ТЕМА 3.2. Лінійний кореляційний та регресійний аналіз

• знаходження вибіркових коефіцієнтів рівняння регресії

• вираження вибіркового коефіцієнта кореляції через вибіркові коефіцієнти ріввняння регресії

Основні терміни теми: кореляційна таблиця, вибіркові коефіцієнти рівняння регресії, вибірковий коефіцієнт кореляції.

  Нехай між  та  існує лінійна кореляційна залежність і для знаход¬ження параметрів  і  рівняння прямої регресії  проведено  незалежних спостережень, результати яких подано кореляційною таблицею:

Задача регресійного аналізу полягає у відшуканні невідомих параметрів  і  рівняння регресії  . При цьому необхідно досягти ”найкра¬щої” апроксимації. Найчастіше при цьому користуються методом найменших квадратів, що передбачає мінімізацію виразу:

 .  (1)

Мінімум функції (1) досягається за умови, коли її перші похідні дорівнюють нулю. Тому, взявши частинні похідні  ,  і прирівнявши їх до нуля, після елементарних перетворень одержимо систему нормальних рівнянь:

  (2)

Враховуючи, що

 

де  – вибіркові середні, перше рівняння системи (2) набуде вигляду  , звідки  .

Підставляючи значення  в друге рівняння системи (2), дістанемо

  (3)

Параметр  називається вибірковим коефіцієнтом регресії  на  і позначається  . Тоді вибіркове рівняння прямої лінії регресії  на  матиме вигляд

 .  (4)

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії  на  можна записати ще й так:

 ,  (5)

де вибірковий коефіцієнт кореляції

  (6)

  – вибіркові середньоквадратичні відхилення.

3). Рівняння прямої лінії регресії  на  та  на  запишемо виходячи із формул:

 ,   .

Враховуючи попередні обчислення, маємо такі вибіркові рівняння регресії:

  і  .