Тема 8.1. Термодинамічний і молекулярно – кінетичний методи вивчення макросистем.

1) Всі тіла складаються з дрібненьких частинок – атомів, молекул, в склад яких входять ще більш маленькі елементарні частини ( електрони, протони, нейтрони ).

2) Атоми і молекули речовини завжди знаходяться в безперервному хаотичному русі, який називають тепловим рухом.

3) Між частинками любої речовини існують сили взаємодії – притягання і відштовхування.

Природа цих сил – електромагнітна.

Ці положення підтверджуються явищами дифузії, броунівського руху, особливостями будови і властивостей газів, рідин твердих тіл і іншими явищами.

В фізиці для характеристики теплових явищ використовують два основних методи: молекулярно – кінетичний (статистичний) і термодинамічний. Молекулярно – кінетичний метод ґрунтується на уявленнях про те, що всі речовини складаються з молекул, які знаходяться в хаотичному русі. Так як число молекул величезне, то можна, застосовуючи закони статистики, знайти певні закономірності для всієї речовини в цілому. Термодинамічний метод виходить з основних законів, які отримали назву законів термодинаміки. Термодинамічний метод підходить до вивчення явищ подібно класичний механіці, яка базується на дослідних законах Ньютона. При такому підході не розглядають внутрішньої будови речовини.

Тема 8.2. Ізопроцеси зміни стану ідеального газу. Графічне представлення ізопроцесів. Рівняння Клапейрона. Рівняння Менделєєва-Клапейрона.

В молекулярний фізиці і термодинаміці розглядають системи, які складаються з великої кількості частинок, тобто макроскопічні системи. Для однієї частинки окремо не можна вказати її координату і напрямок руху, визначити температуру і тиск. В такому випадку можливо виміряти лише параметри стану великої кількості молекул, тобто макроскопічні характеристики.

Спочатку вияснимо, яким закономірностям підлягає поведінка речовини, що знаходиться в газоподібному стані. При цьому будемо розглядати ідеалізовану модель реальних газів – ідеальний газ. Ідеальним газом називають такий газ, для якого можна знехтувати розмірами молекул, силами молекулярної взаємодії, зіткнення молекул в такому газі відбувається за законами зіткнення пружних кульок.

Реальні гази ведуть себе подібно ідеальному, коли середня віддаль між молекулами в багато разів більша їх розмірів, тобто при достатньо великих розрідженнях.

Стан деякої маси газоподібної речовини характеризують залежністю одної фізичної величини, від іншої, які називаються параметрами стану. До них відносяться об`єм V, тиск р і температура Т.

Об`єм газу завжди співпадає з об`ємом тієї посудини, який він займає.

Одиниця об`єму – кубічний метр (м3). Тиск – фізична величина, рівна відношенню сили , що діє на елемент поверхні перпендикулярно до неї, до площі цього елемента:

 

Одиниця тиску – паскаль

Як виникає тиск газу? Кожна молекула газу, ударяючись об стінку посудини, в якій вона знаходиться, на протязі малого проміжку часу діє на стінку з певною силою.

В результаті ударів об стінку сила з боку всіх молекул на одиницю площі стінки швидко змінюється відносно деякої (середньої) величини. Прилади, що вимірюють тиск, називають монометрами. Манометри фіксують середню за часом силу тиску, що припадає на одиницю площі його чутливого елемента (мембрани).

Поняття температури - одно з найголовніший в молекулярній фізиці. Для встановлення кількісного визначення температури необхідно ввести поняття теплової рівноваги. Пояснимо це. Візьмемо кілька тіл (систему тіл):нагріємо залізо (тіло А), воду при кімнатній температурі (тіло Б) лід (тіло В). Введемо умовний запис, що показує, при теплообміні між цими тілами проходить зміна енергії тіл:

А →Б →В

Напрям стрілок вказує, від якого тіла і до якого передається енергія при теплообміні. Енергія при теплообміні завжди передається від тіл з більш високою температурою до тіл з більш низькою. В результаті настає стан системи тіл, при якому теплообмін між тілами системи буде відсутній. Такий стан називається тепловою рівновагою. Тіла, що знаходяться в тепловій рівновазі, мають однакові температури.

Якщо система тіл знаходиться в стані теплової рівноваги, то об`єм, температура її частин і інші характеристики стану не змінюються з часом. Властивість температури визначити напрям теплового обміном між тілами є головним в термодинаміці.

При змінні температури змінюється розміри тіл, їх об`єми, електричні опори та інші властивості. Взагалі, в більшості всіх фізичних і хімічних явищ виявляється залежність від температури. Таким чином, температуру можна визначити по змінні якої-небудь зручної для вимірювання фізичної властивості даної речовини.

Для однозначного визначення температури необхідно вибирати термометричне тіло і температурний параметр.

В якості термометричного тіла для визначених інтервалів температур можна вибрати газ (наприклад, водень) або рідину (ртуть, спирт). Температурним параметром у них є об`єм.

Температурним параметром може бути електричний опір деяких напівпровідників і провідників, інтенсивність випромінювання і т.д.

Температурний параметр повинен змінюватися з температурою неперервно і монотонно, тобто, він не повинен мати однакові значення при різних температурах.

В теперішній час застосовують тільки дві температурних шкали: термодинамічну, градуйовану в келвінах (ºК), і Міжнародну практичну, градуйовану в градусах Цельсія (ºС)

Термодинамічна температура (Т) і температура по Міжнародній практичній шкалі (t) зв`язаній співвідношенням

 (8.2.1)

Фізичний зміст поняття температури буде розкриватись по мірі вивчення, молекулярно – кінетичної теорії газів і основ термодинаміки.

Між параметрами V, р, Т існує однозначне співвідношення. В загальному виді це рівняння стану. Завжди по двох параметрах можна знайти третій.

Ізотермічний процес. Закон Бойля-Маріотта.

Всяка зміна стану газу називається термодинамічним процесом.

В будь-якому термодинамічному процесі змінюються параметри, що визначають стан газу.

Не має ні одного процесу, при якому змінювався б лише один параметр. Процес при якому один із параметрів залишається постійним, а два інших змінюються, називають ізопроцесом.

Процес, який протікає в газі, при якому температура залишається постійною називають ізотермічним („ізос” - рівний; „термос” - теплий ). Майже одночасно в XVII ст. французьким вченим Е. Маріоттом і англійським вченим Р. Бойлем була встановлена залежність тиску газу від його об`єму при постійній температурі: тиск газу даної маси (m=const) при постійній температурі змінюється обернено пропорції його об`єму (закон Бойля-Маріотта). Цей закон можна сформулювати ще так: добуток тиску газу на об`єм для даної маси газу є величина постійна:

 рV= const (8.2.2)

Графічно цей закон в координатах р,V зображається лінією, яка називається ізотермою (мал. 8.2.1)

Для однієї і тієї ж маси газу різні ізотерми відповідають процесам, що проходять при різних температурах.

Ізобарний процес. Закон Гей-Люссака.

Процес, що протікає в газі, при якому тиск залишається постійним, називається ізобаричним („барос” - важкий). Залежність об’єму газу від його температури при постійному тиску, була встановлена французьким фізиком і хіміком Л. Гей-Люссаком (1802). Досліди, проведені ним, показали, що збільшення об’єму газу пропорційно приросту температури.

Об’єм газу даної маси при постійному тиску зростає лінійно з підвищенням температури (закон Гей-Люссака)

 (8.2.3)

Тут - об’єм газу при , V - об’єм газу при температурі . Величина називається температурним коефіцієнтом об’ємного розширення (для всіх газів ). Відповідно,

 (8.2.4)

 

Графічна залежність об’єму від температури зображається прямою лінією – ізобарою (мал. 8.2.2). При дуже низьких температурах (близько до – 273°С) закон Гей-Люссака не виконується, тому суцільна лінія на графіку замінена пунктиром.

Закон Шарля.

Процес, що протікає в газі, при якому об`єм залишається постійним, називають ізохорним („хорема” - місткість).

Дослідну залежність тиску даної маси газу від температури при постійному об`ємі було вперше з`ясовано в 1787р. Французьким фізиком Ж. Шарлем. Ним було встановлено: тиск газу даної маси при постійному об`ємі зростає лінійно з підвищенням температури (закон Шарля):

 (8.2.5)

Тут р – тиск газу при температурі t, °С; р – його тиск при 0°С. Величина називається температурним коефіцієнтом тиску. Її значення не залежить від природи газу: для всіх газів . Так чином,

 (8.2.6)

 Графічна залежність тиску від температури зображається прямою лінією – ізохорною.

Якщо ізохору (мал. 8.2.3) продовжити в область від`ємних температур, то в точці перетину з віссю абсцис маємо

 (8.2.7)

Звідси (точніше ), що відповідає нулю по термодинамічній шкалі. Цю температуру називають нулем Кельвіна (або абсолютним нулем). Термодинамічна шкала температур була запропонована англійським вченим Кельвіном (У. Томсоном) за початок відліку на цій шкалі прийнято температуру О.К.Нуль Кельвіна – це гранична температура, при якій тиск ідеального газу рівен нулю.

За одиницею температури по термодинамічний шкалі прийнято кельвін (К); відповідає 1°С.

Температура, відрахована по термодинамічній шкалі температур, позначається Т. Її називають термодинамічною температурою. Так як точка плавлення льоду при нормальному атмосферному тиску, прийнята за 0°С, рівна 273,16 К-1 , то

Т=273,16°С+ t (8.2.8)

Замінимо тепер в рівняння (8.2.3) температуру, відраховану по шкалі Цельсія, термодинамічною температурою:

 (8.2.9)

Позначивши V1 іV2 об`єми газу при температурах Т1 і Т2, запишемо

 , (8.2.10)

Розділимо почленно ці рівності, отримаємо для ізобарного процесу

 , або (8.2.11)

Аналогічно отримаємо співвідношення між параметрами, що характеризують ізохорний процес:

 , або (8.2.12)

В такому записів законів Гей-Люссака (8.2.11) і Шарля (8.2.12) найбільш повно розкривається їх фізичний зміст.

Для даної маси газу його об`єм при ізобарному чи тиск при ізохорному процесах пропорційні термодинамічний температурі.

Газові закони виконуються з високою точністю для газів при невеликих тисках і не дуже низьких температурах.

 Розглядаючи ізопроцеси ми до цього часу вважали, що один із трьох параметрів стану залишається постійним. На практиці частіше приходиться стикатись з випадками, коли одночасно змінюються всі три параметри стану.

Припустимо, що початковий стан газу при m=const характеризується параметрами V1, р1, Т1, а кінцевий – відповідно V2, р2, Т2 (мал.8.2.4).

Нехай перехід з початкового стану в кінцевий проходить послідовно. Спочатку змінимо тиск р1 на р2, а температуру Т1 залишимо незмінною. Об’єм, який займає газ після цього переходу, позначимо V, тоді, по закону Бойля – Маріотта, р1 V1= р2V, звідки

 (8.2.13)

Тепер при незмінному р2 зменшимо температуру з Т1 до Т2, при цьому об’єм зміниться від значення V до V2; відповідно, за законом Шарля,

 , звідки (8.2.14)

В рівняннях (8.2.13) і (8.2.14) рівні ліві частини; відповідно рівні і праві, тоді

 , або (8.2.15)

тобто, можна записати, що

 , (8.2.16)

Вираз (8.2.16) називають рівнянням Клапейрона: добуток тиску газу даної маси на його об’єм пропорційний термодинамічний температурі.

Значення постійної в рівнянні (8.2.16) залежить від маси і молекулярної маси газу, а також від виробу одиниць тиску, об’єму і температури. Обчислимо цю постійну для речовини, взятої в кількості 1 моля. Як випливає із закону Авогадро, 1 моль любого газу при однакових значеннях температури і тиску займає однаковий об’єм.

При t=273 К (t=0°С) і Па 1моль любого газу займає об’єм м3.

Підставимо ці дані в рівняння (8.2.16), отримаємо значення константи, що входить в нього і для 1 моля любого газу це значення однакове. Воно отримало назву молярної (універсальної) газової постійної (позначається R). Найдемо числове значення R в СІ:

 

Рівняння (8.2.16) для моля газу можна тепер записати так:

 (8.2.17)

– це є рівняння Клапейрона-Менделєєва для одного моля газу.

Із рівняння (8.2.17) легко отримати рівняння для любої маси газу. Газ масою m займе об’єм , де М - маса 1 моля; - число молів газу. Помноживши обидві частини рівняння (8.2.17) на , отримаємо . Але .

Відповідно,

 (8.2.18)

Це і є рівняння Клапейрона–Менделєєва для довільної маси газу.

Тема 8.3. Основне рівняння молекулярної-кінетичної теорії. Середня енергія молекул. Молекулярно-кінетичне тлумачення температури.

 Тиск виникає в результаті ударів молекул об стінки посудин. Розглянемо поведінку одної довільно вибраної молекули ідеального газу, що знаходиться в посудині, що має форму куба (мал. 8.3.1). Нехай - її швидкість, направлена перпендикулярно стінці посудини, а ті - маса. При пружному ударі молекула надає стінці імпульс ті Vі, після удару її імпульс стане рівнем - ті і.

мал. 8.3.1

Відповідно, імпульс молекули зміниться на . За другим законом Ньютона,

 . (8.3.1)

Якщо в кубі, довжина ребра якого рівна l, знаходиться n молекул, то внаслідок хаотичного руху молекул і рівноймовірності всіх напрямів можна рахувати, що n молекул рухається вздовж осі Х, n– вздовж осі Y, n молекул – вздовж осі Z . Щоб знайти середню силу тиску газу, слід підрахувати суму імпульсів всіх молекул, що ударяються об стінки за певний час. Від одного удару до наступного в ту ж грань молекула проходить шлях, в середньому рівний 2 l. Інтервал часу між двома цими ударами рівен . Визначило тепер середню силу, з якою діє на одну із стінок посудини одна молекула. В рівняння (8.3.1) підставимо час tі між двома ударами:

 , або

Молекули газу рухаються з різними швидкостями ( 1,…., n); відповідно, вони надають стінці посудини і різні імпульси. Виберемо який–небудь напрям руху молекул (наприклад, вздовж осі х). Між двома протилежними гранями куба в цьому напрямі рухається всіх молекул, і сумарна сила ударів в одну грань

 

В ідеальному газі m1=m2=...mn=m, тому

 (8.3.2)

Помножимо і розділимо праву частину рівняння (8.3.2) на n, отримаємо

 

Вираз, що стоїть в дужках, є квадрат середньої квадратичної швидкості руху молекул . Таким чином

 , де .

В даному випадку ; Відповідно,

 , (8.3.3)

де (концентрація молекул).

Тоді,

 (8.3.4)

Це і є основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії.

Воно визначає макроскопічну величину - тиск газу через концентрацію молекул, масу m окремих молекул і середню квадратичну швидкість їх рух.

Якщо через позначити середню кінетичну енергію поступального руху деякої „середньої” молекули, то рівняння (8.3.4) можна записати в виді

 (8.3.5)

Тиск газу рівен від середньої кінетичної енергії поступального руху всіх молекул, які містяться в одиничному об’ємі газу.

Перейдемо тепер до головних наслідків, що випливають із основного рівняння молекулярного – кінетичної теорії газів.

1. Візьмемо 1 моль газу, який займає об’єм V. Густина молекул газу і рівняння (8.3.5) можна записати в вигляді

 (8.3.6)

Але для 1 моля справедливе рівняння стану , звідки

 

Підставимо цей вираз для тиску в рівняння (2.27) і розв’язавши його відносно Т або , отримаємо перше положення молекулярно – кінетичної теорії:

 (8.3.7)

1. З рівняння (8.3.7) слідує, що термодинамічна температура пропорційна середній кінетичний енергії хаотичного руху молекул газу.

2. Чим швидше рухаються молекули, тим вища температура.

З рівняння (8.3.7) знаходимо

 

для любого газу, звідки слідує друге положення молекулярно – кінетичної теорії газів: середні кінетичні енергії молекул різних газів, при однакових температурах, рівні між собою.

Із рівності середніх кінетичних енергій газових молекул слідує, що при змішуванні різних газів, що мають однакові температури, не відбувається передача енергії від молекул одного газу молекулам іншого. Величина в рівнянні (8.3.7) отримала назву постійної Больцмана і являє собою газову постійну, віднесену до однієї молекули:

 

Відповідно, вираз (8.3.7) можна записати в вигляді

 (8.3.8)

3.Підставляючи (8.3.8) в (8.3.5), находимо вираз для тиску газу:

 (8.3.9)

Тиск газу пропорційний добутку числа молекул в одиниці об’єму на його термодинамічну температуру. Аналіз рівняння (8.3.8) показує, що при Т=0К кінетична енергія поступального руху молекул Е=0, а відповідно, і . Таким чином, при Т=0К відсутній поступальний рух молекул.

Однаково це не означає, що при Т=0К припиняється рух взагалі. Зберігається обертовий і коливний рух атомів і молекул. По теперішніх уявленнях при Т=0К в атомах і ще більш дрібних частинках залишається деяка енергія, що називається нульовою.

Запишемо тепер формулу (8.3.8) в виді

 

Звідки середня квадратична швидкість

 (8.3.10)

Звідкіля слідує третє положення молекулярно – кінетичної теорії: середня квадратична швидкість молекул пропорційна кореню квадратичному із термодинамічної температури.

Таким чином, знаючи температуру газу, можна знайти середню квадратичну швидкість руху молекул. На основі виразу (8.3.8) можна вставити визначення температури: термодинамічна температура з точністю до постійного множника рівна середній кінетичній енергії поступального руху молекули ідеального газу.

Тема 8.4. Перший закон термодинаміки і його застосування до ізопроцесів.

Основу термодинаміки складають два закони (або начала).

Історично в формулюванні першого закону термодинаміки важливе значення зіграло невдалі пошуки людини побудувати машину, яка виконувала б роботу, не споживаючи еквівалентної кількості енергії, таку машину назвали вічним двигуном (від лат. „перпетуум мобіле” першого роду).

Перший закон термодинаміки формулюють в виді наступного твердження: неможливо побудувати перпетуум мобіле першого роду. Перший закон термодинаміки – це закон збереження і перетворення енергії:

при різних процесах, що протікають в природі, енергія не виникає з нічого і не знищується, але перетворюється лише з одного виду в інший.

Для того щоб записати перший закон термодинаміки в математичній формі, розглянемо, як відбувається зміна внутрішньої енергії системи.

В загальному випадку внутрішня енергія тіла може зростати як в результаті механічної роботи зовнішніх тіл, так і внаслідок теплообміну.

При обміні енергією з оточуючими тілами внутрішня енергія тіла в залежності від обставин може як зростати, так і зменшуватись: знак вказує напрям теплообміну.

Якщо при теплообміні оточуючі тіла нагріваються, тобто забирають енергію в даного тіла то < 0. якщо при змінні внутрішньої енергії dU тіла виконується робота над оточуючими тілами, то ця робота вважається позитивною (+ ), якщо ж оточуючі тіла виконують роботу над даним тілом, то ця робота від`ємна (- ).

Так як в загальному випадку енергія тіла змінюється як при надання тілу кількості теплоти, так і при виконанні над ним роботи, то, враховуючи правила знаків, закон збереження енергії що до протікаючого процесу можна записати в виді

 (8.4.1)

Зміна внутрішньої енергії тіла рівна різниці наданої тілу кількості теплоти і виконаної над ним механічної роботи.

Або

 (8.4.2)

Кількість теплоти, надана тілу, іде на збільшення його внутрішньої енергії і на виконання тілом роботи над зовнішніми тілами.

Якщо в замкнутій системі, яка складається з кількох тіл, що мають різні початкові температури, відбувається теплообмін, то ніяка робота в середині системи не виконується.

Так як система замкнута, то зміна внутрішньої енергії системи рівна нулю, але відбуваються зміни внутрішньої енергії тіл системи. Відповідно першому закону термодинаміки, зміна внутрішньої енергії тіл системи рівна кількості теплоти, переданої чи отриманої цими тілами до настання теплової рівноваги в самій системі, тобто стану, при якому температура перестає змінюватись.

Ізохорний процес.

Розглянемо нагрівання 1 моля газу, що відбувається при постійному об’ємі. Так як V= const, то dV=0, а відповідно, і . 3 першого закону термодинаміки (8.4.2) випливає, що вся теплота, передана газу при ізохорному процесі, іде на збільшення його внутрішньої енергії:

 (8.4.3)

Знаючи формулу, , тоді

 (8.4.4)

де Сv - молярна теплоємність газу при постійному об’ємові.

Якщо газ ідеальний, то Сv від температури не залежить і є величиною постійною. Вираз (8.4.4) показує, що внутрішня енергія ідеального газу є однозначною функцією температури.

Інтегруючи вираз (8.4.4) маємо

 (закон Джоуля) (8.4.5)

Із закону Джоуля, і закону про рівномірний розподіл енергії за степенями вільності із співвідношення (8.3.8) випливає співвідношення між Сv і і:

 (8.4.6)

де i - число степенів вільності.

Ізобарний процес.

Розглянемо нагрівання моля газу, що відбувається при постійному тиску (р=const). При цьому змінюються об’єм і температура, відповідно, виконується робота , і змінюється внутрішня енергія dU. Перший закон термодинаміки для цього процесу має вигляд

 

При ізобарному процесі , тому перший закон термодинаміки отримає вигляд

 (8.4.7)

Запишемо рівняння стану для моля ідеального газу:

 

Для ізобарного процесу це рівняння має вигляд

 

Підставимо цей вираз в формулу (4.8.7)

 

отримаємо

 , або (8.4.8)

Співвідношення (8.4.8) називають рівнянням Майєра.

Підставимо CV із рівнянням (8.4.6) в рівняння Майєра, отримаємо

 , звідки

 (8.4.9)

3. Ізотермічний процес.

При Т=const dU=0, тому вся передана системи кількість теплоти іде на виконання роботи проти зовнішніх сил:

 .

Тема 8.5.Теплоємність. Класична молекулярно – кінетична теорія теплоємності. Рівняння Майєра.

Енергія, передана газові шляхом теплообміну (тобто без виконання над ним роботи), називається кількості теплоти Q. При передачі системі безмежно малої кількості теплоти її температура змінюється на dТ.

Теплоємністю С системи називають величину, рівну відношенню переданої системі кількості теплоти до зміни температури dТ системи:

 

Розрізняють питому масову теплоємність - (теплоємність 1кг. речовини)

 (8.5.1)

і питому молярну теплоємність (теплоємність 1 моля речовини)

 (8.5.2)

При різних процесах, що протікають в термодинамічних системах, теплоємності будуть різні: якщо процес протікає при якомусь постійному параметрі х, то питома масова теплоємність в цьому процесі

 (8.5.3)

Знаючи питому масову чи питому молярну теплоємність системи, можна визначити кількість теплоти, отриману системою

 , або (8.5.4)

Кількість теплоти, внутрішня енергія і робота в СІ виражаються в джоулях (Дж)

 – питома молярна теплоємність газу при постійному об`ємові

 – питома молярна теплоємність при постійному тискові

 , або (8.5.5)

Співвідношення (8.5.5) називають рівнянням Майєра. (Дивись тему 8.4.)

Тема 8.6. Адіабатний процес. Рівняння Пуасона.

Процес, який протікає без теплообміну з оточуючими середовищем, називають адіабатним ( ).

Здійснити процес, близький до адіабатного, можна в тому випадку, якщо газ знаходиться в середині оболонки з дуже хорошими теплоізоляційними властивостями.

Адіабатними можна вважати швидко протікаючі процеси. При швидкому стисканні газу виконується робота, що призводить до збільшення внутрішньої енергії і підвищення температури. Тіла, температура яких підвищена, повинні деяку кількість теплоти передати оточуючими середовищі, але процес теплопередачі вимагає деякого часу, тому при швидкому стисканні (чи розширенні) теплота не встигає поширитись з даного об`єму, тобто , і процес можна розглядати як адіабатний. Прикладом такого процесу може служити вибух горючої суміші при роботі двигуна внутрішнього згоряння.

Перший закон термодинаміки для адіабатного процесу має вигляд

 , або . (8.6.1)

При адіабатному процесі робота виконується тільки за рахунок зміни внутрішньої енергії газу, тобто , звідки

 (8.6.2)

При адіабатному розширенні газ виконує роботу, його внутрішня енергія і, відповідно, температура зменшується.

При адіабатному стисканні робота газу від`ємна, його внутрішня енергія і, відповідно, температура зростають.

Явище охолодження газу при адіабатному розширенні широко використовується в техніці, наприклад в роботі холодильних установок.

Для моля ідеального газу справедливе рівняння Клапейрона – Менделєєва

 (8.6.3)

З цього рівняння за умови, що змінюються всі три параметри (р, V, Т), маємо

 . (8.6.4)

Враховуючи, що , отримуємо

 (8.6.5)

Використовуючи рівняння Майєра, запишемо

 (8.6.6)

Поділимо цей вираз на ( ) і введемо позначення . Тоді

 (8.6.7)

Інтегруючи цей вираз, маємо

 , де А – постійне інтегрування.

Тоді

 (8.6.8)

 – рівняння Пуасона

Воно зв`язує параметри стану газу при адіабатному процесі. На мал. 8.6.1 показані адіабата ( ) і ізотерма ( ). Відповідно рівнянню Майєра Cp>Cv, , тому адіабата іде більш крутіше, ніж ізотерма.

Враховуючи, що , a , маємо

 (8.6.7)

де - показник адіабати або коефіцієнти Пуасона.

Обчислимо роботу А, виконану 1 молем ідеального газу при адіабатному процесі:

 (8.6.8)

Так як , то

 (8.6.9)

Тема 8.7. Політроний процес. Рівняння політрони.

Розглянуті ізохорний, ізобарний, ізотермічний і адіабатний процеси мають спільну особливість – вони проходять при постійній теплоємності. В перших двох процесах теплоємності відповідно рівні і , в ізотермічному процесі (dТ=0) теплоємність рівна , в адіабатичному ( ) теплоємність рівна нулю. Процес в якому теплоємність залишається постійною, називається політроним.

Виходячи з першого закону термодинаміки при умові постійної теплоємності (С=const) можна вивести рівняння політропними

 (8.7.1)

де - показник політропи

Очевидно, що при C=0 з (8.7.1) отримаємо рівняння адіабати:

При С=¥ , n=1 - рівняння ізотерми

При С=Ср, n=0 - рівняння ізобари

При С=Сv , n=±¥ - рівняння ізохори

Таким чином, всі розглянуті процеси є частковими випадками політропного процесу.

Тема 8.8. Робота газу при всіх ізопроцесах.

Ізохорний процес (V=const)

 Діаграма цього процесу (ізохора) в координатах р, V, зображається прямою паралельною осі ординат (мал.8.8.1), де процес 1-2 є ізохорне нагрівання, а 1-3 – ізохорне охолодження. При ізохорному процесі газ не виконує роботи над зовнішніми тілами, тобто

 (8.8.1)

Виходячи з першого закону термодинаміки

 

для ізохорного процесу слідує, що вся теплота, передана газові, і де на збільшення його внутрішньої енергії

 (8.8.2)

Відповідно

 (8.8.3)

Тоді для довільної маси газу отримаємо

 (8.8.4)

Ізобарний процес (р= const)

 

Діаграма цього процесу (ізобара) в координатах р, V зображається прямою, паралельною осі V. При ізобарному процесі робота газу при розширенні об`єму від V, до V2 рівна, як відомо

 (8.8.5)

і визначається площею прямокутника заштрихованого на мал.8.8.2. Якщо використати рівняння Клапейрона–Менделєєва для вибраних нами двох станів, то

 , (8.8.6)

звідки

 (8.8.7)

Тоді вираз (8.8.5) для роботи ізобарного розширення матиме вигляд

 (3) (8.8.8)

З цього виразу витікає фізичний зміст молярної газової постійної R: якщо Т2-Т1=1К, то для 1 моля газу R=А, тобто R чисельно рівне роботі ізобарного розширення 1 моля ідеального газу при нагріванні його на 1 К.

В ізобарному процесі при передачі газові масою m кількості теплоти

 (8.8.9)

його внутрішня енергія зростає на величину

 (8.8.10)

При цьому газ виконує роботу, що визначається за формулою

 (8.8.11)

 Ізотермічний процес (Т= const)

Відомо, що ізотермічний процес визначається законом Бойля–Маріотта:

pV=const

Діаграма цього процесу (ізотерма) в координатах р, V являє собою гіперболу (мал.8.8.3), розміщену на діагоналі тим вище, чим вища температура, при якій проходить процес.

Виходячи з відомих формул, знайдемо роботу ізотермічного розширення газу:

 (8.8.12)

Так як при Т= const внутрішня енергія ідеального газу не змінюється:

 

то з першого закону термодинаміки ( ) слідує, що для ізотермічного процесу

 , (8.8.13)

тобто вся кількість теплоти, передане газові, іде на виконання ним роботи проти зовнішніх сил:

 (8.8.14)

Відповідно, для того щоб при роботі розширення температура не зменшувалась, до газу на протязі ізотермічного процесу необхідно підводити кількість теплоти, еквівалентну зовнішній роботі розширення.

Тема 8.9 Розподіл молекул ідеального газу по швидкостях і енергіях теплового руху. Закон розподілу Максвелла. Барометрична формула. Закон Больцмана для розподілу частинок в зовнішньому потенціальному полі. Розподіл Больцмана-Максвелла.

По молекулярно-кінетичній теорії, як би не мінялась швидкість молекул при зіткненні, середня квадратична швидкість молекул масою в газі, що знаходиться в стані рівноваги при , залишається постійною і рівною

 . (8.9.1)

Це пояснюється тим, що в газі, який знаходиться в стані рівноваги, встановлюється деякий стаціонарний, не змінний в часі, розподіл молекул по швидкостях, які підкоряються цілком визначеному статистичному законові. Цей закон теоретично виведений Дж. Максвеллом.

При виведенні закону розподілу молекул по швидкостях Максвелл передбачав, що газ складається з дуже великої кількості тотожних молекул, які знаходяться в стані хаотичного теплового руху при однаковій температурі. Передбачалось, також, що силові поля на газ не діють.

Закон Максвелла описується деякою функцією , що називається функцією розподілу молекул по швидкостях. Якщо розбити діапазон швидкостей молекул на малі інтервали, рівні , то на кожен інтервал швидкості буде припадати деяке число молекул , що мають швидкість, поміщену в цей інтервал. Функція визначає відносне число молекул , швидкість яких лежить в інтервалі від до , тобто

 , (8.9.2)

звідки

 . (8.9.3)

Застосовуючи методи теорії імовірності, Максвелл знайшов функцію - закон для розподілу молекул ідеального газу по швидкостях.

 (8.9.4)

З 8.9.4 видно, що конкретний вигляд функції залежить від роду газу (від маси молекули) і від параметра стану (від температури ) .

 Графік функції 8.9.4 показано на мал. 8.9.1 Так як при зростанні множник зменшується швидше, ніж росте множник , то функція , починається від нуля, досягає максимуму при і потім асимптотично прямує до нуля. Крива не симетрична відносно .

Відносне число молекул , швидкості яких лежать в інтервалі від до , знаходяться, як площа заштрихованої смужки на мал.8.9.1. Площа обмежена кривою розподілу і віссю абсцис рівна одиниці. Це означає, що функція задовольняє умову нормування

 . (8.9.5)

Швидкість, при якій функція розподілу молекул ідеального газу по швидкостях максимальна, називається найбільш імовірною швидкістю. Значення найбільш імовірної швидкості можна знайти продиференціювавши вираз 8.9.4 (постійні множники випускаємо) по аргументу , прирівнявши результат до нуля і використовуючи умову для максимуму виразу :

 (8.9.6)

Значення і відповідають мінімумам виразу, а значення , при якому вираз в дужках стає рівним нулю, і є знайдена найбільш ймовірна швидкість .

 . (8.9.7)

 З формули 8.9.7 слідує, що при підвищенні температури максимум функції розподілу молекул по швидкостях (мал.8.9.2) зміститься вправо (значення найбільш імовірної швидкості стає більшим). Але площа, обмежена кривою, залишається незмінною, тому при підвищенні температури крива розподілу молекул по швидкостях буде розтягуватись і понижуватись.

Середня швидкість молекули (середня арифметична швидкість) визначається за формулою

 . (8.9.8)

Підставляючи сюди і інтегруючи, отримаємо

 . (8.9.9)

Швидкості, що характеризують стан газу:

1) найбільш імовірна ;

2) середня арифметична ;

3) середня квадратична (мал. 8.9.1);

Виходячи із розподілу молекул за швидкостями

 (8.9.10)

можна знайти розподіл молекул газу за значенням кінетичної енергії . Для цього перейдемо від змінної до змінної . Підставимо в (8.9.10) і , де - число молекул, що мають кінетичну енергію поступального руху, поміщену в інтервалі від до .

Таким чином, функція розподілу молекул за енергіями теплового руху матиме вигляд:

 . (8.9.11)

Середня кінетична енергія молекули ідеального газу

 , (8.9.12)

тобто отримали результат, який співпадає з формулою виведеною з основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу.

При виведені основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів і Максвеллівського розподілу молекул по швидкостях передбачалось, що на молекули газу зовнішні сили не діють, тому молекули рівномірно розподілені по об’єму. Але молекули будь-якого газу знаходяться в потенціальному полі тяжіння Землі. Тяжіння з однієї стороні і тепловий рух молекул з другої, приводять до деякого стаціонарного стану газу, при якому тиск газу з висотою зменшується.

 

Виведемо закон зміни тиску з висотою, передбачаючи, що поле тяжіння однорідне, температура постійна і маса всіх молекул однакова. Якщо атмосферний тиск на висоті рівен (мал. 8.9.3), то на висоті він рівен (при ) , так як тиск з висотою зменшується. Різниця тисків і рівна вазі газу, замкнутого в об’ємі циліндра, висотою , з площею основи, рівною одиниці площі: , де - густина газу на висоті ( настільки мале, що при зміні висоти в цих межах, густину газу в цих межах можна вважати постійною). Відповідно,

 . (8.9.13)

Використаємо рівняння стану ідеального газу ( - маса газу, - молярна маса газу), знаходимо, що . Підставимо цей вираз в 8.9.13, отримаємо , або . З зміною висоти від до , тиск змінюється від до (мал. 8.9.3), тобто , , або

 . (8.9.14)

Вираз 8.9.14 називається барометричною формулою. Він дозволяє знайти атмосферний тиск в залежності від висоти, чи, вимірявши тиск, знайти висоту. Так як висота позначається відносно рівня моря, де тиск вважається нормальним, то вираз 8.9.14 може бути записаний в вигляді

 , (8.9.15)

де - тиск на висоті .

Прилад для визначення висоти над земною поверхнею називається висотоміром, або альтиметром. Його робота ґрунтується на використанні формули 8.9.15. З цієї формули слідує, що тиск з висотою зменшується тим швидше, чим важчий газ.

Барометричну формулу 8.9.15 можна перетворити, якщо використати вираз , де - концентрація молекул на висоті , - те ж, на висоті . Так як ( - постійна Авогадро, - маса однієї молекули), а , то

 , (8.9.16)

де - потенціальна енергія молекули в полі тяжіння, тобто

 . (8.9.17)

Вираз 8.9.17 називається розподілом Больцмана в зовнішньому потенціальному полі. З цього слідує, що при постійній температурі густина газу більша там, де менша потенціальна енергія його молекул.

Якщо частинки мають однакову масу і знаходяться в стані хаотичного теплового руху, то розподіл Больцмана 8.9.17 справедливий в будь-якому зовнішньому потенціальному полі, а не тільки в полі сили тяжіння.

Тема 8.10 Середня довжини вільного пробігу молекул. Ефективний діаметр молекул. Середнє число зіткнень молекул. Основні закони явищ переносу (закон Фур’є, закон Фіка, закон Ньютона).

Молекули газу, знаходячись в стані хаотичного руху, безперервно стикаються одна з одною. Між двома послідовними зіткненнями молекули проходять деякий шлях , який називається довжиною вільного пробігу.

 В загальному випадку довжина шляху між послідовними зіткненнями різна, але так, як ми маємо справу з величезним числом молекул і вони знаходяться в хаотичному русі, то можна говорити про середню довжину вільного пробігу молекул .

мал. 8.10.1

Мінімальна віддаль, на яку наближаються при зіткненні центри двох молекул, називається ефективним діаметром молекули (мал.8.10.1). Він залежить від швидкості зіткнених молекул, тобто від температури газу (небагато зменшується з підвищенням температури).

Так як за одну секунду молекула проходить в середньому шлях, рівний арифметичній швидкості , і якщо - середнє число зіткнень, що зазнає молекула газу за одну секунду, то середня довжина вільного пробігу

 . (8.10.1)

 Для визначення уявимо собі молекулу у вигляді кульки діаметром , яка рухається серед інших „нерухомих” молекул. Ця молекула зіткнеться тільки з тими молекулами, центри яких знаходяться на віддалях, рівних чи менших , тобто лежать всередині „ламаного” циліндра радіусом (мал. 8.10.2).Середнє число зіткнень за одну секунду рівне числу молекул в об’ємі „ламаного” циліндра:

 , (8.10.2)

де - концентрація молекул. ( - середня швидкість молекули чи шлях, пройдений нею за 1 с). Таким чином середнє число зіткнень

 . (8.10.3)

Розрахунки показують, що при врахуванні руху інших молекул

 . (8.10.4)

Тоді середня довжина вільного пробігу

 , (8.10.5)

тобто обернено пропорційне концентрації молекул. З іншого боку з формули слідує, що при постійній температурі пропорційне тиску . Відповідно,

 . (8.10.6)

В термодинамічних неврівноважених системах виникають особливі необоротні процеси, які називаються явищами переносу, в результаті яких відбувається просторовий перенос енергії, маси і імпульсу. До явищ переносу відносяться теплопровідність (обумовлена переносом енергії), дифузія (обумовлена переносом маси) і внутрішнє тертя (обумовлене переносом імпульсу). Для простоти обмежимось одномірними явищами переносу. Систему відліку будемо вибирати так, щоб вісь була орієнтована в напрямі переносу.

Теплопровідність. Якщо в одній області газу, середня кінетична енергія молекул більша, ніж в іншій, то з часом внаслідок постійних зіткнень молекул відбувається вирівнювання середніх кінетичних енергій молекул, тобто, іншими словами, вирівнювання температур.

Перенос енергії в формі теплоти підлягає закону Фур’є:

 , (8.10.7)

де - густина теплового потоку - величина, що визначається енергією, яка переноситься в формі теплоти за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну осі , - теплопровідність, - градієнт температури, рівний швидкості зміни температури на одиницю довжини в напрямі нормалі до цієї площадки. Знак мінус показує, що при теплопровідності енергія переноситься в напрямі зменшення температури (тому знаки і протилежні). Теплопровідність чисельно рівна густині теплового потоку при градієнті температури, рівному одиниці.

Можна показати, що

 , (8.10.8)

де - питома масова теплоємність газу при постійному об’ємі (кількість теплоти, необхідна для нагрівання 1 кг газу на 1К при постійному об’ємі), - густина газу, - середня арифметична швидкість руху молекул, - середня довжина вільного пробігу.

Дифузія. Явище дифузії полягає в тому, що проходить самовільне проникнення і перемішування частинок двох стичних газів, рідин, і навіть твердих тіл; дифузія зводиться до обміну мас частинок цих тіл,- виникає і продовжується, поки існує градієнт густини. Під час утвердження молекулярно-кінетичної теорії, з питань дифузії виникли протиріччя. Так як молекули рухаються з великими швидкостями, дифузія мала б відбуватися дуже швидко. Якщо ж відкрити в кімнаті посудину з пахучою речовиною, то запах поширюється досить повільно. Але протиріччя тут відсутнє. Молекули при атмосферному тиску мають малі довжини вільного пробігу і, зтикаючись з іншими молекулами, в основному „стоять” на місці.

Явище дифузії для хімічно однорідного газу підкоряються закону Фіка:

 , (8.10.9)

де - густина потоку маси - величина, що визначається масою речовини, дифундуючої за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну осі , - дифузія (коефіцієнт дифузії), - градієнт густини, рівний швидкості зміни густини на одиницю довжини в напрямі нормалі до цієї площадки. Знак мінус показує, що перенесення маси відбувається в напрямі зменшення густини (тому знаки і протилежні). Дифузія чисельно рівна густині потоку маси при градієнті густини, рівному одиниці. Відповідно до кінетичної теорії газів,

 . (8.10.10)

Внутрішнє тертя (в’язкість). Механізм виникнення внутрішнього тертя між паралельними шарами газу (рідини), які рухаються з різними швидкостями, полягає в тому, що через хаотичний тепловий рух відбувається обмін молекулами між шарами, в результаті чого імпульс шару, що рухається швидше зменшується, а того, що рухається повільніше – збільшується, що приводить до гальмування шару, який рухається швидше, і прискорення шару, який рухається повільніше. Відповідно формулі

 , (8.10.11)

сила внутрішнього тертя між двома шарми газу (рідини) підкоряється закону Ньютона:

 , (8.10.12)

де - динамічна в’язкість (в’язкість), - градієнт швидкості, що показує швидкість зміни швидкості в напрямі осі , перпендикулярному напрямку руху шарів. - площа, на яку діє сила .

Взаємодію двох шарів відповідно другому закону Ньютона можна розглядати, як процес, при якому від одного шару до другого за одиницю часу передається імпульс, по модулю рівний діючій силі. Тоді вираз 8.10.12 можна записати в вигляді

 , (8.10.13)

де - густина потоку імпульсу – величина, що визначається повним імпульсом, що переноситься за одиницю часу в позитивному напрямі осі через одиничну площадку, перпендикулярну осі , - градієнт швидкості. Знак мінус вказує, що імпульс переноситься в напрямі зменшення швидкості (тому знаки і протилежні).

Динамічна в’язкість чисельно рівна густині потоку імпульсу при градієнті швидкості, рівному одиниці, вона обчислюється за формулою

 . (8.10.14)

Порівнюючи формули, що описують явище переносу, слідує, що закономірності всіх явищ переносу подібні між собою. Ці закони були встановлені задовго до того, як вони були обґрунтовані і виведені з молекулярно-кінетичної теорії, яка дозволяє встановити, що зовнішня подібність їх математичних виразів обумовлена спільністю, яка лежить в основі явищ теплопровідності, дифузії і внутрішнього тертя молекулярного механізму перемішування молекул в процесі їх хаотичного руху і зіткнень одних з одними.

Розглянуті закони Фур’є, Фіка і Ньютона не розкривають молекулярно-кінетичного змісту коефіцієнтів , і . Вирази для коефіцієнтів переносу виводяться із кінетичної теорії. Вони записані без виведення, так як чіткий розгляд явищ переносу досить громіздкий, а якісний – не має змісту. Формули 8.10.8, 8.10.10 і 8.10.14 зв’язують коефіцієнти переносу і характеристики теплового руху молекул. Із цих формул випливають прості залежності між , і :

 (8.10.15)

(8.10.16)

Використовуючи ці формули, можна за знайденими із досліду одними величинами визначити інші.

Тема 8.11 Молекулярно-кінетична теорія явищ переносу.

Будемо намагатись тепер якісно, не претендуючи на чіткість викладення, розглянути явище переносу з молекулярно-кінетичної точки зору. Нехай в одномірній задачі вздовж осі відбувається одне із явищ переносу. Це значить, що існує просторова неоднорідність деякої фізичної величини , що характеризує явище переносу, тобто, похідна відмінна від нуля. Неоднорідність величини обумовлює її перенос. Через одиницю площі поверхні, перпендикулярну осі , за одиницю часу проходить з обох боків визначена кількість молекул. В середньому це число пропорційне добутку по , де - середня швидкість молекул. Перенос фізичної величини вздовж осі означає, що молекули, які проходять через поверхню в одну сторону, мають більше значення величини , ніж молекули, що проходять в протилежну сторону. Різниця величин , що переносяться в різні сторони, є мірою величини переносу. Позначимо цю міру і оцінимо її. Якщо середня довжина пробігу молекули , то для проходження через поверхню молекули з часу останнього зіткнення пройшли в середньому шлях . З точністю до числового множника

 , (8.11.1)

де - абсциса розглянутої площі поверхні. Із математичного аналізу відомо, що

 ; (8.11.2)

 . (8.11.3)

Підставляючи ці формули в 8.11.1 отримаємо формулу

 . (8.11.4)

Отримане рівняння називають рівнянням переносу. По своїй формі воно нагадує закони явищ переносу - закон Фіка, - закон Фур’є, - закон Ньютона.

Застосуємо рівняння переносу (8.11.4) до явища теплопровідності. Тоді під слід розуміти кінетичну енергію молекули, яку можна виразити через питому теплоємність , масу молекули і температуру .

Густина теплового потоку

 . (8.11.5)

Більш точніша рівність, яка може бути отримана в кінетичній теорії газів, має вигляд

 . (8.11.6)

Порівнявши і 8.11.6 отримаємо формулу для теплопровідності газу:

 . (8.11.7)

При внутрішньому терті фізичною величиною, яка переноситься, є імпульс впорядкованого руху молекули в шарі газу: . Тоді рівняння переносу приводить до закону Ньютона для внутрішнього тертя. З числовим коефіцієнтом він записується так:

 . (8.11.8)

Порівнявши формулу з формулою , отримаємо вираз для коефіцієнта внутрішнього тертя газу:

 . (8.11.9)

У випадку дифузії, величина, що переноситься – маса молекули не залежить від координат, але зате концентрація молекул міняється вздовж осі . Тому для дифузії рівняння переносу має вигляд, який дещо відрізняється від :

 . (8.11.10)

З цього рівняння і рівності отримаємо слідуючи формулу для коефіцієнта дифузії в газах:

 . (8.11.11)

Тема 8.12 Другий закон термодинаміки. Оборотні і необоротні процеси. Замкнуті цикли. Теплові двигуни і холодильні машини. Цикл Карно. Ентропія. Термодинамічна ймовірність та статистичне тлумачення другого закону термодинаміки.

Будь-який вид енергії може бути повністю перетворений в теплоту, але енергію хаотичного руху молекул і атомів не можна використати повністю і перетворити в інші види енергії, так як безладний рух молекул - природний стан речовини.

Робочим тілом називають термодинамічну систему, яка здійснює процес перетворення однієї форми енергії в іншу. Робоче тіло на початок і кінець процесу знаходиться в різних станах. Параметри, які визначають його стан, можуть мати різні значення. В термодинаміці важливе значення мають такі процеси, коли термодинамічна система в кінці процесу переходить в початковий стан і параметри, які визначають ці стани, приймають початкове значення. Такі процеси називаються замкнутими (круговими) процесами або циклами. Якщо система, проходячи ряд станів, повертається в свій початковий стан, то говорять, що дана система здійснює цикл.

 На мал.8.12.1 показано цикл, який складається з двох ізобар і двох ізохор . При розширенні по робочим тілом виконується позитивна робота , що вимірюється площею фігури

 При стисненні по зовнішні сили виконують роботу , що вимірюється площею . За один цикл робоче тіло виконує позитивну роботу , що вимірюється площею заштрихованої фігури .

 Процес називається оборотнім, якщо при завершенні його система повертається в початковий стан і при цьому в початковий стан повертаються всі взаємодіючі в ній тіла. Наприклад газ, поміщений в одну частину посудини ( I ) (мал.8.12.2) при забиранні перегородки розширюється в вакуум (мал.8.12.2) і займе об’єм усієї посудини ( I і II ). Чи можуть молекули газу, здійснюючи хаотичний рух, знову зібратися в одній частині посудини? Практично це не відбувається. Можна знову стиснути газ і змусити його зайняти попередній об’єм, але при цьому в оточуючих тілах пройдуть зміни. Значить, процес розширення газу в вакуумі необоротній. Відповідно, необоротні процеси в одному напрямі протікають самовільно, а в зворотному напрямі можуть бути здійснені тільки в результаті роботи зовнішніх сил. Характерна особливість цих процесів полягає в тому, що вони протікають в напрямі до стану рівноваги, тобто такого стану при якому параметри системи мають визначене значення, яке залишається без зміни як завгодно довго. Необоротним є такий процес, який переводить систему з менш в більш імовірний стан. Коловий процес, в якому система виконує позитивну роботу , називають прямим циклом. На діаграмі прямий цикл зображається в виді замкнутої кривої, направленої по годинниковій стрілці (мал.8.12.3). Коловий процес, в якому робота, що виконується системою, від’ємна ( ), називають зворотнім циклом. На діаграмі зворотній цикл зображається в вигляді замкнутої кривої, направленої проти годинникової стрілки. Наприклад, в тепловому двигуні робоче тіло, отримуючи енергію, виконує прямий цикл.

Тепловий двигун являє собою пристрій, який перетворює внутрішню енергію палива в механічну. Енергія, яка виділяється при згорянні палива, шляхом теплообміну передається газові. Газ, розширюючись, виконує роботу проти зовнішніх сил приводить в рух механізм. Схема роботи теплового двигуна показана на мал.8.12.4

Будь-який тепловий двигун складається з трьох основних частин: робочого тіла, нагрівника і холодильника. Робоче тіло (газ чи пара) при розширенні виконує роботу, отримуючи від нагрівника деяку кількість теплоти . Температура нагрівника залишається постійною за рахунок згоряння палива. При стисненні робоче тіло передає деяку кількість теплоти холодильнику, що має температуру . Тепловий двигун повинен працювати циклічно.

По закінченню циклу тіло повертається в свій початковий стан, його внутрішня енергія приймає початкове значення.

Тому робота циклу може виконуватись тільки за рахунок зовнішнього джерела, яке підводить тепло до робочого тіла. Реальні теплові двигуни працюють по розімкнутому циклу, тобто після розширення газ викидається, а в машину вводиться і стискується нова порція газу. Величина

 (8.12.1)

називається термічним коефіцієнтом корисної дії для колового процесу.

В холодильній машині виконується зворотній цикл. Холодильна машина повинна відбирати від тіл з більш низькою температурою кількість теплоти і віддавати більш нагрітому з температурою кількість теплоти . Холодильний коефіцієнт визначається відношенням

 . (8.12.2)

Розглядаючи питання про коефіцієнт корисної дії теплових машин Карно показав, що максимальний к. к. д. можна отримати при оборотному коловому процесі, що складається з двох рівноважних ізотермічних і двох рівноважних адіабатних процесів, які чергуються між собою. Рівноважним називають процес, в якому газ проходить ряд слідуючи один за одним рівноважних станів. Параметри двох таких сусідніх станів відрізняються на безмежно малу величину. В ідеальній машині, що працює за циклом Карно, відсутні всякі втрати на теплопровідність, тертя, випромінювання і т. д. В якості робочої речовини вибирається ідеальний газ.

 На діаграмі (мал.8.12.5) початковий стан зображено точкою 1, яка характеризується параметрами , ( - температура нагрівника).

Процес ізотермічного розширення зображено ізотермою 1-2; при цьому процесі система від нагрівника отримує кількість теплоти . Точка 2 характеризується параметрами . Далі розширення відбувається адіабатично (2-3). Точка 3 характеризується параметрами стану ( - температура холодильника). При ізотермічному стисканні система віддає холодильнику кількість теплоти , переходячи в стан, що характеризується параметрами (точка 4). Далі стискання відбувається адіабатно, що супроводжується підвищенням температури. Процес зупиняється, коли система повернеться в початковий стан 1. Під час виконання цього циклу робоче тіло отримує від нагрівника кількість теплоти ; частину теплоти віддає холодильнику. За рахунок різниці цих кількостей теплоти виконується робота.

Нехай робочим тілом є 1 моль ідеального газу. Згідно першому закону термодинаміки, . При ізотермічному процесі 1-2 внутрішня енергія ідеального газу не змінюється; відповідно, , тобто при переході із стану 1 в стан 2 кількість теплоти рівна роботі ізотермічного розширення: .

При адіабатних процесах 2-3 і 4-1 система не отримує теплоти і робота розширення відбувається за рахунок зменшення внутрішньої енергії: .

Робота ідеального газу на ізотермі 3-4 , тобто .

Корисна робота, що виконується за один цикл, рівна різниці кількості теплоти, отриманої робочим тілом від нагрівника, і кількості теплоти, відданої холодильнику: . Покажемо, що . Для цього запишемо рівняння адіабати для процесів 2-3 і 4-1: , . Розділимо ці рівняння почленно, тоді . Запишемо це рівняння в вигляді . Враховуючи, що для ізотерми 1-2 і 3-4 справедливі відношення і , запишемо вираз в вигляді , або, добуваючи корінь степеня , отримаємо .

Розрахуємо коефіцієнт корисної дії для ідеальної теплової машини: . Скоротивши на , отримаємо

 . (8.12.3)

Звідси видно, що к. к. д. Циклу Карно з ідеальним газом залежить тільки від робочого тіла. З рівняння слідують такі висновки:

а) для підвищення к. к. д. теплової машини слід збільшити температуру нагрівника і зменшити температуру холодильника;

б) к. к. д. теплової машини завжди менший одиниці.

Цикл Карно оборотній, так як всі його складові частини є рівноважними процесами. Тому машини, які працюють за циклом Карно, можуть працювати і в якості холодильної машини.

Нехай, наприклад, в точці 1 цикл (мал.8.12.5) замість ізотермічного починається адіабатне розширення, в результаті якого робоче тіло переходить в точку 4, потім проходить ізотермічне розширення до точки 3, після цього слідують адіабатний і ізотермічний процеси до точки 1. Таким чином зворотній цикл завершений.

Можна показати, що термічний к. к. д. будь-якого необоротного циклу завжди менший к. к. д. оборотного циклу Карно:

 . (8.12.4)

При цьому знак рівності відповідає оборотному циклу.

Перший закон термодинаміки встановлює кількісне співвідношення між кількістю теплоти, роботою і зміною внутрішньої енергії тіла, але він не визначає напряму протікання процесу. З точки зору термодинаміки, однаково можливий перехід енергії в формі теплоти, як від більш нагрітого до менш нагрітого тіла, так і навпаки.

Другий закон термодинаміки визначає напрям процесів, які відбуваються в природі і зв’язані з перетворенням енергії.

Перетворення теплоти в роботу можливо тільки при наявності нагрівника і холодильника; в усіх теплових машинах корисно використовується тільки частина енергії, що передається від нагрівника до холодильника.

Інакше кажучи, ні один тепловий двигун не може дати к. к. д. рівний одиниці. Існує кілька формулювань другого закону.

Коефіцієнт корисної дії теплової машини визначається тільки температурами тепловіддавача і теплоприймача (С. Карно).

В природі неможливий процес, єдиним результатом якого був би перехід теплоти повністю в роботу (М. Планк).

Теплота не може сама собою переходити від тіла з більш низькою температурою, до тіла з більш високою температурою (Р. Клаузіус).Другий закон заперечує можливість використання запасів внутрішньої енергії якого-небудь джерела без переходу його на більш низький температурний рівень, тобто без холодильника. Наприклад, практично необмежені запаси внутрішньої енергії океанів не можуть бути повністю використані. Використання теплоти океану, як тільки температура його стане нижчою температури оточуючого середовища, привело б до процесу, в якому повинен був би здійснитися перехід теплоти від більш холодного, до більш гарячого тіла, а такий процес самовільно протікати не може. Таким чином, другий закон термодинаміки стверджує неможливість побудови вічного двигуна другого роду, тобто двигуна, який працює за рахунок охолодження будь-якого одного тіла. Відкриття другого закону термодинаміки дозволило побудувати термодинамічну шкалу температур, яка не залежить від термометричного тіла і температурного параметра.

Вимірявши роботу і витрачену кількість теплоти , можна обчислити .

Із формул і , слідує

 . (8.12.5)

Величина, рівна відношенню теплоти, отриманої тілом при ізотермічному процесі, до температури, при якій проходить теплопередача, тобто , називається приведеною теплотою.

В виразі 8.12.5 - кількість теплоти, віддана тілу нагрівником; - кількість теплоти, отриманої від робочого тіла холодильником. Якщо під розуміти алгебраїчну величину, то можна вважати, що робоче тіло від холодильника отримує кількість теплоти . Тоді вираз 8.12.5 має вигляд

 , (8.12.6)

або в загальному вигляді:

 , (8.12.7)

тобто алгебраїчна сума приведених теплот для оборотного циклу Карно рівна нулю.

Довільну зміну стану системи в загальному випадку можна подати, як результат безмежно великого числа безмежно малих змін. При кожній такій безмежно малій зміні, система або поглинає, або виділяє безмежно малу кількість теплоти (якщо процес не адіабатний). Якщо система поглинає теплоту, то , якщо виділяє, то . Більш чітко вираз 8.12.7 слід записати через інтеграл по всьому циклу:

 . (8.12.8)

Так як інтеграл по замкнутому контуру рівний нулю, то підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції, яка не залежить від шляху, яким система прийшла в цей стан. Функція, яка характеризує напрям протікання самовільних процесів в замкнутій термодинамічній системі, називається ентропією:

 . (8.12.9)

Кожному стану тіла відповідає одне визначене значення ентропії. Тому ентропія є однозначною функцією стану. Нехай тіло оборотним шляхом переходить із стану , в стан , тоді . При коловому оборотному процесі зміна ентропії , як слідує із 8.12.8, рівна нулю.

Для необоротного процесу, як слідує із 8.12.4 , або

 . (8.12.10)

Для оборотного і необоротного процесів це співвідношення записується в вигляді нерівності Клаузіуса:

 . (8.12.11)

Можна передбачити, що при теплообміні системи з тілами, має виконуватися умова, аналогічна

 . (8.12.12)

Таким чином, сума приведених теплот для будь-якого циклу не може бути більшою нуля. Більш чітко вираз 8.12.12 слід записати в вигляді

 . (8.12.13)

Зміна ентропії відбувається тільки при обміні теплотою між робочим тілом і джерелом теплоти. Якщо тіло отримало від джерела (нагрівника чи холодильника) кількість теплоти , то його ентропія змінилась на , де - температура тіла. При цьому джерело теплоти віддало (втратило) таку ж кількість теплоти . Очевидно, що , при цьому ентропія джерела змінилася на , де - температура джерела. Внаслідок того, що процес оборотній, має зберігатися рівність , або . Зміна ентропії замкнутої системи, яка не обмінюється теплом з іншими тілами ( ), рівна нулю: .

Відповідно, ентропія замкнутої системи при будь-якому оборотному процесі в ній залишається незмінною:

 . (8.12.14)

При необоротному процесі в замкнутій системі , тому . Таким чином,

 , або . (8.12.15)

Узагальнюючи 8.12.14 і 8.12.15, можна твердити, що ентропія замкнутої системи при своїй зміні не може зменшуватись:

 . (8.12.16)

Для необоротних процесів в замкнутих системах ентропія, як показує теорія і дослід, завжди зростає. Енергія замкнутих систем зберігається, тому при будь-яких змінах, що відбуваються в замкнутій системі, енергія на початку і в кінці процесу одна і та ж і за значенням енергії не можна відрізнити початковий стан від кінцевого. За значенням ентропії можна стверджувати, який напрям процесу є можливим (тобто який стан є початковим, а який - кінцевим), це обумовлено тим, що в природньо протікаючих процесах ентропія завжди зростає.

Зростання ентропії можливе до певного значення для даної системи, яке відповідає стану рівноваги. В стані рівноваги значення ентропії максимальне. Таким чином, в замкнутій системі не можуть протікати процеси, які приводять до зменшення ентропії системи.

Термодинамічна ймовірність стану системи, це число способів, якими може бути реалізовано даний стан макроскопічної системи, або число мікростанів, які здійснюють даний макростан ( по визначенню, , тобто термодинамічна ймовірність не є імовірністю в математичному значенні (остання !).

Відповідно Больцману (1872), ентропія системи і термодинамічна ймовірність зв’язані між собою слідуючим чином:

 , (8.12.17)

де - постійна Больцмана. Таким чином, ентропія визначається логарифмом числа мікростанів, за допомогою яких може бути реалізовано даний макростан. Відповідно, ентропія може розглядатись, як міра ймовірності стану термодинамічної системи. Формула Больцмана 8.12.17 дозволяє дати ентропії слідуючи статистичне тлумачення: ентропія є мірою невпорядкованості системи.

Тема 8.13 Обчислення ентропії для різних процесів.

Виходячи із виразу

 ,

знайдемо зміну ентропії в процесах ідеального газу.

Так як , , то , або

 , (8.13.1)

тобто зміна ентропії ідеального газу при переході його із стану 1 в стан 2 не залежить від виду процесу переходу .

Так як для адіабатичного процесу , то і, відповідно, , тобто адіабатичний оборотний процес протікає при постійній ентропії, тому його часто називають ізоентропійним процесом. Із формули 8.13.1 слідує, що при ізотермічному процесі ( ),

 ; (8.13.2)

при ізохорному процесі ( ),

 . (8.13.3)

Ентропія володіє властивістю адитивності: ентропія системи рівна сумі ентропій тіл, що входять в систему.

Тема 8.13 Обчислення ентропії для різних процесів.

Виходячи із виразу

 ,

знайдемо зміну ентропії в процесах ідеального газу.

Так як , , то , або

 , (8.13.1)

тобто зміна ентропії ідеального газу при переході його із стану 1 в стан 2 не залежить від виду процесу переходу .

Так як для адіабатичного процесу , то і, відповідно, , тобто адіабатичний оборотний процес протікає при постійній ентропії, тому його часто називають ізоентропійним процесом. Із формули 8.13.1 слідує, що при ізотермічному процесі ( ),

 ; (8.13.2)

при ізохорному процесі ( ),

 . (8.13.3)

Ентропія володіє властивістю адитивності: ентропія системи рівна сумі ентропій тіл, що входять в систему.

Тема 8.14. Реальні гази. Рівняння Ван-дер-Ваальса. Ізотерми реального газу.

Модель ідеального газу, що використовується в молекулярно-кінетичній теорії газів, дозволяє описувати поведінку розріджедних реальних газів при достатньо високих температурах і низьких тисках. При виведенні рівняння стану ідеального газу розмірами молекул і їх взаємодію одна з одною нехтують. Підвищення тиску приводить до зниження середньої віддалі між молекулами, тому необхідно врахувати об’єм молекул і взаємодію між ними. Так в 1 м3 газу при нормальних умовах міститься 2,6810 25 молекул, які займають об’єм приблизно 10 -4м 3 (радіус молекул приблизно ), яким порівняно з об’ємом газу (1 м 3) можна знехтувати. При тиску 500 МПа ( 1 атм = 101,3 кПа) об’єм молекул рівен вже половині всього об’єму газу. Таким чином, при високих тисках і низьких температурах вказана модель ідеального газу не придатна.

При розгляді реальних газів – газів, властивості яких залежать від взаємодії молекул, слід врахувати сили міжмолекулярної взаємодії. Вони проявляються на віддалі ≤ 10 -9м і швидко зменшується при збільшені віддалі між молекулами.

Як уже відомо, для реальних газів необхідно враховувати розміри молекул і їх взаємодію одна з одною, тому модель ідеального газу і рівняннями Клапейрона – Менделєєва

 ( для моля газу), що описує ідеальний газ, для реальних газів непридатні.

Враховуючи власний об’єм молекул і сили між молекулярної взаємодії голландський фізик І. Ван-дер-Ваальсе (1837 - 1923) ввів в рівняння Клапейрона-Менделєєва дві поправки.

Врахування власного об’єму молекул.

Наявність сил відштовхування, які протидіють проникненню в займаний молекулою об’єм інших молекул, зводиться до того, що фактично вільний, в якому можуть рухатись молекули реального газу, буде не Vm , a , де b - об‘єм, що займають самі молекули . Об’єм b рівний учетверенному власному об’ємові молекул. Якщо, наприклад, в посудині знаходиться дві молекули, то центр любої із них не може наблизитись до центру іншої молекули на віддаль, меншу діаметру d молекули. Це означає, що для центрів обох молекул виявляється недоступним сферичний об’єм радіуса d , тобто об’єм, рівний восьми об’ємам молекули, а в розрахунку на одну молекулу – учетверенний об’єм молекули

Врахування притягання молекул.

Дія сил притягання газу приводить до появи додаткового тиску на газ, який називається внутрішнім тиском. За обчисленням Ван-дер-Ваальса, внутрішній тиск обернено пропорційний квадрату молярного об’єму, тобто

 (8.14.1)

де а – постійна Ван-дер-Ваальса, яка характеризує сили міжмолекулярного притягання, Vm- молярний об’єм.

Ввівши ці поправки, отримаємо рівняння Ван-дер-Ваальса для моля газу (рівняння стану реальних газів):

 (8.14.2)

 Для довільної кількості речовини газу з урахуванням того, що , рівняння Ван-дер-Ваальсе отримає вигляд

 , (8.14.3)

або

 (8.14.3)

де поправки а і b – постійні для кожного газу величини, що визначаються дослідним шляхом (записуються рівняння Ван-дер-Ваальса для двох відомих з досліду станів газу і розв’язуються відносно а і b ).

 

мал. 8.14.1

При виведенні рівняння Ван-дер-Ваальсе зроблено цілий ряд спрощень, тому воно також наближене, хоч і краще (особливо для несильно стиснених газів ) співпадає з дослідом, ніж рівняння стану ідеального газу.

Рівняння Ван-дер-Ваальсе не єдине рівняння, яке описує реальні гази. Існують і інші рівняння, які із них навіть точніше описують реальні гази, але тут не розглядаються із-за їх складності. Для дослідження поведінки реального газу розглянемо ізотерми Ван-дер-Ваальса – криві залежності Р від Vm при заданих Т , що визначаються рівнянням Ван-дер-Ваальсе (8.14.2) для моля газу. Ці (криві розглядаються для чотирьох різних температур; мал.8.14.1) мають досить своєрідний характер. При високих температурах (Т>Tk) ізотерма реального газу відрізняється від ізотерми ідеального газу тільки деякими спотвореннями їх форми, залишаючись монотонно спадаючою кривою. При деякій температурі Tк на ізотермі є лиш одна точка перетину К. Ця ізотерма називається критичною, відповідна їй температура Тк – критична температура. Критична ізотерма має лише одну точку перегину К яка називається критичною точкою; в цій точці дотична до неї паралельна осі абсцис. Відповідні цій точці об’єм Vk і тиск Рк називаються також критичними. Стан з критичними параметрами (Рк, Vk , Tk) називається критичним станом. При низьких температурах (T<Tk) ізотерми мають хвилеподібну ділянку , спочатку, при збільшенні об’єму, монотонно опускаючись вниз, потім монотонно піднімаючись вверх і знову монотонно опускається.

Тема 8.16. Рідини. Змочування. Поверхневий натяг. Додатковий тиск Лапласа. Капілярні явища.

Рідина є агрегатним станом речовин, проміжним між газоподібним і твердим, тому вона має властивості як газоподібних так і твердих речовин. Рідини, подібно твердим тілам, мають визначений об’єм, а подібно газам приймають форму посудини в якій вони знаходяться. Молекули газу практично не зв’язані між собою силами міжмолекулярної взаємодії, і в даному випадку середня енергія теплового руху молекул газу значно більше середньої потенціальної енергії, обумовленої силами притягання між ними, тому молекули газу розлітаються в різні сторони і газ займає наданий йому об’єм. В твердих і рідких тілах сили притягання між молекулами вже суттєві і втримують молекули на певних віддалях одну від одної. В цьому випадку середня енергія хаотичного теплового руху молекул менша середньої потенціальної енергії, обумовленої силами міжмолекулярної взаємодії, і її недостатньо для подолання сил притягання між молекулами, тому тверді тіла і рідини мають певний об’єм.

Рентгеноструктивний аналіз рідин показав, що характер розміщення частинок рідини проміжний між газом і твердим тілом. В газах молекули рухаються хаотично, тому немає ніякої закономірності в їх взаємному розміщенні. Для твердих тіл спостерігається так званий дальній порядок в розміщенні частинок, тобто їх впорядковане розміщення, повторюється на великих віддалях. В рідинах має місце так званий ближній порядок в розміщенні частинок, тобто їх впорядковане розміщення, що повторюється на віддалях порівняльних з між атомними.

Теорія рідин до теперішнього часу повністю не розвинута. Розробка ряду проблем в дослідженні складних властивостей рідин належить Я.І. Френкелю (1894 - 1952). Тепловий рух в рідині він пояснив так, що кожна молекула на протязі деякого часу коливається навколо певного положення рівноваги, після чого стрибком переходить в нове положення, віддалене від початкового на віддалі порядку між атомного. Таким чином молекули рідини досить повільно переміщаються по всій масі рідини і дифузія відбувається значно повільніше, ніж в газах. С підвищенням температури рідини частота коливного руху різко збільшується, зростає рухомість молекул, що в свою чергу, є причиною зменшення в’язкості рідини.

На кожну молекули рідини з боку оточуючих молекул діють сили притягання, які швидко зменшуються з віддалю; відповідно, починаючи з деякої мінімальної віддалі силами притягання між молекулами можна знехтувати. Ця віддаль (порядку 10-9 м) називаються радіусом молекулярної дії r , а сфера радіусу r - сферою молекулярної дії.

 

мал. 8.16.1

Виділимо в середині рідини яку – не будь молекулу (мал. 8.16.1) і виділимо навкруг неї сферу радіусом r . Досить згідно визначенню, врахувати дію на дану молекулу тільки тих молекул, які знаходяться в середині сфери молекулярної дії. Сили, з якими ці молекули діють на молекулу , напрямлені в різні сторони і в середньому скомпенсовані, тому результуюча сила, що діє на молекулу в середині рідини з боку інших молекул, рівна нулю. По іншому складаються обставини, якщо молекула, наприклад молекула В , розміщена від поверхні на віддалі, меншій r . В даному випадку сфера молекулярної дії лише частково розміщена в середині рідини. Так як концентрація молекул в розміщеному над рідиною газі мала порівняно з їх концентрацією в рідині, то рівнодійна сил F , прикладених до кожної молекули поверхневого шару, не рівне нулю і направлене в середину рідини. Таким чином, результуючі сили всіх молекул поверхневого шару створюють на рідину тиск, який називається молекулярним (або внутрішнім). Молекулярний тиск не діє на тіло, поміщене в рідину, так як він обумовлений силами, що діють тільки між молекулами самої рідини.

Сумарна енергія частинок рідини складається з енергії їх хаотичного теплового руху і потенціальної енергій обумовленої силами міжмолекулярної взаємодії. Для переміщення молекули з глибини рідини в поверхневий шар слід затратити роботу. Ця робота виконується за рахунок кінетичної енергії молекул і іде на збільшення їх потенціальної енергії. Тому молекули поверхневого шару рідини мають більшу потенціальну енергію, ніж молекули в сеpедині рідини. Ця додаткова енергія, яку мають молекули в поверхневому шарі рідини, називається поверхневою енергією , пропорційною площі шару ∆S :

∆E= (8.16.1)

де, - поверхневий натяг, який визначається як густина поверхневої енергії.

Так як рівноважний стан характеризується мінімумом потенціальної енергії, то рідина при відсутності зовнішніх сил буде приймати таку форму, щоб при заданому об’ємі вона мала мінімальну поверхню, тобто форму кулі. Спостерігаючи дрібненькі крапельки, завислі в повітрі, можна бачити, що вони мають дійсно форму кульок, але дещо спотворених із-за дії сил земного тяжіння. В умовах невагомості крапля любої рідини (незалежно від її розмірів) має сферичну форму, що доведено експериментально на космічних кораблях.

Таким чином, умовою стійкості рівноваги рідини є мінімум поверхневої енергії, це означає, що рідина при даному об’ємі повинна мати найменшу площу поверхні, тобто рідина прагне скоротити площу вільної поверхні. В цьому випадку поверхневий шар рідини можна порівняти з розтягнутою пружною плівкою, в якій діють сили натягу.

Розглянемо поверхню рідини (мал. 8.16.2), обмежену замкнутим контуром. Під дією сил поверхневого натягу (направлені по дотичній до поверхні рідини і перпендикулярно ділянці контуру, на яку вони діють) поверхня рідини скоротилась і розглядуваний контур перемістився в положення, відмічене світло-сірим кольором. Сили, які діють з боку виділеної ділянки на межуючи з ним ділянки, виконуючи роботу

 

 де - сила поверхневого натягу , що діє на одиницю довжини контура поверхні рідини. Із мал.8.16.2 видно, що ,тобто

 (8.16.2)

Ця робота виконується за рахунок зменшення поверхневої енергії, тобто

 (8.16.3)

Із порівняння виразів (8.16.1) ÷ (8.16.3) видно, що

 (8.16.4)

тобто поверхневий натяг рівний силі поверхневого натягу – ньютон на метр або джоуль на квадратний метр (див. (8.16.4) і (8.16.1) ). Більшість рідин при температурі 300 К має поверхневий натяг порядку . Поверхневий натяг з підвищенням температури зменшується, так як збільшуються середні віддалі між молекулами рідини.

 Поверхневий натяг суттєво залежить від домішок, які є в рідині. Речовини, що послаблюють поверхневий натяг рідини, називається поверхнево-активним. Найбільш відомою поверхнево-активною речовиною по відношенню до води є мило. Воно сильно зменшує її поверхневий натяг (приблизно з7,5 10-2 до 4,5 10-2 ). Поверхнево-активними речовинами, які понижують поверхневий натяг води, є також спирти, ефіри, нафта та інші.

Існують речовини (цукор, сіль), які збільшують поверхневий натяг рідини дякуючи тому, що їх молекули взаємодіють з молекулами рідини сильніше, ніж молекули рідини між собою. Наприклад, якщо посолити мильний розчин, то в поверхневому шарі рідини виштовхуються молекул мила більше, ніж в прісній воді. В миловарній техніці мило „висолюється” цим способом із розчину.

 Із практики відомо, що крапля води розтікається по склі і приймає форму зображену на мал. 8.16.3 , в той же час як ртуть на тій же поверхні перетворюється в трохи сплюснуту краплю мал. 8.16.4 . В першому

випадку говорять , що рідина змочує тверду поверхню, в другому -не змочує її. Змочування залежить від сил діючих між молекулами поверхневих шарів стикаючих середовищ. Для змочуючої рідини сили притягання самої рідини, і твердого тіла більші, ніж між молекулами самої рідини , і рідина намагається збільшити поверхню дотику з твердим тілом.

Для незмочуючої рідини сили притягання між молекулами рідини, і твердого тіла менші ніж між молекулами рідини, і рідина намагається зменшити поверхню свого дотику з твердим тілом . До лінії дотику трьох середовищ (точка О є її перетин з площиною малюнка) прикладені три сили поверхневого натягу, які направлені по дотичній в середину поверхні дотику відповідних двох середовищ (мал. 8.16.3 і 8.16.4). Ці сили віднесені до одиниці довжини лінії дотику, рівні відповідним поверхневим натягам Кут між дотичними до поверхні рідини і твердого тіла називається краєвим кутом. Умовою рівноваги краплі (мал. 8.16.3) є рівність нулю суми проекцій сил поверхневого натягу на напрям дотичної до поверхні твердого тіла тобто

 сos = 0

звiдки

cos = (8.16.5)

Із умови (8.16.5) випливає, що краєвий кут може бути гострим чи тупим в залежності від значення і . Якщо > , то cоs > 0 і - гострий (мал.8.16.3), тобто рідина змочує тверду поверхню. Якщо < то cоs <0 і кут - тупий (мал. 8.16.4), тобто рідина не змочує тверду поверхню. Краєвий кут задовольняє умову (8.16.5), якщо

 (8.16.6)

Якщо умова (8.16.6) не виконується, то крапля рідини 2 ні при яких значеннях не може знаходитись в рівновазі. Якщо , то рідина розтечеться по поверхні твердого тіла, покриваючи його тоненькою плівкою (наприклад, гас на поверхні скла),- має місце повне змочування (в даному випадку = 0 ). Якщо > + , то рідина стягується в кульову краплю, в границі має з нею лише одну точку дотику (наприклад, крапля води на поверхні парафіну) – має місце повне незмочування (в даному випадку = П).

Змочування і незмочування є поняттями відносними, тобто рідина що змочує одну тверду поверхню, не змочує іншу. Наприклад, вода змочує скло, але не змочує парафін; ртуть не змочує скло, але змочує чисті поверхні металів.

 Явища змочування і незмочування мають велике значення в техніці. Наприклад, в методі флотаційного збагачення руди (відокремлення руди від пустої породи) її, дрібно подрібнену, перемішують в рідині, що змочує пусту породу і не змочує руди. Через цю суміш пропускають повітря, а потім вона відстоюється. При цьому змочені рідиною частинки породи опускаються на дно, а крупинки мінералів „прилипають” до бульбашок повітря і спливають на поверхню рідини. При механічній обробці металів їх змочують спеціальними рідинами, що полегшують і прискорюють обробку.

Якщо поверхня рідини не плоска, а викривлена, то вона створює на рідину надлишковий (додатковий) тиск. Цей тиск, зумовлений силами поверхневого натягу, для опуклої поверхні позитивний, а для вгнутої поверхні – негативний.

Для розрахунку надлишкового тиску припустимо, що вільна поверхня рідини має форму сфери радіуса R , від якої уявно відрізали кульовий сегмент, який опирається на круг радіуса (мал. 8.16.5).На кожний безмежно малий елемент цього контура діє сила поверхневого натягу , дотична до поверхні сфери. Розклавши ∆F на дві складові (∆F1 і ∆F2), бачимо, що геометрична сума сил ∆F2 рівна нулю, так як ці сили на протилежних сторонах контура напрямлені в різні сторони і взаємо зрівноважуються. Тому рівнодійне сил поверхневого натягу, що діє на вирізаний сегмент, напрямлена перпендикулярно площині перерізу в середину рідини і рівна алгебраїчній сумі складових

 

Розділивши цю силу на площу основи сегмента Пr2, обчислимо надлишковий (додатковий ) тиск на рідину створений силами поверхневого натягу і обумовлені кривизною поверхні:

 (8.16.7)

Якщо поверхня рідини вгнута, то можна довести, що результуюча сила поверхневого натягу направлена з рідини і рівна

 (8.16.8)

Відповідно, тиск в середині рідини під вгнутою поверхнею менший, ніж в газі, на величину ∆P. Формули (8.16.7) і (8.16.8) являються частковим випадком формули Лапласа, яка визначає надлишковий тиск для довільної поверхні рідини двоякої кривизни

 , (8.16.9)

де R1 і R2 – радіуси кривизни двох довільних взаємно перпендикулярних нормальних перерізів поверхні рідини в даній точці. Радіус кривизни позитивний, якщо центр кривизни відповідного перерізу знаходиться в середині рідини, і негативний, якщо центр кривизни знаходиться поза рідиною.

Для сферичної викривленої поверхні (R1= R2= R) вираз (8.16.9) переходить в (8.16.7), для циліндричної (R1=R і R2= ∞) – надлишковий тиск

 

Для плоскої поверхні (R1=R2=∞) сили поверхневого натягу надлишкового тиску не створюють.

Якщо помістити вузьку трубку (капіляр) одним кінцем в рідину, налиту в широку посудину, то внаслідок змочування або незмочування рідиною стінок капіляра кривизна поверхні рідини в капілярі стає значною. Якщо рідина змочує матеріал трубки, то в середині її, поверхня рідини - меніск - має вгнуту форму, якщо не змочує – опуклу (мал.8.16.6)

Під вгнутою поверхнею рідини появиться негативний надлишковий тиск, який визначається за формулою (8.16.8). Наявність цього тиску приводить до того, що рідина в капілярі піднімається, так як під плоскою поверхнею рідини в широкій посудині надлишкового тиску не має. Якщо ж рідина не змочує стінок капіляра, то позитивний надлишковий тиск приведе до опускання рідини в капілярів. Явище зміни висоти рівня рідини в капілярах називається капілярністю. Рідина в капілярі піднімається чи опускається на таку висоту h , при якій тиск стовпа рідини(гідростатичний тиск) зрівноважується надлишковим тиском ∆Р, тобто

 де - густина рідини, g прискорення вільного падіння. Якщо r – радіус капіляра, - краєвий кут, то з мал. 8.16.6 слідує, що

 звідки

 (8.16.10)

Відповідно до того, що змочуюча рідина по капілярові піднімається, а незмочуюча – опускається , із формули (8.16.10) при < (cos >0) отримаємо позитивне значення h, а при > (cos <0) – негативна. З виразу (8.16.10) видно також, що висота підняття (опускання) рідини в капілярі обернено пропорційна його радіусу. В тонких капілярах рідина піднімається достатньо високо. Так при повному змочуванні ( =0) = 10 мкм піднімається на висоту h ≈ 3 м.

Капілярні явища грають велику роль в природі і техніці. Наприклад, волого обмін в ґрунті і в рослинах здійснюється за рахунок підняття води по тоненьких капілярах. На капілярності ґрунтується дія фільтрів, всмоктування вологи бетоном і т.д.