4.4. РИСКОВЫЕ ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

4.4.1. Инвестиционные риски

Под инвестиционными рисками понимается возможность не­дополучения запланированной прибыли в ходе реализации инве­стиционных проектов. Объектом риска в данном случае выступа­ют имущественные интересы лица — инвестора, вкладывающего в проект в той или иной форме свои средства.

Суть инвестирования заключается во вложении собственного или заемного капитала в определенные виды активов, которые должны обеспечивать в будущем получение прибыли. Инвести­ции могут быть долгосрочными и краткосрочными.

Обычно различают финансовые инвестиции, состоящие в при­обретении ценных бумах объектов тезаврации, и реальные инвес­тиции в производственные и непроизводственные объекты. Мож­но также сказать, что реальные инвестиции — это финансирова­ние капитального строительства и капитальных вложений, направленных 11а создание основных фондов производственного и непроизводственного назначения.

Инвестиционная деятельность во всех ее формах и видах со­пряжена с риском, степень которого усиливается с переходом к рыночным отношениям в экономике. В современных условиях степень риска возрастает по мере нарастания неопределенности, а также в связи с быстрой изменчивостью экономической ситуа­ции в стране в целом и на инвестиционном рынке в частности. Риск увеличивается и с ростом предложения для инвестирования приватизируемых объектов, с появлением новых элементов и фи­нансовых инструментов для инвестирования и т.п.

Выбор варианта вложения денег очень важен, поскольку именно в этот момент определяется ход дальнейших действий инвестора и от него в значительной мере зависит успех в достижении целей. Луч­шим вариантом может оказаться не обязательно тот, который про­сто обеспечивает максимальную доходность: существенную роль могут играть и другие параметры, такие, как риск и условия налого­обложения. Например, инвестор, который стремится к получению максимальных годовых дивидендов, купит обыкновенную акцию компаний с самой высокой ожидаемой прибылью. Если фирма, вы­пустившая эту акцию, обанкротится, то акционер потеряет все вло­женные деньги. Чтобы успешно управлять вложениями, крайне важ­но внимательно выбирать финансовые инструменты, чтобы они со­ответствовали поставленным целям и характеризовались приемле­мыми уровнями доходности, риска и цены.

Индивидуальный инвестор имеет широкий выбор инструмен­тов по степени риска, начиная от ценных государственных бумаг, с которыми связан наименьший риск, и кончая товарами с очень высоким риском. У каждого типа размещения капитала есть ба­зовые характеристики риска, однако в каждом конкретном слу­чае риск определяется конкретными особенностями данного ин­струмента. Например, хотя принято считать, что вложения в ак­ции сопряжены с более высоким риском, чем вложения в облигации, можно без особых усилий найти облигации с очень высоким риском — большим, чем риск вложения в акции солид­ных компаний. Инвестиции с низким риском считаются безопас­ным средством получения определенного дохода, инвестиции с высоким риском, напротив, считаются спекулятивным. Термина­ми «инвестирование» и «спекуляция» обозначаются два различ­ных подхода к инвестированию. Как уже говорилось, под инвес­тированием понимается процесс покупки ценных бумаг и других активов, о которых можно с уверенностью сказать, что их сто­имость останется стабильной и на них можно будет получить не только положительную величину дохода, но даже предсказуемый доход: спекуляция состоит в осуществлении операций с такими же активами, но в ситуациях, когда их будущая стоимость и уро­вень ожидаемого дохода весьма надежны. Конечно, при более высокой степени риска от спекуляции ожидается и более высокий доход.

4.4.2. Ставки доходности рискованных активов

Чем выше риск неплатежа по инструментам с фиксированным доходом, тем выше процентная ставка по ним, даже если все ос­тальные характеристики остаются неизменными. Если проанали­зировать разные процентные ставки по облигациям с долларовым номиналом, выпущенные заемщиками, характеризующимися раз­ными степенями риска возможных неплатежей по своим займам, то можно сделать вывод, что долгосрочные облигации Казначей­ства США имеют самый низкий показатель такого риска, далее идут корпоративные облигации высокого качества, за ними — корпоративные облигации среднего качества. Доходность обли­гации первого вида составляет 6,21% в год, второго вида — 7,09% и третьего вида — 7,56% (все со сроком погашения больше 10 лет).

Процентные ставки представляют собой обещанные ставки доходности по инструментам с фиксированным доходом, кото­рые по своей сути являются договорными обязательствами эми­тента перед их владельцами. Однако не всем активам присуща какая-либо определенная ставка доходности. Например, если вы инвестируете капитал в недвижимость, акции или произведения искусства, вам не гарантируются конкретные выплаты в будущем. Теперь давайте рассмотрим, как измеряются ставки доходности по рискованным активам такого рода.

Если вы инвестировали капитал в какие-либо паевые ценные бумаги, например в обыкновенные акции, то ваш доход на вло­женный капитал будет поступать из двух источников. Первый — дивиденды, которые платит в денежной форме акционеру фирма- эмитент данных ценных бумаг. Эти дивидендные выплаты не ого­вариваются контрактом, и, следовательно, их нельзя назвать про­центными. Дивиденды выплачиваются по усмотрению совета ди­ректоров фирмы.

Вторым источником дохода от вложенного акционером капи­тала является прирост рыночного курса акции за время, пока ею владеет акционер. Этот тип дохода называют приростом капита­ла. Если же акционер несет убытки от падения курса, то тогда го­ворят о потере капитала. Продолжительность периода владе­ния акциями для определения размера дохода на вложенный ка­питал может составлять как всего один день, так и несколько де­сятилетий.

Чтобы проиллюстрировать, как измеряется уровень дохода на инвестированный капитал, предположим, что вы приобрели ак­ции по цене 100 у.е. за одну акцию. Через день курс этих акций поднялся до 101 у.е., и вы их продали. Ваша ставка доходности на вложенный капитал за один день составила 1% — показатель при­роста капитала на одну акцию (1 у.е.), поделенный на цену ее по­купки (100 у.е.).

Теперь представьте, что вы владеете приобретенными акция­ми в течение года. На конец года по акциям начисляются диви­денды в размере 5 у.е. на одну акцию и цена акции становится

105 у.е. Таким образом, доходность на вложенный капитал за один год, г, составит:

' цена акции _ начальная денежные в конце периода цена акции дивиденды

Г = *-------------------------------------------------------------- !-.

начальная цена акции

Для нашего примера мы имеем:

_ (105-100 + 5) ^г~ 100

Обратите внимание, что мы можем представить общую доход­ность вложенного капитала как сумму следующих компонентов: дивидендного дохода и изменения цены акций:

конечная начальная денежные дивиденды цена акции - цена акции

г = ■

начальная цена акции і іачальная цена акции

_г_ компонент                                 компонент

^г дивидендного дохода изменения цены '

г =5%+ 5% = 10%.

А каким же образом мы можем оценить ставку доходности, если решим не продавать свои акции?

Ответ заключается в следующем: ставка доходности по инвес­тициям в ценные бумаги (или ставка доходности ценных бумаг) определяется одним и тем же способом независимо от того, про­даем мы их или нет. Повышение курса акций на 5 у.е. в той же мере является частью нашего дохода на вложенный капитал, как и дивиденды в размере 5 у.е. Наше решение сохранить у себя акции и не продавать их никоим образом не изменит тот факт, что по истечении года мы могли бы реально продать их по цене 105 у.е. Следовательно, независимо от того, решим ли мы реали­зовать свой доход в виде прироста капитала, продав ценные бу­маги, или реинвестировать его (не продавая), ставка доходности составляет 10%.

Финансовая система предоставляет определенные возможно­сти получить гарантированную процентную ставку для людей, которые стремятся вкладывать средства в свободные от риска ак­тивы. Для этого им необходимо отказаться от определенной час­

ти ожидаемого дохода на вложенный капитал. Люди, менее чув­ствительные к риску, предоставляют тем, кто в большой степени не приемлет риска, возможность получить гарантированную про­центную ставку. Однако, эта ставка будет ниже, чем средняя ожи­даемая ставка доходности по рискованным активам. Чем выше степень неприятия риска среди населения, тем выше премия за риск и ниже величина безрисковой процентной ставки.

4.4.3. Чистая дисконтированная стоимость

В условиях рыночной экономики, особенно в период ее станов­ления, инвестирование развития сопряжено с риском неполучения ожидаемых результатов в установленные (желаемые) сроки.

В связи с этим возникает необходимость количественной оцен­ки степени риска инвестируемых средств с тем, чтобы заранее, еще до осуществления капитальных вложений, потенциальные инвес­торы могли иметь ясную картину реальных перспектив получе­ния прибыли и возврата вложенных средств.

Для оценки характеристики инвестиционных проектов важ­нейшее значение имеет ставка дисконтирования будущих дохо­дов к современному моменту.

Пример 4.14. Предположим, что через три года нам понадо­бится 1500 у.е. Спрашивается, сколько средств необходимо вло­жить сейчас, чтобы добиться этого?

Это значение называется текущей ценностью будущей потреб­ности. Стандартная формула (4.11) определяет стоимость буду­щего вложения, исходя из заданной текущей стоимости Р и коэф­фициента дисконтирования г.

Р, = Р(1 + г^-)'.

Отсюда

/> = —(4.29) (1 + 0'

Так, если известна фиксированная норма прибыли из расчета 8% годовых, т.е. i = 0,08, то

Р = ¹⁵⁰⁰ = 1190,74 у .е.

(1 + 0,08)

Итак, сейчас необходимо вложить 1190,74 у.е., чтобы через три года получить 1500 у.е.

В качестве варианта используется понятие чистой дисконти­рованной стоимости Р_чис., которая получается путем вычитания исходного вложения из будущей стоимости, таким образом:

^Рчис- ~ ТГ^Т'— ^Р'                                                                                             ⁽⁴-³⁰⁾

(1+0

Понятие текущей стоимости связано с вычислениями с приме­нением дисконтирования. В процессе дисконтирования стоимость денег рассматривается в их движении в обратном направлении во времени.

Пример 4.15. Рассмотрим вложение в 1000 у.е., которое станет 1500 у.е. через пять лет при условии годовой ставки дисконта в 8%.

Имеем по формуле (4.30):

Рчис - ¹⁵⁰⁰ ,—1000 = 190,74 у.е.

' (1+0,08)

Таким образом, при условии, что ставка дисконта в 8% доста­точно реальна, вложение все же выгодно, хотя, конечно, желатель­но было бы рассмотреть и другие варианты вложений с целью установления, является ли полученное значение чистой дисконти­рованной стоимости оптимальным.

Рассмотрим пример выбора наилучшего варианта инвестиро­вания.

Пример 4.16. Пусть ставка сложного процента 6% в год. Рассмот­рим три варианта единовременного вложения определенной суммы. По первому варианту через три года мы будем иметь 1500 у.е., по второму варианту — 1700 у.е. через пять лет и по третьему вариан­ту — 2000 у.е. через семь лет. Эти три варианта нужно сравнить, рас­считав для каждого случая чистую дисконтированную стоимость.

Для первого варианта текущая стоимость определяется как :

Р= ¹⁵⁰⁰ = 1259,4у.е.

(1 + 0,06)³

^ля второго варианта текущая стоимость равна:

Р= ¹⁷⁰⁰ =1270,3 у.е.

(1 + 0,06)⁵

Для третьего варианта текущая стоимость составляет:

Р =------------------------------- = 1330,1 у.е.

(1+0,06)⁷

Следовательно, как это видно из полученных результатов, те­кущая стоимость при третьем варианте выше. Поэтому, исходя из приведенных вычислений, третий вариант вложения кажется более выгодным. Следует отметить, что на практике для опреде­ления наилучшего варианта инвестирования приходится учиты­вать и другие факторы.

Во всех приведенных выше расчетах инвестиционных проектов ставка процента предполагалась неизменной. В действительности такое бывает крайне редко. Поэтому вопрос о выборе подходящей ставки процента становится одним из основных при практической оценке инвестиционного проекта. Только тщательный экономичес­кий анализ и прогноз позволит правильно принять ставку в конк­ретной ситуации. Чем ставка выше, тем в меньшей мере влияют на судьбу проекта отдаленные во времени платежи. Более значитель­ным является тот факт, что будущее вносит элементы неопределен­ности, а значит риска во всем: в величине будущих доходов и в их реальной ценности, ибо инфляция в будущем — вещь в высшей сте­пени неопределенная. Больший риск значительно обесценивает ре­альные возможности будущих платежей.

4.4.4. Аннуитет и фонд погашения

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом.

Например, индивидуальный предприниматель может изъявить желание внести разовую сумму в аннуитет с тем, чтобы по проше­ствии определенного периода времени ежемесячно получать пен­сию. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регуляр­ные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кре­дита, выплата процентов по ценным бумагам.

Наибольший интерес с практической точки зрения представ­ляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (по­стоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некото­рой закономерностью.

Фонд погашения является альтернативным вариантом аннуи­тета, когда производятся периодические взносы фиксированной суммы денежных средств для достижения конкретной цели в оп­ределенный момент времени.

Пусть в начальный период вложена разовая сумма Р, если за 5 принять сумму, прибавленную к сумме вложения или вычтен­ную из нее в конце каждого года, то накопленная сумма в конце г лет определяется следующей формулой:

5„=Р(1 + 0' + ^{5(1 +} ^^}'                                                            (4.31)

Первое слагаемое в этом выражении является накопленной стоимостью от первоначального вложения Р, второе слагаемое служит для вычисления суммы, накопленной от периодических платежей.

Пример 4.17. Первоначальное размещение исходной суммы составило 5000 у.е., после чего в течение пяти лет ежегодно произ­водились регулярные платежи в сумме 500 у.е. При условии годо­вой процентной ставки в 8% стоимость вложения в конце этого периода по формуле (4.31) равна:

« 500(1+ 0,08)⁵-500

=5000(1 +0,08)⁵ +------------------ -------------------

" 0,08

= 7346,64 + 2933,30 = 10279,94 у.е.

Видно, что исходное вложение в 5000 у.е. за пять лет прирас­тает до 7346,64 у.е., а ежегодные платежи в сумме 500 у.е. прирас­тают до итогового значения в 2933,30 у.е. и общая стоимость вло­жения равна 10279,94 у.е.

Изменим условие примера. При размещении начальной сум­мы в 5000 у.е. на вклад под 8% годовых и снятии 500 у.е. в конце каждого года, какая сумма останется на счете через пять лет?

Так как периодический платеж есть величина отрицательная, т.е. 5 = -500 у.е., то окончательная сумма по формуле (4.31) равна:

а. -5000(1+0.08,4'1-5°0)(^°.08)'-(-500),

и,ив

= 7346,64 — 2933,30 = 4413,34 у.е.

Первое слагаемое это сумма, которая могла бы быть на счете через пять лет при исходном вложении в 5000 у.е., а второе слагае­мое включает изъятие со счета за данный период (5 раз по 500 у.е.), а также потери процентного дохода, вызванные изъятием денег.

Выражение (4.31) можно преобразовать в выражение для пе­риодических платежей 5:

/(5„ -Р(1+0')

⁵⁼ (1+о' -1 •                                                                          ⁽⁴³²⁾

Пример 4.18. Инвестиционная компания предлагает аннуитет, при котором первоначальный разовый взнос в сумме 15000 у.е. будет приносить по 2000 у.е. в конце каждого года в течение сле­дующих десяти лет. Установите выгодность этого вложения при условии номинальной ставки процента в 8%.

Прежде всего определим какова должна быть первоначальная сумма вложения для последующего получения частичных плате­жей по 2000 у.е. По формуле (4.31) при £„ = 0, так как через десять лет вложения закончатся, имеем:

О = Р-(1+0,08)¹⁰ + (~2000)(1+0,08)¹⁰ - (-2000)

0,08

О = 2,159 - Р — 28973,12.

Отсюда Р = 13419,69 у.е.

Таким образом, аннуитет стоит разового взноса в сумме 13419,69 у.е., и при условии сохранения ставки процента на за­данном уровне представляется неудачным вложением. Если же учесть и другие факторы, например, инфляцию, то ясно, что это рисковое вложение капитала, заранее ведущее к потерям.

4.4.5. Оценка инвестиций

Формулу (4.29) можно представить в обобщенном виде с уче­том прибыли на вложение в различные периоды. Так, если исход­ное вложение Р дает доход Р\ в конце первого года, Р₂ — в конце второго года и т.д., то общую формулу можно записать в виде:

_р_ Р_х Р₂ Р₃

(1+0¹ (1+0² (1+0³ ^^{4 33)}

Пример 4.19. Сделано первоначальное вложение в 3000 у.е., которое дает 2000 у.е. в конце первого года, 1400 у.е. в конце вто­рого года и 1000 у.е. в конце третьего года. Внутреннюю норму рентабельности можно вычислить по формуле (4.33):

3000= _{+ +} -¹⁰⁰⁰

1+' (1+о² а+о³

Решение этого уравнения на компьютере дает значение г = 0,26. Следовательно, значение внутренней нормы рентабельности рав­но 26%, которое и является наилучшей оцеуко^вцутренней нор­мы рентабельности.

Пример 4.20. Нужно провести сравнительный анализ различ­ных вариантов инвестиций. Каждый из рассматриваемых проек­тов требует первоначального вложения капитала в сумме одного млн у.е. Оценки объема прибыли в течение четырех лет представ­лены в табл. 4.5.

 

Внутренняя норма рентабельности для проекта А из формулы (4.33) равна:

400000 300000 350000 500000 1000000 = ——— +             ;-+

1+» (1+0² (1+0³ (1+0

Решение этого уравнения дает / = 1,194 или 19,4%. Для проекта В имеем:

_Л 300000 350000 600000 200000

1000000 = ——— +---------------- - +------ г- +----- -

1+' (1+0 (1+0 (1+0 '

Решая это уравнение, получим / = 1,167 или 16,7%.

4 .

Составляем уравнение внутренней нормы рентабельности для проекта С:

250000 450000 250000 350000

1000000 = -—- +--------------------- г +------ Г +----- Г

1+* (1+0 (1+0 (1+0 '

Из этого уравнения получаем, что г = 1,112 или 11.2%. Так как проект А имеет большую внутреннюю рентабельность, равную 19,4%, то предпочтение следует отдать этому проекту.

4.4.6. Рисковые инвестиционные платежи

Если будущие платежи являются рискованными, т.е. они жес­тко не определены, то инвесторы уменьшают сегодняшнюю оцен­ку будущих доходов, применяя увеличенную ставку дисконтиро­вания. При этом следует разбить проекты на низко рисковые, сред­не рисковые и высоко рисковые и каждому виду приписать некоторый добавок к обычному коэффициенту дисконтирования, тем больший, чем выше риск.

С целью привлечения инвестиций для предлагаемых проектов фирма должна стремиться к уменьшению этого рискованного до­бавка. Для этого она должна привлекать к себе доверие потенци­альных инвесторов своевременной выплатой дивидендов, соблю­дением прав акционеров и др.

Рассмотрим инвестиции в ценные бумаги, т.е. покупку ее в начале периода по цене Р и продажу в конце по цене Рд. Возмож­ные текущие доходы обозначим через В соответствии с фор­мулой (4.29) за возможную оценку курсовой стоимости бумаги в начале периода принимается величина:

+ Рь

'-ТЙТ-                                                                                   (4-3.4)

Роль процентной ставки г играет безрисковая процентная став­ка г'о, играющая роль эффективности безрискового вложения. Вме­сте с тем для инвестора более точной начальной оценкой будущей стоимости является величина будущего ожидаемого дохода, дис­контированная по ставке доходности, которую он прогнозирует в качестве эффективности вклада.

Если средний ожидаемый доход по активу выражается в виде линейной функции от безрисковой ставки дохода /₀, ожидаемого дохода /_Ю(С по всем бумагам, обращающимся на финансовом рын­ке (взвешенная доходность), и уровня систематического риска, присущего активу и выражаемого через риск всего рынка и коэф­фициент Д„ ценных бумаг вида т относительно рынка, то ставка ожидаемой доходности по активу т определяется как:

1т = '0 + АиО'ож — 'о).                                                       (4.35)

Дисконтируя по этой ставке, получим оценку текущей сто­имости:

М(Р_к) ₊ М(Р_к) 1+1₀ + /3 _ти_ож~1₀У                                         ⁽⁴"⁵⁵⁾

В числителе стоит сумма средних ожидаемых от акции дохо­дов, а в знаменателе— единица плюс ставка доходности на рынке.

Пример 4.21. Финансовый рынок по стоимости состоит из 20% безрисковых и 80% рисковых бумаг. Рисковых бумаг четыре типа: первые составляют ¹/₆ часть и для них Д = 0,9, вторые — /4 часть и = 0,7, третьи —¹/₃ часть и Дз = 1,1. Найти долю и /3 четвертых бумаг. Найти эффективности всех рисковых бумаг и среднюю доходность по всему рынку, если эффективность рынка (сред­няя доходность по рисковым бумагам) 8%, а безрисковая ставка равна 4%.

Доля четвертых бумаг равна

, Г^{1 1} О ¹

[б ⁺ 4 ⁺ з]⁼4 •

/3 четвертых бумаг находится из условия, что дл^ рыночного пор­тфеля /3=1. Следовательно,

-0,9 + ±0,7 + ^1,1+~/3₄=1,

о                                       4         3 4

37

отсюда /3₄ = —. Эффективность каждой ценной бумаги равна:

1_т = го + Р„, (!ож - 1о) = 0,04 + Ди(0,08 - 0,04) = 0,04 + 0,04 • Д„.

Тогда I! = 0,04 + 0,04 • 0,9 = 0,076, или 7,6%; г₂ = 0,04 + 0,04 ■ 0,7 = = 0,068, или 6,8%; г₃ = 0,04 + 0,04 • 1,1 = 0,084, или 8,4%;

209

i₄ =0,04 + 0,04 — = 0,089, или 8,9%. Средняя доходность по всему рынку равна:

0,2 • 4 + 0,8 • 8 = 7,2%.

При положительной коррелированности актива с рынком, чем больше вносимый рынком риск, тем больше ставка доходности, тем меньше современная оценка будущих доходов от акции и, наоборот, при отрицательной коррелированности актива с рын­ком, чем больше рыночной риск, тем больше современная оценка будущих доходов от актива.

4.4.7. Дисконтирование во времени

В п. 4.2.2. была получена формула:

rt

p_t =р._е 100 =р._е\

которая позволяет определить величину вклада Р, через про­межуток времени t, если начальный вклад составляет Р и процен­тная ставка г, или i ~ исчисляется непрерывно.

Рассмотрим теперь обратную задачу для нахождения стоимо­сти аннуитета (регулярных платежей) применительно к непрерыв­ным процентам.

В этом случае платежи зависят от времени, т.е. являются фун­кцией от t, что можно записать как Р = P(t).

Требуется определить величину вклада Р через Глет. Для ре­шения разобьем Глет на п равных промежутков времени At, как показано на рис. 4.11.

Если поступления непрерывны, то в течение малого промежут­ка времени At их можно считать постоянными, а их величина от момента времени г, до t_i+i составит приближенно

P{td At.

За время (Г- tj) наращенная сумма, рассчитанная по формуле непрерывных процентов, за счет начисления процентов на взнос Р(/,) • At станет равной

[p(/,.)A/]_e^r(7"-"^)/100.

 

Теперь, чтобы получить общую величину вклада £ через Глет, достаточно сложить все «малые вклады», а именно

Р, = [Р(ОИ^Г-0^)/10° +...+ />(,_л)_е^г(Г-'<->^/,00]дг.

Это приближенное равенство станет точным, если промежу­ток времени Дг будет становиться сколь угодно малым. В этом случае сумма, стоящая в правой части, превращается в опреде­ленный интеграл.

Окончательная формула имеет вид:

Р,                                                                                            (4.37)

Ранее рассматривалось понятие дисконта, связанное для не­прерывных процентов с формулой

_{Р = Р[Є}-*і іоо                                                                             _{(4 38)}

Эта формула дает возможность определить величину началь­ного вклада Р, если известно, что через г лет он должен составить величину Р„ а непрерывная процентная ставка равна г. Задача аннуитета в этом случае может быть сформулирована так: найти величину начального вклада Р, если регулярные выплаты по это­му вкладу должны составлять Р, ежегодно в течение Глет.

 

Расчетная формула (ее вывод аналогичен аннуитету с плате­жами) такова:

Р = [ Р,ё-^л'^тЛ,                                                                           (4.39)

•о

где г — непрерывная процентная ставка.

Для примера вычислим начальный вклад Р, если выплаты дол­жны составлять 100 у.е. в течение 4 лет, а процентная ставка рав­на 7, т.е.

Р, = 100; Г =4; г = 7%. Подставляя численные значения в формулу, получаем:

Р= Г Ре-«'™* = Г100«Г⁷"¹⁰⁰Л = ЮоГе-°-⁰⁷'А = 1о    Jo         л

⁴₌_МЫ_,)₌ 348,88у.е. о 0,07^у        '  ³

0,07

Это и есть искомый начальный вклад.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией Р,(0⁼Л0 ^{и П}Р^И удельной норме процент­ной ставки, равной г, процент начисляется непрерывно. Как и в предыдущем пункте можно показать, что в этом случае дисконти­рованный доход Р за время Т вычисляется по формуле

т

Р = |/(0«"^йЛ.                                                                        (4.40)

о

Пример 4.22. Определим дисконтированную сумму Р при ДО = £о(1 + &/), где £о — начальные капиталовложения, к — ежегод­ная доля их увеличения. Иными словами, при заданных величи­нах г и к требуется оценить, что выгоднее: наращивать капита­ловложения или вложить их одновременно при непрерывно на­числяемой процентной ставке.

 

Из полученной формулы можно сделать некоторые выводы:

1. Чем выше процентная ставка г, тем меньше дисконтная сум­ма Р и, следовательно, выше доход, вычисляемый как разность между суммой ежегодно растущих капиталовложений за Т пет и величиной Р. Если рассматривать Р как дисконтный доход, то увеличение процентной ставки г снижает рентабельность помеще­ния капитала.

2.  Увеличение интенсивности ежегодных капиталовложений (к) приводит к увеличению Р.

3.  При неизменных / и к дисконтный цоход растет с увеличе­нием промежутка времени Т (количества лет).

Например, при процентной ставке г = 5% (г = 0,05) и при еже­годном увеличении капиталовложений на 5% (к = 0,05) получаем, что за 5 лет дисконтная сумма Р ~ в то время как сумма еже­годных капиталовложений за этот период составит Р_е = 6,25 при к = 0,1 (10%-ное увеличение ежегодных капиталовложений) и тех же самых г и Тсоответственно имеет Р ~ 5,5 5о и Р_е = 6,5 5о> т.е. в первом случае разность Р_е — Р,- ~ 1,25 тогда как во втором случае она снижается до ~ 5о.

При аналогичных оценочных расчетах в реальных условиях следует учитывать существенную роль темпа инфляции, который, в первую очередь, определяет приемлемую величину промежутка времени Т. Очевидно, что при высоком уровне инфляции выгод­ны только краткосрочные капиталовложения, которые гаранти­руют минимальные значения риска.

Пример 4.23. Определить дисконтируемый доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные капитале в ложе-

ния составили 1 млн у.е., и намечается ежегодно увеличивать ка­питаловложения на 0,1 млн у.е.

Решение. Ясно, что капиталовложения задаются функцией /(/) =1+0,1 I. По формуле (4.40) записываем дисконтирован­ную сумму капиталовложений:

1^ + 0,01^	е-0,08,
И

Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 1 до 1,3 млн у.е. равносильны одновременным первоначальным вло­жениям 3,05 млн у.е. при той же, начисляемой непрерывно, про­центной ставке.

Пример 4.24. Под строительство завода задан непрерывный денежный поток со скоростью ДО = -/² + 20? + 5 (млн у.е.) в тече­ние 8 лет с годовой процентной ставкой, равной 5%. Найти дис­контированную стоимость этого потока.

Р = Г (-г² + 20/ + 5) • е'^'Ж = 20(г² + 20? + 395)е Л)

= 20(64 +160 + 395) • е^-0'⁴ - 7900 • е° = 398,6.

Дважды провели интегрирование по частям.

Таким образом, начальная сумма капиталовложений равня­лась бы 398,6 млн у.е.

Рассмотрим теперь задачу нахождения капитала (основных фондов) по известным чистым инвестициям. Напомним: чистые инвестиции (капиталовложения) — это общие инвестиции, про­изводимые в экономике в течение определенного промежутка вре­мени (чаще всего — года), за вычетом инвестиций на возмещение выходящих из строя основных фондов (капитала). Таким обра­зом, за единицу времени капитал увеличивается на величину чис­тых инвестиций.

Если капитал обозначить как функцию времени Щ), а чистые инвестиции —1(1), сказанное выше можно записать в виде:

т.е. это производная от капитала по времени ?.

 

Часто требуется найти приращение капитала за период с мо­мента времени t\ до ?2> т.е. величину

АЛ: = K(t₂) - K(t\).

Замечая, что K(t) является первообразной для функции I(t), и вспоминая формулу, связывающую первообразную с определен­ным интегралом, можно сразу написать:

ДК = K(t₂)-K(t_t)= Г1(t)dt.                                                    (4.40)

Л,

Пусть, например, по заданным чистым инвестициям

/(f) = 1000jt = 7000/^1/2

нужно определить приращение капитала за три года. Очевидно, что = 0, t₂ = 3.

Непосредственное применение формулы дает:

р , Г

ДА' = К(3) - К(0) = 7000г² dt = 7000 Jo

 

Теперь, оставляя неизменной функцию /(г), задающую инвес­тиции, попробуем ответить на вопрос: через сколько лет прира­щение составит 50000, т.е.

Д К = 50000.

Обозначая искомый промежуток времени через Т, можно на­писать

дк = |_о/(*)л,

или, подставляя численные значения,

,г I 50000 = 7000t²dt. Jo

 

Мы получили уравнение, которое интересно тем, что неизвес­тная величина Т— это верхний предел интегрирования. Для ре­шения вычислим определенный интеграл

 

гТ і

7000- і²Ж = 7000 Л>

 

Теперь уравнение можно записать в виде:

( 3

4666,67 • Т² =50000.

В данном случае это нелинейное уравнение решается доста­точно просто. Разделим обе части на постоянный множитель, что дает:

з

Т² =10,71.

Возводя обе части в степень ²/з

2 2 2 (Г³)³ = 10,71³,

окончательно получаем

Г =4,86.

Именно столько лет требуется, чтобы приращение капитала составило 50000.