Тема 1. Множини, основні поняття і визначення. Операції над множинами.

Питання теми

1. Основні поняття і визначення.

2. Операції над множинами.

3. Закони операцій над множинами.

Основні терміни теми: множина, підмножина, об’єднання, переріз, різниця, симетрична різниця множин, комутативність, асоціативність, дистрибутивність.

1.  Основні поняття і визначення.

Поняття множини є одним з основних, не означуваних понять. Під множиною розуміють сукупність тих чи інших об`єктів, об`єднаних за деякими ознаками (клас, тип, колекція, набір тощо). Але спробуємо дати деяке визначення поняття множини.

Означення. Множина - об`єднання в одно ціле об`єктів, що добре розрізнюються нашою інтуїцією чи нашою думкою.

Об`єкти будь-якої природи, які входять до множини, називають її елементами. Елементами множини можуть бути  множини. Множини позначають великими, а їхні елементи - малими буквами латинського алфавіту. Ствердження, що множина А складається з різних елементів а1,а2,...,аn (і тільки з цих елементів), записується таким чином A={a1,a2,...,an}. Належність елемента множині (відношення належності) позначається символом  , a1 A, a2 A,..., an A, чи інакше a1,a2,...,an A. Якщо b не є елементом А, то це записують b A.

Множину можна задати такими способами:

1. Переліком елементів. Наприклад, А={2,4,6,8,10}. Причому порядок елементів у запису множини значення не має. Вважається, що всі елементи множини різні.

2. За допомогою характеристичних властивостей, які мають всі елементи даної множини. Наприклад, цю множину А можна записати так:

A = {x

Означення. Дві множини рівні (тотожні, записується A=B) тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини А є елементом множини В і навпаки:

A = B  A B, B A.

Множина може містити будь-яку кількість елементів. Є одноелементні, двоелементні множини, множини, що містять багато елементів, безліч їх. Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою і позначається символом  . Наприклад, множина В = {x

Множина, що складається із обмеженого числа елементів, називається скінченою. Наприклад, множина одноцифрових чисел, множина вершин квадрата. Множина, яка містить необмежену кількість елементів, називається нескінченою.

Нехай данні множини: А={a,b,c,d,m,n}, B={m,n,c,d}. Множина В є частиною множини А або її підмножиною. Записують В А, читають “В міститься в А” або “В - підмножина А”.  - знак нестрогого включення,  - знак строгого включення, який означає, що В А і В не збігається з А (А В). В цьому разі В називають правильною частиною або власною підмножиною А. Очевидно, що  А і А А.  і А називаються невласними підмножинами А.

Універсальною множиною називається така множина, яка включає в себе всі множини, що розглядаються в задачі.

Діаграми Ейлера - Венна (круги Ейлера) – це геометричні уявлення множин. Побудова діаграм складається з зображення великого прямокутника, що представляє з себе універсальну множину U, а всередині його – круги (або будь-які інші замкнені фігури), що представляють множини. Фігури повинні перетинатись у найбільш загальному випадку, що вимагається в задачі і повинні бути відповідним чином позначені. Точки, що лежать всередині різних областей діаграми, можуть розглядатись як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення знову створених множин. Наприклад, на рис.1 зображена універсальна множина і три довільні множини A,B,C.

 

Рис. 1

Приклади.

1. Множини, задані переліком елементів. Записати їх за допомогою характеристичної властивості

A={1,2,3,4,5}; C={-3,-2,-1,0,1,2,3}.

Розв’язання.

А={x

2. Множини, задані за допомогою характеристичної властивості. Перелічити їх елементи:

A ={x

A ={x

Розв’язання.

A ={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}; A ={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6};

A = ; A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}.

3. Визначити, в якому відношенні знаходяться множини

A={x

Розв’язання.

Перелічимо елементи множин А і В:

А В

x -5x+6=0;  x -4x+4=0;

x =2, x =3;  (x-2) =0; x =x =2;

A={2,3}.  B={2}.

Відповідь. А В, або В А.

4. Дано множину А={1,2,3}. Записати всі її підмножини.

Розв’язання.

A = , A ={1}, A ={2}, A ={3}, A ={1,2}, A ={2,3}, A ={1,3}, A ={1,2,3}.

5. Яким відношенням зв’язані множини А і В, якщо

A= ; B= ?

Розв’язання. Зобразимо множини А і В на числовій прямій (виконати малюнок). З малюнка видно, що А В.

6. Записати власні і невласні підмножини множини

A={a,b,c,d}.

Розв’язання. Множини  і А - невласні підмножини множини А. Власні підмножини: {a}; {b}; {c}; {d}; {a,b}; {a,c}; {a,d}; {b,c}; {b,d}; {c,d}; {a,b,c}; {b,c,d}; {a,b,d}; {a,c,d}.

7. Дано пари множин:

а) A={x

  B={x

б)  А={8, 10, 12, 14, 16, ...}; B={2, 4, 6, 8, 10, ...}.

Необхідно: знайти для кожної пари відповідну універсальну множину; визначити, яким відношенням зв’язані дані множини; зобразити кожну пару кругами Ейлера.

Розв’язання.

а) універсальною може бути множина U={x

б) універсальною множиною може бути множина В; дані множини зв’язані відношенням включення: А  В.

2. Операції над множинами.

Означення. Об`єднанням множин А і В називається множина М, яка складається із елементів множини А і із елементів множини В:

M = A  B = {x

 

Рис. 2

Означення. Перерізом множин А і В називається множина М, яка складається із елементів, що належать кожній із множин А і В

M = A  B = {x

 

Рис. 3

Означення. Різницею множин А і В називається множина М, яка складається із елементів  множини А, що не належать множині В

M = A\B = {x

 

Рис. 4

Означення. Доповненням підмножини А до універсальної множини U називається різниця універсальної множини U і підмножини А

 = U\A = {x

 

Рис. 5

Означення. Симетричною різницею множин А і В називається множина М, яка складається із елементів, що належать тільки множині А і тільки множині В

M = A  B = {x

 

Рис. 6

Приклади розв’язування задач.

1. Знайти A B, A B, A\B, якщо:

a) A={1, 2, 3, 7}, B={8, 7, 3, 1};

б) A={{1,2}, 1, 2, 3}, B={{1, 2}, {1, 3}, 2};

в) A={a, b, c}, B={c, b, a}.

Розв’язання.

а) A B={1, 2, 3, 7, 8}, A B={1, 3, 7}, A\B={2};

б) A B={{1, 2}, 1, 2, 3, {1, 3}}, A B={{1, 2}, 2}, A\B={1, 3};

в) A B=A B={a, b, c}, A\B=B\A= .

2. Знайти A B, A B, A\B, B\A,  ,  , якщо:

A={x

Розв’язання.

Задамо множини А і В переліком елементів, розв’язавши відповідні їм рівняння.

x =x, х =-1, х =1, А={-1,1};

x =x , х =-1, х =0, x =1, B={-1, 0, 1}.

Тоді: A B=B={-1, 0, 1}, A B=A={-1, 1}, A\B= , B\A={0},  =B\A={0},  не має смислу, бо А  В.

3. Закони операцій над множинами

1. A B = B A,  A B = B A  (комутативність).

2. A A = A A A = A.

3. A U = A A U = U.

4. A  =  A  = A.

5. (A B) C = A (B C),  (A B) C = A (B C)  (асоціативність).

6. A (B C) = (A B) (A C),  A (B C) = (A B) (A C)

(розподільний закон перерізу відносно об`єднання множин і об`єднання відносно перерізу множин.

Приклади розв`язання задач.

1. Довести за допомогою кругів Ейлера, що А\В=А  .

2. Знайдіть різницю множин P і S, якщо:

а) P={x

б) P={x

Розв’язання.

а) Задамо множини переліком елементів:

Р={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};

S={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Тоді  S\P={7, 8, 9, 10};

P\S={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}.

б) Зобразимо множини на числовій прямій. Тоді

P\S={x

S\P={x

Завдання для самостійної роботи.

1. Знайти множину розв’язків кожного із даних рівнянь. Які з цих множин порожні?

а) 4x+5=4(x-7), x  R;  б) 5x+2=2, x  R; 

в) 2(х-5)=3х, x  R ; г) х =0, x  N;

д) х -9=0, x  Z;  е) х -5=0, x N;

є) (3х+16)(х-3)=0, x  R .

2. Зобразити на числовій прямій множини:

а) {x

в)  .

3. Задати переліком елементів такі множини:

а) {x

в) {x

д) {x

ж) {x

4.Зобразити на числовій прямій такі множини:

а) {x

в) {x

5. A={1, 2, 3, 6}; B={1, 3, 9}. A\B - ?; B\A - ?; A B - ?

6. Нехай U=R. Знайдіть  , якщо:

a) A=[r;  ); б) A= R ; в) А=(16; 20).

7. Знайти A B, A B, A\B, B\A, де А і В є множини натуральних розв’язків нерівностей: 1<x<6, 4 x<8.

8. Знайти A B, A B, A\B, B\A, якщо:

а) А={x

  B={x

б)  А={x

  B={x

в)  А={x

  B={x

9. Довести тотожність і зобразити їх кругами Ейлера:

а) А\(А\В)= A B; б) А\В=А\( A B).

10. Як пов’язані між собою множини:

а) А (В\С) і (А В)\С; б) А\(В С) і (А\В)\С;  в) А (В\С) і (А В)\(А С)?

11. А - двозначні числа; В - парні натуральні числа. Знайти переріз і різницю множин А і В. Знайти доповнення кожної з множин А і В до множини N.

12. Із 100 студентів першого курсу 6 відмінників, 20 спортсменів, 25 учасників художньої самодіяльності, 3 є відмінниками і спортсменами, 6 - спортсменами й учасниками художньої самодіяльності, 2 відмінники є учасниками художньої самодіяльності, а 1 - відмінником, спортсменом і учасником художньої самодіяльності. Скільки студентів не є ні відмінником, ні спортсменом, ні учасником художньої самодіяльності? Скільки студентів є відмінниками чи спортсменами? (Використайте круги Ейлера).

13. Спростити вирази, задані на U:

а) A  В; (A  )  A; (  ) (  ); (A A)  (C B);

б) (A B C)  (  B C)  (  );

14. Дано А U, B U, A B= . Зобразити множини А, В і заштрихувати:

а)  ; б)  .

15. Нехай М - множина трикутників, А - множина рівнобедрених трикутників, В - множина прямокутних трикутників. Описати множини: A В, A B,  ,  , ( ) ,( ) .

16. Нехай А - множина всіх пар чисел (x; y), що задовольняють рівнянню 3x+y=15; В - множина всіх пар чисел (x; y), що задовольняють рівнянню 2x+y=11. Описати множини: A В, A B, А\В, В\А.

17. Знайти переріз і об’єднання множин А і В, дати графічну ілюстрацію за допомогою кругів Ейлера, якщо:

а) А={5, 6, 7, 8, 9, 10}, B={12, 11, 10, 9, 8};

б) А={x

в) А={x

г) А={x

18. Знайти переріз і об’єднання множин:

а) [2; 7] i [4,7; 7];  б) (- ; 7) i [7; + );

в) [3; + ) i [3,2; + ); г) (- ; -5,7] i [-8; + ).

19. Записати множини:

а) спільних дільників чисел 12 і 18;

б) спільних кратних чисел 12 і 18.

20. Дано числові множини А=(-5; 3) і В=[4; 7]. Зобразити на координатній прямій множини: A В, A B, А\В.

21. Зобразити на координатній прямій множини:

А= ;

B= .

22. Зобразити на координатній прямій множини:

N [-3; 7] i Z  .

23. Дано множини:

A={x

B={x

C={x

Знайти і зобразити на координатній прямій такі множини:

а) А В С;  б) А В С;  в) (А В) С;  г) (А\В) С.