Тема 3. Розкладання множин на підмножини, класифікація.

Розкладання множин на підмножини, класифікація

Питання теми

1. Розбиття множин на підмножини.

2. Приклади правильних і неправильних класифікацій.

Основні терміни теми: розбиття, класифікація.

1. Розбиття множин на підмножини.

Розбиття множин на підмножини, які попарно не перетинаються, лежить в основі різних класифікацій. Поняття “клас”, “рід”, “сімейство”, “вид”, “сорт” тощо широко застосовуються в різних галузях людської діяльності. Так, в біології всі живі організми розподіляються на класи і роди, слова у словниках розбиваються на множини за алфавітом.

Означення. Систему Т не порожніх підмножин Ai даної множини M називають її розбиттям, якщо кожен елемент з М належить одній і тільки одній підмножині з Т.

Це означає, що система Т повинна задовольняти такі умови:

1) кожна множина Аі із Т є підмножина  множини М;

2) кожна множина Аі із Т є не порожня підмножина;

3) множини Аі із Т не перетинаються: AiAj= для всіх Ai,

AjТ, ij;

4) об`єднання всіх елементів з Т дорівнює множині М, тобто жоден

елемент з множини М не знаходиться  поза розбиттям M= 

для всіх AiТ.

Таке розбиття здійснює класифікацію.

Приклади розв’язування задач.

1. Нехай A={x

A={5, 10, 15, 20}, остача 0;

A ={1, 6, 11, 16}, остача 1;

A ={2, 7, 12, 17}, остача 2;

A ={3, 8, 13, 18}, остача 3;

A ={4, 9, 14, 19}, остача 4.

Система цих підмножин має такі властивості: 1) кожна з них є підмножиною А; 2) жодна з них не порожня; 3) ніякі дві підмножини не перетинаються; 4) об’єднання всіх підмножин складає множину А. Таким чином знайдено розбиття Т множини А на п’ять класів, тобто здійснена класифікація.

2. Нехай множина М - множина всіх трикутників. За допомогою властивості “бути прямокутним трикутником” виділяємо підмножину А прямокутних трикутників і підмножину В не прямокутних трикутників: 1) АМ і ВМ; 2) А і В; 3) АВ=; 4) АВ=М. Властивість “бути прямокутним трикутником” визначає розбиття множини всіх трикутників М на два класи А і В.

3. Розбиття множини трикутників, за основу поділу яких прийнято вид кутів, можна представити у вигляді: гострокутні, прямокутні, тупокутні. А за відношенням їхніх сторін - у вигляді: різносторонні, рівнобедрені.

4. Множину натуральних чисел можна розбити на наступні класи: одиниця, прості числа, складені числа.

Велике значення має правильність класифікації. Здійснюють класифікації, дотримуючись усіх умов розбиття(1-4). З цих умов виходить, що одну і ту ж саму класифікацію необхідно здійснювати за однією основою; поділ на підмножини повинен бути неперервним, тобто необхідно брати найближчий підклас і не “перестрибувати” в більш віддалений підклас.

Можливе розбиття множини за двома, трьома і більш числом властивостей. Наприклад, “прямокутний рівнобедрений трикутник”. При цьому сукупність усіх ознак береться за одну основу.

Особливим видом є розбиття, яке складається з двох підмножин: в першу вміщують клас об’єктів, які мають певну ознаку, а в другу - клас всіх інших об’єктів. Таке розбиття називають “дихотомічним поділом”.

2. Приклади правильних та неправильних класифікацій.

1. Множину А={1, 2, 3, 4, 5} можна розбити на два класи парних і непарних чисел: A ={2, 4}, A ={1, 3, 5}. Виконуються умови: 1) A , A ; 2) А А =; 3) А А =А; 4) А А, А А.

2. N - множина натуральних чисел. Виділимо підмножини n-значних натуральних чисел (n=1, 2, 3, ...). Тоді T={N1, N2, N3, ... , Nn, ...} є розбиття множини N на підкласи, які не перетинаються.

3. P - множина кутів на даній площині. Р  - множина гострих кутів, Р  - множина прямих кутів, Р  - множина тупих кутів. Чи є система S={P , P , P } розбиттям множини Р?

Розв’язання. Одна з умов розбиття не виконується: існують кути, які не є ні гострими, ні тупими, ні прямими (наприклад, кут в 200 ). Значить система S не є розбиттям множини Р. Це приклад неправильної класифікації.

4. В - множина трикутників площини. В1 - множина рівносторонніх, В2 - множина рівнобедрених, В3 - множина різносторонніх трикутників. Чи є система Т={B1, B2, B3} розбиттям множини В на класи?

Відповідь. Система Т не є розбиттям множини В на класи, бо В В  - рівносторонній трикутник завжди рівнобедрений. Не виконується друга умова. Класифікація виконана неправильно.