4.     ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНІ ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ

Експеримент є одним з основних методів наукових досліджень. Розрізняють два види експериментів - пасивні (спостереження) й ак-тивні (керовані). У першому випадку здійснюють тільки реєстрацію подій на входах та виходах системи. Прикладом спостережень є аст-рономічні дослідження. У цьому разі людина не має змоги будь-як впливати на досліджувану систему, а може тільки збирати й упоряд-ковувати інформацію про неї. При проведенні активного експеримен-ту здійснюється цілеспрямований вплив на деякі з входів. Як правило, дослідник прагне зафіксувати постійний рівень впливу на більшість контрольованих ним входів і цілеспрямовано змінювати його на од­ному чи декількох інших входах. Прикладом є дослідження залежнос-Ti сили струму в провіднику від напруги, що подається на його кінці. Єдиною змінюваною дослідником величиною є ця напруга. Всі інші icTOTHi фактори (матеріал зразка, його геометричні розміри, темпера­тура тощо) дослідник прагне підтримувати постійними.

За останш ЮОроюв поняття експерименту зазнало суттєвих змін порівняно з тим, як воно було напочатку сформульовано класич-ною фізикою. Сучасна теорія експерименту обґрунтовує такі особли-вості експериментальних досліджень.

1.  Існують явища, що можуть спостерігатися, які або принципо-
во не допускають числової міри, або не можуть бути кількісно описа-
ними на сучасному рівні розвитку науки, але можуть фіксуватися в
"слабких" ("якісних") шкалах вимірювання та згодом враховуватися
при побудові та дослідженні моделей, призначених для одержання
якісних висновків. Наприклад, важко кількісно виразити, наскільки
політична програма однієї партп е більш адекватною потребам суспі-
льства, ніж програма іншої, наскільки рівень знань відмінника відріз-
няється вщ р1вня середнього студента й таке інше.

2.             Існують спостереження, для яких розпливчастість (невизна-
ченість) є невід'ємною природною властивістю. Для їх обробки на

107

сьогодні розроблено відповідний математичний апарат, яким є теорія нечітких множин.

3.              Будь-які емпіричні дат мктять похибки. Існують похибки,
що в принципі можуть бути усунуті чи зменшені (помилки експери-
ментатора, сторонні впливи тощо). Поряд з ними існують похибки,
яю е невід'ємною властивістю самого процесу вимірювання (власні
шуми апаратури, квантові шуми, співвідношення невизначеності то­
що). Моделі, що перевіряються, мають містити гіпотези не тільки про
досліджуваний об'єкт, а й про похибки вимірювань.

4.              Значного поширення набули статистичні вимірювання, тобто
оцінювання параметрів розподілів імовірності за реалізаціями випад-
кових процесів.

Результатом експерименту є виміри, що фіксуються у вигляді символів, номерів або чисел (різниця між номерами й числами поля-гає в тому, що номери служать лише для позначення та впорядкуван-ня різних об'єктів, арифметичш дп над ними є некоректними).

Вимір є алгоритмічною операцією, яка кожному стану спосте-режуваної системи ставить у відповідність певне позначення - число, номер чи символ. Така відповідність забезпечує наявність у результа­тах вимірів інформац^ії про об'єкт спостереження. Потрібна дослідни-ку інформація може бути отримана за допомогою обробки експери-ментальних даних.

Питання. Якого типу експерименти найчастіше проводяться в організаційних системах?

4.1. Шкали найменувань

Розглянемо об'єкти, про будь-які два стани яких можна сказати, розрізняються вони чи ні. Крім того, зосередимо увагу на таких алго­ритмах вимірювань, що різним станам системи ставлять у відповід-ність різні позначення, а еквівалентним (тотожним) — однакові. Тобто приймемо, що можливі стани об'єкта та ї^х позначення задовольняють таким аксіомам тотожності:

1.  Або А = В, або А ≠ В.

2.             Якщо А = В, то В = А.

3.             Якщо А = В і В = С, то А = С.

108

Тут символ "=" означає рівність, якщо А і В - числа, і еквівален-тність (тотожність) - в інших випадках.

Припустимо, що кількість станів, які розрізняються (класів екві валентності), має певне (скінченне) значення. Кожному класу поста-вимо у відповідність позначення, яке відрізняється від позначень ін-ших класів. Вимірювання буде полягати у визначенні належності ре­зультату до того чи іншого класу еквівалентності. Множина символів, що позначають різні класи, утворює шкалу найменувань (рівнозначні терміни - номінальна шкала, класифікаційна шкала). К зручно вико-ристовувати для класифікації дискретних за своєю природою об'єктів. Прикладами таких шкал можуть служити сукупності держав світу, родів військ у Збройних силах України, будинків на певній вулиці тощо. При великш кшькост1 класів еквівалентності, зокрема при роз-робці систем поштових адрес, автомобільних номерів й ін., позначен­ня зручно вводити ієрархічно. Шкали найменувань можна використо-вувати також і при описі неперервних об'єктів. У таких випадках не-перервна множина розбивається на скінченну кількість підмножин, кожна з яких утворює окремий клас еквівалентності. Межі класів час­то є умовними, що в окремих випадках може породжувати проблеми. Зокрема, говорять про сім кольорів райдуги, але думки двох різних людей про те, яка довжина хвилі відповідає, наприклад, межі між си-нім та фіолетовим кольорами, як правило, не збігаються. В українсь-кій та російській мовах розрізнюють синій та голубий кольори, а в ан-глійській - вони позначаються однією назвою "blue", іноді голубий колір позначають словосполученням "light blue", тобто світло-синій. Іншим прикладом може служити часта розбіжність думок викладача й студента про те, яку оцінку варто поставити останньому на іспиті.

При обробці експериментальних даних, зафіксованих у номіна-льній шкалі, з самими даними можна виконувати тільки одну опера-цію - перевірку ^їх збігу чи розбіжності. Результат ціє^ї операції можна виразити за допомогою символу Кронекера: δ₌ = ≠ 1: ij i {_} 1: Xj ф хЛ ,

де xi, xj - записи різних вимірів. Із цими результатами можна викону­вати бшып складш операцй", зокрема, розраховувати кількості збігів

п (кількість спостережень k-го класу nk = ∑δkj, n — загальна кількість

спостережень), обчислювати відносні частоти класів (pk = nk/n), порі-внювати щ частоти між собою тощо. При цьому необхідно стежити,

109

щоб з вихідними даними не виконувалися тяю дп, крім їх перевірки на збіг.

Завдання. Наведіть приклади застосування шкали найменувань.

4.2. Порядкові шкали

У багатьох випадках вимірювана ознака стану системи дає змо-гу не тільки ототожнити стан з одним із класів еквівалентності, а й порівнювати різні класи в певному відношенні. Якщо таке порівняння не здійснювати, то частина корисшн шформацп буде втрачена. У зв'я-зку з цим розроблеш бшып сильш вим1рювальн1 шкали, ніж шкала найменувань.

Наступною за силою після номінальної є порядкова (рангова) шкала. Порядкові шкали використовують, якщо класи, крім аксіом тотожності, задовольняють також таким аксіомам упорядкованості:

4.             Якщо A > B, то B < A.

5.             Якщо A > B і B > C, то A > C.

Прикладами шкал простого порядку є військові звання, рейтин­ги впливовості політиків, нумерація черговості тощо. У таких шкалах класи позначаються деякими символами, між якими встановлюються Ti самі відносини порядку, що й між класами.

Однак можлива ситуація, коли два класи не можна впорядкува-ти за перевагою, і вони вважаються рівними. Тоді замість аксіом 4 і 5 будуть виконуватися такі аксіоми:

4*. Якщо А < В, то А > В.

5*. Якщо А > В і В > С, то А > С.

Шкала, що відповідає аксіомам 4 i 5* , називається шкалою сла-бкого порядку. Прикладами таких шкал є впорядкування людей за ступенем споріднення з певними особами, студентських груп за кур­сами, працівників за стажем роботи й таке інше.

Разом з тим іноді виявляється, що деякі пари класів не можна порівняти між собою, тобто неможливо зробити вибір А > В чи В > А. У таких випадках вводять шкалу часткового порядку. Подібні шкали часто зустрічаються в соціологічних дослідженнях. У людей можуть

ПО

виникати труднощі при впорядкуванні за перевагою політичних пар-тій, улюблених занять, різних груп товарів тощо.

Характерною рисою порядкових шкал є те, що встановлення відносини порядку не дає інформації про відстань між класами. Тому над порядковими експериментальними даними, навіть якщо вони зо-бражуються числами, не можна виконувати різні дії, як над звичай-ними числами. Зокрема, не коректно знаходити вибіркове середнє по­рядкових вимірів. З цими числами можна виконувати тільки дві опе-рації - перевірку ^їх збігу чи розбіжності, а також визначення кращого результату спостережень. Остання операція формально може бути ви-ражена через різницю t = =₋ i j. Введемо індикатор позитивних чисел

п .                                                                                                                  ,

- функцію C(t) = {}1: t ≥ 0; 0: t < 0. Число Ri = ∑C()xi − xj , де n - кіль-

j=1 кість порівнюваних об'єктів ()1 ≤ Ri ≤ n, називають рангом i-го об'єкта.

Якщо має місце слабкий порядок, то частина спостережень збігається (така група спостережень називається зв'язкою), і всі вони одержують той самий (як правило, старший для них) ранг. Іноді використання старшого рангу є незручним. У таких випадках усім спостереженням присвоюється середній для зв'язки ранг (мідранг) або випадково - ра­нги від молодшого до старшого.

Обробка даних ґрунтується на використанні величин 8у та Ri.

Для цих чисел можна знаходити частоти й моди, вибіркові медіани (тобто спостереження з рангом Ri, найближчим до n/2), вибіркові ква-нтілі будь-якого рівня р (тобто спостереження з рангом Ri, найближ­чим до величини np, 0 < p < 1), коефіцієнти рангової кореляцп М1Ж двома серіями порядкових спостережень і таке інше.

При використанні порядкових шкал варто мати на увазі, що во­ни визначеш тшьки для заданого набору порівнюваних об'єктів. Для цих шкал немає загальноприйнятого чи тим більше абсолютного ста­ндарту.

Завдання. Чому порядкові шкали є більш сильними, ніж шкала найменувань? Наведіть приклади вимірювальних шкал, що відпові дають співвідношенням 4, 5 і 4*, 5*.

4.3. Модифіковані порядкові шкали

Багато з вимірюваних у порядкових (принципово дискретних) шкалах величин, наприклад сила вітру, глибина знань тощо, насправді

ill

мають неперервний характер. Для аналізу результате ix вимірювань використовують менш строгі порядкові шкали. До них належать шка­ла твердості речовин за Моосом, шкала сили вітру за Бофортом, шка­ла магнітуд землетрусів за Ріхтером, шкала сили хвиль на морі, різні варіанти бальних шкал оцінки знань тощо. Розглянемо деякі прикла-ди.

Шкала твердості за Моосом. З двох матеріалів бшып твердим вважається той, котрий залишає на іншому подряпини чи вм'ятини при досить сильному зіткненні. Відношення "А твердіше за В" є ти-повим відношенням порядку. У 1811 р. німецький мінералог Ф. Моос запропонував шкалу, що містить 10класів речовин зі зростаючою твердістю: 1 - тальк, 2 - гіпс, 3 - кальцій, 4 - флюорит, 5 - апатит, 6 -ортоклаз, 7 - кварц, 8 - топаз, 9 - корунд, 10 - алмаз. Шкала штучно встановлює слабкий порядок. Градації твердості не мають числового характеру. Не можна говорити, що алмаз у 2 рази твердіший за апатит чи у 10 разів твердіший за тальк.

Шкала сили вітру за Бофортом. У 1806 р. англійський адмірал Ф. Бофорт запропонував 12-бальну шкалу сили вітру, визначаючи п за характером хвилювання моря та можливими руйнуваннями наземних об'єктів.

Шкала магнітуд землетрусів за Ріхтером. У 1935 р. американсь-кий сейсмолог Ч. Ріхтер запропонував 12-бальну шкалу для оцінки енергії сейсмічних хвиль залежно від наслідків ї^х проходження по да-ній території.

Бальні шкали оцінки знань. Такі шкали призначені для встанов-лення відносин порядку в рівні знань школярів і студентів. На сього-дні використовують різні шкали від 2-бальної (залік - незалік) до 100-бальних. Грубою методичною помилкою є визначення середнього ба­ла, тому що для порядкових шкал ця величина не має сенсу. Мало-ефективними є також спроби зробити бальні шкали оцінки знань об'-єктивними за допомогою введення незалежних стандартів. Викладачі й експерти по-різному розуміють вимоги стандартів, і оцінки все одно виявляються відносними. Відомо, що рівень знань відмінників різних шкш i вузів помітно відрізняється. Тому у відповідальних випадках за необхідності зіставлення рівнів знань осіб, що навчаються чи закінчи-ли різні навчальні заклади, порівнюють безпосередньо ї^х знання (за допомогою конкурсів, олімпіад і т. п.), а не документи про успішність навчання.

112

Завдання. У НТУУ "КПІ" запропонована чотирирівнева 12-бальна шкала оцінок, відповідно до якої знання на кожному з рівнів оцінюють за 3-бальною шкалою. Студент, що складає іспит, вибирає рівень, за яким йому дають запитання й при задовільних відповідях, скажімо, на третьому рівні, він одержує 7, 8 або 9 балів. Як Ви вважа-єте, чи є така шкала кращою за просту 12-бальну, де рівень запитань для всіх студентів однаковий?

4.4. Шкали інтервалів

Якщо для певної множини об'єктів можна вказати відстань між будь-якими двома елементами, виражену в деяких довільних одиницях, то для впорядкування елементів цієї множини використовують інтерва-льні шкали. Така шкала задається введенням початку відліку й одиниці вимірювань, які можуть бути обрані довільно. При використанні двох рі-зних шкал вимірювань для впорядкування тієї самої множини значення х, що відповідає певному елементу в одній шкалі, буде пов'язане зі зна­ченням у, яке відповідає цьому ж елементу в іншій шкалі, співвідношен-ням у = ах + ,деа>0іb- деякі сталі. Інтервали між двома елементами в одній шкалі будуть у ту саму кількість разів більше за вщповщш iHrep-вали в шшш niKani: у₂ -у₁ =а(х₂ -xj. Вщношення 1нтервал1в, вираже-

них у різних шкалах, буде однаковим для будь-якої пари елементів:

У2-У1 _yj~yj __п

---------- —----------- — а .

^x2^−x1 ^xi^−xj

Прикладами величин, що припускають свободу вибору початку відліку та вимірюються в інтервальних шкалах, є температура, час, координати.

У шкалі інтервалів тільки інтервали мають значення справжніх чисел і з ними можна виконувати арифметичні операції. Самі значен­ня не є справжніми числами й в окремих випадках результати опера-цій з ними можуть не мати сенсу. Наприклад, неправильно стверджу-вати, що температура води збільшилася в два рази при нагр1ванш вщ 10 до 20 оС чи що потенціальна енергія тіла зменшилася в 10 разів при перемщенш тша з висоти 10 м на висоту 1 м. Єдиною новою порів-няно з попередніми шкалами припустимою операцією над спостере-женнями є визначення інтервалу (відстані) між ними. Над інтервала-ми можна виконувати будь-які арифметичш дй, а також використову-вати придатні методи статистично^ї або іншої обробки даних. При цьому варто мати на увазі, що початкові моменти розподілів, зокрема

113

середні значення, для інтервальних шкал є відносними, як і самі вимі ри. Варто виявляти обережність також і при визначенш р1зних статис-тичних параметрів, що розраховуються через початкові моменти роз-поділів, таких як відносна похибка (відношення стандартного відхи-лення до математичного очікування). Відповідні значення часто наво-дяться в спещальнш лггератур1. Однак вони мають сенс лише в тому випадку, коли зазначено використану для вимірів шкалу. Водночас центральні моменти, зокрема вибіркова дисперсія, мають об'єктивний сенс, оскільки виражаються не безпосередньо через виміри, а через інтервали.

Окремим випадком інтервальних шкал є шкали різниць (цикліч-Hi шкали, періодичні шкали). У них а = 1 і зв'язок між результатами вимірів одніє^ї величини у двох різних шкалах визначається співвід-ношенням у = х + b.

Питання. Як Ви вважаєте, чи не слід запропоновану в НТУУ "КПІ" 12-бальну шкалу віднести до шкал інтервалів?

4.5. Шкали відношень

Нехай величини, що спостерігаються, задовольняють аксіомам тотожності 1-3, аксіомам упорядкованості 4, 5, а також аксіомам ади-тивності:

6.            Якщо А = РіВ>0, тоА + B>Р.

7.            А + В = В + А.

8.            Якщо А = РіВ = Q, тоA + B = P + Q.

9.            (А + В) + С = А + (В + С).

Результати таких вимірювань є повноцінними числами й з ними можна виконувати будь-які арифметичні операції. Відповідна шкала називається шкалою відношень. При п побудов1 використовується природний (абсолютний) нуль, однак зберігається свобода у виборі одиниці вимірювань. Зв'язок між значеннями вимірів однієї й тієї са-мої величини у двох різних шкалах відношень є прямо пропорційним:

у = ах = ≠ (). Відповідно, відношення — для будь-якого виміру не за-

х_;

лежить від обраної шкали. Прикладами величин, що вимірюють у шкалі відношень, є маса, електричний заряд, кінетична енергія, гроші й таке інше.

114

Питання. Як Ви вважаєте, чи є абсолютна шкала температур Кельвіна шкалою відношень?

4.6. Абсолютна шкала

Абсолютна шкала має абсолютний нуль і абсолютну одиницю виміру. К прикладом може бути числова вісь. Важливою особливістю тако^ї шкали є безрозмірність п одинищ. Це дає змогу не тільки вико-нувати з показаннями абсолютно^ї шкали всі арифметичні операції, а й використовувати ^їх як показники ступеневої функції, а також аргуме­нти показниково^ї та логарифмічної функцій.

115