отметим, что продолжительность периода инвестирования равна одному году (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Инвестиция

Ожидаемая прибыль

Ожидаемая дисперсия прибыли

Ожидаемое стандартное отклонение прибыли

Т

9,5%

10%

0,316

 

13%

25%

0,5

Ь

21%

40%

0,632

Б

8,5%

0%

0

 

 

Ожидаемая прибыль — это то же самое, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей — то же самое, что и потенциальный риск. Отметим, что данная модель двумерная. Мы может сказать, что модель пред­ставлена правым верхним квадрантом декартовой системы коор­динат (рис. 6.20), где по вертикали откладывается ожидаемая при­быль, а по горизонтали откладывается ожидаемая дисперсия, или стандартное отклонение прибылей, или риск.

1.4 -г

1,3 —

 


 

л 5 л ю

о. с

к го 2

0)

го СІ

з: *

1,2--

1,1

О

 


 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Риск

Рис. 6.20. Правый верхний квадрант декартовой системы координат

Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как по­тенциальный риск (вероятность) катастрофического убытка, ко­торый мы не рассматриваем отдельно от дисперсии прибылей. Оптимальный портфель отвечает зависимостям (6.6.10) — (6.6.11) в классическом варианте. Маркович также утверждал, что порт­фель, полученный из этой задачи, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функцией ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли. Марковиц указал, что инвестор может использовать и более вы­сокие моменты распределения, а не только первые два Е(г) и г, например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.

 

Потенциальный риск — очень емкое понятие, он является фун­кцией гораздо большего числа переменных и включает более вы­сокие моменты распределений. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен. Риск намного шире, и его реальная природа плохо поддается ко­личественной оценке.

Первое, что должен сделать инвестор, это придать количе­ственный смысл своим предположениям относительно ожидаемых прибылей и дисперсий прибылей рассматриваемых ценных бумаг на определенном временном горизонте (периоде удержания). Эти параметры можно получить эмпирически. Инвестор может рас­смотреть прошлую историю ценных бумаг и рассчитать прибыли и их дисперсии за определенные периоды. Как уже было отмече­но, термин «прибыли» означает не только дивиденды по ценной бумаге, но и любые повышения стоимости ценной бумаги (в про­центах). Дисперсия является статистической дисперсией процент­ных прибылей. Для определения ожидаемой прибыли в период удержания можно использовать линейную регрессию по прошлым прибылям. Дисперсия как входной параметр определяется путем расчета дисперсии каждой прошлой точки данных на основе ее спрогнозированного значения (а не на основе линии регрессии, рассчитанной для прогнозирования следующей ожидаемой при­были). Вместо того чтобы определять эти значения эмпиричес­ким способом, инвестор может оценить значения будущих при­былей и дисперсий. Возможно, наилучшим способом нахождения параметров является комбинация обоих подходов. Инвестору сле­дует использовать эмпирический подход (т.е. использовать исто­рические данные), затем, если это необходимо, можно учесть про­гноз относительно будущих значений ожидаемых прибылей и дис­персий.

Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты ли­нейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комбинации обоих подходов.

При определении коэффициентов корреляции важно исполь­зовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если мы используем годовые данные для опре­деления ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на годовой основе), следует использовать годовые дан­ные и при определении коэффициентов корреляции. Если мы ис­пользуем дневные данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на дневной основе), тогда нам следует использовать дневные данные для определения коэффициентов корреляции.

Вернемся к нашим четырем инвестициям — Т,1,Ьик сберега­тельному счету (5). Ниже приведена таблица их коэффициентов линейной корреляции

 

Т

/

Ь

5

т

1

-0,15

0,05

0

I

-0,15

1

0,25

0

£

0,05

0,25

1

0

 

Используя метод п. 6.2, вычисляем дисперсионно-ковариаци­онную матрицу £1 Отметим еще раз, что ковариация ценной бу­маги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент ли­нейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1.

 

 

Т

/

Ь

5

т

I

ь

5

£2 =

( 0,1 -0,0237 0,01 0

-0,0237 0,25 0,079 0

0,01 0,079 0,4 0

о о о о

У

V                                           1_

Составляем целевую функцию (дисперсию)

 

( 0,1

-0,0237

0,01

 

УЛ

г=(у,у2у3у4)

-0,0237 0,01

0,25 0,079

0,079 0,4

0 0

у2

Уз

 

0

V

0

0

0

У

у^

V У

 

= К2сг,2 + К22сг2 + К32сг2 +и соу,2+13 соу,3+2К23 соу23 = = 0,1-К,2 +0,25-К/ + 0,4К32 -0,0474Г,К2 +0,02К,К3 +0,158К2К3.

Тогда задача формулируется следующим образом: минимизи­ровать целевую функцию

г = 0,1 • У,2 + 0,25У22 + 0,4У32 - 0,0474У, У2 + + 0,02У, У3 + 0,158 ■ У2У3    (6"7'16)

при ограничениях

У,+У2 + У34=1,

0.095У, + 0,13У2 +0,21У3 +0,085У4 = Е, (6 7 17) У,>0,У2>0,У3>0,У4>0.

Здесь через Е мы обозначили требуемый доход. Функцию Лагранжа зададим в виде

ЦУ,,У234,Я,,Я2) = ОДУ,2 + 0,25У2 + 0,4У32 -

-0,0474У,У2 +0,02У,У3 + 0,158У2У3 +Я,(У, +У234 -1) +

+ Я2 (0.095У, +0,13У2 +0,21У3 + 0,085У4 - Е).

Находим частные производные этой функции по У\, У2, Уз, У4, Яь Я2 ^приравниваем их к нулю

г)1

~ = 0,2У, - 0,0474У2 + 0,02У3 +х ,+ 0,095,, 2 = 0, оУ,

^ = 0,5У2 -0,0474V, +0,158У3 +х , +0,13,. 2 = 0, а\2 ат

= 0,8У3+0,02У(+0,158У2 ,+0,21х 2=0,

о\'3 г)1

дГГ = х , + 0,085х 2=0,

э,4                                                                                         (6-7.18)

= У,+У234-1 = 0,

Эх ,

г)1

-------------- = 0,095У, + 0,13У2 + 0,21 У3 + 0,085У4 - Е = 0.

Ох 2

Тогда проблема минимизации X при данном Е для рассматри­ваемого портфеля может быть решена с помощью системы линей­ных алгебраических уравнений (6.7.18) с применением ЭВМ.

Так как порядок системы (6.7.18) небольшой, то решим ее в конечном виде. 438


Исключая из пятого и шестого уравнений системы, найдем: 0,015К, + 0,045V2 + 0,1?5¥■} + 0,085 -Е- 0   (а)

Из первого и второго уравнений исключаем Х\ и из второго и третьего исключаем Ль получаем:

0,2474 V\ - 0,5474 V2 - 0,138 F, - 0,035А2 = 0, -0,0674 V\ + 0,342 V2 - 0,642 V3 - 0,08A2 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем А2.

0,022151 • V\ - 0,055762 V2 + 0,01143 F3 = 0.

Из этого уравнения с помощью уравнения (а) исключаем F3

259730 • V\ - 748460 • V2 - 97155 + 1143000 • Е = 0. (b)

Из первого и четвертого уравнений системы, второго и чет­вертого уравнений и третьего и четвертого уравнений исключаем Ai, получаем три уравнения:

0,2 F, - 0,0474 V2 + 0,02 F3 + 0,01Л2 = 0, -0,0474 V\ + 0,05 F2 + 0,158F3 + 0,045A2 = 0, 0,02F, + 0,158 V2 + 0,8 F3 + 0,125A2 = 0,

в которых из первого и второго, второго и третьего исключаем А2, находим

0,009474 F, - 0,007133 V2 - 0,00068 F3 = 0, -0,006825 Vx + 0,05539 V2 - 0,01625 F3 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем F3

158593 F, - 153576 F2 = 0.

Из этого уравнения и уравнения (Ь) находим, что

V\ = 2,22721-0,188,

(d)

V2 = 2,30- £-0,195.

Подставляя решения ((1) в уравнение (с), найдем

Уз = 6,9 ■ £-0,582.                                                                 (е)

Из последнего уравнения системы (6.7.18), подставляя в нее выражения (с1) и (е), найдем, что

У4 = -11,427 •£ + 1,965.                                                             (0

Подставляя решения ((1), (е) и (0 в (6.7.16), получим значение целевой функции (дисперсии, риска)

гт;п = 23,919 • Е2 - 4,039 • Е + 0,156.

Таким образом, минимальный риск

'тт =д/23,919Е2 -4,039 -£ + 0,156                                   (6.7.19)

при требуемом доходе £ будет отвечать оптимальному портфелю составленному из акций Т, Ь, I, Б соответственно в долях

V, =2,227 -£-0,188,

У2 = 2,30 -£-0,195,                                                                      0

Уз = 6,90 • £ - 0,582, У4 = -11,427 ■£ + 1,965. Пусть ожидаемая отдача (доход) £ = 14. Тогда У\ = 0,1238,

У2 = 0,127, Уз = 0,384, У4 = 0,3652, дисперсия £>тш = сг2-т = 0,05935, а сгтшт1п =0,2436 = 24,36%.

Первые четыре значения, от У\ до У4, дают нам веса, т.е. доли инвестируемых средств, для получения оптимального портфеля с 14%-ой ожидаемой прибылью. Нам следует инвестировать 12,38% в Т, 12,7% в I, 38,4% в £ и 36,52% в сберегательный счет. Если мы хотим инвестировать 50000 долларов, то получим:

Акция

Процент

(*50000=)сумма инвестиций

Т

0,1238

$6190

I

0,127

$6350

Ь

0,384

$19200

Сберегательный счет

0,3652

$18260

 

Таким образом, в I мы бы инвестировали 6350 доллара. Те­перь допустим, что I котируется по цене 20 долларов за акцию, т.е. следует купить 317,5 акции (6350/20). На самом деле мы не можем купить дробное число акций, поэтому купим либо 317, либо 318 акций. Следует также отметить, что небольшой лот из 17 или 18 акций, остающийся после покупки первых 300 акций, будет стоить дороже. Нестандартные, малые лоты обычно стоят несколь­ко дороже, поэтому мы переплатим за 17 или 18 акций, а это кос­нется ожидаемой прибыли по нашей позиции в / и в свою очередь затронет оптимальную комбинацию портфеля.

В некоторых случаях следует ограничиться только стандартным лотом (в нашем случае — это 300 акций). Как видите, необходимо учитывать некоторый коэффициент ухудшения. Мы можем опре­делить оптимальный портфель с точностью до дробной части ак­ции, но реальная торговля все равно внесет свои коррективы.

Естественно, чем больше наш счет, тем ближе будет реаль­ный портфель к теоретическому. Допустим, вместо 50000 долла­ров мы оперируем пятью миллионами долларов. Мы хотим инве­стировать 12,7% в / (если речь идет только об этих четырех инве­стиционных альтернативах) и поэтому будем инвестировать 5000000 • 0.127 = $635000. При цене 20 долларов за акцию мы бы купили 635000/20 = 31750 акций. Когда для инвестирования у нас есть только 50000 долларов, мы купим 300 акций вместо опти­мального количества 317,5 и таким образом отклонимся от опти­мального значения примерно на 5,8%.

Составим табл. 6.10, в которой приведем для различных зна­чений Е веса акций в портфеле и соответствующий им риск.

Таблица 6.10 Требуемая доходность Е — минимальный риск г^

Е

Ух

У2

Из

УА

2

Гтт

0,11

0,057

0,058

0,177

0,708

0,00113

0,0336

0,12

0,079

0,081

0,246

0,594

0,0158

0,1257

0,13

0,101

0,104

0,315

0,480

0,0352

0,1875

0,14

0,124

0,127

0,384

0,365

0,0593

0,2436

0,15

0,146

0,150

0,453

0,251

0,0883

0,2972


Е

У\

у2

Уз

УА

г

Гтш

0,16

0,124

0,127

0,384

0,365

0,1221

0,3494

0,17

0,191

0,196

0,591

0,022

0,1606

0,4008

0,18

0,128

0,191

0,681

0

0,213

0,4615

0,19

0,050

0,179

0,771

0

0,264

0,5138

0,20

0

0,125

0,875

0

0,326

0,571

0,21

0

0

1,0

0

0,40

0,632

 

Так как при Е = 0,18 значение У4 в формуле (6.7.20) будет от­рицательным, то систему (6.7.18) нужно изменить, исключив чет­вертое уравнение и положив У4 = 0. Тогда решение новой систе­мы имеет вид:

У, = 1,537-7,826£, У2 =0,416-1,249/?, У3 =0,953 + 9,075/?,

у4= о,

= -\/З5,781/?2-8Д28£ +0,517 .                                        (6.7.21)

Рис. 6.21. Зависимость требуемой доходности от минимального риска 442


 

 

І

При Е = 0,20 значение У\ < 0 и тогда систему (6.7.18) нужно изменить, исключив четвертое и первое уравнения системы и по­ложив У\ = У/\ — 0. После этого решение новой системы имеет вид:

У2 = 2,625-12,5Е, У3 = 1,625 +12,5Е,


(6.7.22)

На рис. 6.21 приведен график требуемой доходности от минималь­ного риска Е(гтид, из которого видно, что при изменении риска от 0,25 и больше зависимость Е(гтт) практически является линейной.

6.7.4. Сравнение методов оптимизации портфелей

Исследуем портфель составленный в предыдущем п. 6.7.3 с помощью симплексного метода изложенного в п. 6.6.

Для выбранных доходностей Е - 0,14 и £ = 0,18 были состав­лены оптимальные портфели (табл. 6.10)

Исходя из формулы (6.5.3) определим коэффициенты /Здля ак­ций Т, /, Ь.

При Е = 0,14 акции Т, I, Ь, 8 входили в состав оптимального портфеля в долях У, = 0,124, У2 = 0,127, У3 = 0,384, У4 = 0,365 при этом сгт1П = 0,2436.

Тогда ковариация между доходностью у'-й ценной бумаги и доходностью рыночного портфеля определяется как

о = У£2 = (<7, агп, стзя, о) =

(0,124Л( 0,1 -0,0237 0,01 0^1

0,127 -0,0237 0,25 0,079 0 0,384 0,01 0,079 0,4 0

0,365 0                                                                     0 0 0

v ' у v

= (0,01323; 0,05915; 0,1649; 0).

Коэффициенты «бета» равны:

 


 

Формулируем задачу линейного программирования: максими­зировать функцию

г = 0,095Г! + 0,13 Г2 +0,21^3 + 0,085^4 при ограничениях

0,223У, + 0,997У2 +2,779У3п,

У,+У234=1,

0<У, <1,

0<У2<1,         (6.7.23

0<У3<1,

0<У4 <1.

Здесь величина «бета» портфеля обозначена через /3'л- При уровне доходности Е = 0,18 акции компаний Г, I, Ь, 5 входят в портфель в долях

У\ = 0,128, У2 = 0,191, У3 = 0,681, У4 = 0 при этом ат;п = 0,4615. Коэффициенты «бета» в этом случае равны:

А = 0,071; Д = 0,4625; /З3 = 1,356; Д = 0.

Аналогично (6.7.23) запишем задачу линейного программиро­вания

г = 0,095К] + 0,13К2 + 0,21 У3 + 0,085 К4 -> шах при ограничениях

0,071% + 0,462У2 + 1,356У3п, У, + У2 + У34=1, 0<% <1,

(6.7.24)

0<У3<1,         v '

0<У4 <1.

Результаты решения задач (6.7.23) и (6.7.24) для различных (Зп сведены в табл. 6.11. Решения проведены с использованием стан­дартных программ на ЭВМ.

Из табл. 6.11 видно, что с ростом риска гтт растет прибыль и с ростом «бета» портфеля растет величина максимального дохода Етах.

Таблица 6.11

Гпип

Ри

У\

У2

Уз

Уа

^ ~~ ^гпах

0,2436

0,8

0,773

0

0,227

0

0,128

 

1,0

0,695

0

0,305

0

0,132

 

1,3

0,578

0

0,422

0

0,144

0,4615

1,05

0,238

0

0,762

0

0,183

 

1,3

0,044

0

0,956

0

0,205

 

1,7

0

0

1,0

0

0,21

 

Далее рассмотрим пример составления оптимального портфе­ля ценных бумаг с применением ЦМРК (САРМ).

Ранее было отмечено, что существует бесконечное число пор­тфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадле­жат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковича представляет собой изогнутую линию, что предпо­лагает наличие бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных порт­фелей. Как может быть использован подход Марковица, если инвестору необходимо определить структуру каждого из беско­нечного числа эффективных портфелей. Марковиц видел эти по­тенциальные проблемы и внес основной вклад в их преодоление, представив метод их решения. Он включает в себя алгоритм квад- ратического программирования, известный как метод критичес­ких линий.

Рассмотрим портфель из четырех акций (табл. 6.9), для кото­рых известны коэффициенты линейной корреляции и ковариаци­онная матрица Q. Прежде всего составляем портфель из трех рис­кованных акций компаний Т, I, Ь.

Для нахождения эффективного множества определяем коли­чество «угловых» портфелей, которые связаны с ценными бума­гами и полностью описывают эффективное множество. «Угловой» портфель — это эффективный портфель, обладающий следующи­ми свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» пор­тфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффек­тивном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное Утверждение можно проиллюстрировать примером.

 

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходностью. Данный портфель соотносится с точкой Ь на рис. 6.22 и является эффективным портфелем. Он состоит только из одной ценной бумаги с наибольшей ожидаемой доход­ностью. То есть, если инвестор хочет приобрести данный порт­фель, все, что он должен сделать, это купить акции компании с наивысшей ожидаемой доходностью. Любой другой портфель будет иметь меньшую ожидаемую доходность, так как в конеч­ном счете часть фондов инвестора будет помещена в акции дру­гих компаний, имеющих ожидаемую доходность ниже Ь.

П( 1)

/7(3)

Т

Например, компанией, акции которой наиболее доходны, является компания Ь. Соответствующим эффективным портфе-

0,20--

0,15--

0,10--


0,2                                    0,3           0,4           0,5           0,6 <тр

Рис. 6.22. «Угловые» портфели

 

лем будет первый «угловой» портфель, определенный алгорит­мом. Его состав описывается следующим вектором весов, обозна­ченным У( 1)

0,00 0,00 1,00

Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связа­ны только с ожидаемой доходностью и стандартным отклоне­нием акций Ь и соответственно составляют 21% и (0,4)и, или 63,24%. На рис. 6.22 данный «угловой» портфель обозначен как П (1).

Составляем «угловой» портфель из акций / и!. Его состав описываем следующим вектором весов: по формуле (6.4.7) находим У2 = 0,652, Уз = 0,348. Ожидаемая до­ходность Е = 0,13 • 0,652 + 0,21 • 0,348 = 0,158, а стандартное от­клонение по формуле (6.4.6) равно 0,436, или 43,6%. На рис. 6.22 данный портфель обозначен как П (2).

Говоря о первом и втором «угловых» портфелях, важно отме­тить, что они являются смежными эффективными портфеля­ми и любой эффективный портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя данными, будет представлять собой просто комбинацию их составов.

У(3) =

Определяем третий «угловой» портфель, который имеет сле­дующий состав:

'0,693") 0,307 , 0

состоящий из акций Ти 7, для него Ер = 0,106, ар = 0,248. На рис. 6.22 это точка П (3).

 

«Угловой» портфель, состоящий из акций Ти Ь имеет следую­щий весовой состав:

0,812

О 0,188

Для портфеля П (4) находим, что Ер = 0,117 и ар = 0,288.

Поскольку второй и четвертый «угловые» портфели являются смежными, то любая их комбинация является эффективным порт­фелем, лежащим в эффективном множестве между двумя данными.

Изображение графика данного эффективного множества яв­ляется простой задачей для компьютера, обладающего высокими графическими возможностями. Он может определить состав и со­ответственно ожидаемые доходности и стандартные отклонения каждого из, например 20, эффективных портфелей, равномерно распределенных между первым и вторым «угловыми» портфеля­ми. Затем он последовательно соединит отрезками точки, соот­ветствующие данным портфелям. Это придаст графику вид изог­нутой линии, показанной на рис. 6.22, так как данные портфели расположены близко друг к другу.

Таблица 6.12 «Угловые» портфели в случае трехрисковых акций

«Угловые»

Веса

 

«Угловые» портфели

портфели

Т

/

L

Ер

II -1

П(1)

0

0

1

0,21

0,632

П(2)

0

0,652

0,348

0,158

0,436

П(3)

0,693

0,307

0

0,106

0,248

П(4)

0,812

0

0,188

0,117

0,280

 

Продолжая в том же духе, можно построить, например, 20 эффективных портфелей между вторым и четвертым «угловыми» портфелями, а затем соответствующий сегмент эффективного мно­жества. После того, как данная процедура будет выполнена для следующего промежутка между четвертым и третьим «угловыми» портфелями, график будет полностью построен.

 

Однако эту процедуру можно значительно упростить. Нами доказано, что верхняя ветвь эффективного множества представ­ляет собой параболу вида

Ер = ао2р + Ьор + с.

Проведем параболу через три точки П (1) (.Ер\,Г\), П (2) (Ер22) и П (3)рз;гз), координаты которых берем из табл. 6.12. Нетруд­но показать, что параметры а, Ь, с определяются по формулам:

_ (ЕР\-Ер1)(г\-Гз)~(Ер1рЪ)(гх2)

(П-ъХп-ГзХъ-Гз)

ъ _ (Ер1 -Ерз){г2х -)-(Ер1р2)(г22) (г\-г2){г\-гъ)(Гг-Ь) 2ер\ ~Г\ЕРг)Ф\-Гз)-(.ггЕр\ ->\ЕРъ)Ф\ ~гг) (п-'гХп-'зХ'г-'з)

Подставляя сюда координаты точек П (1), П (2) и П (3), полу­чим, что а = -0,02940; Ь = 0,29671 и с = 0,03423. Тогда рыночная эффективная граница описывается уравнением:

Ер =-0,02940ст;; + 0,2967р + 0,03423.

Если подставить сюда координаты точки П (4) из табл. 6.12, то получим тождество. Это наглядно говорит о том, что рыночная эффективная граница описывается параболой.

После того, как были определены структура и местоположе­ние эффективного множества, можно определить состав оптималь­ного портфеля инвестора.

Процедура определения состава оптимального портфеля на­чинается с графического определения инвестором уровня его ожи­даемой доходности. То есть из графика инвестор может опреде­лить, где располагается О*, а затем с помощью линейки отметить его ожидаемую доходность. Для этого следует провести из точки О линию, перпендикулярную вертикальной оси (с помощью ком­пьютера это можно сделать значительно более точно).

Проведя данную операцию, инвестор теперь может определить два «угловых» портфеля с ожидаемыми доходностями, «окружа­ющими» данный уровень. То есть инвестор может определить «уг­

ловой» портфель, который имеет ближайшую ожидаемую доход­ность, большую, чем у данного портфеля (ближайший «угловой» портфель, расположенный «выше» О), и «угловой» портфель с ближайшей, меньшей ожидаемой доходностью (ближайший «уг­ловой» портфель, расположенный «ниже» О).

Рассмотрим рисковой портфель с Ер = 0,158. На графике рис. 6.22 ему соответствует ар - 0,436.

Из формулы (6.4.3) имеем:

Еп = 0,158 ■ V+ (I - V) • 0,085.

Выбирая доходность портфеля, равной Еп = 0,15, получим 0,15 = 0,158 • F + (1 - V) ■ 0,085 или У= 0,89.

Это означает, что оптимальный портфель состоит из 0,11, или 11% безрисковых акций и 0,89 или 89% рисковых акций.

Далее нужно определить состав рисковой части оптимально­го портфеля V\, F2, Vi. Для этого составляем систему

ОД-F,2 + 0,25F22 + 0,4 F32-0,0474F, F2 + 0,02F, F3 + 0,158F2F3 = 0,19,

0,095F, +0,13F2 +0,21F3 = 0,158,

F, + F2 + F3 = 1.

Решение этой системы равно: F, = 0,0015, F2 = 0,585, F3 = 0,4135. Следовательно, состав рисковой части оптимального портфеля определим как

'0,0015'

 

'0,001"\

0,585

-

0,521

0,4135

\ У

 

0,368

^ /

 

Таким образом, оптимальный портфель состоит на 11% из безрисковых акций (сберегательный счет), 0,1% акций Т, 52,1% акций I и 36,8% акций Ь, при этом его доходность Еп = 0,15 или 15%, а риск о,у = 0,436, или 43,6%.

І


Так если инвестор имеет один млн у.е. и он захотел вло­жить их в акции, то для получения дохода в 14% он должен вложить в сберегательный счет 110000 у.е., купить акций Т на 1000 у.е., акций./купить на 521000 у.е. и приобрести акций Ь на 368000 у.е.

 

Далее выберем на графике рис. 6.22 точку, соответствующую Ер - 0,117 и <7Р = 0,28. Если выбран портфель с требуемой доход­ностью Еп =0,14, или 14%, то по формуле (6.4.5) найдем, что без­рисковая доля портфеля составляет 0,179, или 17,9%, а риско­вая — 0,821, или 82,1%. Производя расчеты как и в предыдущем примере, получим два оптимальных портфеля акций

Т

(0,390 ^

 

( 0,630

1

0,394

и

0,049

L

0,037

0,142

S

0,179

V

 

0,179

V

 

Сравним между собою результаты составления оптимальных портфелей в этом параграфе. В п. 6.7.3 рассмотрено формирова­ние портфеля из четырех акций Т, I, Ь, Б и выводы вычислений представлены в виде табл. 6.10 и графика рис. 6.21. Оптимальный портфель составлялся, исходя из минимального риска при требу­емой доходности, методом квадратического программирования (метод Лагранжа).

Затем та же задача решалась методом линейного программи­рования (симплексным методом), исходя из максимальной при­были при заданном риске. Результаты вычислений представлены в табл. 6.11 и они в значительной степени зависят от коэффициен­та «бета».

Если взять Гп„п = 0,2436 в методе Лагранжа, то доходность пор­тфеля = 0,14, а если взят риск г = 0,2436 в симплексном методе, то в зависимости от коэффициентов «бета» максимальная доход­ность Етах равна 0,128, 0,132 и 0,144; для гт;п = 0,4615 имеем Еп = 0,18, а при допустимом риске г = 0,4615 максимальный до­ход равен 0,183, 0,205, 0,21. Эти сопоставления говорят об удов­летворительном совпадении оптимальных портфелей, составлен­ных по методу Лагранжа и симплексному методу. Хотя, естествен­но, необходимы исследования на ЭВМ для различных видов портфелей.

Портфель из тех же самых акций составлялся и с применением ЦМРК (САРМ). Результаты также хорошо согласуются с двумя предыдущими методами, а доходность по ЦМРК оказывается ниже на 5 — 15% при тех же уровнях риска.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48  Наверх ↑