ТЕМА 1.3. Формула повної ймовірності.

Ймовірність гіпотез

• формула повної ймовірності

• формула ймовірності гіпотез

1. Формула повної ймовірності. Нехай у результаті випробувань може наступити подія  лише в комбінації з подіями  , які утворюють повну групу подій. Це означає, що в результаті випробування може відбутися одна і лише одна подія  . Тому

Ця формула носить назву формули повної ймовірності.

2. Формула ймовірностей гіпотез. Нехай маємо кілька гіпотез  , причому відомо, що виконується одна і тільки одна із них і апрі¬орні ймовірності цих гіпотез дорівнюють відповідно  ,  . Нехай відомі умовні ймовірності   події А при кожній з цих гіпотез. Тоді апостеріорні ймовірності – це ймовірності  . Для їх обчислення маємо формулу

.

Ця формула носить назву формули гіпотез або формули Бейєса.

Приклад. Студент знає не всі екзаменаційні білети. У якому випадку ймовірність витягнути невивчений білет буде для нього найменшою: коли він бере білет першим чи останнім?

Розв’язання. Нехай всього є  білетів, із яких студент вивчив  . Розглянемо подію  , яка полягає у тому, що студент витягнув невивчений білет. Ймовірність цієї події дорівнює  , а ймовірність протилежної події (студент витягнув вивчений білет) дорівнює  .

Нехай тепер студент бере білет другим. Студент, який брав білет першим міг витягнути як вивчений так і невивчений нашим студентом білет.

Позначимо через  та  такі гіпотези: попередній студент витягнув вивчений нашим студентом білет і попередній студент витягнув невивчений нашим студентом білет. Ймовірності цих гіпотез  і  . Тоді ймовірність витягнути невивчений білет, при умові  становить  , а при умові  –  . Тоді за формулою повної ймовірності одержимо, що

 .

Таким чином, ймовірність витягнути невивчений білет не залежить від того першим чи другим буде брати студент білет.