2.3 Нелінійна парна кореляція і регресія.

Зв’язки між економічними явищами часто бувають нелінійними. Наприклад, зв’язок між собівартістю 1ц зерна і врожайністю має вид гіперболи, зв’язок між фондовіддачею на 1 тис. грн. основних фондів і коефіцієнтом використання виробничих потужностей являє собою параболу, зв’язок між витратами на харчування (в перерахунку на одну споживчу одиницю) і числом дітей в сім’ї виражається степеневим рівнянням. При використанні регресійного аналізу для вивчення нелінійних зв’язків необхідно перетворити криву регресії в функцію, яка лінійна відносно параметрів а0 і а1, тобто провести лінеаризацію рівняння регресії. Наприклад, степеневу функцію виду  можна привести до лінійного виду шляхом логарифмування лівої і правої частини рівняння

Зробивши заміну нелінійних величин на лінійні  ,  отримаємо лінійну модель: 

Параметри цієї моделі можна знайти, рішивши лінеаризовану систему нормальних рівнянь (2.20).

  (2.20)

У випадку нелінійної залежності між економічними явищами, лінійний коефіцієнт парної кореляції втрачає фізичний зміст. Для оцінки тісноти криволінійного кореляційного зв’язку використовують так зване кореляційне відношення, яке обчислюється за формулою:

 (2.21)

Цей показник має теж значення, що і коефіцієнт кореляції, але тільки для криволінійної форми зв’язку між змінними  . Інколи доцільно для оцінки тісноти зв’язку між змінними  замість кореляційного відношення розраховувати за формулами (2.4, 2.5, 2.6) лінеаризований коефіцієнт кореляції, величина якого дорівнює кореляційному відношенні.

Величина кореляційного відношення знаходиться в межах  . У випадку функціонального зв’язку  . Якщо кореляційний зв’язок відсутній, то  . Однак, значення  не свідчить про відсутність причинної залежності між економічними явищами.

Теоретично показники  і  рівноправні, але  лише у випадку лінійної залежності. В цьому випадку

У всіх інших випадках, тобто при нелінійній залежності  , а коефіцієнт кореляції по абсолютній величині менший за найменшого із цих двох кореляційних відношень.

В практичній роботі економіста звичайно цікавить тільки одне із кореляційних відношень, а саме кореляційне відношення між фактором, прийнятим за функцію, і фактором, прийнятим за аргумент.

На співвідношеннях між  і  можливо побудувати критерій криволінійності зв’язку між змінними у і х. Спрощена формула такого ряду критерію має наступний вид:

 (2.22)

Якщо значення обчисленого К>2,5, то кореляційний зв’язок можна вважати криволінійним.

Характеристики  часто  уживаних  функцій  наведені  у  таблиці 1. (додаток 1).