Тема 53. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (загальна теорія). Структура загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння. Метод варіації довільних сталих.

Питання теми

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Характеристичне рівняння

Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

12.9. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами

 Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.

 

12.9.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку

з постійними коефіцієнтами

Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду

  (12.38)

де  і - сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння . Будемо шукати розв’язок  рівняння (12.38) у вигляді експоненти де - поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить , а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).

Справді, запишемо  та :

Підставляючи ці похідні, а також функцію в рівняння (12.62), одержимо

 Оскільки  маємо

  (12.39)

 Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:

 1) і  - дійсні, причому не рівні між собою числа ;

 2) і - комплексні числа ();

 3) і - дійсні рівні числа

 Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.

 1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:

 Відповідні частинні розв’язки  та

 лінійно незалежні, бо

 Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд

  (12.40)

де  і - довільні сталі.

 2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай . Частинні розв’язки  і  є комплексними функціями дійсного аргументу:

або

 

 Неважко переконатися, що функція  та , які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку , також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція  є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то  та  також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:

 

 

а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.

 Зауважимо, що розв’язки  та  лінійно незалежні:

 Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд

  (12.41)

де  і  - довільні сталі.

 3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні:  При цьому один частинний розв’язок знаходиться, як у випадку 1):  Другий частинний розв’язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді  де - невідома функція. Знайдемо  і :

 

  

 Підставимо  та  у рівняння (12.38):

  (12.42)

Оскільки - корінь характеристичного рівняння,  а дискримінант дорівнює нулю (корінь  кратний), то  або  Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на  набуває вигляду . Його загальний розв’язок  отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд  Зокрема, якщо вибрати  , розв’язок  буде лінійно незалежним відносно :

Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд

  (12.43)

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

а)  б)  в)

У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд  або  Звідси маємо (випадок1).

Згідно з формулою (12.40) загальним розв’язком рівняння буде функція .

 У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння  Його корені – комплексно спряжені числа:  (випадок 2). При цьому  Загальний розв’язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде

 У прикладі в) корені  і  характеристичного рівняння  збігаються:  Загальний розв’язок згідно з формулою (12.43) має вигляд

 Приклад 2. Матеріальна точка маси  рухається прямолінійно, притягуючись до нерухомого центра силою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки.

 Р о з в ‘ я з о к. Згідно з умовою сила, з якою притягується точка, подається у вигляді , де - коефіцієнт пропорційності, - відстань від точки до центра. За допомогою другого закону Ньютона запишемо рівняння руху точки (- час)

  .

 Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді

  (12.44)

 Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння

причому  Корені  та - комплексно спряжені числа  Отже, загальний розв’язок рівняння (12.68) має вигляд

  (12.45)

 Знайдемо частинний розв’язок рівняння (12.44), який задовольняє початковим умовам .

 Поклавши  у рівність (12.45), отримаємо  Про диференціюємо обидві частини (12.45):

 

При   звідси  Отже, шуканим розв’язком задачі Коші буде

Література для самоосвіти: [8], [10].