Тема 3.4. Непараметричні методи оцінки

тісноти зв’язку. Рангова кореляція

• обчислення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена

• обчислення рангового коефіцієнта кореляції Кендала

Основні терміни теми: ранг, рангові коефіцієнти кореляції Спірмена та Кендала.

Серед непараметричних (емпіричних) методів оцінки тісноти зв’язку найбільше значення мають розрахунки рангових коефіцієнтів Спірмена  і Кендала  .

  Ці коефіцієнти можуть бути використанні для визначення тісноти зв’язку як між кількісними, так і між якісними ознаками при умові, якщо значення цих показників можуть бути впорядковані або ранжовані по спаданню або зростанню ознаки.

  Для визначення рангового коефіцієнта кореляції ранжують (тобто записують у зростаючому або спадаючому порядку) всі значення факторної ознаки  і разом з тим записують відповідні значення результативної ознаки  . Іншими словами, визначають ранг по обох ознаках, тобто номер кожної ознаки в рангових рядах.

  Ступінь тісноти зв’язку між ознаками визначається ранговим коефі¬цієнтом кореляції Спірмена за формулою:

 , (1)

де  – квадрати різниць рангів зв’язаних величин  та  , п – число спостережень (число пар рангів).

  Приклад 1. Визначити, чи існує залежність між стажем роботи та виробітком робітника для таких даних:

Таблиця.1.

№ п/п           Стаж роботи робітників, х      Виробіток на одного робітника, у

1        2,5        222

2        2,5        223

3        1          200

4        1          202

5        1          205

6        5          244

7        5          250

8        3          234

9        4,5        241

10      4,4        244

11      2,7        230

  Розв’язання. 1. Фактори  і  ранжуємо (впорядкуємо) в порядку зрос¬тання (спадання) їх значень і заповнюємо табл. 2.

Таблиця 2.

                                  Ранг ознаки     Ранг ознаки у   Рангова різниця,           

1        1          200       4          3          1          1

2        1          202       4          4          0          0

3        1          205       4          5          -1         1

4        2,5        222       1,5        1          0,5        0,25

5        2,5        223       1,5        2          -0,5      0,25

6        2,7        230       11        11        0          0

7        3          234       8          8          0          0

8        4,4        241       10        9          1          1

9        4,5        244       9          8          1          1

10      5          244       6,5        8          -1,5      2,25

11      5          250       6,5        7          -0,5      0,25

Всього                      3,5-3,5=0          7

2. Визначаємо ранги за обома ознаками, тобто номер кожної ознаки в ранжованих рядах. Для рівних значень факторів х та у ранг находять шляхом ділення суми рангів, що приходяться на неї, на число рівних значень.

3. Знаходимо рангову різницю  та  .

4. Розрахуємо коефіцієнт кореляції рангів Спірмена:

 .

Таким чином, між стажем роботи та виробітком робітника існує пряма залежність.

Розрахунок рангового коефіцієнта Кендала здійснюється за формулою:

  (2)

де п – число спостережень, S – сума додатних та від’ємних балів по одній із зв’язаних величин, ранги якої розміщені у відповідності з впорядкованими рангами іншої.

  Приклад 2. У табл.3 приведені данні про чисельність робітників х та випуск продукції у, по десяти однотипних підприємствах. Розрахувати коефіцієнти рангової кореляції Кендала.

Розв’язання. 1. Впорядкуємо ранг по ознаці х та у, тоді одержимо стовпчики 4, 5 таблиці 3.

2. Підрахуємо бали, починаючи з першого рангу ознаки у, рівного оди¬ниці. Число рангів, попередніх йому і більших нього дорівнює нулю (від’ємні бали), а наступних за ним і більших нього дорівнює дев’яти (додатні бали).

Аналогічний розрахунок балів проводиться по всіх рангах (стовпчики 7,8).

Таблиця 3

Підпри-ємство          Чисельність робітників           Випуск продукції         Ранг ознаки     Ранг ознаки                 Бали для рангу у

          х          у          х          у                      від’ємні            додатні            Всього

1        345       23        1          1          0          0          9          9

2        485       42        4          5,5        2,25      0          4          4

3        515       37        5          3          4          1          6          7

4        622       40        6          4          4          1          5          6

5        417       30        2          2          0          3          5          8

6        450       45        3          7          16        0          3          3

7        655       42        7          5,5        2,25      1          3          4

8        815       64        8          9          1          0          1          1

9        925       73        10        10        0          0          0          0

10      878       50        9          8          1          2          0          2

Всього                                                          30,5      8          36        44

3. Знаходимо суму додатних та від’ємних балів і загальну суму балів (стовпчики 6, 7, 8). Тоді коефіцієнт Кендала

 .

4. За даними таблиці 3. також розрахуємо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена

 .