ТЕМА 13. Елементи атомної фізики і квантової механіки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25

Тема 13.1 Модель атома Томсона. Досліди Резерфорда по розсіюванню a-частинок. Планетарна модель атома. Затруднення планетарної моделі атома. Постулати Бора. Теорія Бора для атома водню та водневоподібних атомів. Серіальні закономірності в спектрі випромінювання атому водню. Досліди Франка і Герца. Затруднення теорії Бора

Представлення про атоми як неподільні дрібні частинки речовини ("атомос" - нерозкладний) виникло ще в античні часи (Демокрит, Эпікур, Лукрецій). На початку XVІІІ в. атомістична теорія здобуває популярність. В роботах А. Лавуазьє (1743-1794, французький хімік), М. В. Ломоносова і Д. Дальтона була доведена реальність існування атомів. Однак у цей час питання про внутрішню будову атомів навіть не виникало, тому що атоми як і раніше вважалися неподільними.

Велику роль у розвитку атомістичної теорії зіграв Д. І. Менделєєв, що розробив у 1869 р. періодичну систему елементів, у якій вперше на науковій основі було поставлене питання про єдину природу атомів. В другій половині XІX ст. експериментально було доведено, що електрон є однією з основних складових частин будь-якої речовини. Ці висновки, а також численні експериментальні дані привели до того, що на початку XX ст. встало питання про будову атома.

Перша спроба створення на основі накопичених експериментальних даних моделі атома належить Дж. Томсону (1903). Відповідно до цієї моделі, атом являє собою заряджену позитивним зарядом кулю радіусом порядку 10-10м, усередині якої біля своїх положень рівноваги коливаються електрони; сумарний негативний заряд електронів дорівнює позитивному заряду кулі, тому атом у цілому нейтральний. Через кілька років було доведено, що уявлення про рівномірний розподілений усередині атома позитивний заряд є помилковим.

У розвитку уявлень про будову атома велике значення дослідів англійського фізика Э. Резерфорда (1871-1937) по розсіюванню α - часток у речовині. Альфа-частинки виникають при радіоактивних перетвореннях; вони є позитивно зарядженими частками з зарядом 2е і масою, приблизно в 7300 разів більшою маси електрона. Пучки α - часток характеризуються високою монохроматичністю (для даного перетворення мають практично однакову швидкість (порядку 107 м/с)).

Резерфорд, досліджуючи проходження α - частинок у речовині (через золоту фольгу товщиною приблизно 1 мкм), показав, що основна їхня частина зазнає незначні відхилення, але деякі a - частинки (приблизно одна з 20000) різко відхиляються від початкового напрямку (кути відхилення досягали навіть 180°). Так як електрони не можуть істотно змінити рух настільки важких і швидких часток, як α - частинки, то Резерфордом був зроблений висновок, що значне відхилення α - частинок обумовлено їхньою взаємодією з позитивним зарядом великої маси. Однак значне відхилення випробують лише деякі α - частинки; отже, лише деякі з них проходять поблизу даного позитивного заряду. Це, у свою чергу, означає, що позитивний заряд атома зосереджений в розмірі, дуже малому в порівнянні з розміром атома.

На підставі своїх досліджень Резерфорд у 1911 р. запропонував ядерну (планетарну) модель атома. Відповідно до цієї моделі, навколо позитивного ядра, що має заряд Zе(Z - порядковий номер елемента в системі Менделєєва, е - елементарний заряд), розмір 10-15-10-14 м і масу, практично рівну масі атома, в області з лінійними розмірами порядку 10-10 м по замкнутих орбітах рухаються електрони, утворюючи електронну оболонку атома. Оскільки атоми нейтральні, то заряд ядра дорівнює сумарному заряду електронів, тобто навколо ядра повинно обертатися Z електронів. Для простоти припустимо, що електрон рухається навколо ядра по круговій орбіті радіуса r. При цьому кулонівська сила взаємодії між ядром і електроном надає електрону доцентрового прискорення. Другий закон Ньютона для електрона, що рухається по колу під дією кулонівської сили, має вид

(13.1.1)

де me і v - маса і швидкість електрона на орбіті радіуса r, ε0 - електрична постійна.

Рівняння (13.1.1) містить два невідомих: r і V. Отже, існує незліченна кількість значень радіуса і відповідних йому значень швидкості (а виходить, і енергії), що задовольняють цьому рівнянню. Тому величини r, V (отже, і Е) можуть мінятися неперервно, тобто може випускатися будь-яка, а не цілком визначена порція енергії. Тоді спектри атомів повинні бути суцільними. У дійсності ж дослід показує, що атоми мають лінійчатий спектр. З виразу (13.1.1) випливає, що при м швидкість руху електронів м/с, а прискорення м/с2. Відповідно до класичної електродинаміки, електрони що прискорено рухаються повинні випромінювати електромагнітні хвилі і внаслідок цього постійно втрачати енергію. У результаті електрони будуть наближатися до ядра і зрештою упадуть на нього. Таким чином, атом Резерфорда виявляється нестійкого системою, що знов-таки суперечить дійсності

Спроби побудувати модель атома в рамках класичної фізики не привели до успіху: модель Томсона була спростована дослідами Резерфорда, ядерна ж модель суперечила дослідним даним. Подолання виниклих труднощів зажадало створення якісно нової - квантової - теорії атома. Лінійчатий спектр атома водню

Дослідження спектрів випромінювання розріджених газів (тобто спектрів випромінювання окремих атомів) показали, що кожному газу відповідає визначений лінійчатий спектр, що складається з окремих спектральних ліній чи груп близько розташованих ліній. Найпростішим є атом водню.

Швейцарський учений Бальмер (1825-1898) підібрав емпіричну формулу, що описує усі відомі в той час спектральні лінії атома водню у видимій області спектра:

(13.1.2)

де м-1 - постійна Рідберга. Так як , то формула (13.1.2) може бути, переписана для частот:

(13.1.3)

де c-1- також постійна Рідберга.

З виразів (13.1.2) і (13.1.3) випливає, що спектральні лінії, які відрізняються різними значеннями n, утворять групу чи серію ліній, названу серією Бальмера.

Надалі (на початку XX в.) у спектрі атома водню було виявлено ще кілька серій. Ультрафіолетовій області спектра знаходиться серія Лаймана:

В інфрачервоній області спектра були також виявлені:

серія Пашена

;

серія Брекета

;

серія Пфунда

;

серія Хемфрі

Усі приведені вище серії в спектрі атома водню можуть бути описані однією формулою, названою узагальненою формулою Бальмера:

(13.1.4)

де m має в кожній даній серії постійне значення, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (визначає серію), n приймає цілочисленні значення починаючи з m +1 (визначає окремі лінії цієї серії). Дослідження більш складних спектрів - спектрів парів лужних металів (наприклад, Lі, Na, K) - показало, що вони представляються набором незакономірно розташованих ліній. Рідбергу вдалося розділити їх на три серії, кожна з який розташовується подібно лініям бальмеровскій серії.

Приведені вище серіальні формули підібрані емпірично і довгий час не мали теоретичного обґрунтування, хоча і були підтверджені експериментально з дуже великою точністю. Приведений вище вид серіальних формул, дивна повторюваність у них цілих чисел, універсальність постійної Рідберга свідчать про глибокий фізичний зміст знайдених закономірностей, розкрити який у рамках класичної фізики виявилося неможливим.Постулати Бора

Перша спроба побудувати якісно нову - квантову - теорію атома була почата в 1913 р. датським фізиком Нільсом Бором (1885-1962). Він поставив перед собою ціль зв'язати в єдине ціле емпіричні закономірності лінійчатих спектрів, ядерну модель атома Резерфорда і квантовий характер випромінювання і поглинання світла. В основу своєї теорії Бор поклав два постулати.

Перший постулат Бора (постулат стаціонарних станів): в атомі існують стаціонарні (не змінюються з часом ) стани, у яких він не випромінює енергії. Стаціонарним станам атома відповідають стаціонарні орбіти, по яких рухаються електрони. Рух електронів по стаціонарних орбітах не супроводжується випромінюванням електромагнітних хвиль.

У стаціонарному стані атома електрон, рухаючись по круговій орбіті, повинний мати дискретні квантові значення моменту імпульсу, що задовольняють умові

(13.1.5)

де me- маса електрона, V - його швидкість по n-й орбіті радіуса .

Другий постулат Бора (правило частот): при переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу випромінюється (поглинається) один

(13.1.6)

фотон з енергією що дорівнює різниці енергій відповідних стаціонарних станів (En і Em - відповідно енергії стаціонарних станів атома до і після випромінювання (поглинання)). При Em<Еn відбувається випромінювання фотона (перехід атома зі стану з більшою енергією в стан з меншою енергією, тобто перехід електрона з більш віддаленої від ядра орбіти на ближчу), при Еm>Еn - його поглинання (перехід атома в стан з більшою енергією, тобто перехід електрона на більш віддалену від ядра орбіту). Набір можливих дискретних частот квантових переходів і визначає лінійчатий спектр атома.Досліди Франка і Герца

Вивчаючи методом затримуючого потенціалу зіткнення електронів з атомами газів (1913), Д. Франк і Г. Герц експериментально довели дискретність значень енергії атомів. Принципова схема їхньої установки приведена на мал. 13.1. Вакуумна трубка, заповнена парами ртуті (тиск приблизний дорівнює 13 Па), містила катод (К), двох сітки (З1 і З2) і анод (А). Електрони, що імітувалися катодом, прискорювалися різницею потенціалів, прикладеною між катодом і сіткою З1. Між сіткою З2 і анодом прикладений невеликий (приблизно 0,5 В) затримуючий потенціал.

Електрони, прискорені в області 1, попадають в область 2 між сітками, де зазнають зіткнень з атомами парів ртуті. Електрони, що після зіткнень мають достатню енергію для подолання затримуючого потенціалу в області 3, досягають анода. При не пружних зіткненнях електронів з атомами ртуті останні можуть збуджуватися. Згідно Борівської теорії, кожний з атомів ртуті може одержати лише цілком визначену енергію, переходячи при цьому в один із збуджених станів. Тому якщо в атомах дійсно існують стаціонарні

Мал. 13.1.1

стани, то електрони, зіштовхуючись з атомами ртуті, повинні втрачати енергію дискретно, визначеними порціями, рівними різниці енергій відповідних стаціонарних станів атома.

З досліду випливає (мал. 13.1.2), що при збільшенні прискорюючого потенціалу до 4,86 В анодний струм зростає монотонно, його значення проходить через максимум (4,86 В), потім різко зменшується і зростає знову. Подальші максимуми спостерігаються при 2 • 4,86 і 3 • 4,86 В.

Найближчим до основного, не збудженого, стану атома ртуті є збуджений стан, що відстоїть від основного по шкалі енергій на 4,86 еВ. Поки різниця потенціалів між катодом і сіткою менше 4,86 В, електрони, зустрічаючи на своєму шляху атоми ртуті, зазнають з ними тільки пружні зіткнення. При енергія електрона стає достатньою, щоб викликати непружний удар, при якому електрон віддає атому ртуті всю кінетичну енергію, збуджуючи перехід одного з електронів атома з нормального енергетичного стану на збуджений енергетичний рівень. Електрони, що втратили свою кінетичну енергію, уже не зможуть перебороти гальмуючого поля і досягти анода. Цим і обумовлюється перше різке падіння анодного струму при . При значеннях енергії, кратних 4,86 еВ, електрони можуть зазнавати з атомами ртуті 2, 3, ... непружні зіткнення, втративши при цьому цілком свою енергію, і не досягти анода, тобто повинне спостерігатись різке падіння анодного струму. Це дійсно спостерігається на досліді (мал. 13.1.2). Таким чином, досліди Франка і Герца показали, що електрони при зіткненні з атомами ртуті передають атомам тільки визначені порції енергії, причому 4,86 еВ - найменша можлива порція енергії (найменший квант енергії), що може бути поглинена атомом ртуті в основному енергетичному стані. Отже, ідея Бора про існування в атомах стаціонарних станів блискуче витримала експериментальну перевірку. Атоми ртуті, що одержали при зіткненні з електронами енергію , переходять у збуджений стан і повинні повернутися в основний, випромінюючи при цьому, відповідно до другого постулату Бора (див. (13.1.6)), світловий квант із частотою . За відомим значенням =4,86 еВ можна обчислити довжину хвилі випромінювання: . Таким чином, якщо теорія вірна, то атоми ртуті, що бомбардуються електронами з енергією 4,86 еВ, повинні бути джерелом ультрафіолетового випромінювання з нм. Дослід дійсно виявляє одну ультрафіолетову лінію з нм. Таким чином, досліди Франка і Герца експериментально підтвердили не тільки перший, але і другий постулат Бора. Ці досліди зіграли величезне значення в розвитку атомної фізики.

Мал. 13.1.2Спектр атома водню за Бором

Постулати, висунуті Бором, дозволили розрахувати спектр атома водню і водне-подібних систем - систем, що складаються з ядра з зарядом Ze і одного електрона (наприклад, іони He+, Lі2+), а також теоретично обчислити постійну Рідберга.

Наслідуючи Бору, розглянемо рух електрона у водне-подібній системі, обмежуючись круговими стаціонарними орбітами. Вирішуючи спільно рівняння (13.1.1) , запропоноване Резерфордом, і рівняння (13.1.6), одержимо вираз для радіуса n-й стаціонарної орбіти:

(13.1.7)

де n = 1, 2, 3,.... З виразу (13.5.1) випливає, що радіуси орбіт ростуть пропорційно квадратам цілих чисел.

Для атома водню (Z= 1) радіус першої орбіти електрона при n= 1, що називається першим борівським радіусом (а), дорівнює

м=52,8 пм, (13.1.8)

що відповідає розрахункам на основі кінетичної теорії газів. Так як радіуси стаціонарних орбіт виміряти неможливо, то для перевірки теорії необхідно звернутися до таких величин, що можуть бути виміряні експериментально. Такою величиною є енергія, що випромінюється і поглинається атомами водню.

Повна енергія електрона у водне-подібній системі складається з його кінетичної енергії і потенційної енергії в електростатичному полі ядра :

(врахували, що ; див. (13.1.1)). З огляду на вирази для радіуса n-й стаціонарної (орбіти значення (13.1.7)), одержимо, що енергія електрона може приймати тільки наступні дозволені дискретні значення:

(13.1.9)

де знак мінус означає, що електрон знаходиться у зв'язаному стані.

З формули (13.1.9) випливає, що енергетичні стани атома утворюють послідовність енергетичних рівнів, що змінюються в залежності від значення n. Ціле число n у виразі (13.1.9), що визначає енергетичні рівні атома, називається головним квантовим числом. Енергетичний стан з n=1 є основним (нормальним) станом; стани з n > 1 є збудженими. Енергетичний рівень, що відповідає основному стану атома, називається основним (нормальним) рівнем; всі інші рівні є збудженими.

n зростає й енергетичні рівні зближаються до границі, що відповідає значенню . Атом водню має, таким чином, мінімальну енергією (Е1=-13,55 еВ) при n=1 і максимальну ( ) при . Отже, значення відповідає іонізації атома (відриву від нього електрона). Відповідно до другого постулату Бора (див. (13.1.6)), при переході атома водню (Z=1) із стаціонарного стану n в стаціонарний стан m з меншою енергій випускається квант

звідки частота випромінювання

(13.1.10)

де

Скориставшись при обчисленні сучасними значеннями універсальних постійних, одержимо величину, що збігається з експериментальним значенням постійної Рідберга в емпіричних формулах для атома водню. Цей збіг переконливо доводить правильність отриманої Бором формули (13.1.9) для енергетичних рівнів водневоподібних систем.

Підставляючи, наприклад, у формулу (13.5.4) m=1 і n=2, 3,4, ..., одержимо групу ліній, що утворюючого серію Лаймана і відповідних переходам електронів зі збуджених рівнів (n=2, 3, 4, ...) на основний (m=1). Аналогічно, при підстановці n=2, 3, 4, 5, 6 і відповідних їм значень n одержимо серії Бальмера, Пашена, Брекета, Пфунда і Хемфрі (частина з них схематично представлена на мал. 13.3). Отже, по теорії Бора, що кількісно пояснила спектр атома водню, спектральні серії відповідають випромінюванню, що виникає в результаті переходу атома в даний стан із збуджених станів, розташованих вище даного.

Спектр поглинання атома водню є лінійчатим, але містить при нормальних умовах тільки серію Лаймана. Він також узгоджується з теорією Бора. Так як вільні атоми водню звичайно знаходяться в основному стані (стаціонарний стан з найменшою енергією при n=1), тобто при повідомленні атомам ззовні визначеної енергії можуть спостерігатися лише переходи атомів з основного стану в збуджені (виникає серія Лаймана).

Мал. 13.1.3

Теорія Бора була великим кроком у розвитку атомної фізики і являється важливим етапом у створенні квантової механіки. Однак ця теорія має внутрішні протиріччя (з одного боку, застосовує закони класичної фізики, а з іншого боку - ґрунтується на квантових постулатах). У теорії Бора розглянуті спектри атома водню і воднеподібній систем і обчислені частоти спектральних ліній, однак ця теорія не змогла пояснити інтенсивності спектральних ліній і відповісти на запитання: чому відбуваються ті чи інші переходи? Серйозним недоліком теорії Бора була неможливість опису з її допомогою спектра атома гелію - одного з найпростіших атомів, що безпосередньо слідує за атомом водню.

Тема

13.2. Дослідне обґрунтування корпускулярно-хвильового дуалізму властивостей речовини. Гіпотеза і формула де Бройля. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга як прояв корпускулярно-хвильового дуалізму властивостей матерії.

Французький вчений Луї де Бройль (1892-1987), усвідомлюючи існуючу в природі симетрію і розвиваючи уявлення про подвійну корпускулярно-хвильову природу світла, висунув в 1923 р. гіпотезу про універсальність корпускулярно-хвильового дуалізму. Де Бройль затверджував, що не тільки фотони, але і електрони і будь-які інші частинки матерії поряд з корпускулярными володіють також хвильовими властивостями.

Отже, згідно де Бройлю, з кожним мікро об’єктом зв'язуються, з одного боку, корпускулярні характеристики — енергія Е і імпульс р, а з іншого — хвильові характеристики — частота і довжина хвилі . Кількісні співвідношення, зв'язуючі корпускулярні і хвильові властивості частинок такі ж, як для фотонів:

(13.2.1)

Сміливість гіпотези де Бройля полягала саме в тому, що співвідношення (13.2.1) постулювалося не тільки для фотонів, але і для інших мікрочастинок, зокрема для таких, які мають масою спокою. Таким чином, будь-якій частинці, що має імпульс, зіставляють хвильовий процес з довжиною хвилі, що визначається по формулі де Бройля:

(13.2.2)

Це співвідношення справедливе для будь-якої частинки з імпульсом .

Незабаром гіпотеза де Бройля була підтверджена експериментально. У 1927 р. американські фізики К. Девіссон (1881-1958) і Л. Джермер (1896-1971) виявили, що пучок електронів, які розсіюються від природних дифракційних граток — кристала нікеля, — дають виразну дифракційну картину. Дифракційні максимуми відповідали формулі Вульфа — Брегга , а брегівська довжина хвилі виявилася в точності рівна довжині хвилі, обчисленій по формулі (13.2.2). Надалі формула де Бройля була підтверджена дослідами П. С. Тартаковського і М. Томсона, що спостерігали дифракційну картину при проходженні пучок швидких електронів (енергія 50 кеВ) через металеву фольгу (товщиною 1 мкм).

Оскільки дифракційна картина досліджувалася для потоку електронів, то не обхідно було довести, що хвильові властивості властиві не тільки потоку великої сукупності електронів, але і кожному електрону нарізно. Це вдалося експериментально підтвердити в 1948 р. російському фізику В. А. Фабріканту (р. 1907). Він показав, що навіть у разі таких слабих електронних пучків, коли кожний електрон проходить через прилад незалежно від інших (проміжок часу між двома електронами в раз більше часу проходження електроном приладу), виникаюча при тривалій експозиції дифракційна картина не відрізняється від дифракційних картин, що отримуються при короткій експозиції для потоків електронів в десятки мільйонів разів більш інтенсивних. Отже, хвильові властивості частинок не є властивістю їх колективу, а властиві кожній частинці нарізно.

Згодом дифракційні явища виявили також для нейтронів, протонів, атомних і молекулярних пучків. Це остаточно послужило доказом наявності хвильових властивостей мікрочастинок і дозволило описувати рух мікрочастинок у вигляді хвильового процесу, що характеризується певною довжиною хвилі, що розраховується по формулі де Бройля (13.2.2). Відкриття хвильових властивостей мікрочастинок призвело до появи і розвитку нових методів дослідження структури речовин, таких, як електронографія і нейтронографія , а також до виникнення нової галузі науки — електронної оптики.

Експериментальний доказ наявності хвильових властивостей мікрочастинок призвів до висновку про те, що перед нами універсальне явище, загальна властивість матерії. Але тоді хвильові властивості повинні бути властиві і макроскопічним тілам. Чому ж вони не виявлені експериментально? Наприклад, частинці масою 1 г, що рухається зі швидкістю 1 м/с, відповідає хвиля де Бройля з м. Така довжина хвилі лежить за межами доступної спостереженню області (періодичних структур з періодом м не існує). Тому вважається, що макроскопічні тіла виявляють тільки одну сторону своїх властивостей — корпускулярну — і не виявляють хвильову.

Уявлення про подвійну корпускулярно-хвильову природу частинок речовини поглиблюється ще тим, що на частинки речовини переноситься зв'язок між повною енергією частинки і частотою хвиль де Бройля:

(13.2.3)

Це свідчить про те, що співвідношення між енергією і частотою в формулі (13.2.3) має характер універсального співвідношення, справедливого як для фотонів, так і для будь-яких інших мікрочастинок. Справедливість же співвідношення (13.2.3) витікає із згоди з досвідом тих теоретичних результатів, які отримані з його допомогою в квантовій механіці, атомній і ядерній фізиці.

Деякі властивості хвиль де Бройля

Розглянемо вільну частинку масою т. Вичислимо для неї фазову і групову швидкості хвиль де Бройля. Фазова швидкість,

(13.2.4)

( и , де — хвильове число). Оскільки, , то фазова швидкість хвиль де Бройля більша швидкості світла у вакуумі (фазова швидкість хвиль може бути як менша, так і більша на відміну від групової швидкості хвиль).

Групова швидкість,

Для вільної частинки і

Отже, групова швидкість хвиль де Бройля рівна швидкості частинки.

Групова швидкість фотона, , тобто. рівна швидкості самого фотона.

Хвилі де Бройля зазнають дисперсії. Дійсно, підставивши у вираз (13.2.4) , побачимо, що швидкість хвиль де Бройля залежить від довжини хвилі. Ця обставина зіграла в свій час велику роль в розвитку положень квантової механіки. Після встановлення корпускулярно-хвильового дуалізму робилися спроби зв'язати корпускулярні властивості частинок з хвильовими і розглядати частинки як “вузькі” хвильові пакети, “складені” з хвиль де Бройля. Це дозволяло як би відійти від подвійності властивостей частинок. Така гіпотеза відповідала локалізації частинки в даний момент часу в певній обмеженій області простору. Аргументом на користь цієї гіпотези було і те, що швидкість поширення центра пакету (групова швидкість) виявилася, як показано вище, рівної швидкості частинки. Однак подібне представлення частинки у вигляді хвильового пакету (групи хвиль де Бройля) виявилося неспроможним через сильну дисперсію хвиль де Бройля, що приводить до «швидкого розпливання» (приблизно ) хвильового пакету або навіть розділення його на декілька пакетів.

Співвідношення невизначеностей

Згідно з подвійною корпускулярно-хвильовою природою частинок речовини, для опису мікрочастинок використовуються то хвильові, то корпускулярні уявлення. Тому приписувати їм всі властивості частинок і всі властивості хвиль не можна. Природно, що необхідно внести деякі обмеження в застосуванні до об'єктів мікросвіту понять класичної механіки.

У класичній механіці всяка частинка рухається по певній траєкторії, так що в будь-який момент часу точно фіксовані її координати і імпульси. Мікрочастинки через наявність у них хвильових властивостей істотно відрізняються від класичних частинок. Одна з основних відмінностей полягає в тому, що не можна говорити про рух мікрочастинки по певній траєкторії і неправомірно говорити про одночасні точні значення її координати і імпульсу. Це виходить з корпускулярно-хвильового дуалізму. Так, поняття «довжина хвилі в даній точці» позбавлено фізичного значення, а оскільки імпульс виражається через довжину хвилі (див. (13.2.1)), то звідси слідує, що мікрочастинка з певним імпульсом має повністю невизначену координату. І навпаки, якщо мікрочастинка знаходиться в стані з точним значенням координати, то її імпульс є повністю невизначеним.

В. Гейзенберг, враховуючи хвильові властивості мікрочастинок і пов'язані з хвильовими властивостями обмеження в їх поведінці, прийшов в 1927 р. до висновку, що об'єкт мікросвіту неможливо одночасно з будь-якою наперед заданою точністю характеризувати і координатою і імпульсом. Згідно з співвідношенням невизначеностей Гейзенберга, мікрочастинка (мікрооб’єкт) не може мати одночасно і певну координату (х. у, z), і певну відповідну проекцію імпульсу, , причому невизначеність цих величин задовольняють умовам

(13.2.5)

тобто добуток невизначеностей координати і відповідної їй проекції імпульсу не може бути меншим величини порядку h.

З співвідношення невизначеностей (13.2.5) Слідує, що, наприклад, якщо мікрочастинка знаходиться в стані з точним значенням координати, , то в цьому стані відповідна проекція її імпульсу виявляється абсолютно невизначеною, , і навпаки. Таким чином, для мікрочастинки не існує станів, в яких її координати і імпульс мали б одночасно точні значення. Звідси витікає і фактична неможливість одночасно з будь-якою наперед заданою точністю виміряти координату і імпульс мікрооб’єкту.

Пояснимо, що співвідношення невизначеностей дійсно витікає з хвильових властивостей мікрочастинок. Нехай потік електронів проходить через вузьку щілину шириною , розташовану перпендикулярно напряму їх руху. Оскільки електрони характеризуються хвильовими властивостями, то при їх проходженні через щілину, розмір якої порівняний з довжиною хвилі де Бройля електрона, спостерігається дифракція. Дифракційна картина, що спостерігається на екрані (Е), характеризується головним максимумом, розташованим симетрично осі Y, і побічними максимумами по обидві сторони від головного (їх не розглядаємо, оскільки основна частка інтенсивності доводиться на головний максимум).

До проходження через щілину електрони рухалися вздовж осі , тому складова імпульсу , так що , а координата частинки є абсолютно невизначеною. У момент проходження електронів через щілину їх положення в напрямі осі визначається з точністю до ширини щілини, тобто з точністю . У цей же момент внаслідок дифракції електрони відхиляються від первинного напряму і будуть рухатися в межах кута ( кут, відповідний першому дифракційному мінімуму). Отже, з'являється невизначеність в значенні що складає проекцію імпульсу вздовж осі , яка, як випливає з формули (13.2.1), рівна

(13.2.6)

Для простоти обмежимося розглядом тільки тих електронів, які попадають на екран в межах головного максимума. З теорії дифракції відомо, що перший мінімум відповідає куту , що задовольняє умові

(13.2.7)

де — ширина щілини, а — довжина хвилі де Бройля. З формул (13.2.6) і (13.2.7) отримаємо

де враховано, що для деякої, хоч і незначної, частини електронів, що попадають за межі головного максимума, величина . Отже, отримуємо вираження

тобто співвідношення невизначеностей (13.2.5).

Неможливість одночасно точно визначити координату і відповідну проекцію імпульсу не пов'язана з недосконалістю методів вимірювання або вимірювальних приладів, а є наслідком специфіки мікрооб’єктів, що відображає особливості їх об'єктивних властивостей, а саме подвійної корпускулярно-хвильової природи. Співвідношення невизначеностей отримане при одночасному використанні класичних характеристик руху частинки (координати, імпульсу) і наявності у неї хвильових властивостей. Оскільки в класичній механіці приймається, що вимірювання координати і імпульсу може бути зроблене з будь-якою точністю, то співвідношення невизначеностей є, таким чином, квантовим обмеженням застосовності класичної механіки до мікрооб’єктів.

Мал. 13.2.1

Співвідношення невизначеностей, відображаючи специфіку фізики мікрочастинок, дозволяє оцінити, наприклад, в якій мірі можна застосовувати поняття класичної механіки до мікрочастинок, зокрема, з якою мірою точності можна говорити про траєкторії мікрочастинок. Відомо, що рух по траєкторії характеризується в будь-який момент часу певними значеннями координат і швидкості. Виразимо співвідношення невизначеностей (215.1) у вигляді

(13.2.8)

З цього виразу слідує, що чим більша маса частинки, тим менша невизначеність її координати і швидкості і, отже, з тим більшою точністю можна застосовувати до цієї частинки поняття траєкторії. Tax, наприклад, вже для пилинки масою кг і лінійними розмірами м, координата якої визначена з точністю до 0,01 її розмірів ( м), невизначеність швидкості, по (13.2.8), , тобто не буде позначатися при всіх швидкостях, з якою порошинка може рухатися. Таким чином, для макроскопічних тіл їх хвильові властивості не грають ніякої ролі; координата і швидкість макротіл можуть бути одночасно виміряні досить точно. Це означає, що для опису рух макротіл з абсолютною достовірністю можна користуватися законами класичної механіки.

Застосуємо співвідношення невизначеностей до електрона, що рухається в атомі водню. Допустимо, що невизначеність координати електрона м (порядку розмірів самого атома, тобто можна вважати, що електрон належить даному атому). Тоді, згідно (13.2.8), м/с. Використовуючи закони класичної фізики, можна показати, що при русі електрона навколо ядра по круговій орбіті радіуса м його швидкість 2,3-106 м/с. Таким чином, невизначеність швидкості в декілька разів більше самої швидкості. Очевидно, що в цьому випадку не можна говорити про рух електрона в атомі по певній траєкторії, іншими словами, для опису руху електрона в атомі не можна користуватися законами класичної фізики.

У квантовій теорії розглядається також співвідношення невизначеностей для енергії Е і часу тобто невизначеностей цих величин задовольняють умові

(13.2.9)

Підкреслимо, що ΔЕ — невизначеність енергії деякого стану системи, Δt — проміжок часу, протягом якого вона існує. Отже, система, що має середній час життя Δt, не може бути охарактеризована певним значенням енергії; розкид енергії зростає із зменшенням середнього часу життя. З виразу (13.2.9) слідує, що частота випромінюваного фотона також повинна мати невизначеність тобто лінії спектра повинні характеризуватися частотою, рівною . Дослід дійсно показує, що всі спектральні лінії розмиті; вимірюючи ширину спектральної лінії, можна оцінити порядок часу існування атома в збудженому стані.

Тема 13.3. Хвильова функція її статистичний зміст. Загальне рівняння Шредінгера для стаціонарних станів. Принцип причинності в квантовій механіці.

Експериментальне підтвердження ідеї де Бройля про універсальність корпускулярно-хвильового дуалізму, обмеженість застосування класичної механіки до мікрооб’єктів привели до нового етапу розвитку квантової теорії — створенню квантової механіки, що описує закони руху і взаємодії мікрочастинок з урахуванням їх хвильових властивостей. Її створення і розвиток охоплює період з 1900 р. (формулювання Планком квантової гіпотези) до 20-х років XX в.; воно пов'язане передусім з роботами австрійського фізика Е. Шредінгера (1887–1961), німецького фізика В. Гейзенберга і англійського фізика П. Дірака (1902–1984).

На даному етапі розвитку виникли нові принципові проблеми, зокрема проблема фізичної природи хвиль де Бройля. Для з'ясування цієї проблеми порівняємо дифракцію світлових хвиль і мікрочастинок. Дифракційна картина, що спостерігається для світлових хвиль, характеризується тим, що внаслідок накладення дифрагованих хвиль одна на одну в різних точках простору відбувається посилення або ослаблення амплітуди коливань. Згідно з хвильовими уявленнями про природу світла, інтенсивність дифракційної картини пропорційна квадрату амплітуди світлової хвилі. За уявленнями фотонної теорії, інтенсивність визначається числом фотонів, що попадають в дану точку дифракційної картини. Отже, число фотонів в даній точці дифракційної картини задається квадратом амплітуди світлової хвилі, в той час як для одного фотона квадрат амплітуди визначає імовірність попадання фотона в ту або іншу точку.

Дифракційна картина, що спостерігається для мікрочастинок, також характеризується неоднаковим розподілом потоків мікрочастинок — в одних напрямах спостерігається більше число частинок, ніж в інших. Наявність максимумів в дифракційній картині з точки зору хвильової теорії означає, що ці напрями відповідають найбільшій інтенсивності хвиль де Бройля. З іншого боку, інтенсивність хвиль де Бройля виявляється більше там, де є більше число частинок, тобто інтенсивність хвиль де Бройля в даній точці простору визначає число частинок, що попали в цю точку. Таким чином, дифракційна картина для мікрочастинок є виявом статистичної (імовірної) закономірності, згідно з якою частинки попадають в ті місця, де інтенсивність хвиль де Бройля найбільша.

Необхідність імовірного підходу до опису мікрочастинок є найважливішою особливістю квантової теорії. Чи можна хвилі де Бройля тлумачити як хвилі імовірності, тобто вважати, що імовірність виявити мікрочастинку в різних точках простору міняється згідно з хвильовим законом? Таке тлумачення хвиль де Бройля вже невірно хоч би тому, що тоді імовірність виявити частку в деяких точках простору може бути негативна, що не має смислу.

Щоб усунути ці труднощі, німецький фізик М. Борн (1882 – 1970) в 1926 р. передбачив, що згідно з хвильовим законом міняється не сама імовірність, а величина, названа амплітудою імовірності, що позначається . Цю величину називають також хвильовою функцією (або -функцією). Амплітуда імовірності може бути комплексною, і імовірність W пропорційна квадрату її модуля:

(13.3.1)

( — функція, комплексно зв'язана з ). Таким чином, опис стану мікрооб’єкту за допомогою хвильової функції має статистичний, ймовірностний характер: квадрат модуля хвильової функції (квадрат модуля амплітуди хвиль де Бройля) визначає імовірність знаходження частинки в момент часу в області з координатами х і х+dx, у і у+dy, z і z+dz.

Отже, в квантовій механіці стан мікрочастинок описується принципово по-новому — за допомогою хвильової функції, яка є основним носієм інформації про їх корпускулярні і хвильові властивості. Імовірність знаходження частинки в елементі об'ємом dV рівна

(13.3.2)

Величина

(квадрат модуля - функції) має значення щільності імовірності, тобто визначає, імовірність знаходження частинки в одиничному об'ємі в околиці точки з координатами х, у, z. Таким чином, фізичне значення має не сама -функція, а квадрат її модуля, , яким задається інтенсивність хвиль де Бройля.

Імовірність знайти частинку в момент часу t в кінцевому об'ємі V, згідно з теоремою складання імовірностей, рівна

Taк як визначається як імовірність, то необхідно хвильову функцію нормувати так, щоб імовірність достовірної події зверталася в одиницю, якщо за об'єм V прийняти нескінченний об'єм всього простору. Це означає, що при даній умові частинка повинна знаходитися десь в просторі. Отже, умова нормування імовірностей

(13.3.3)

де даний інтеграл (13.3.3) обчислюється по всьому нескінченному простору, тобто по координатах х, у, z від — до . Таким чином, умова (13.3.3) говорить про об'єктивне існування частинки в просторі.

Щоб хвильова функція була об'єктивною характеристикою стану мікрочастинок, вона повинна задовольняти ряду обмежувальних умов. Функція , що характеризує імовірність виявлення мікрочастинки в елементі об'єму, повинна бути скінченою (імовірність не може бути більшою одиниці), однозначною (імовірність не може бути неоднозначною величиною) і безперервною (імовірність не може змінюватися стрибком).

Хвильова функція задовольняє принципу суперпозиції: якщо система може знаходитися в різних станах, що описуються хвильовими функціями то вона також може знаходитися в стані , що описується лінійною комбінацією цих функцій:

де — довільні, взагалі кажучи, комплексні числа. Складання хвильових функцій (амплітуд імовірностей), а не імовірностей (модулів хвильових функцій, що визначаються квадратами ) принципово відрізняє квантову теорію від класичної статистичної теорії, в якій для незалежних подій справедлива теорема складання імовірностей.

Хвильова функція , будучи основною характеристикою стану мікрооб’єктів, дозволяє в квантовій механіці обчислювати середні значення фізичних величин, що характеризують даний мікрооб’єкт. Наприклад, середню відстань <r> електрона від ядра обчислюють по формулі

де інтегрування проводиться, як і у випадку (13.3.3).

Загальне рівняння Шредінгера. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів

Статистичне тлумачення хвилі де Бройля і співвідношення невизначеностей Гейзенберга привели до висновку, що рівнянням руху в квантовій механіці, що описує рух мікрочастинок в різних силових полях, повинне бути рівняння, з якого б витікали хвильові властивості частинок, що спостерігаються на досліді. Основне рівняння повинне бути рівнянням відносно хвильової функції (х, у, z. t), оскільки саме вона, або, точніше, величина , визначає імовірність перебування частинки в момент часу t в об'ємі dV, тобто в області з координатами х і х+dх, у і у+dy. z і z+dz. Оскільки шукане рівняння повинно враховувати хвильові властивості частинок, то воно повинне бути хвильовим рівнянням, подібно рівнянню, що описує електромагнітні хвилі.

Основне рівняння нерелятивістський квантової механіки сформульоване в 1926 р. Е. Шредінгером. Рівняння Шредінгера, як і всі основні рівняння фізики (наприклад, рівняння Ньютона в класичній механіці і рівняння Максвелла для електромагнітного поля), не виводиться, а постулювалося. Правильність цього рівняння підтверджується згодою з дослідом результатів, що отримуються за його допомогою, що, в свою чергу, надає йому характер закону природи. Рівняння Шредінгера має вигляд

(13.3.4)

де — маса частинки, — оператор Лапласа — уявна одиниця, U (х, у. z, t) — потенційна функція частинки в силовому полі, в якому вона рухається (х, у, z, t) — шукана хвильова функція частинки.

Рівняння (13.3.4) справедливе для будь-якої частинки, що рухається з малою (в порівнянні з швидкістю світла) швидкістю, тобто з швидкістю . Воно доповнюється умовами, що накладаються на хвильову функцію: 1) хвильова функція повинна бути кінцевою, однозначною і неперервною; 2) похідні повинні бути неперервні; 3) функція повинна бути така, що інтегрується; ця умова в найпростіших випадках зводиться до умови нормування імовірностей (13.3.3).

Щоб прийти до рівняння Шредінгера, розглянемо вільно рухому частку, якої, згідно з ідеєю де Бройля, зіставляється плоска хвиля. Для простоти розглянемо одномірний випадок. Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж осі х, має вигляд або в комплексному записі . Отже, плоска хвиля де Бройля має вигляд

. (13.3.5.)

(враховано, що ). У квантовій механіці показник експоненти беруть зі знаком мінус, але оскільки фізичний смисл має тільки , то це (див. (13.3.5)) неістотно. Тоді

звідки

(13.3.6.)

Використовуючи взаємозв'язок між енергією Е і імпульсом і підставляючи вирази (13.3.6), отримаємо диференціальне рівняння

яке співпадає з рівнянням (13.3.4) для випадку U=0 (ми розглядали вільну частку). Якщо частинка рухається в силовому валі, що характеризується потенційною енергією U, то повна енергія Е складається з кінетичної і потенційної енергії. Проводячи аналогічні міркування і використовуючи взаємозв'язок між Е і р (для даного випадку ), прийдемо до диференціального рівняння, співпадаючого з (13.3.4).

Приведені міркування не повинні сприйматися як виведення рівняння Шредінгера. Вони лише пояснюють, як можна прийти до цього рівняння. Доказом правильності рівняння Шредінгера є згода з дослідом тих висновків, до яких воно приводить.

Рівняння (13.3.4) є загальним рівнянням Шредінгера. Його також називають рівнянням Шредінгера, що залежить від часу. Для багатьох фізичних явищ, що відбуваються в мікросвіті, рівняння (13.3.4) можна спростити, виключивши залежність від часу, іншими словами, знайти рівняння Шредінгера для стаціонарних станів — станів з фіксованими значеннями енергії. Це можливе, якщо силове поле, в якому частинка рухається, стаціонарно, тобто функція U=U(х, у. z) не залежить явно від часу і має значення потенційної енергії. У цьому випадку рішення рівняння Шредінгера може бути представлене у вигляді добутку двох функцій, одна з яких є функція тільки координат, інша — тільки часу, причому залежність від часу виражається множником , так що

(13.3.7.):

де Е — повна енергія частинки, постійна у разі стаціонарного поля. Підставляючи (13.3.7) в (13.3.4), отримаємо

;

звідки після ділення на загальний множник і відповідних перетворень прийдемо до рівняння, що визначає функцію:

(13.3.8.)

Рівняння (13.3.8) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. У це рівняння як параметр входить повна енергія Е частинки. У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що подібні рівняння мають незліченну кількість рішень, з яких за допомогою накладення граничних умов відбирають рішення, що мають фізичне значення. Для рівняння Шредінгера такими, умовами є умови регулярності хвильових функцій: хвильові функції повинні бути кінцевими, однозначними і безперервними разом з своїми першими похідними. Таким чином, реальне фізичне значення мають тільки такі рішення, які виражаються регулярними функціями . Але регулярні рішення мають місце не при будь-яких значеннях параметра Е, а лише при певному їх наборі, характерному для даної задачі. Ці значення енергії називаються власними. Рішення ж, які відповідають власним значенням енергії, називаються власними функціями. Власні значення Е можуть утворювати як безперервний, так і дискретний ряд. У першому випадку кажуть про безперервний, або суцільному, спектр, у другому — про дискретний спектр.

Принцип причинності в квантовій механіці

З співвідношення невизначеностей часто роблять висновок про невживаність принципу причинності до явищ, що відбуваються в мікросвіті. При цьому базуються на наступних міркуваннях. У класичній механіці, згідно з принципом причинності — принципу класичного детермінізму, за відомим станом системи в деякий момент часу (повністю визначається значеннями координат і імпульсів всіх частинок системи) і силами, прикладиними до неї, можна абсолютно точно задати її стан в будь-який подальший момент. Отже, класична фізика засновується на наступному розумінні причинності: стан механічної системи в початковий момент часу з відомим законом взаємодії частинок є причина, а її стан в подальший момент — слідство.

З іншого боку, мікрооб’єкти не можуть мати одночасно і певну координату, і певну відповідну проекцію імпульсу (задаються співвідношенням невизначеностей (13.2.5)), тому і робиться висновок про те, що в початковий момент часу стан системи точно не визначається. Якщо ж стан системи не визначений в початковий момент часу, то не можуть бути передбачені в подальші стани, тобто порушується принцип причинності.

Однак ніякого порух принципу причинності застосовно до мікрооб’єкту не спостерігається, оскільки в квантовій механіці поняття стану мікрооб’єкта має абсолютно інше значення, чим в класичній механіці. У квантовій механіці стан мікрооб’єкту повністю визначається хвильовою функцією , квадрат модуля якої задає щільність імовірності знаходження частинки в точці з координатами х, у. z.

У свою чергу, хвильова функція задовольняє рівнянню Шредінгера (13.3.4), що містить першу похідну функції за часом. Це ж означає, що задання функції (для моменту часу ) визначає її значення в подальші моменти. Отже, в квантовій механіці початковий стан є причина, а стан в подальший момент — слідство. Це і є форма принципу причинності в квантовій механіці, тобто завдання функції зумовлює її значення для будь-яких подальших моментів. Таким чином, стан системи мікрочастинок, визначений в квантовій механіці, однозначно витікає з попереднього стану, як того вимагає принцип причинності.

Тема 13.4. Розв’язок рівняння Шредінгера для “вільної” частинки та для частинки в “потенціальній ямі”.

Вільна частинка — частинка, що рухається у відсутність зовнішніх полів. Оскільки на вільну частку (нехай вона рухається вздовж осі х) сили не діють, то потенційна енергія частинки U(х)=const і її можна прийняти рівної нулю. Тоді повна енергія частинки співпадає з її кінетичною енергією. У такому випадку рівняння Шредінгера (217.5) для стаціонарних станів прийме вигляд

(13.4.1.)

Прямою підстановкою можна пересвідчитися в тому, що рішенням рівняння (13.4.1) є функція , де А=const і k = const. з власним значенням енергії

(13.4.2.)

Функція являє собою тільки координатну частину хвильової функції . Тому хвильова функція, що залежить від часу, згідно (13.3.7),

. (13.4.3.)

(тут і Функція (13.4.3) являє собою плоску монохроматичну хвилю де Бройля (див. (13.3.5)).

З виразу (13.4.2) слідує, що залежність енергії від імпульсу

виявляється звичайною для нерелятивістських частинок. Отже, енергія вільної частинки може приймати будь-які значення (оскільки хвильове число k може приймати будь-які позитивні значення), тобто її енергетичний спектр є неперервним.

Таким чином, вільна квантова частинка описується плоскою монохроматичною хвилею де Бройля. Цьому відповідає щільність імовірності

тобто всі положення вільної частинки в просторі є рівноможливими.

Частинка в одномірній прямокутній «потенційній ямі» з нескінченно високими „стінками”

Проведемо якісний аналіз рішень рівняння Шредінгера застосовно до частинки в одномірній прямокутній «потенційній ямі» з нескінченно високими „стінками”. Така „яма” описується потенційною енергією вигляду (для простоти приймаємо, що частинка рухається вздовж осі )

де — ширина «ями», а енергія відлічується від її дна.

Рівняння Шредінгера (13.3.8) для стаціонарних станів у разі одномірній задачі запишеться у вигляді

(13.4.4)

За умовою задачі (нескінченно високі «стінки»), частинка не проникає за межі, «ями», тому імовірність її виявлення ( а отже, і хвильова функція) за

Мал. 13.4.1

межами «ями» рівна нулю. На границі «ями» (при х=0 і х=l) безперервна хвильова функція також повинна звертатися в нуль. Отже, граничні умови в цьому випадку мають вигляд

(13.4.5)

У межах «ями» рівняння Шредінгера (13.4.4) зведеться до рівняння

або

(13.4.6)

де

(13.4.7)

Загальне рішення диференціального рівняння (13.4.6):

Taк як по (13.4.5) (0)=0, то В = 0. Тоді

(13.4.8)

Умова (13.4.5) виконується тільки при де — цілі числа, тобто необхідне, щоб

(13.4.9)

З виразів (13.4.7) і (13.4.9) слідує, що

(13.4.10)

тобто стаціонарне рівняння Шредінгера, що описує рух частинки в «потенційній ямі» з нескінченно високими «стінками», задовольняється тільки при власних значеннях що залежать від цілого числа . Отже, енергія частинки в «потенційній ямі» з нескінченно високими «стінками» приймає лише певні дискретні значення, тобто квантується. Квантовані значення енергії називаються рівнями енергії, а число, , що визначає енергетичні рівні частинки, називається головним квантовим числом. Таким чином, мікрочастинок в «потенційній ямі» з нескінченно високими «стінками» може знаходитися тільки на певному енергетичному рівні або, як кажуть, частинка знаходиться в квантовому стані n.

Підставивши в (13.4.8) значення k з (13.4.9), знайдемо власні функції:

Постійну інтегрування А знайдемо з умови нормування (13.3.3), яке для даного випадку запишеться у вигляді

Внаслідок інтегрування отримаємо , а власні функції будуть мати вигляд

(13.4.11)

Тема 13.5. Потенційний бар'єр. Тунельний ефект

Розглянемо найпростіший потенційний бар'єр прямокутної форми (мал. 13.5.1) для одномірного (по осі х) руху частинки. Для потенційного бар'єра прямокутної форми висоти U і ширини можемо записати

При даних умовах задачі класична частинка, маючи енергію Е, або безперешкодно пройде над бар'єром (при Е> U), або відіб'ється від нього (при Е< U) і буде рухатися в зворотну сторону, тобто вона не може проникнути крізь бар'єр. Для мікрочастинки же, навіть при Е>U, є відмінна від нуля імовірність, що частинка відіб'ється від бар'єра і буде рухатися в зворотну сторону. При Е<U є також відмінна від нуля імовірність, що частинка виявиться в області 3, тобто проникає крізь бар'єр. Подібні, здавалося б, парадоксальні висновки слідують

Мал. 13.5.1

безпосередньо з рішення рівняння Шредінгера, що описує рух мікрочастинки при умовах даної задачі. Рівняння Шредінгера (13.3.8) для стаціонарних станів для кожної з виділених на мал. 13.5.1 а області має вигляд

(для областей 1 и 3 ),

(для областей 2 ) (13.5.1)

Загальні рішення цих диференціальних рівнянь:

(для області 1), (13.5.2)

(для області 2),

(для області 3), (13.5.3)

Зокрема, для області 1 повна хвильова функція, згідно (13.3.7), буде мати вигляд

(13.5.4)

У цьому виразі перший член являє собою плоску хвилю типу (13.4.3), що розповсюджується в позитивному напрямі осі х (відповідає частинці, рухомій у бік бар'єра), а другий — хвилю, що розповсюджується в протилежному напрямі, тобто відображену від бар'єра (відповідає частинці, рухомій від бар'єра наліво).

Рішення (13.5.3) містять також хвилі, що розповсюджуються в обидві сторони. Однак в області 3 є тільки хвиля, що пройшла крізь бар'єр і що розповсюджується зліва направо. Тому коефіцієнт Вз в формулі (13.5.3) потрібно прийняти рівним нулю.

У області 2 рішення залежить від співвідношень Е> U або Е< U. Фізичний інтерес представляє випадок, коли повна енергія частинки менше висоти потенційного бар'єра, оскільки при Е< U закони класичної фізики однозначно не дозволяють частинці проникнути крізь бар'єр. У цьому випадку, згідно (13.5.1), — уявне число, де

Враховуючи значення q і, , отримаємо рішення рівняння Шредінгера для трьох областей в наступному вигляді:

(для області 1),

(для області 2), (13.5.5)

(для області 3),

У області 2 функція (13.5.5) вже не відповідає плоским хвилям, що розповсюджуються в обидві сторони, оскільки показники експоненти не уявні, а дійсні. Можна показати, що для окремого випадку високого і широкого бар'єра, коли

Якісний характер функцій ілюструється на мал. 13.5.2, звідки слідує, що хвильова функція не рівна нулю і всередині бар'єра, а в області 3, якщо бар'єр не дуже широкий, буде знову мати вигляд хвиль де Бройля з тим же імпульсом, тобто з тією ж частотою, але з меншою амплітудою. Отже, що частинка має відмінну від нуля імовірність проходження крізь потенційний бар'єр кінцевої ширини.

Таким чином, квантова механіка приводить до принципово нового специфічного квантового явища, що отримало назву тунельний ефекту, в результаті якого мікрооб’єкт може «пройти» крізь потенційний бар'єр.

Для опису тунельний ефекту використовують поняття коефіцієнта прозорості D потенційного бар'єра, що визначається як відношення щільності потоку минулих частинок до щільності потоку падаючих. Можна показати, що

Для того щоб знайти відношення необхідно скористатися умовами безперервності і ' на границі бар'єра і

Ці чотири умови дають можливість виразити коефіцієнти А2, А3, B1 і B2, через . Спільне рішення рівнянь (13.5.5) для прямокутного потенційного бар'єра дає (в припущенні, що коефіцієнт прозорості малий в порівнянні з одиницею)

(13.5.6)

де U — висота потенційного бар'єра, Е — енергія частинки, l — ширина бар'єра, — постійний множник, який можна прирівняти одиниці. З вираження (13.5.6) слідує, що D сильно залежить від маси т частинки, ширини l бар'єра і від (U — E), чим ширше бар'єр, тим менше імовірність проходження крізь нього частинки.

Для потенційного бар'єра довільної форми, що задовольняє умовам так званого квазикласичного наближення (досить гладка форма кривої), маємо

Де U=U(х)

Мал.

З класичної точки зору проходження частинки крізь потенційний бар'єр при Е< U неможливе, оскільки частинка, знаходячись в області бар'єра, повинна була б володіти негативною кінетичною енергією. Тунельний ефект є специфічним квантовим афектом. Проходження частинки крізь область, в яку, згідно із законами класичної механіки, вона не може проникнути, можна пояснити співвідношенням невизначеностей. Невизначеність імпульсу Δр на відрізку складає . Пов'язана з цим розкидом в значеннях імпульсу кінетична енергія може виявитися достатньою для того, щоб повна енергія частинки виявилася більше потенційної.

Основи теорії тунельний переходів закладені роботами Л. І. Мандельштама і М. А. Леонтовича (1903 – 1981). Тунельне проходження крізь потенційний бар'єр лежить в основі багатьох явищ фізики твердого тіла (наприклад, явища в контактом шарі на кордоні двох напівпровідників), атомної і ядерної фізики (наприклад, -розпад, протікання термоядерних реакцій).

Тема 13.5. Потенційний бар'єр. Тунельний ефект

Мал. 13.5.1

(для областей 1 и 3 ),

(для областей 2 ) (13.5.1)

Загальні рішення цих диференціальних рівнянь:

(для області 1), (13.5.2)

(для області 2),

(для області 3), (13.5.3)

Зокрема, для області 1 повна хвильова функція, згідно (13.3.7), буде мати вигляд

(13.5.4)

Враховуючи значення q і, , отримаємо рішення рівняння Шредінгера для трьох областей в наступному вигляді:

(для області 1),

(для області 2), (13.5.5)

(для області 3),

Для того щоб знайти відношення необхідно скористатися умовами безперервності і ' на границі бар'єра і

(13.5.6)

Де U=U(х)

Мал.

Тема 13.6. Вплив форми “потенціальної ями” на квантування енергії частинки. Лінійний гармонічний осцилятор квантовій механіці

Лінійний гармонічний осцилятор — система, що здійснює одномірний рух під дією квазіпружної сили, — є моделлю, що використовується в багатьох задачах класичної і квантової теорії. Пружинний, фізичний і математичний маятники — приклади класичних гармонічних осциляторів. Потенційна енергія гармонічного осцилятора рівна

(13.6.1)

де — власна частота коливань осцилятора, т — маса частинки. Залежність (13.6.1) має вигляд параболи (мал.), тобто «потенційна яма» в цьому випадку є параболічною.

Амплітуда малих коливань класичного осцилятора визначається його повною енергією Е. У точках з координатами повна енергія Е рівна потенційній енергії. Тому з класичної точки зору частинка не може вийти за межі області Такий вихід означав би, що її потенційна енергія більше повної, що абсурдно, оскільки приводить до висновку, що кінетична енергія негативна. Таким чином, класичний осцилятор знаходиться в «потенційній ямі» з координатами «без права виходу» з неї.

Гармонічний осцилятор в квантовій механіці — квантовий осцилятор — описується рівнянням Шредінгера (13.3.8), що враховує вираз (13.6.1) для потенційної енергії. Тоді стаціонарні стани квантового осцилятора визначаються рівнянням Шредінгера вигляду

(13.6.2)

Мал. 13.6.1

де Е — повна енергія осцилятора. У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння (13.6.2) вирішується тільки при власних значеннях енергії

(13.6.3)

Формула (13.6.3) показує, що енергія квантового осцилятора може мати лише дискретні значення, — тобто квантується. Енергія обмежена знизу відмінним від нуля, як і для прямокутної «ями» з нескінченно високими «стінками», мінімальним значенням енергії Існування мінімальної енергії — вона називається енергією нульових коливань — є типовою для квантових систем і являє собою пряме слідство співвідношення невизначеностей.

Наявність нульових коливань означає, що частинка не може знаходитися на дні «потенційної ями», причому цей висновок не залежить від її форми. Дійсно, «падіння на дно ями» пов'язане із звертанням в нуль імпульсу частинки, а разом з тим і його невизначеності. Тоді невизначеність координати стає дуже великою, що суперечить, в свою чергу, перебуванню частинки в «потенційній ямі».

З формули (13.6.3) також слідує, що рівні енергії лінійного гармонічного осцилятора розташовані на однакових відстанях один від одного, а саме відстань між сусідніми енергетичними рівнями рівна , причому мінімальне значення енергії

Тема 13.7. Атом водню в квантовій механіці.Головне, орбітальне і магнітне квантові числа.

Рішення задачі про енергетичні рівні електрона для атома водню зводиться до задачі про рух електрона в кулонівському полі ядра.

Потенційна енергія взаємодії електрона з ядром, що має зарядом Ze (для атома водню Z=1),

(13.7.1)

де r відстань між електроном і ядром. Графічно функція U(r) зображена жирною кривою на мал. 13.7.1 U(r) із зменшенням r (при наближенні електрона до ядра) необмежено убуває.

Стан електрона в атомі водню описується хвильовою функцією y, що задовільняє стаціонарному рівнянню Шредінгсра, що враховує значення (13.7.1)

(13.7.2)

- де m маса електрона, Е - повна енергія електрона в атомі. Оскільки поле, в якому рухається електрон, є центрально-симетричним, то для розв’язку рівняння (13.7.2) звичайно використовують сферичну систему координат: r, q, f. Не вдаючись в математичне рішення цієї задачі, обмежимося розглядом найважливіших результатів, які з нього слідують, пояснивши їх фізичне значення.

1.Енергія. В теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння типу (13.7.2) мають розв’язки, що задовольняють вимогам однозначності, скінченності і безперервності хвильової функції y, тільки при власних значеннях енергії

(13.7.3)

тобто для дискретного набору негативних значень енергії.

Таким чином, як і у разі «потенційної ями» з нескінченно високими «стінками» і гармонічного осцилятора, розв’язок рівняння Шредінгера для атома водню приводить до появи дискретних енергетичних рівнів. Можливі значення Е1, Е2, E3,... показані на мал.13.1 у вигляді горизонтальних прямих. Найнижчий рівень E1, що відповідає мінімальній можливій енергії є основним, всі інші (Еn>Е1 n=2, 3,. ..) збуджені. При Е<0 рух електрона є зв’язаним - він знаходиться всередині гіперболічної «потенційної ями». З малюнка слідує, що по мірі зростання головного квантового числа n енергетичні рівні розташовуються тісніше і при n=¥ Е¥=0. При Е>0

рух електрона є вільним; область безперервного спектра Е>0 (заштрихована на мал. 13.7.1) відповідає іонізованому атому. Енергія іонізації атома водню рівна

еВ

Вираз (13.7.3) співпадає з формулою, отриманою Бором для енергії атома водню. Однак якщо Бору довелося вводити додаткові гіпотези (постулати), то в квантовій механіці дискретні значення енергії, будучи наслідком самої теорії, витікають безпосередньо з розв’язку рівняння Шредінгера.

Мал. 13.7.1

2. Квантові числа. У квантовій механіці доводиться, що рівнянню Шредінгера (13.7.2) задовольняють власні функції Ynlm(r, q, f) що визначаються трьома квантовими числами: головним n, орбітальним l і магнітним m.

Головне квантове число n, згідно (13.7.3), визначає енергетичні рівні електрона в атомі і може приймати будь-які цілочисельні значення починаючи з одиниці:

З розв’язку рівняння Шредінгера витікає, що момент імпульсу (механічний орбітальний момент) електрона кантується, тобто не може бути довільним, а приймає дискретні значення, що визначаються формулою

(13.7.4)

де l орбітальне квантове число, яке при заданому n приймає значення

(13.7.5)

тобто всього n значень, і визначає момент імпульсу електрона в атомі.

З розв’язку рівнянь Шредінгера слідує також, що вектор L моменту імпульсу електрона може мати лише такі орієнтації в просторі, при яких його проекція L за напрямком z зовнішнього магнітного поля приймає квантові значення, кратні h:

(13.7.6)

де m1 магнітне квантове число, яке при заданому l може приймати значення

(13.7.7)

тобто всього 2l+1 значень. Таким чином, магнітне квантове число m1 визначає проекцію моменту імпульсу електрона на заданий напрям, причому вектор моменту імпульсу електрона в атомі може мати в просторі 2l+1 орієнтації.

Наявність квантового числа ml повинно привести в магнітному полі до розщеплення

рівня з головним квантовим числом n на 2l+1 підрівней. Відповідно в спектрі атома повинно спостерігатися розщеплення спектральних ліній. Дійсно, розщеплення енергетичних рівнів в магнітному полі було виявлене в 1896 р. голландським фізиком П. Зеєманом (1865 1945) і отримало назву ефекту Зеємана. Розщеплення рівнів енергії у зовнішньому електричному полі, також доведене експериментально, називається ефектом Штарка.

Хоч енергія електрона (13.7.3) і залежить тільки від головного квантового числа n, але кожному власному значенню En, (крім E1) відповідає декілька власних функцій, відмінних значеннями l і ml. Отже, атом водню може мати одне і те ж значення енергії, знаходячись в декількох різних станах. Оскільки при даному n орбітальне квантове число l може змінюватися від 0 до n-1 (див. (13.7.5)), а кожному значенню l відповідає 2l+1 різних значень ml (13.7.7), те число різних станів, відповідних даному n, рівне

(13.7.8)

Квантові числа і їх значення є наслідком розв’язку рівнянь Шредінгера і умов однозначності, безперервності і скінченності, що накладаються на хвильову функцію ф. Крім того, оскільки при русі електрона в атомі істотні хвильові властивості електрона, то квантова механіка взагалі відмовляється від класичного уявлення про електронні орбіти. Згідно з квантовою механікою, кожному енергетичному стану відповідає хвильова функція, квадрат модуля якої визначає імовірність виявлення електрона в одиниці об'єму.

Імовірність виявлення електрона в різних частинах атома різна. Електрон при своєму русі як би «розмазаний» по всьому об'єму, утворюючи електронну хмару, щільність (густина) якої характеризує імовірність знаходження електрона в різних точках об'єму атома. Квантові числа n і l характеризують розмір і форму електронної хмари, а квантове число m характеризує орієнтацію електронної хмари в просторі.

У атомній фізиці, аналогічно зі спектроскопією, стан електрона, що характеризується квантовими числами l=0, називають s-станом (електрон в цьому стані називають s-електроном), l=1 p-станом, l=2 d-станом, l=3 f-станом і т. д. Значення головного квантового числа вказується перед умовним позначенням орбітального квантового числа. Наприклад, електрони в станах з n=2 і l=0 і 1 позначаються відповідно символами 2s і 2p.

Тема 13.8. Спін електрона. Спінове квантове число

О. Штерн і В. Герлах, проводячи прямі вимірювання магнітних моментів , виявили в 1922 р., що вузький пучок атомів водню, що знаходяться в s-стані, в неоднорідному магнітному полі розщеплюється на два пучки. У цьому стані момент імпульсу електрона рівний нулю. Магнітний момент атома, пов'язаний з орбітальним рухом електрона, пропорційний механічному моменту, тому він рівний нулю і магнітне поле не повинне впливати на рух атомів водню в основному стані, тобто розщеплення бути не повинне. Однак надалі при застосуванні спектральних приладів з великою роздільною здатністю було доведено, що спектральні лінії атома водню виявляють тонку структуру (є дублетами) навіть у відсутність магнітного поля.

Для пояснення тонкої структури спектральних ліній, а також ряду інших труднощів в атомній фізиці американські фізики Д. Уленбек (1900 1974) і С. Гаудаміт (1902 1979) передбачили, що електрон володіє власним незнищуваним механічним моментом імпульсу, не пов'язаним з рухом електрона в просторі - спіном.

Мал. 13.8.1

Спін електрона (і всіх інших мікрочастинок) - квантова величина, у неї немає класичного аналога; ця внутрішня невід'ємна властивість електрона, подібна його заряду і масі.

Якщо електрону приписується власний механічний момент імпульсу (спін) L то йому відповідає власний магнітний момент Pms. Згідно із загальними положеннями квантової механіки, спін квантується згідно із законом

де s спінове квантове число.

Аналогічно з орбітальним моментом імпульсу, проекція Lsz спіна квантується так, що вектор L може приймати 2s+1 орієнтації. Оскільки в дослідах Штерна і Герлаха спостерігалися тільки дві орієнтації, то , звідки . Проекція спіну на напрям зовнішнього магнітного поля, удучи квантованою величиною визначається виразом, аналогічним:

де магнітне спінове квантове число; воно може мати тільки два значення .

Таким чином, дослідні дані привели до необхідності характеризувати електрони додатковою внутрішньою мірою свободи. Тому для повного опису стану електрона в атомі необхідно нарівні з орбітальним і магнітним квантовими числами задавати ще магнітне спіном квантове число.

Тема 13.9. Принцип нерозрізненості тотожних частинок. Ферміони та бозони. Принцип Паулі. Розподіл електронів в атомі по станах.Періодична система елементів Менделєєва.

Якщо перейти від розгляду руху однієї мікрочастинки (одного електрона) до багатоелектронних систем, то виявляються особливі властивості, що не мають аналога в класичній фізиці. Нехай квантово-механічна система складається і однакових частинок, наприклад електронів. Всі електрони мають однакові фізичні властивості: масу, електричний заряд, спін і інші внутрішні характеристики (наприклад, квантові числа). Такі частинки називають тотожними. Незвичайні властивості системи однакових тотожних частинок проявляються в фундаментальному принципі квантової механіки - принципі нерозрізнюваності тотожних частинок, згідно з яким неможливо експериментально розрізнити тотожні частинки. У класичній механіці навіть однакові частинки можна розрізнити по положенню в просторі і імпульсам. Якщо частинки в якийсь момент часу пронумерувати, то в наступні моменти часу можна прослідити за траєкторією будь-якої з них. Класичні частинки, таким чином, характеризуються індивідуальністю, тому класична механіка систем з однакових частинок принципово не відрізняється від класичної механіки систем з різних частинок.

У квантовій механіці положення інше. З співвідношення невизначеності витікає, що для мікрочастинок взагалі непридатне поняття траєкторії; стан мікрочастинки описується хвильовою функцією, що дозволяє обчислювати лише імовірність ½Y½² знаходження мікрочастинки в околицях тієї або іншої точки простору. Якщо ж хвильові функції двох тотожних частинок в просторі перекриваються, то розмова про те, яка частинка знаходиться в даній області, взагалі позбавлена значення: можна лише говорити про імовірність знаходження в даній області одній з тотожних частинок. Таким чином, в квантовій механіці тотожні частинки повністю втрачають свою індивідуальність і стають нерозрізнюваними. Потрібно підкреслити, що принцип нерозрізненості тотожних частинок не є просто наслідком імовірнісної інтерпретації хвильової функції, а вводиться в квантову механіку як новий принцип, який, як вже згадувалося, є фундаментальним.

Беручи до уваги фізичне значення величини ½Y½², принцип нерозрізненості тотожних частинок можна записати у вигляді

(13.9.1)

де X1 і Х2 відповідно сукупність просторових і спінових координат першої і другої частинок. Можливі два випадки:

тобто принцип нерозрізненості тотожних частинок веде до певної симетрії хвильової функції. Якщо при зміні частинок місцями хвильова функція не міняє знаку, то вона називається симетричною, якщо міняє - антисиметричною. Зміна знаку хвильової функції не означає зміни стану, оскільки фізичне значення має лише квадрат модуля хвильової функції. У квантовій механіці доводиться, що характер симетрії хвильової функції не міняється з часом. Це ж є доказом того, що властивість симетрії або антисимметрії - ознака даного типу мікрочастинок.

Встановлено, що симетрія або антисиметрія хвильових функцій визначається спіном частинок. В залежності від характеру симетрії всі елементарні частинки і побудовані з них системи (атоми, молекули) діляться на два класи. Частинки з напівцілим спіном (наприклад, електрони, протони, нейтрони) описуються антисиметричними хвильовими функціями і підкоряються статистиці Фермі-Дірака; ці частинки називаються фермионами. Частинки з нульовим або цілочисельним спіном (наприклад, p-мезони, фотони) описуються симетричними хвильовими функціями і підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна; ці частинки називаються бозонами. Складні частинки (наприклад, атомні ядра), складені з непарного числа ферміонів, є ферміонами (сумарний спін напівцілий), а з парного - бозонами (сумарний спін цілий).

Залежність характеру симетрії хвильових функцій системи тотожних частинок від спіна частинок теоретично обґрунтована швейцарським фізиком В. Паулі (1900-1958), що було ще одним доказом того, що спін є фундаментальною характеристикою мікрочастинок.

Якщо тотожні частинки мають однакові квантові числа, то їх хвильова функція симетрична відносно перестановки частинок. Звідси слідує, що два однакових ферміона, що входять в одну систему, не можуть знаходитися в однакових станах, оскільки для ферміонів хвильова функція повинна бути антисиметричною. Узагальнюючи дослідні дані, В. Паулі сформулював принцип, згідно з яким системи ферміонів зустрічаються в природі тільки в станах, що описуються антисиметричними хвильовими функціями (квантово-механічне формулювання принципу Паулі).

З цього положення витікає більш просте формулювання принципу Паулі, яке і була введена ним в квантову теорію (1925) ще до побудови квантової механіки: в системі однакових ферміонів будь-які два з них не можуть одночасно знаходитися в одному і тому ж стані. Зазначимо, що число однотипних бозонів, що знаходяться в одному і тому ж стані, не лімітується.

Нагадаємо, що стан електрона в атомі однозначно визначається набором чотирьох квантових чисел:

головного

орбітального

магнітного , магнітного спінового s (ms=+ 1/2 - 1/2).

Розподіл електронів в атомі підкоряється принципу Паулі, який може бути використаний в його найпростішому формулюванні: в одному і тому ж атомі не може бути більше за один електрон з однаковим набором чотирьох квантових чисел n, l, ml, ms

або

де Z (п. І, тl, тs) число електронів, що знаходяться в квантовому стані, що описується набором чотирьох квантових чисел: n. І, тl. тs. Таким чином, принцип Паулі стверджує, що два електрони, зв'язані в одному і тому ж атомі, розрізнюються значеннями принаймні одного квантового числа.

Даному n відповідає n2 різних станів, відмінних значеннями l і ml Квантове число ms, може, приймати лише два значення (± 0.5). Тому максимальне число електронів, що знаходяться в станах, що визначаються даним головним квантовим числом, рівне

Сукупність електронів в багатоелектронному атомі, що мають одне і те ж головне квантове число n, називають електронною оболонкою. У кожній з оболонок

Таблиця

Головне квантове число я 1 2 3 4 5

Символ оболонки K L M N 0

Максимальне число

Электронів в оболонці 2 8 18 32 50

Орбітальне квавтове

число L 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2

Символ підоболонки 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d

Максимальне число злек-

тронів в підоболонці 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10

електрони розподіляються по підоболонках відповідним даному I. Оскільки орбітальне квантове число приймає значення від 0 до n-1, число підоболонок дорівнює порядковому номеру оболонки. Кількість електронів в підоболонці визначається магнітним і магнітним спіновим квантовими числами: максимальне число електронів в підоболонці з даним l дорівнює 2(2l+1). Позначення оболонок, а також розподіл електронів по оболонках і підоболонках представлені в таблиці.

Принцип Паулі, що лежить в основі систематики заповнення електронних станів в атомах, дозволяє пояснити Періодичну систему елементів Д. И. Менделєєва (1869), фундаментального закону природи, що є основою сучасної хімії, атомної і ядерної фізики.

Д. І. Менделєєв ввів поняття порядкового номера Z хімічного елемента, рівного числу протонів в ядрі і відповідно загальному числу електронів в електронній оболонці атома. Розташувавши хімічні елементи по мірі зростання порядкових номерів, він визначив періодичність в зміні хімічних властивостей елементів. Однак для відомих в той час 64 хімічних елементів деякі клітки таблиці виявилися незаповненими, оскільки відповідні ним елементи (наприклад, Ga, Se, Ge) тоді ще не були відомі. Д. І. Менделєєв, таким чином, не тільки правильно розташував відомі елементи, але і передбачив існування нових, ще не відкритих елементів і їх основні властивості. Крім того, Д. І. Менделєєву вдалося уточнити атомні ваги деяких елементів. Наприклад, атомні ваги Be і U, обчислених на основі таблиці Менделєєва, виявилися правильними, а отримані раніше експериментально помилковими.

Оскільки хімічні і деякі фізичні властивості елементів пояснюються зовнішніми (валентними) електронами в атомах, то періодичність властивостей хімічних елементів повинна бути пов'язана з певною періодичністю в розташуванні електронів в атомах. Тому для пояснення таблиці будемо вважати, що кожний подальший елемент утворений з попереднього додаванням до ядра одного протона і відповідно додаванням одного електрона в електронній оболонці атома. Взаємодією електронів нехтуємо, вносячи, де це необхідно, відповідні поправки. Розглянемо атоми хімічних елементів, що знаходяться в основному стані.

Єдиний електрон атома водню знаходиться в стані 1s, що характеризується квантовими числами n=1, l=0, m=0 і ms=±1/2 (орієнтацію його спіну довільна). Обидва електрони атома Не знаходяться в стані 1s, але з антипаралельною орієнтацією спина. Електронна конфігурація для атома Не записується як 1s² (два 1s-злектрона). На атомі Не закінчується заповнення K-оболонки, що відповідає завершенню I періоду Періодичної системи елементів Менделєєва.

Третій електрон атома Li (Z=3), згідно з принципом Паулі, вже не може розміститися в цілком заповненій k-оболонці і займає найнижчий енергетичний стан з n=2 (L-оболонка), тобто 2s-состояниe. Електронна конфігурація для атома Li: 1s22s. Атомом Li починається II період Періодичної системи елементів. Четвертим електроном Be (Z=4) закінчується заповнення підоболонки 2s. У наступних шести елементів від В (Z=5) до Ne (Z= 10) йде заповнення підоболонки 2р. П період Періодичної системи закінчується неоном інертним газом, для якого підоболонка 2р повністю заповнена.

Таким чином, відкрита Менделєєвим періодичність в хімічних властивостях елементів пояснюється повторюваністю в структурі зовнішніх оболонок у атомів. Так, інертні гази мають однакові зовнішні оболонки з 8 електронів (заповнені s- і p-стани); у зовнішній оболонці лужних металів (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr) є лише один s-електрон; у зовнішній оболонці металів (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) є два s-електрони; галоїди (F, Q, Br, I, At) мають зовнішні оболонки, в яких бракує одного електрона до оболонки інертного газу.

Тема 13.10 Поняття про енергетичні рівні. Спектри атомів і молекул.

Молекула – найменша частинка речовини, що складається з однакових або різних атомів, сполучених між собою хімічними зв'язками, що є носієм його основних хімічних і фізичних властивостей. Хімічні зв'язки зумовлені взаємозв’язком зовнішніх, валентних електронів атомів. Найчастіше в молекулах зустрічається два типи зв'язку: іонна і ковалентна.

Молекула є квантовою системою; вона описується рівнянням Шредінгера, що враховує рух електронів в молекулі, коливання атомів молекули, обертання молекули. Рішення цього рівняння – дуже складна задача, яка звичайно розбивається на дві: для електронів і ядер.

Енергія ізольованої молекули

(13.10.1)

де Еел енергія руху електронів відносно ядер, Екол енергія коливань ядер (внаслідок яких періодично змінюється відносне положення ядер), Еоб енергія обертання ядер (внаслідок яких періодично змінюється орієнтація молекули в просторі). У формулі (13.10.1) не враховані енергія поступального руху центра маси молекули і енергія ядер атомів в молекулі. Перша з них не квантується, тому її зміни не можуть привести до виникнення молекулярного спектра, а другу можна не враховувати, якщо не розглядати надтонку структуру спектральних ліній.

Кожна з енергій, що входять у вираз (13.10.1) квантується (їй відповідає набір дискретних рівнів енергії) і визначається квантовими числами. При переході з одного енергетичного стану в інший поглинається або випускається енергія Е=hv. При таких переходах одночасно змінюються енергія руху електронів, енергії коливань і обертання. З теорії і експерименту слідує, що відстань між обертальними рівнями енергії DЕоб набагато менше відстані між коливальними рівнями ΔЕкол, яке, в свою чергу, менше відстані між електронними рівнями ΔЕел.

Структура енергетичних рівнів молекул визначає їх спектр випромінювання, що виникає при квантових переходах між відповідними енергетичними рівнями.

Будова молекул і властивості їх енергетичних рівнів виявляються в молекулярних спектрах - спектрах випромінювання (поглинання), що виникають при квантових переходах між рівнями енергії молекул. Спектр випромінювання молекули визначається структурою її енергетичних рівнів і відповідними правилами відбору (так, наприклад, зміна квантових чисел, відповідних як коливальному, так і обертальному руху, повинна бути така, що дорівнює ± 1).

Отже, при різних типах переходів між рівнями виникають різні типи молекулярних спектрів. Частоти спектральних ліній, що випромінюється молекулами, можуть відповідати переходам з одного електронного рівня на інший (електронні спектри) або з одного коливального (обертального) рівня на інший (коливальні (обертальні) спектри). Крім того, можливі і переходи з одними значеннями Екол і Еоб на рівні, що мають інші значення всіх трьох компонентів, внаслідок чого виникають електронно-коливальні та коливально-обертальні спектри. Тому спектр молекул досить складний.

Типові молекулярні спектри - смугасті, що являють собою сукупність більш або менш вузьких смуг в ультрафіолетовій, видимій і інфрачервоній областях. Застосовуючи спектральні прилади високої роздільної здатності, можлива бачити, що смуги являють собою настільки тісно розташовані лінії, що вони ледь розділяються.

Молекулярні спектри (в тому числі і спектри комбінаційного розсіювання світла) застосовуються для дослідження будови і властивостей молекул, використовуються в молекулярному спектральному аналізі, лазерній спектроскопії, квантовій електроніці.

Тема 13.10 Поняття про енергетичні рівні. Спектри атомів і молекул.

Енергія ізольованої молекули

(13.10.1)

Тема 13.11 Комбінаційне розсіювання світла.

У 1928 р. академіки Г. С. Ландсберг (1890 1957) і Л. І. Мандельштам і одночасно індійські фізики Ч. Раман (1888 1970) і К. Крішнан (1911) відкрили явище комбінаційного розсіювання світла. Якщо на речовину (газ, рідина, прозорий кристал) падає монохроматичне світло, то в спектрі розсіяного світла крім незміщеної спектральної лінії виявляються нові лінії, частоти яких являють собою суми або різниці частоти V падаючого світла і частот Vi власних коливань (або обертання) молекул розсіюючого середовища.

Лінії в спектрі комбінаційного розсіювання з частотами n-ni меншими частоти n падаючого світла, називаються стоксовими супутниками, лінії з частотами n+vi, n - антистоксовими супутниками. Аналіз спектрів комбінаційного розсіювання приводить до наступних висновків: 1) лінії супутників розташовуються симетрично по обидві сторони від незміщеної лінії; 2) частоти ni не залежать від частоти падаючого на речовину світла, а визначаються тільки розсіюючою речовиною, тобто характеризують його склад і структуру; 3) число супутників визначається розсіюючою речовиною; 4) інтенсивність антистоксових супутників менша інтенсивності стоксових і з підвищенням температури розсіюючої речовини збільшується, в той час як інтенсивність стоксових супутників практично від температури не залежить.

Пояснення закономірностей комбінаційного розсіювання світла дає квантова теорія. Згідно з цією теорією, розсіяння світла є процес, в якому один фотон поглинається і один фотон випускається молекулою. Якщо енергії фотонів однакові, то в розсіяному світлі спостерігається незміщена лінія. Однак можливі процеси розсіювання, при яких енергії поглиненого і випущеного фотонів різні. Відмінність енергії фотонів пов'язана з переходом молекули з нормального стану в збуджений (випущений фотон буде мати меншу частоту - виникає стоксів супутник) або із збудженого стану в нормальний (випущений фотон буде мати більшу частоту - виникає антистоксів супутник).

Розсіяння світла супроводиться переходами молекули між різними коливальними або обертальними рівнями, внаслідок чого і виникає ряд симетрично розташованих супутників. Число супутників, таким чином, визначається енергетичним спектром молекул, тобто залежить тільки від природи розсіюючої речовини. Оскільки число збуджених молекул набагато менше, ніж число незбуджених, то інтенсивність антистоксових супутників менше, ніж стоксових. З підвищенням температури число збуджених молекул росте, внаслідок чого зростає і інтенсивність антистоксових супутників.

Тема 12.13. Ефект Комптона і його теорія

Найбільш виразно квантові властивості світла проявилися в так званому ефекті Комнтона виявленому в 1923 році американським фізиком А.Комптоном.

Спостерігаючи розсіювання рентгенівських хвиль різними середовищами Комптон виявив, що розсіяння випромінювання має дещо іншу довжину хвилі ніж падаюче рентгенівське випромінювання з довжиною хвилі . Розсіяння рентгенівське випромінювання має більшу довжину хвилі ніж і тим більшу чим більший кут розсіювання (рис. 12.13.1).

Різниця між довжинами хвиль падаючого випромінювання та довжинами хвиль розсіяного випромінювання визначається співвідношенням

(12.13.1)

де - так звана постійна Комптона, або комнтонівська довжина, яка пізніше стала однією із фундаментних постійних.

Рентгенівське випромінювання, як ми побачимо пізніше, також є електромагнітним випромінюванням, але дуже короткої довжини хвилі, яка в декілька тисяч раз менша ніж довжина хвилі видимого випромінювання.

З класичної (хвильової) теорії електромагнітного випромінювання виникнення в розсіяному пучку інших довжин хвиль неможливе. Згідно цієї теорії падаюче електромагнітне випромінювання довжиною хвилі (частотою ) приводить до вимушеного коливання електрона з тією ж частотою і він стає джерелом розсіяної хвилі з тієї довжиною хвилі . Іншого механізму розсіювання хвильова теорія немає.

Явище Комнтона можна зрозуміти лише на основі квантових уявлень що природу світла, тобто, що світло представляє собою потік фотонів (частинок) які мають енергію та імпульс як і будь яка інша частина.

Якщо розглядати взаємодію фотона з електроном як замкнуту систему, то для цієї взаємодії виконується закон збереження енергії та закон збереження імпульсу. (Рис. 12.13.2)

(12.13.2)

Нехай для простоти для зіткнення електрон знаходився в стані спокою.(що близько до істини бо швидкість руху електрона до зіткнення складає декілька процентів від швидкості після зіткнення). Швидкість електрона після зіткнення сягає швидкості світла, тому будемо використовувати релятивістська співвідношення для енергії та імпульсу.

В такому наближенні рівняння (12.13.2) будуть мати вигляд

(12.13.3)

Або в скалярному вигляді (із врахуванням того, що Е= , ) будемо мати

(12.13.4)

Друге рівняння в 12.13.3 переведене в скалярну форму використовуючи теорему косинусів.

Або через довжину хвиль фотонів (врахуємо, що ).

(12.13.5)

Піднімемо праву і ліву частину першого рівняння до квадрата, а друге рівняння доможемо з ліва та справа на , маємо

(12.13.6)

віднімемо друге рівняння від першого і врахуємо, що

(12.13.7)

отримаєм

(12.13.8)

звідки

(12.13.9)

(12.13.10)

і остаточно

(12.13.11)

Теоретично отримане значення зміни довжини хвилі при розсіюванні в 12.13.1 співпадає із експериментальним значенням отриманим Комптоном. Причому

Отже пояснення явища Комптона остаточно підтвердило те, що світло є потоком частинок з певним імпульсом та енергією .

Зміна довжини хвилі при розсіюванні була виявлена і в видимій області спектру, але величина зміни довжини хвилі в цій області в тисячі раз менша ніж в рентгенівській області і тому не була замічена раніше.

Тема 12.14. Діалектична єдність корпускулярних і хвильових властивостей електромагнітного випромінювання

Багато явищ в оптиці можуть бути пояснені лише з точки зору електромагнітної природи світла. Це такі явища як інтерференція, дифракція, поляризація світла та ін. Однак багато і явищ, які можуть знайти своє пояснення лише із корпускулярної природи світла (ефект Комптона, фотоефект та ін.). В зв’язку із цим виникає питання: що ж таке світло? Як писав У. Брегг “Невже ми повинні вважати, що світло складається із корпускул в понеділок, вівторок і середу, коли ми проводимо досліди з фотоефектом і ефектом Комптона, і уявити собі як хвилі в четвер, п’ятницю і суботу, коли ми працюємо з явищами дифракції і інтерференції?”.

Це питання, поставлене в такій формі Бреггом, можна сформулювати і таким чином: що таке світло – неперервні електомагнітні хвилі, які випромінює джерело, чи потік дискретних фотонів, які хаотично випромінюються джерелом?

Необхідність приписувати світлу, з однієї сорони, квантові властивості, а з другої сторони, хвильові – може складати враження про недосконалість наших знань про природу світла. Адже хвильові властивості як би включають корпускулярні, і навпаки. Однак зусилля фізиків привело до створення нової науки, квантової механіки, в якій ці властивості “мирно” вживаються. Властивості неперервності характерні для електромагнітного поля світлової хвилі, не виключають властивості дискретності, характерних для світлових фотонів. Світлу (та й як вияснилось пізніше не тільки світлу) притаманні одночасно властивості неперервних електромагнітних хвиль та властивості дискретних фотонів. Тут яскраво проявляється діалектична єдність цих протилежних властивостей і в них є цілком визначена закономірність.

Зі зменшенням довжини хвилі (зі збільшенням частоти) все більш виразно проявляються квантові властивості світла. З цим пов’язано, наприклад, існування червоної границі фотоефекту. Разом з тим хвильові властивості короткохвильового випромінювання (наприклад, рентгенівського) проявляються дуже слабо. В цьому нас переконує явище дифракції рентгенівських хвиль. Лише після того, як в якості дифракційної гратки була використана кристалічна структура твердих тіл, вдалося виявити хвильові його властивості (була виявлена дифракція рентгенівських хвиль). Ще у більшій степені це справедливо для g-випромінювання.

Навпаки, у довгохвильовій області квантові властивості проявляються слабо, тут основну роль відіграють хвильові властивості. Таким чином, якщо рухатись вздовж шкали електромагнітних хвиль від довгохвильової області в короткохвильову область, то хвильові властивості електромагнітного випромінювання будуть поступово поступатися міяцем квантовим властивостям.

Взаємозв’язок між дуалістичними корпускулярно-хвильовими властивостями світла добре проглядається при статистичному підході до пояснення поширення світла. Справді, всі квантово-оптичні явища стверджують, що світло – це потік дискретних частинок-фотонів, в яких локалізовані енергія, імпульс і маса. Взаємодія фотонів з речовиною при проходженні світла через будь-яку оптичну систему (наприклад дифракційну гратку) приводить до перерозподілу їх в просторі і виникненню дифракційної картини на екрані. Очевидно, що освітленість Е екрану в різних точках прямо пропорційна сумарній енергії фотонів, які попадають в цю точку за одиницю часу. Для монохроматичного світла

, (12.14.1)

де n0 – число фотонів, які попадають на одиничну площадку ds екрана за одиницю часу. Величини n0 і E пропорційні ймовірності попадання фотонів в дану точку екрана. З другого боку, розв’язок цієї дифракційної задачі на основі хвильових уявлень показує, що освітленість Е пропоційна інтенсивності світла І в даній точці. Так як інтенсивність світла пропрційна амплітуді світлової хвилі (І ~ А2), то і Е ~ А2.

Співставляючи два вирази для освітленості Е, отриманих вище, можна зробити наступний висновок: квадрат амплітуди світлової хвилі в будь-якій точці простору є мірою імовірності попадання фотонів світла в цю точку.

Таким чином, корпускулярні та хвильові властивості світла не протистоять, а навпаки взаємно доповнюють одне одного. Вони виражають дві різні закономірності поширення електромагнітного випромінювання і його взаємодії із речовиною. Корпускулярні властивості обумовлені тим, що енергія, імпульс і маса випромінювання локалізовані в дискретних фотонах, хвильові – статистичними закономірностями розподілу фотонів в просторі, тобто закономірностями імовірності знаходження фотонів в різних точках простору.

Із дослідів по дифракції світла відомо, що при зміні інтенсивності світлового потоку, який падає на оптичну систему, характер дифракційної картини, яка виникає від взаємодії світла з оптичною системою, не змінюється. Тобто співвідношення між інтенсивностями різних точок екрану не залежить від інтенсивності вхідного світлового потоку. Це дозволяє стверджувати, що хвильові властивості притаманні не тільки сукупності великого числа фотонів, а також кожному окремому фотону. Хвильові властивості фотонів проявляються в тому, що для фотона не можна вказати точно, в яку саме точку екрану він попаде після проходження через оптичну систему. Можна говорити лише про імовірність попадання кожного фотона в різні точки екрану.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 Наверх ↑