8.        СИСТЕМНІ  АСПЕКТИ     ОПТИМІЗАЦІЙНОГО

МОДЕЛЮВАННЯ

8.1.                           Прийняття рішень в умовах багатокритеріальності.

8.2.                           Емпіричні методи встановлення важливості критеріїв.

8.3.                           Прийняття рішень в умовах нечітко заданих критеріїв.

8.1. Прийняття рішень в умовах багатокритеріальності

Всяка система володіє певними властивостями, які характеризуються

набором показників, характеристик q = (q₁,..., q_n )^T.

При дослідженні системи, и розвитку та організації управління, показники набувають конкретних значень, які визначаються прийнятими рішеннями.  Забезпечення  оптимальності  прийнятих  рішень  вимагає

попереднього формування множини альтернативних рішень а = (a₁,...,a_K)^T. При реал1зацй а_г— альтернативи із множини альтернатив, отримаємо

систему із відповідними властивостями qr(a_k) = (q₁(a_k),...,q_n(a_k))^T.

Задача вибору оптимально^ї альтернативи за даних умов вимагає попереднього знаходження деякого відображенняf- агрегатора, який кожній альтернативі ставить у відповідність деяке число:  Е{а_к) = f(qr₍ ak.

Розглянемо основні підходи до побудови таких агрегаторів. Найбільш поширеним підходом побудови агрегованого критерш е вибір серед  сукупності  характеристик  одні^єї  основної  q_i.  На  основі  ці^єї

характеристики будується критерій максимізації (мінімізації)
E(a_k) = q_i(a_k)------------------------------------------ >max(min)a_ifc.

А

Для  решти  показників  задаються  межі  можливих  їх  значень qj >(<)^°,V/^;, де q0j- деяке найменше значення для тих показників, які

необхідно максимізувати або найбільше значення для тих критеріїв які необхідно мінімізувати.

81

Недоліком такого підходу є значне обмеження на зміну значень показників, що задаються в обмеженнях.

Наступний підхід побудови агрегованого критерію базується на згортці показників:

п

адитивнш Е{а_к) = ∑qi(ak)'bi---------------------------------- >max(mm)a_k,

i=1                                                                                i

де b_i - певні вагові коефіцієнти,

чи  мультиплікативні

ы

де λ_i - ваговий коефіцієнт.

Недоліком розглянутого підходу є можливість необмежено^ї компенсації значень показників в сумі або в добутку.

Для виходу з цієї ситуації додатково до критеріїв згортки додають

обмеження типу qj > (<)я° J⁼l> …,n.

Особливістю наступного підходу побудови агрегованого критерію є те, що для дано^ї системи гіпотетично знаходиться "ідеальна" альтернатива. В якості  "ідеальної^”  альтернативи  приймається  та,  яка забезпечує  вектор

значень  показників  q° ={q^,...,q⁽⁾_n)^T,  де  q_i° − найбільше  значення  для

показників, які максимізуються, і найменше значення для показників, які мінімізуються. Кожна альтернатива зважується шляхом визначення "відстані" між ідеальною альтернативою і даною альтернативою. При цьому використовують такі способи задання "відстані":

ч                     Д      ,    ч        0                                 •                      ....

_к) = ∑ qi (^ak )−qi  0 д^ля показників однакової розмірності;

i=1

- для показників різної розмірності,

*    1                      III Д. ^ |111111Г  й   \          \J

де q_i^max − найгірше (найбільше) значення показника, який мінімізують, q_i  - найгірше (найменше) значення показника, який максимізують.

E(a_k) = max q_i(a_k)−qi0   -  абсолютне  відхилення  для  показників

г

однакової розмірності.

8.2. Емпіричні методи встановлення важливості критеріїв.

Вище розглянуті методи не враховували суджень експертів стосовно pi3Hoi важливості показників, що описують властивості системи. Тим часом врахування важливості показників є необхідним при побудові агрегованого критерію.

Переважно, у випадку різної важливості показників, агрегат будується у вигляді згортки

82

де b_i − в даному випадку коефіцієнти важливості, для знаходження яких

використовується метод експертних оцінок.

Для  початку,  кожен  експерт  виставляє  оцінку  важливості  i-того критерію. Так отримуємо коефіцієнт c_ij, тобто важливість i -того критерію з

точки зоруj-того експерту.

Далі проводиться нормування усіх отриманих оцінок.

С--                                                      п

by = nij, для забезпечення умови ^Ьу = 1.

nc                                                      ^j=1

i=1

Заключний  етап  визначення  важливості  показників,  передбачає усереднення нормованих оцінок, отриманих для групи експертів:

1  m

=1

т

 y  ⁼ 1, ^то остаточну формулу для коефіцієнтів важливості можна

j=1

 

записати так: bi =	т 'Ei by '	Si-
	i=1
Зауважимо,	що	для	отримання	коефіцієнтів   c	,   переважно

використовують один із трьох підходів:

1)                            метод безпосередньої оцінки;

2)                            метод ранжування;

3)                            метод послідовних переваг.

В методі безпосередніх оцінок коефіцієнт с у формується безпосередньо

експертами із використанням таблиці важливостей з відповідними коефіцієнтами. Для більш важливого показника, з точки зору експерта, коефіцієнт c у буде мати більше числове значення.

Недоліком такого підходу є значна доля суб'єктивності в оцін важливості показників.

Найчастіше, для визначення коефіцієнтів cij, використовують методи

ранжування показників.

Порядок ранжування може бути такий. Усі показники розміщують в ряд у порядку зменшення їх важливості. Потім проводиться нумерація отриманого ряду, і виставлення коефіцієнта г у рангу кожному показнику

згідно його номеру у ранжованому ряді. Найважливіший показник матиме rij=1. Якщо декілька показників в ряді важко розрізнити по важливості, то

i'xHi коефіцієнти рангів будуть однаковими і визначаються як середнє арифметичне їхніх номерів у ряді.

83

Виходячи із лінійної залежності між рангом показника і його важливістю розраховують коефіцієнти c_ij, за такою формулою:

^cij=¹−  ------------------------------------------------------

n

Для оцінки об'єктивності отриманих коефіцієнтів r_ij рангів проводиться

аналіз  узгодженості  суджень  експертів.  Результати  аналізу  зручно відобразити у вигляді коефіцієнта конкордаці^ї Us

W =

т-(п³-п)

==1

т

7=1

r_ij−0,5

Значення коефіцієнта конкордації знаходиться в межах 10 ≤ W ≤ 1. Якщо W=0, то це означає, що оцінки експертів абсолютно різні. За умови W=1 оцінки повністю узгоджені. Оцінки придатні для використання на побудову узагальненого критерію, якщо 0..7 ≤ W.

На завершення побудови критерія-агрегата необхідно пронормувати та масштабувати показники.

Масштабування переважно проводиться до одиничного діапазону значень показників. Нормування при цьому дозволяє об'єднати в агрегаті показники з різною розмірністю.

Однин із способів нормування та масштабування задається виразом

0,приq_i ≤q_in

,приq_in<q_i<q_iв,

Vie ~

\,npuq_t>q_ie де q_in, –q_i в нижнє та верхнє можливі значення показника.

8.3. Прийняття рішень в умовах нечітко заданих критеріїв.

За умов нечіткого (з точки зору математики) опису характеристик системи ^їх зручно представити у вигляді лінгвістичних змінних, значенням яких є поняття чи речення вербального опису. Наприклад, лінгвістична змінна складність має значення: низька, висока, не дуже висока.

Найчастіше структуру лінгвістичної змінної для задач прийняття рішень розглядають у такому вигляді: <Z, T, А>, де Z - ім'я лінгвістичної змінно^ї, яка є агрегованою характеристикою системи; Т - множина лінгвістичних значень; A={a₁,...,a_i,...,a_K}  - множина базових змінних.  Кожен  елемент

множини A задає сукупність певних властивостей системи. Оскільки щ властивості формуються внаслідок реалізації певно^ї альтернативи, то в задачі прийняття рішень під множиною базових змінних A={a₁,...,a_i,...,a_K} будемо

розуміти множину альтернатив, що забезпечує певні властивості системи. Декомпозиція  агрегованої  характеристики  зі  значенням  із  множини  Т

84

лінгвістичних значень дозволяє отримати множину нечітких змінних {C₁,…,C_n} - нечітких характеристик властивостей системи, на основі яких

можна побудувати критерії зважування альтернатив. З цією метою для кожно^ї нечіткої характеристики властивостей системи вводять функції відповідност   і_] µCi(aj ) ∈ [0,1   властивостям,   які   забезпечуватимуть

µC_i (aj ) ∈ [0,1] альтернатив:

Критерій-агрегат за даних умов формулюється так: "Найкращою є та альтернатива, яка в найбільшій мірі забезпечує усі потрібні властивості системи, тобто властивості, що описуються нечіткою множиною Q i C₂ і,..., i C_n". Тоді нечітка множина агреговано^ї характеристики властивостей формується так:

Е=С₁ПС₂Г\...Г\С_Н

Функція  відповідності  властивостей,  які  забезпечує  а альтернатива

властивостям відображеним в агрегованій характеристиці, матиме вигляд

_y){/_c(_y)}

Згідно обраного критерію, найкращою буде та альтернатива a₀, яка забезпечує a₀=arg max {  min {µC₍ aj )}  .

j=1,...,K   i=1,...,n    ^C

Розглянутий пщхщ до побудови агрегованого критерію прийняття рішень за умов нечітко заданих критеріїв не враховує різної важливості характеристик системи. У випадку різної важливості характеристик, нечітка множина агрегованої характеристики властивостей має такий вигляд

Е=с?пс? П...ПС

де α₁, α₂,..., α_n   - коефіцієнти важливості характеристик.

Функція відповідності властивостей в цьому випадку знаходиться так:

.

Для  визначення  коефіцієнтів  α₁,  α

 ₂,

 сс_п  можна  використати

процедуру по-парного порівняння критеріїв на основі даних тако^ї таблиці.

Відносна важливість критеріїв С  С i,C  j	Значення елементів ьч
Рівноважливість критеріїв	1
Трохи важливий	3
Відчутно важливий	7
Набагато важливіший	9
Важливіший	5
Інші випадки	2, 4, 6, 8

85

В таблиці: b_u = 1, b_ji =1

Процедура знаходження коефіцієнтів важливості наступна:

1.        Знаходження власних чисел матриці парних порівнянь В,
складено^ї із елементів b_ij із розв'язку такого рівняння:

det[B−λI] = 0 Розв'язком рівняння будуть власні числа:

λ₁,λ₂,...,λ_i,...,λ_n

2.       Знаходження серед власних чисел максимального:

 = max {λ_i}

iln

3.  Знаходження власного вектора для максимального власного числа із системи рівнянь:

4. Розрахунок α₁, α₂,..., α_n

де p_i − i-та компонента власного вектора Приклад використання методу критеріїв рівної важливості.

Bn6ip власником підприємства менеджера з таких кандидатів: a₁ - головний інженер державного підприємства; a₂ - працівник науково-дослідного закладу; a₃ - головний економіст; a₄ - колега; a₅ - молодий перспективний випускник ВУЗу.

Кандидати оцінюються по таким характеристикам: c₁ - професійні навики; c₂ - організаторські здібності; c₃ - досвід такого роду роботи; c₄ - вміння працювати з людьми; c₅ - вік. Задаємо функцй вщповщност1:

a₁ ,0.8 a₂,0.9 a₃ ,0.5 a₄,0.8 a

a₁ ,0.6a₂ ,0.8a₃ ,0.6a₄ ,0.3a5

С₄ = {0/7^ Дб|в₂ Д8|в₃ Дб|в₄ Д4|в₅}

C₅ = {0 / бк ,0.7 a₂ ,0.7a₃Д 7|в₄Д 9|в₅}
Будуємо                                    агреговану

характеристику:

 

Е =

Використовуючи критерій "найбшыши вщповщностГ' приходимо до висновку,  що  найкращою  є  альтернатива   a₃   (найвища  функція

відповідності).

Слід зауважити, що найбільшою проблемою у випадку прийняття рішень в умовах нечітко заданих характеристик та критеріїв є побудова функцій відповідності цих характеристик властивостям системи. Найчастіше вказані функції на неперервних множинах показників задаються у трикутному вигляді, із центром, що відповідає найбільш прийнятному значенню показника. Чим більше значення кута на вершині трикутної функції, тим більша нечіткість при описуванні характеристики.